高数学总复习(立体几何与圆锥曲线)
高中数学知识点完全总结(绝对全)
高中数学概念总结一、 函数1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。
二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a bx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，。
用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -⋅-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。
2、 幂函数nmx y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数，m<n 时，其大致图象是3、 函数652+-=x x y 的大致图象是由图象知，函数的值域是)0[∞+，，单调递增区间是)3[]5.22[∞+，和，，单调递减区间是]35.2[]2(，和，-∞。
二、 三角函数1、 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=r y ，cos α=r x ，tg α=xy，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。
2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 22=+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ；倒数关系是：1=⋅ααctg tg ，1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα；相除关系是：αααcos sin =tg ，αααsin cos =ctg 。
3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。
如：=-)23sin(απαcos -，)215(απ-ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。
4、 函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
高考数学复习备考总结
高考数学复习备考总结（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高二上数学导数立体几何圆锥曲线
21.(本题满分 13 分) y2 y2 已知椭圆 x2＋ ＝1 的左、右两个顶点分别为 A，B.双曲线 C 的方程为 x2－ ＝1. 设点 P 在第一象限且在双曲线 4 4 C 上，直线 AP 与椭圆相交于另一点 T. （1）设 P, T 两点的横坐标分别为 x1，x2，证明 x1² x2＝1； → → 2 （2）设△TAB 与△POB(其中 O 为坐标原点)的面积分别为 S1 与 S2 ，且PA²PB≤15，求 S2 1－S2的取值范围．
12．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 a.则直线 CD 与平面 AB1D1 所成的角的余弦值为________． x2 y2 13．已知双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，以 F1F2 为直径的圆与双曲线在第一象限的 a b 交点为 P.若∠PF1F2＝30°，则该双曲线的离心率为______． 14．已知正四棱锥 S－ABCD 中，SA＝3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为______． 15．曲线 C 是平面内到直线 l1：x＝－1 和直线 l2：y＝1 的距离之积等于常数 k2(k>0)的点的轨迹．给出下列四个 结论： ①曲线 C 过点(－1，1)； ②曲线 C 关于点(－1，1)对称； ③若点 P 在曲线 C 上，点 A，B 分别在直线 l1，l2 上，则|PA|＋|PB|不小于 2k； ④设 P0 为曲线 C 上任意一点，则点 P0 关于直线 x＝－1、点(－1，1)及直线 y＝1 对称的点分别为 P1、P2、P3， 则四边形 P0P1P2P3 的面积为定值 4k2. 其中，所有正确结论的序号是__________________． 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本题满分 12 分) 已知 f(x)＝ax4＋bx2＋c 的图象经过点(0，3)，且在 x＝1 处的切线方程是 y＝2x＋1. （1）求 y＝f(x)的解析式； （2） x2 y2 6 已知椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率为 ，且过点(0，1)． a b 3 （1）求此椭圆的方程； （2）已知定点 E(－1，0)，直线 y＝kx＋2 与此椭圆交于 C、D 两点．是否存在实数 k，使得以线段 CD 为直径 的圆过 E 点．如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由．
高考数学大题常考题型总结
高考数学大题常考题型总结高考数学常考的大题分别是三角函数或数列，概率，立体几何，解析几何(圆锥曲线)，函数与导数。
下面就这些题型做出具体分析，并对大题给以典型题型，希望大家仔细研究总结。
数学高考大题题型有哪些：必做题：1.三角函数或数列（必修4，必修5）2.立体几何（必修2）3.统计与概率（必修3和选修2-3）4.解析几何（选修2-1）5.函数与导数（必修1和选修2-2）选做题：1.坐标系与参数方程（选修4-4）2.不等式（选修4-5）一、三角函数或数列数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。
高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。
有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。
探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。
本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。
(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。
试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。
二、立体几何高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。
选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。
随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着多一点思考，少一点计算的发展。
高中数学总复习基础知识要点总结共14章
高中数学总复习之基础知识要点目录01--知识要点：高三数学总复习—集合02--知识要点：高三数学总复习—函数03--知识要点：高三数学总复习—数列04--知识要点：高三数学总复习—三角函数05--知识要点：高三数学总复习—向量06--知识要点：高三数学总复习—不等式07--知识要点：高三数学总复习—直线和圆的方程08--知识要点：高三数学总复习—圆锥曲线方程09--知识要点：高三数学总复习—立体几何10--知识要点：高三数总总复习—排列组合11--知识要点：高三数学总复习—概率12--知识要点：高三数学总复习—极限（实验修订）13--知识要点：高三数学总复习—导数（实验修订版）14--知识要点：高三数学总复习—复数（实验修订版）高考复习科目：数学 高中数学总复习(一)复习内容：高中数学第一章-集合 复习范围：第一章 修订时间：总计第一次I. 基础知识要点 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果BA⊆，同时AB⊆，那么A = B.如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}）③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅）4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.