高考数学一轮复习考点讲练解答题增分专项五高考中的解析几何(文)(江苏专用)PPT课件
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第九章解析几何第一节直线与方程教案理解析版
１．直线的倾斜角（１）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.（２）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π）．２．斜率公式（１）直线l的倾斜角为α错误!，则斜率k＝tan_α.（２）P１（x１，y１），P２（x２，y２）在直线l上，且x１≠x２，则l的斜率k＝错误!.３．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y—y0＝k（x—x0）不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式错误!＝错误!不含直线x＝x１（x１≠x２）和直线y＝y１（y１≠y２）截距式错误!＋错误!＝１不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A２＋B２≠0平面内所有直线都适用[小题体验]１．若过点M（—２，m），N（m,４）的直线的斜率等于１，则m的值为________．答案：１２．已知a≠0，直线ax＋my—５m＝0过点（—２,１），则此直线的斜率为________．答案：２３．已知三角形的三个顶点A（—５,0），B（３，—３），C（0,２），则BC边上中线所在的直线方程为________．解析：由已知，得BC的中点坐标为错误!，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝—错误!，故BC边上的中线所在直线方程为y＋错误!＝—错误!错误!，即x＋１３y＋５＝0．答案：x＋１３y＋５＝0４．已知直线l：ax＋y—２—a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.解析：令x＝0，则l在y轴的截距为２＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为１＋错误!.依题意２＋a＝１＋错误!，解得a＝１或a＝—２．答案：１或—２１．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．２．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．３．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]１．若直线l经过点A（１,２），且倾斜角是直线y＝x＋３的倾斜角的２倍，则直线l的方程为____________．解析：因为直线y＝x＋３的倾斜角为α＝４５°，所以所求直线l的倾斜角为２α＝90°，所以直线l 的方程为x＝１．答案：x＝１２．过点M（３，—４），且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：１若直线过原点，则k＝—错误!，所以y＝—错误!x，即４x＋３y＝0．２若直线不过原点．设错误!＋错误!＝１，即x＋y＝a.则a＝３＋（—４）＝—１，所以直线的方程为x＋y＋１＝0．答案：４x＋３y＝0或x＋y＋１＝0错误!错误![题组练透]１．（２0１9·启东中学检测）倾斜角为１３５°，在y轴上的截距为—１的直线方程是________．解析：直线的斜率为k＝tan １３５°＝—１，所以直线方程为y＝—x—１，即x＋y＋１＝0．答案：x＋y＋１＝0２．（２0１8·绥化一模）直线x sin α＋y＋２＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：因为直线x sin α＋y＋２＝0的斜率k＝—sin α，又—１≤sin α≤１，所以—１≤k≤１．设直线x sin α＋y＋２＝0的倾斜角为θ，所以—１≤tan θ≤１，而θ∈[0，π），故倾斜角的取值范围是错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!３．若点A（４,３），B（５，a），C（6,５）三点共线，则a的值为________．解析：因为k AC＝错误!＝１，k AB＝错误!＝a—３．由于A，B，C三点共线，所以a—３＝１，即a ＝４．答案：４４．已知线段P Q两端点的坐标分别为P（—１,１）和Q（２,２），若直线l：x＋my＋m＝0与线段P Q有交点，则实数m的取值范围是________．解析：如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A（0，—１），当m≠0时，k Q A＝错误!