②且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 例：若255 x x x 或，⇒.II. 竞赛知识要点1. 集合的运算.）（）（C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂）（）（）（C A B A C B A =De Morgan 公式 C u A ∩ C u B = C u （A ∪ B ） C u A ∪ C u B = C u （A ∩ B ） 2. 容斥原理：对任意集合AB 有B A B A B A -+=.CB AC B C A B A C B A C B A +++-++=)(.高三数学总复习高考复习科目：数学 高中数学总复习(二)复习内容：高中数学第二章-函数 复习范围：第二章 编写时间：2004-2修订时间：总计第一次 2005-5I. 基础知识要点 1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则.2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在），（），（2110⋃上为减函数. 3. 反函数定义：只有满足y x −−→←唯一，函数)(x f y =才有反函数. 例：2x y =无反函数.函数)(x f y =的反函数记为)(1y f x -=，习惯上记为)(1x fy -=. 在同一坐标系，函数)(x f y =与它的反函数)(1x fy -=的图象关于x y =对称.[注]：一般地，3)f(x 3)(x f 1+≠+-的反函数. 3)(x f1+-是先f(x)的反函数，在左移三个单位.3)f(x +是先左移三个单位，在)f(x 的反函数.4. ⑴单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数. ⑵如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.⑶设函数y = f （x ）定义域，值域分别为X 、Y . 如果y = f （x ）在X 上是增（减）函数，那么反函数)(1x f y -=在Y 上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. ⑷一般地，如果函数)(x f y =有反函数，且ba f =)(，那么ab f=-)(1. 这就是说点（b a ,）在函数)(x f y =图象上，那么点（a b ,）在函数)(1x f y -=的图象上.5. 指数函数：xay=（1,0≠a a ），定义域R ，值域为（+∞,0）.⑴①当1 a ，指数函数：xay =在定义域上为增函数；②当10 a ，指数函数：xay=在定义域上为减函数.⑵当1a时，xa y =的a 值越大，越靠近y 轴；当10 a 时，则相反.6. 对数函数：如果a （1,0≠a a）的b次幂等于N ，就是Na b=，数b 就叫做以a 为底的N 的对数，A B A A A B A A ==）（，）（y记作bN a=log（1,0≠a a ，负数和零没有对数）；其中a 叫底数，N 叫真数.⑴对数运算：()na n a a a cbab b aNana anaaaaaaaa a a a a cb a N N NaMnM Mn MNM N MNM N M n a1121loglog ...loglog1logloglog loglog log log 1log loglog log loglog loglog )(log 32log )12)1(=⋅⋅⋅⇒=⋅⋅===±=-=+=⋅-推论：换底公式：（以上10且...aa ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a 0,N 0,Mn21≠≠≠≠ ）注⑴：当0, b a 时，)log()log()log(b a b a -+-=⋅. ⑵：当0M 时，取“+”，当n 是偶数时且0 M 时，0nM，而0 M ，故取“—”.例如：x x x aaalog2(log 2log2≠中x ＞0而2logx a中x ∈R ）.⑵xa y =（1,0≠a a ）与x y alog =互为反函数.当1a时，x y alog=的a 值越大，越靠近x 轴；当10 a 时，则相反.7. 奇函数，偶函数： ⑴偶函数：)()(x f x f =-设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=xy 在)1,1[-上不是偶函数.②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1)()(=-x f x f .⑵奇函数：)()(x f x f -=-设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时，1)()(-=-x f x f .8. 对称变换：①y = f （x ））（轴对称x f y y -=−−−→− ②y =f （x ））（轴对称x f y x -=−−−→− ③y =f （x ））（原点对称x f y --=−−−→−9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：22122212122222121)()()(bx bx x x x x bx bx x f x f x ++++-=+-+=-）（在进行讨论.10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f （x ）= 1+xx -1的定义域为A ，函数f [f （x ）]的定义域是B ，则集合A 与集合B 之间的关系是 .解：)(x f 的值域是))((x f f 的定义域B ，)(x f 的值域R ∈，故R B ∈，而A {}1|≠=x x ，故A B ⊃. 11. 常用变换：①)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-⇔=+.证：)()(])[()()()()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=⇔=-②)()()()()()(y f x f y x f y f x f yxf +=⋅⇔-=证：)()()()(y f yx f y yx f x f +=⋅=12. ⑴熟悉常用函数图象： 例：||2x y =→||x 关于y 轴对称. |2|21+⎪⎭⎫⎝⎛=x y →||21x y ⎪⎭⎫⎝⎛=→|2|21+⎪⎭⎫⎝⎛=x y|122|2-+=x xy →||y 关于x 轴对称.⑵熟悉分式图象： 例：372312-+=-+=x x x y ⇒定义域},3|{R x x x ∈≠，值域},2|{R y y y ∈≠→值域≠x前的系数之比.四川师大附中高2006届高三数学总复习（三）§3. 数 列 知识要点A B ⊃1. ⑴等差、等比数列：⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )①注①：i. ac b =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即acb=、b 、c 等比数列.ii. ac b =（ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要.iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. ac b ±=且0 ac →为a 、b 、c 等比数列的充要.注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个. ③nn cq a =(q c ,为非零常数).④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n xa log}（1 x ）成等比数列.⑷数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n[注]： ①()()d a nd d n a a n -+=-+=111（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛=+=22122→2d 可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件.