，k PA＝—２，k l＝—错误!.结合图象知，若直线l与P Q有交点，应满足—错误!≤—２或—错误!≥错误!.解得0＜m≤错误!或—错误!≤m＜0；当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段P Q有交点．所以实数m的取值范围为错误!.答案：错误![谨记通法]１．倾斜角α与斜率k的关系当α∈错误!且由0增大到错误!错误!时，k的值由0增大到＋∞.当α∈错误!时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由错误!错误!增大到π（α≠π）时，k的值由—∞趋近于0（k≠0）．２．斜率的２种求法（１）定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．（２）公式法：若已知直线上两点A（x１，y１），B（x２，y２），一般根据斜率公式k＝错误!（x１≠x）求斜率．２错误!错误![典例引领]（１）求过点A（１,３），斜率是直线y＝—４x的斜率的错误!的直线方程；（２）求经过点A（—５,２），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的２倍的直线方程．解：（１）设所求直线的斜率为k，依题意k＝—４×错误!＝—错误!.又直线经过点A（１,３），因此所求直线方程为y—３＝—错误!（x—１），即４x＋３y—１３＝0．（２）当直线不过原点时，设所求直线方程为错误!＋错误!＝１，将（—５,２）代入所设方程，解得a＝—错误!，所以直线方程为x＋２y＋１＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则—５k＝２，解得k＝—错误!，所以直线方程为y＝—错误!x，即２x＋５y＝0．故所求直线方程为２x＋５y＝0或x＋２y＋１＝0．[由题悟法]求直线方程的２个注意点（１）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．（２）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零）．[即时应用]１．过点P（6，—２），且在x轴上的截距比在y轴上的截距大１的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为错误!＋错误!＝１，则错误!＋错误!＝１，解得a＝２或a＝１，则直线方程为错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１，即２x＋３y—6＝0或x＋２y—２＝0．答案：２x＋３y—6＝0或x＋２y—２＝0２．在△ABC中，已知A（５，—２），B（7,３），且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________．解析：设C（x0，y0），则M错误!，N错误!.因为点M在y轴上，所以错误!＝0，所以x0＝—５．因为点N在x轴上，所以错误!＝0，所以y0＝—３，即C（—５，—３），所以M错误!，N（１,0），所以直线MN的方程为错误!＋错误!＝１，即５x—２y—５＝0．答案：５x—２y—５＝0错误!错误![锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：（１）与基本不等式相结合的最值问题；（２）与导数的几何意义相结合的问题；（３）与圆相结合求直线方程的问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题１．（２0１9·如皋检测）过点P（２,１）的直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点．（１）当OA·OB最小时，求直线l的方程；（２）当２OA＋OB最小时，求直线l的方程．解：设直线l的方程为y—１＝k（x—２）（k＜0），则l与x轴，y轴正半轴分别交于A错误!，B（0,１—２k）两点．（１）OA·OB＝错误!·（１—２k）＝４＋（—４k）＋错误!≥４＋２错误!＝8，当且仅当—４k＝—错误!，即k＝—错误!时取得最小值8．故当OA·OB最小时，所求直线l的方程为y—１＝—错误!（x—２），即x＋２y—４＝0．（２）２OA＋OB＝２错误!＋（１—２k）＝５＋错误!＋（—２k）≥５＋２错误!＝9，当且仅当—错误!＝—２k，即k＝—１时取得最小值9．故当２OA＋OB最小时，所求直线l的方程为y—１＝—（x—２），即x＋y—３＝0．角度二：与导数的几何意义相结合的问题２．设P为曲线C：y＝x２＋２x＋３上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为错误!，则点P横坐标的取值范围为________．