③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --； ②若等差数列的项数为2()+∈Nn n ，则，奇偶nd SS=-1+=n naa SS 偶奇；③若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S1212-=-，且n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇得到所求项数到代入12-⇒n n .3. 常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒nn a ； 5，55，555，…()11095-=⇒nn a .4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：.)1(1])1([)1(...)1()1(12r r a a r a r a r a a nn +-+-=+++++++-⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为nr a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1])1(1)[1(12r r r a +-+-+.⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.()()()()()()()()1111111 (1112)1-++=⇒-+=+⇒++++++=+--mmmmm m mr r ar x rr x r a x r x r x r x r a5. 数列常见的几种形式： ⑴nn n qa paa +=++12（p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程q Px x +=2（2x 对应2+n a ，x 对应1+n a ），并设二根21,x x ②若21x x ≠可设n n n xc x c a 2211.+=，若21x x =可设nn x n c c a 121)(+=；③由初始值21,a a 确定21,c c .⑵rPaa n n +=-1（P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为nn n qa Paa +=++12的形式，再用特征根方法求n a ；④121-+=n n Pc c a （公式法），21,c c 由21,a a 确定.①转化等差，等比：1)(11-=⇒-+=⇒+=+++P r x x Px Pa a x a P x a n n n n .②选代法：=++=+=--r r PaP rPaa n n n )(21xPx a P r P P r a a n n n -+=---+=⇒--1111)(1)1(r r Pa Pn n +++⋅+=--Pr 211.③用特征方程求解：⇒⎭⎬⎫+=+=-+相减，r Pa a r Paan n nn 111+n a 1111-+--+=⇒-=-n n n n nn Paa P a PaPaa ）（.④由选代法推导结果：Pr PP r a c Pc aP r a c Pr c n n n-+-+=+=-+=-=--111111112121）（，，.6. 几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n 项和为n S ，在0 d 时，有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值，有两种方法： 一是求使0,01 +≥n n a a ，成立的n 值；二是由nd a nd S n )2(212-+=利用二次函数的性质求n 的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：, (2)1)12,...(413,211nn -⋅⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21d d ，的最小公倍数.高三数学总复习高考复习科目：数学 高中数学总复习（四）复习内容：高中数学第四章-三角函数 复习范围：第四章 编写时间：2004-7修订时间：总计第三次 2005-4I. 基础知识要点1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180|ββ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|ββ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90|ββ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180|ββ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180|ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=180360kS IN \C O S 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 3. 三角函数的定义域：4. 三角函数的公式： （一）基本关系公式组二 公式组三xx k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππxx x x x x xx cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-公式组四 公式组五 公式组六xx x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππxx x x x x xx c o t )2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππxx x x x x xx c o t )c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=--=-=-ππππ（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααc o s s i n 22s i n =βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2t a n 1t a n 22t a n -=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2c o s 12s i nαα-±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2cos 12cosαα+±=公式组一s in x ·c sc x =1ta n x =xx c o s sin s in 2x +c o s 2x =1c o s x ·s e c x x =xx sin c o s 1+ta n 2x =s e c 2xta n x ·c o t x =11+c o t 2x =c sc 2x=1βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 公式组三 公式组四 公式组五2tan12tan2sin 2ααα+=2tan12tan1cos 22ααα+-=2tan12tan2tan 2ααα-=42675cos 15sin -==,42615cos 75sin+==,3275cot 15tan-==,3215cot 75tan+==.5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）.②xysin =与xycos =的周期是π.()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos2cos cos βαβαβα-+=+2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ωπ2=T .2tanx y =的周期为2π（πωπ2=⇒=T T，如图，翻折无效）.④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)c o s (ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,21ππ+k ）；)t a n (ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）.xx y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα.⑥x y cos =与⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数，则 )cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)31tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ∉0的定义域，则无此性质）⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）；xy cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（π=T ）；212cos +=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩ab ba b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22.II. 竞赛知识要点一、反三角函数.1. 反三角函数：⑴反正弦函数x y arcsin =是奇函数，故x x arcsin )arcsin(-=-，[]1,1-∈x （一定要注明定义域，若()+∞∞-∈,x ，没有x 与y 一一对应，故x y sin =无反函数）注：x x =)sin(arcsin，[]1,1-∈x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2arcsinππx . ⑵反余弦函数x y arccos =非奇非偶，但有ππk x x 2)arccos()arccos(+=+-，[]1,1-∈x . 注：①x x =)cos(arccos，[]1,1-∈x ，[]π,0arccos∈x .y =|c o s 2x +1/2|图象②x y cos =是偶函数，x y arccos =非奇非偶，而x y sin =和x y arcsin =为奇函数. ⑶反正切函数：x y arctan =，定义域),(+∞-∞，值域（2,2ππ-），x y a r c t a n =是奇函数，xx arctan )arctan(-=-，∈x ),(+∞-∞.注：x x =)tan(arctan ，∈x ),(+∞-∞.⑷反余切函数：x arc y cot =，定义域),(+∞-∞，值域（2,2ππ-），x a r c y c o t =是非奇非偶.ππk x arc x arc 2)cot()cot(+=+-，∈x ),(+∞-∞.注：①x x arc =)cot cot(，∈x ),(+∞-∞.②x y arcsin =与)1arcsin(x y -=互为奇函数，x y arctan =同理为奇而x y arccos =与xarc ycot =非奇非偶但满足]1,1[,2)cot(cot ]1,1[,2arccos )arccos(-∈+=-+-∈+=+-x k x arc x arc x k x x ππππ.⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a的取值范围 解集a的取值范围 解集①a x =sin 的解集 ②a x =cos 的解集a ＞1 ∅ a ＞1 ∅a=1 {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π a=1 {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|πa＜1(){}Zk a k x x k∈-+=,arcsin 1|πa＜1 {}Z k a k x x ∈±=,arccos |π③a x =tan 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,arctan |π ③a x =cot 的解集：{}Z k a k xx ∈+=,cot arc |π二、三角恒等式. 组一 组二∏===nk nnnk12sin2sin 2cos8cos4cos2cos2cosααααααα∑=++=+++++=+nk dnd x d n nd x d x x kd x 0sin )cos())1sin(()cos()cos(cos )cos(∑=++=+++++=+nk dnd x d n nd x d x x kd x 0sin )sin())1sin(()sin()sin(sin )sin(αγγββαγβαγβαγβαtan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(----++=++组三 三角函数不等式xsin ＜x ＜)2,0(,tanπ∈x xxx x f sin )(=在),0(π上是减函数若π=++CB A ，则Cxy B xz A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++ααααααcos 3cos43cos sin 4sin 33sin 33-=-=()()αββαβαβα2222cos cos sin sin sinsin-=-+=-ααααααsin 22sin 2cos ...4cos 2cos cos 11++=n n n高三数学总复习高考复习科目：数学 高中数学总复习（五）复习内容：高中数学第五章-平面向量 复习范围：第五章 编写时间：2004-7修订时间：总计第三次 2005-41. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量. 注意：①若b a,为单位向量，则ba=. （⨯） 单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向. ②若ba =，则a∥b. （√）2.①()aμλ=()aλμ②()aa aμλμλ+=+③()ba b aλλλ+=+④设()()Ry x b y x a∈==λ,,,,2211()2121,y y x x b a ++=+()2121,y y x x b a --=-()21,y x a λλλ=2121y y x x b a +=⋅2121y x a +=（向量的模，针对向量坐标求模） ⑤平面向量的数量积：θcos b a b a ⋅=⋅⑥ab b a⋅=⋅ ⑦()()()ba b a baλλλ⋅=⋅=⋅⑧()cb c a c b a⋅+⋅=⋅+注意：①()()cb a cb a⋅⋅=⋅⋅不一定成立；cb ba⋅=⋅ca =.②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小.③长度为0的向量叫零向量，记0，0与任意向量平行，0的方向是任意的，零向量与零向量相等，且00=-.④若有一个三角形ABC ，则0；此结论可推广到n 边形.⑤若an a m=（R n m ∈,），则有nm =. （⨯） 当a等于0时，0==a n am ，而n m ,不一定相等. ⑥a ·a =2||a，||a=2a（针对向量非坐标求模），||b a⋅≤||||b a⋅.⑦当0≠a 时，由0=⋅b a不能推出0≠b ，这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有a·b=0.⑧若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c （×）当b 等于0时，不成立.3. ①向量b与非零向量．．．．a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a bλ=（平行向量或共线向量）.当a ,0 λ与b 共线同向：当,0 λa 与b 共线反向；当b 则为0,0与任何向量共线.注意：若b a ,λ= （×）若c 是a 的投影，夹角为θ，则c a =⋅θcos，=⋅θcos （√） ②设a=()11,y x ，()22,y x b =a ∥b⇔=-⇔01221y x yx b a b a =⋅⇔=λa⊥b01221=+⇔=⋅⇔y y x x b a③设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则A 、B 、C 三点共线⇔∥⇔=λ（0≠λ）⇔（1212,y y x x --）=λ（1313,y y x x --）（0≠λ）⇔（12x x -）·（13y y -）=（13x x -）·（12y y -） ④两个向量a、b 的夹角公式：222221212121cos yxy x y y x x +⋅++=θ⑤线段的定比分点公式：（0≠λ和1-）设P 1P=λP P 2 （或2λ11），且21,,P P P 的坐标分别是),(),,(,,2211y x y x y x ）（，则推广1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式：推广2λ=MB则λλ++=1PB PA PM（λ对应终点向量）.三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：注意：在△ABC 中，若0为重心，则0=++OC OB OA ，这是充要条件. ⑥平移公式：若点P ()y x ,按向量a=()k h ,平移到P‘()'',yx，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ky y hx x ''4. ⑴正弦定理：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，所对的角为A 、B 、C ，则RCc Bb Aa 2si n si n si n ===.⑵余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=Cab a b c B ac ca b A bc cb a cos 2cos 2cos 2222222222⑶正切定理：2tan2tan B A B A ba ba -+=-+⑷三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121x x x y y y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y yy AB①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4R ④S △=1/2sin C ·ab=1/2ac ·sin B=1/2cb ·sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式]⑥S △=1/2（b+c-a ）r a [如下图]=1/2（b+a-c ）r c =1/2（a+c-b ）r b[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.如图：图1中的I 为S △ABC 的内心， S △=PrI 为S △ABC 的一个旁心，S △（b+c-a ）r a图1图2图3图4附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC =a ，AC =b ，AB =c [注：s 为△ABC 的半周长,即2cb a ++]则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ） ②BN=b s -=1/2（a+c-b ） ③FC=c s -=1/2（a+b-c ）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r =cb a ab cb a ++=-+2（如图3）. ⑹在△ABC 中，有下列等式成立CB AC B A tan tan tan tan tan tan =++.证明：因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ，所以CBA B A tan tan tan 1tan tan -=-+，∴结论！⑺在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，则DCBD BCBCAB BD ACAD ⋅-+=222.证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有B BD AB BDABAD cos 2222⋅⋅-+=①在△ABC 中，由余弦定理有BCAB ACBC ABB ⋅-+=2cos 222②，②代入①，化简可得，DC BD BCBCAB BD ACAD⋅-+=222（斯德瓦定理）①若AD 是BC 上的中线，2222221acbm a -+=；②若AD 是∠A 的平分线，()a p p bc cb t a-⋅+=2，其中p 为半周长；B b I AB C D EF IABCDEFr ar ar abca abc C DACB图5③若AD 是BC 上的高，()()()c p b p a p p ah a ---=2，其中p 为半周长.⑻△ABC 的判定：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔∠A + ∠B =2π2c＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔∠A + ∠B ＜2π 2c＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔∠A + ∠B ＞2π附：证明：abcb a C 2cos 222-+=，得在钝角△ABC 中，222222,00cos cb ac b a C +⇔-+⇔⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.)2=四川师大附中高2006届高三数学总复习（六）§6. 不 等 式 知识要点1. ⑴平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b为正数）：2112a b a b+≥+（当a = b 时取等）特别地，222()22a b a b a b ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b a b ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a cba==∈⎪⎭⎫⎝⎛+++≥++⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++⑵含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： ①3322a b a b a b +≥+②3332223()()a b c a b c a b c a b c a b a c b c ++-=++++---⇒3333a b ca b c ++≥（等式即可成立0 c b a++，时取等或0=++==c b a c b a）；3a b c++≤⇒33a b c a b c ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭3333a b c ++≤2)(31c b a ac ba ab +++≤++（时取等c b a==）⑶绝对值不等式：123123(0)a a aa aaa b a b a b a b ++≤++-≤-≤+≥时,取等⑷算术平均≥几何平均（a 1、a 2…an 为正数）：12na a an+++≥（a 1=a 2…=a n 时取等）⑸柯西不等式：设),,,2,1(,n i R b a i i =∈则))(()(222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++等号成立当且仅当nnb ab ab a ===2211时成立.（约定0=i a 时，0=i b ）例如：22222()()()a c b d a b c d +≤++.⑹常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n nn n n n-==-≥++--1)2n nn n ==≥+-2. 常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()223279x x x y x x yy --=-⇒=≤=⇒≤类似于22s in c o s s in (1s in)y x x x x ==-③111||||||()2x x x xxx+=+≥与同号，故取等四川师大附中高2006届高三数学总复习（七）实验修订版§7. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα≤≤. 注：①当90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：1l ∥212kk l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21CC ≠）推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l .⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当90≠θ时21121tan kk k k +-=θ.⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，则有21121tan k k kk +-=θ. 5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111Cy Bx Al C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有22BA CByAxd +++=.⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离为d ，则有2221BAC C d +-=.7. 关于点对称和关于某直线对称：⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线（b x y +±=）对称的解法：y 换x ，x 换y. 例：曲线f (x ,y )=0关于直线y =x –2对称曲线方程是f (y +2 ,x –2)=0.②曲线C: f (x ,y )=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f (a – x , 2b – y )=0. 二、圆的方程.1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的 与一个二元方程0),(=y x f 的实数建立了如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点),(y x M 其坐标与方程0),(=y x f 的一种关系，曲线上任一点),(y x 是方程0),(=y x f 的解；反过来，满足方程0),(=y x f 的解所对应的点是曲线上的点. 注：如果曲线C 的方程是f(x ,y)=0，那么点P 0(x 0 ,y)线C 上的充要条件是f(x 0 ,y 0)=0 2. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.注：特殊圆的方程：①与x 轴相切的圆方程222)()(b b y a x =±+- )],(),(,[b a b a b r -=或圆心 ②与y 轴相切的圆方程222)()(a b y a x =-+±)],(),(,[b a b a a r -=或圆心③与x 轴y 轴都相切的圆方程222)()(a a y a x =±+± )],(,[a a a r ±±=圆心 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422F E D -+时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=.当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D . 当0422F E D -+时，方程无图形（称虚圆）. 注：①圆的参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）.②方程022=+++++F Ey Dx CyBxy Ax表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.③圆的直径或方程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A （用向量可征）. 4. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-⇔ ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-⇔ 5. 直线和圆的位置关系：设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ；圆心),(b a C 到直线l 的距离22BACBb Aa d +++=.①r d =时，l 与C 相切；附：若两圆相切，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++02222211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为公切线方程.②r d 时，l 与C 相交； 附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D . ③r d 时，l 与C 相离.附：若两圆相离，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++02222211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为圆心21O O 的连线的中与线方程.由代数特征判断：方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-0)()(222C Bx Ax rb y a x 用代入法，得关于x （或y ）的一元二次方程，其判别式为∆，则：l ⇔=∆0与C 相切； l ⇔∆0 与C 相交； l ⇔∆0 与C 相离.注：若两圆为同心圆则011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x 相减，不表示直线. 6. 圆的切线方程：圆222r y x =+的斜率为k 的切线方程是r k kx y 21+±=过圆022=++++F Ey Dx y x上一点),(00y x P 的切线方程为：02200=++++++F y y Ex x Dy y x x .①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2. 特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200ry y x x =+.②若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ，联立求出⇒k 切线方程. 7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四类共圆. 已知O Θ的方程022=++++F Ey Dx y x …① 又以ABCD 为圆为方程为2))(())((kb x yy a xx x AA =--+--…②4)()(222b ya xR AA-+-=…③，所以BC 的方程即③代②，①②相切即为所求.高三数学总复习高考复习科目：数学 高中数学总复习（八）:0:222222111221=++++=++++F y E x D y x C F y E x D y xC B C )复习内容：高中数学第八章-圆锥曲线方程 复习范围：第八章 编写时间：2004-7修订时间：总计第三次 2005-4I. 基础知识要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F FF a PFPFF F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a by ax=+. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222 b a bx ay=+.②一般方程：)0,0(122B A ByAx=+.③椭圆的标准参数方程：12222=+by ax 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ）.⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2ba c c FF -==.⑤准线：cax 2±=或cay 2±=.⑥离心率：)10( e ac e =.⑦焦点半径：i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a by ax =+上的一点，21,FF 为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a ay bx =+上的一点，21,FF 为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201x a ex x cae pFx ex a cax e pF-=-=+=+=归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222abc ab d -=和),(2abc⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a by ax =+的离心率是)(22ba c ac e -==，方程t t by ax (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ac e =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.⑸若P 是椭圆：12222=+by ax 上的点.21,FF 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21FPF ∆的面积为2tan2θb （用余弦定理与a PFPF221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2cot2θ⋅b .二、双曲线方程.⇒-=+=0201,ex a PFex a PF ⇒-=+=0201,ey a PFey a PFa s in α,)s in α)N 的轨迹是椭圆。