解析：由题意知y′＝２x＋２，设P（x0，y0），则k＝２x0＋２．因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为错误!，所以0≤k≤１，即0≤２x0＋２≤１，故—１≤x0≤—错误!.答案：错误!角度三：与圆相结合求直线方程的问题３．（２0１8·徐州调研）已知点P是圆O：x２＋y２＝４上的动点，点A（４,0），若直线y＝kx＋１上总存在点Q，使点Q恰是线段AP的中点，求实数k的取值范围．解：设P（２cos θ，２sin θ），则AP的中点坐标为Q（cos θ＋２，sin θ），因为点Q在直线y＝kx＋１上，所以sin θ＝k（cos θ＋２）＋１，即k＝错误!，即k表示单位圆上的点（cos θ，sin θ）与点（—２,１）连线的斜率．设过点（—２,１）的直线方程为y—１＝k（x＋２），若要满足题意，则圆心到直线kx—y＋２k＋１＝0的距离d＝错误!≤１，解得k∈错误!.[通法在握]处理直线方程综合应用的思路（１）含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．（２）求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]１．已知直线l１：ax—２y＝２a—４，l２：２x＋a２y＝２a２＋４，当0＜a＜２时，直线l１，l２与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.解析：由已知画出简图，如图所示．因为l１：ax—２y＝２a—４，所以当x＝0时，y＝２—a，即直线l１与y轴交于点A（0,２—a）．因为l２：２x＋a２y＝２a２＋４，所以当y＝0时，x＝a２＋２，即直线l２与x轴交于点C（a２＋２,0）．易知l１与l２均过定点（２,２），即两直线相交于点B（２,２）．则四边形AOCB的面积为S＝S△AOB＋S△BOC＝错误!（２—a）×２＋错误!（a２＋２）×２＝错误!２＋错误!≥错误!.所以S min＝错误!，此时a＝错误!.答案：错误!２．已知点P在直线x＋３y—２＝0上，点Q在直线x＋３y＋6＝0上，线段P Q的中点为M（x0，y0），且y0＜x0＋２，求错误!的取值范围．解：依题意可得错误!＝错误!，化简得x0＋３y0＋２＝0，又y0＜x0＋２，k OM＝错误!，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M位于线段AB（不包括端点）上时，k OM＞0，当点M位于射线BN上除B点外时，k OM＜—错误!.所以错误!的取值范围是错误!∪（0，＋∞）．一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·南通模拟）将直线y＝２x绕原点逆时针旋转错误!，则所得直线的斜率为________．解析：设直线y＝２x的倾斜角是α，则tan α＝２，将直线y＝２x绕原点逆时针旋转错误!，则倾斜角变为α＋错误!，∴所得直线的斜率k＝tan错误!＝错误!＝—３．答案：—３２．（２0１8·南通中学月考）过点P（—２,４）且斜率k＝３的直线l的方程为________．解析：由题意得，直线l的方程为y—４＝３[x—（—２）]，即３x—y＋１0＝0．答案：３x—y＋１0＝0３．若直线y＝—２x＋３k＋１４与直线x—４y＝—３k—２的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是________．解析：解方程组错误!得错误!因为直线y＝—２x＋３k＋１４与直线x—４y＝—３k—２的交点位于第四象限，所以k＋6＞0且k＋２＜0，所以—6＜k＜—２．答案：（—6，—２）４．（２0１8·南京名校联考）曲线y＝x３—x＋５上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ（θ∈[0，π）），因为y′＝３x２—１≥—１，所以tan θ≥—１，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!５．（２0１9·无锡模拟）已知直线（a—２）y＝（３a—１）x—１，若这条直线不经过第二象限，则实数a的取值范围是________．解析：若a—２＝0，即a＝２时，直线方程可化为x＝错误!，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a—２≠0，直线方程可化为y＝错误!x—错误!，此时若直线不经过第二象限，则错误!≥0，错误!≥0，解得a＞２．综上，满足条件的实数a的取值范围是[２，＋∞）．答案：[２，＋∞）6．（２0１8·南京调研）已知函数f（x）＝a sin x—b cos x，若f错误!＝f错误!，则直线ax—by＋c＝0的倾斜角为________．解析：由f错误!