(同步讲解)圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点小结圆锥曲线在高考中的地位：圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。
通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。
(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。
(2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。
(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。
高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆C：+ y2 = 1.如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x = -3于点D（-3，m）.（1）求m2 + k2的最小值；（2）若∣OG∣2 =∣OD∣·∣OE∣, ①求证：直线l过定点；②试问点B、G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.（理22）已知动直线l与椭圆C：+ = 1相交于P（x1，y1），Q（x2，y 2）两个不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=，其中O为坐标原点．（1）证明：+和+均为定值；（2）设线段PQ 的中点为M ，求∣OM ∣·∣PQ ∣的最大值；（3）椭圆C 上是否存在三点D, E, G ，使得S △ODE = S △ODG = S △OEG =？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．(2009年山东卷)设m ∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a =(mx,y+1),向量b =(x,y-1),a⊥b ,动点M(x,y)的轨迹为E.（1）求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知m=1/4,设直线l 与圆C:x 2+y 2=R 2(1<R<2)相切于A 1,且l 与轨迹E 只有一个公共点B 1,当R 为何值时,|A 1B 1|取得最大值?并求最大值. 一.圆锥曲线的定义：椭圆：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
高中数学知识点总结大全(最新版复习资料)
元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到 B 的映射，记
作 f :AB．
②给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且 a A,b B ．如果元素 a 和元素 b 对应，那么我们把元素 b 叫做元
素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象．
以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、 数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时， 进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有 4 个系列： 系列 1：由 2 个模块组成。 选修 1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修 1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列 2：由 3 个模块组成。 选修 2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
不等式
解集
| x | a(a 0)
{x | a x a}
| x | a(a 0)
x | x a 或 x a}
| ax b | c,| ax b | c(c 0)
（2）一元二次不等式的解法 判别式
b2 4ac
二次函数
y ax2 bx c(a 0)
的图象
0
把 ax b 看 成 一 个 整 体 ， 化 成 | x | a ， | x | a(a 0) 型不等式来求解
③ f (x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1．
高中数学易错点及数学圆锥曲线公式大全
高中数学易错点及数学圆锥曲线公式大全在每年的高考中,有关圆锥曲线的试题约占全卷总分的13%，是相当重要的考点。
下面小编整理了《高中数学圆锥曲线公式大全》，欢迎阅读。
高中数学圆锥曲线公式大全1.焦半径公式，P为椭圆上任意一点，则│PF1│= a + eXo│PF2│= a - eXo(F1 F2分别为其左，右焦点)2.通径长 = 2b?/a3.焦点三角形面积公式S⊿PF1F2 = b?tan(θ/2) (θ为∠F1PF2)(这个可能有点难理解，不过结合第一定义可以较快的推，双曲线的也是同样方法)4.(左)准点Q (自己取的名字方便叙述，准线与X轴的焦点)过左焦点F1的任意一条线与椭圆交与A ，B 那么一定有：X轴平分∠AQB(在右边也是一样)1.通径就不说了2.焦半径公式(有8个，很难打符号的，不过可以根据极坐标方程来直接解答，比焦半径公式还快一些)3.焦点三角形面积公式S⊿PF1F2 =b?cot(θ/2) (左右支都是它)y?=2px (p>0)过焦点的直线交它于A(X1,Y1),B(X2,Y2)两点1.│AB│=X1 + X2 + p =2p/sin?θ (θ为直线AB的倾斜角)2. Y1*Y2 = -p? ， X1*X2 = p?/43.1/│FA│ + 1/│FB│ = 2/p4.结论：以AB 为直径的圆与抛物线的准线线切5.焦半径公式：│FA│= X1 + p/2 = p/(1-cosθ)直线与圆锥曲线 y= F(x) 相交于A ，B，则│AB│=√(1+k?) * [√Δ/│a│]圆锥曲线包括椭圆(圆为椭圆的特例)，抛物线，双曲线。
圆锥曲线(二次曲线)的统一定义：到定点(焦点)的距离与到定直线(准线)的距离的商是常数e(离心率)的点的轨迹。
当e>1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0有途网小编建议还是先研究书本的基本概念，掌握相关公式，图形特点，利用这些概念解决题目，之后再做习题。
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跃龙教育
个性化辅导教案讲义任教科目：数学
授课题目：上学期总复习
年级：高二
任课教师：时侠圣
授课对象：武文娟
合肥跃龙个性化教育
香樟雅苑校区
教学主任签名：
日期： 2015-01-23
跃龙教育个性化辅导授课案
教师:时侠圣学生:武文娟日期: 2015-01-23星期: 周五时段:07:00-09:00
4．两个平面平行的性质有五条：
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。
用符号表示是：.
//
,
//β
α
β
αa
a⇒
⊂
（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”。
用符号表示是：.
//
,
,
//b
a
b
a⇒
=
⋂
=
⋂γ
β
γ
α
β
α
（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。
这个定理可用于证线面垂直。
用符号表示是：.
,
//β
α
β
α⊥
⇒
⊥a
a
（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等.
（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行.
（Ⅲ）、线线平行、线面平行、面面平行间的相互转换
例1：已知正四棱锥ABCD
P-的底面边长及侧棱长均为13，N
M,分别是BD
PA,上的点，且
8
5
:
:：
=
=ND
BN
MA
PM.
(1)证：直线MN∥平面PBC；（2）求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值。
例2：如图，在正四棱锥P ABCD
-中，PA AB a
==,点E在棱PC上．问
点E在何处时，//
PA EBD
平面，并加以证明.
P
N
M
E
D
C
B
A
E
P
D C
B
A
空间中的垂直关系 （Ⅰ）直线与平面垂直
1、直线与平面垂直的判定方法： ①利用定义。
②判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
③其它方法： （Ⅰ）、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
（Ⅱ）、如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么也垂直于另一个面。
（Ⅲ）、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
（Ⅳ）、如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么相交平面的交线也垂直于第三个方面。
2、直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
3、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系； （2）推理模式：
,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫
⎪
=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭
I
4、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式：
,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫
⎪
=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭
I
(Ⅱ)平面与平面垂直
1、两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
2、两平面垂直的判定方法： ①利用定义。
②判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
推理模式： .,βαβα⊥⇒⊥⊂a a
3、两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
推理模式：.,,,βααβαβα⊥⇒⊥⊄=⋂⊥a a a l
(Ⅲ)要有升降维”思想，熟练掌握各类垂直的相互转化：
线线垂直 线面垂直 面面垂直
a
P
α
O
A
（A ）23 （B ）25 （C ）27 （D ）42
例2：已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为（ ）。
（A ）
1010 (B) 15 (C) 310
10
(D) 35
例3：（2009北京卷文）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，
PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.
（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；
（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与
平面PDB 所成的角的大小.
练习1.空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都为1，点P 在边AB 上移动，点Q 在CD 上移动，则点P 和Q 的最短距离为（ ）
A ．21
B ．22
C ．43
D ．23
2.棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）。
A.
22 B.1 C.1+2
2
D.2
3.如下图，正四面体S —ABC 中，D 为SC 的中点，则BD 与SA 所成角的余弦值是（ ）。
A 33
B 32
C 63
D 62
S
E
D C
B
A
例2（14广西理）：已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则
21cos AF F ∠=
A ．
14 B ．1
3
C ．24
D ．
23 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x+y ﹣4=0相切，
则圆C 面积的最小值为（ ）
π54.A π43.B π)526.(-C π4
5.D 例（14江西理）：如图，已知双曲线:C )0(1222>=-a y a
x 的右焦点为F ，点B A ,分别在C 的两条渐近
线x AF ⊥轴，OA BF OB AB //,⊥，(O 为坐标原点). （1）求双曲线C 的方程；
（2）过C 上一点)0)(,(000≠y y x P 的直线1:0
2
0=-y y a x
x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ．证明：当点P 在C 上移动时，
NF
MF
恒为定值，并求此定值．
本次课后作业：把例题再做一遍！
学生对于本次课的评价：
○特别满意○满意○一般○差
学生签字：
教师评定：
1、学生上次作业评价：○非常好○好○一般○需要优化
2、学生本次上课情况评价：○非常好○好○一般○需要优化
教师签字：
教务主任签字： ___________
跃龙教育教务处。