＝f错误!知函数f（x）的图象关于直线x＝错误!对称，所以f（0）＝f错误!，所以—b＝a，则直线ax—by＋c＝0的斜率为错误!＝—１，故其倾斜角为错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·泰州模拟）倾斜角为１２0°，在x轴上的截距为—１的直线方程是________．解析：由于倾斜角为１２0°，故斜率k＝—错误!.又直线过点（—１,0），所以直线方程为y＝—错误!（x＋１），即错误!x＋y＋错误!＝0．答案：错误!x＋y＋错误!＝0２．（２0１8·泗阳中学检测）若直线l与直线y＝１，x＝7分别交于点P，Q，且线段P Q的中点坐标为（１，—１），则直线l的斜率为________．解析：设P（x,１），Q（7，y），则错误!＝１，错误!＝—１，所以x＝—５，y＝—３，即P（—５,１），Q（7，—３），故直线l的斜率k＝错误!＝—错误!.答案：—错误!３．（２0１9·苏州调研）已知θ∈R，则直线x sin θ—错误!y＋１＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：设直线的倾斜角为α，则tan α＝错误!sin θ，∵—１≤sin θ≤１，∴—错误!≤tan α≤错误!，又α∈[0，π），∴0≤α≤错误!或错误!≤α＜π.答案：错误!∪错误!４．已知两点A（0,１），B（１,0），若直线y＝k（x＋１）与线段AB总有公共点，则实数k的取值范围是________．解析：y＝k（x＋１）是过定点P（—１,0）的直线，k PB＝0，k PA＝错误!＝１，所以实数k的取值范围是[0,１]．答案：[0,１]５．已知点P（x，y）在直线x＋y—４＝0上，则x２＋y２的最小值是________．解析：因为点P（x，y）在直线x＋y—４＝0上，所以y＝４—x，所以x２＋y２＝x２＋（４—x）２＝２（x—２）２＋8，当x＝２时，x２＋y２取得最小值8．答案：86．（２0１9·南京模拟）过点P（２,３）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________．解析：若直线的截距不为0，可设为错误!＋错误!＝１，把P（２,３）代入，得错误!＋错误!＝１，a ＝５，直线方程为x＋y—５＝0．若直线的截距为0，可设为y＝kx，把P（２,３）代入，得３＝２k，k＝错误!，直线方程为３x—２y ＝0．综上，所求直线方程为x＋y—５＝0或３x—２y＝0．答案：x＋y—５＝0或３x—２y＝07．已知直线l：y＝kx＋１与两点A（—１,５），B（４，—２），若直线l与线段AB相交，则实数k 的取值范围是______________．解析：易知直线l：y＝kx＋１的方程恒过点P（0,１），如图，∵k PA＝—４，k PB＝—错误!，∴实数k的取值范围是（—∞，—４]∪错误!.答案：（—∞，—４]∪错误!8．若直线l：错误!＋错误!＝１（a＞0，b＞0）经过点（１,２），则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l：错误!＋错误!＝１（a＞0，b＞0）可知直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值，即求a＋b的最小值．由直线经过点（１,２）得错误!＋错误!＝１．于是a＋b＝（a＋b）·错误!＝３＋错误!＋错误!，因为错误!＋错误!≥２错误!＝２错误!错误!，所以a＋b≥３＋２错误!，故直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为３＋２错误!.答案：３＋２错误!9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为３，分别求满足下列条件的直线l 的方程：（１）过定点A（—３,４）；（２）斜率为错误!.解：（１）设直线l的方程为y＝k（x＋３）＋４，它在x轴，y轴上的截距分别是—错误!—３,３k＋４，由已知，得（３k＋４）错误!＝±6，解得k１＝—错误!或k２＝—错误!.故直线l的方程为２x＋３y—6＝0或8x＋３y＋１２＝0．（２）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝错误!x＋b，它在x轴上的截距是—6b，由已知，得|—6b·b|＝6，所以b＝±１．所以直线l的方程为x—6y＋6＝0或x—6y—6＝0．１0．已知直线l的方程为（m２—２m—３）x＋（２m２＋m—１）y＋6—２m＝0．（１）求实数m的取值范围；（２）若直线l的斜率不存在，求实数m的值；（３）若直线l在x轴上的截距为—３，求实数m的值；（４）若直线l的倾斜角是４５°，求实数m的值．解：（１）当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m２—２m—３＝0，解得m＝—１或m＝３；令２m２＋m—１＝0，解得m＝—１或m＝错误!.所以实数m的取值范围是（—∞，—１）∪（—１，＋∞）．（２）由（１）易知，当m＝错误!时，方程表示的直线的斜率不存在．（３）依题意，有错误!＝—３，所以３m２—４m—１５＝0，所以m＝３或m＝—错误!，由（１）知所求m＝—错误!.（４）因为直线l的倾斜角是４５°，所以斜率为１．由—错误!＝１，解得m＝错误!或m＝—１（舍去）．所以直线l的倾斜角为４５°时，m＝错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·无锡期末）过点（２,３）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB（O为坐标原点）面积最小时，直线l的方程为________________．解析：设直线l的斜率为k，且k＜0，所以直线l的方程为y—３＝k（x—２），即kx—y＋３—２k ＝0．令x＝0，得y＝３—２k，所以B（0，３—２k）；令y＝0，得x＝２—错误!，所以A错误!.则△AOB 的面积为S＝错误!（３—２k）错误!＝错误!错误!≥错误!错误!＝１２，当且仅当—错误!＝—４k，即k＝—错误!时等号成立，所以直线l的方程为３x＋２y—１２＝0．答案：３x＋２y—１２＝0２．已知曲线y＝错误!，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y′＝错误!＝错误!，因为e x＞0，所以e x＋错误!≥２错误!＝２（当且仅当e x＝错误!，即x＝0时取等号），所以e x＋错误!＋２≥４，故y′＝错误!≥—错误!（当且仅当x＝0时取等号）．所以当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为错误!，切线的方程为y—错误!＝—错误!（x—0），即x＋４y—２＝0．该切线在x轴上的截距为２，在y轴上的截距为错误!，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝错误!×２×错误!＝错误!.答案：错误!３．已知直线l：kx—y＋１＋２k＝0（k∈R）．（１）证明：直线l过定点；（２）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（３）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解：（１）证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋２）＋１，故无论k取何值，直线l总过定点（—２,１）．（２）直线l的方程为y＝kx＋２k＋１，则直线l在y轴上的截距为２k＋１，要使直线l不经过第四象限，则错误!解得k≥0，故k的取值范围是错误!.（３）依题意，直线l在x轴上的截距为—错误!，在y轴上的截距为１＋２k，所以A错误!，B（0,１＋２k）．又—错误!＜0且１＋２k＞0，所以k＞0．故S＝错误!|OA||OB|＝错误!×错误!×（１＋２k）＝错误!错误!≥错误!（４＋４）＝４，当且仅当４k＝错误!，即k＝错误!时，取等号．故S的最小值为４，此时直线l的方程为x—２y＋４＝0．。
2020版高考数学一轮复习第九章解析几何第五节椭圆教案文(含解析)苏教版(最新整理)
｛ 解析：由已知得
5－k＞0， k－3＞0，，5－k≠k－3. 解得 3＜k＜5 且 k≠4.
3
（江苏专版）2020 版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第五节 椭圆教案 文（含解析）苏教版
答案：（3,4）∪（4，5)
错误! 错误!
[题组练透] x2 1．与椭圆 9 ＋错误!＝1 有相同的焦点，且离心率为错误!的椭圆的标准方程为________． 解析：由椭圆错误!＋错误!＝1，得 a2＝9，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝5,∴该椭圆的焦点坐标为 （± 5，0）．设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝1,a′＞b′＞0，则 c′＝错误!，又错误!＝错误!， 解得 a′＝5。∴b′2＝25－5＝20,∴所求椭圆的标准方程为2x52 ＋2y02 ＝1。 答案：错误!＋错误!＝1 2．(2018·海门中学测试)已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0）,点 F 关于直 线 y＝错误!x 的对称点在椭圆 C 上，求椭圆 C 的标准方程． 解:设点 F 关于 y＝错误!x 的对称点为 P(x0，y0)， 又 F(1，0)，所以错误!解得错误!
［由题悟法］
利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点 P 满足椭圆的定 义，便可直接求解其轨迹方程
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常
求焦点三角形 利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中 PF1＋PF2＝2a 两 边平方是常用技巧
求最值
方程为________． 解析：直线 x－2y＋2＝0 与 x 轴的交点为(－2,0），即为椭圆的左焦点,故 c＝2。 直线 x－2y＋2＝0 与 y 轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故 b＝1,所以 a2＝b2＋c2＝5，
江苏专版高考数学一轮复习第九章解析几何第一节直线与方程教案文含解析苏教版
江苏专版高考数学一轮复习第九章解析几何第一节直线与方程教案文含解析苏教版第一节 直线与方程1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2，则斜率k ＝tan_α. (2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式 名称 方程适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2) 和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用[小题体验]1．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 答案：12．已知a ≠0，直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________． 答案：23．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：由已知，得BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，且直线BC 边上的中线过点A ，则BC 边上中线的斜率k ＝－113，故BC 边上的中线所在直线方程为y ＋12＝－113⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，即x ＋13y ＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝04．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________. 解析：令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a.依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－21．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x ，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．若直线l 经过点A (1,2)，且倾斜角是直线y ＝x ＋3的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为____________．解析：因为直线y ＝x ＋3的倾斜角为α＝45°，所以所求直线l 的倾斜角为2α＝90°，所以直线l 的方程为x ＝1.答案：x ＝12．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0. ②若直线不过原点． 设x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0.答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0考点一 直线的倾斜角与斜率 基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·启东中学检测)倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是________．解析：直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.答案：x ＋y ＋1＝02．(2018·绥化一模)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________． 解析：因为直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1.设直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π3．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：44．已知线段P Q 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q(2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段P Q 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k Q A ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m. 结合图象知，若直线l 与P Q 有交点， 应满足－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0＜m ≤12或－23≤m ＜0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段P Q 有交点．所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，121．倾斜角α与斜率k 的关系当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2且由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞.当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．2．斜率的2种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．考点二 直线的方程重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程， 解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2， 解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]1．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为xa ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线方程为x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝02．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．解析：设C (x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋x 02，y 0＋32.因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0. 答案：5x －2y －5＝0 考点三 直线方程的综合应用 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)与圆相结合求直线方程的问题．角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．(2019·如皋检测)过点P (2,1)的直线l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点． (1)当OA ·OB 最小时，求直线l 的方程； (2)当2OA ＋OB 最小时，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )两点． (1)OA ·OB ＝⎝⎛⎭⎪⎫2－1k ·(1－2k )＝4＋(－4k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥4＋2－4k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝8，当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时取得最小值8.故当OA ·OB 最小时，所求直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)2OA ＋OB ＝2⎝⎛⎭⎪⎫2－1k ＋(1－2k )＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＋(－2k )≥5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ·－2k ＝9，当且仅当－2k＝－2k ，即k ＝－1时取得最小值9.故当2OA ＋OB 最小时，所求直线l 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0. 角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．解析：由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 角度三：与圆相结合求直线方程的问题3．(2018·徐州调研)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的动点，点A (4,0)，若直线y ＝kx ＋1上总存在点Q ，使点Q 恰是线段AP 的中点，求实数k 的取值范围．解：设P (2cos θ，2sin θ)，则AP 的中点坐标为Q(cos θ＋2，sin θ)， 因为点Q 在直线y ＝kx ＋1上，所以sin θ＝k (cos θ＋2)＋1，即k ＝sin θ－1cos θ＋2，即k 表示单位圆上的点(cos θ，sin θ)与点(－2,1)连线的斜率． 设过点(－2,1)的直线方程为y －1＝k (x ＋2)，若要满足题意，则圆心到直线kx －y ＋2k ＋1＝0的距离d ＝|2k ＋1|k 2＋1≤1，解得k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0. [通法在握]处理直线方程综合应用的思路(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析：由已知画出简图，如图所示． 因为l 1：ax －2y ＝2a －4， 所以当x ＝0时，y ＝2－a ， 即直线l 1与y 轴交于点A (0,2－a )． 因为l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4， 所以当y ＝0时，x ＝a 2＋2， 即直线l 2与x 轴交于点C (a 2＋2,0)．易知l 1与l 2均过定点(2,2)，即两直线相交于点B (2,2)．则四边形AOCB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △BOC ＝12(2－a )×2＋12(a 2＋2)×2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154≥154.所以S min ＝154，此时a ＝12.答案：122．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段P Q 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0＜x 0＋2，求y 0x 0的取值范围．解：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0＜x 0＋2，k OM＝y 0x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM ＞0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM ＜－13.所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通模拟)将直线y ＝2x 绕原点逆时针旋转π4，则所得直线的斜率为________．解析：设直线y ＝2x 的倾斜角是α，则tan α＝2，将直线y ＝2x 绕原点逆时针旋转π4，则倾斜角变为α＋π4，∴所得直线的斜率k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3. 答案：－32．(2018·南通中学月考)过点P (－2,4)且斜率k ＝3的直线l 的方程为________． 解析：由题意得，直线l 的方程为y －4＝3[x －(－2)]，即3x －y ＋10＝0. 答案：3x －y ＋10＝03．若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限， 所以k ＋6＞0且k ＋2＜0，所以－6＜k ＜－2. 答案：(－6，－2)4．(2018·南京名校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π5．(2019·无锡模拟)已知直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1，若这条直线不经过第二象限，则实数a 的取值范围是________．解析：若a －2＝0，即a ＝2时，直线方程可化为x ＝15，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a －2≠0，直线方程可化为y ＝3a －1a －2x －1a －2，此时若直线不经过第二象限，则3a －1a －2≥0，1a －2≥0，解得a ＞2. 综上，满足条件的实数a 的取值范围是[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)6．(2018·南京调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为________．解析：由f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为a b ＝－1，故其倾斜角为3π4.答案：3π4二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·泰州模拟)倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是________． 解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝ －3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.答案：3x ＋y ＋3＝02．(2018·泗阳中学检测)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析：设P (x,1)，Q(7，y )，则x ＋72＝1，y ＋12＝－1，所以x ＝－5，y ＝－3，即P (－5,1)，Q(7，－3)，故直线l 的斜率k ＝－3－17＋5＝－13.答案：－133．(2019·苏州调研)已知θ∈R ，则直线x sin θ－3y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：设直线的倾斜角为 α，则tan α＝33sin θ， ∵－1≤sin θ≤1，∴－33≤tan α≤33， 又α∈[0，π)，∴0≤α≤π6或5π6≤α＜π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π4．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k PA ＝1－00－－1＝1，所以实数k 的取值范围是[0,1]． 答案：[0,1]5．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：因为点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，所以y ＝4－x ，所以x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.答案：86．(2019·南京模拟)过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________．解析：若直线的截距不为0，可设为x a ＋y a＝1，把P (2,3)代入，得2a ＋3a＝1，a ＝5，直线方程为x ＋y －5＝0.若直线的截距为0，可设为y ＝kx ，把P (2,3)代入，得3＝2k ，k ＝32，直线方程为3x －2y ＝0.综上，所求直线方程为x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0. 答案：x ＋y －5＝0或3x －2y ＝07．已知直线l ：y ＝kx ＋1与两点A (－1,5)，B (4，－2)，若直线l 与线段AB 相交，则实数k 的取值范围是______________．解析：易知直线l ：y ＝kx ＋1的方程恒过点P (0,1)， 如图，∵k PA ＝－4，k PB ＝－34，∴实数k 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞. 答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞8．若直线l ：x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)可知直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b .求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b≥2b a ·2ab＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a ＝2a b 时取等号，所以a ＋b ≥3＋22，故直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为3＋2 2.答案：3＋2 29．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，所以b ＝±1.所以直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)求实数m 的取值范围；(2)若直线l 的斜率不存在，求实数m 的值； (3)若直线l 在x 轴上的截距为－3，求实数m 的值； (4)若直线l 的倾斜角是45°，求实数m 的值．解：(1)当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 令m 2－2m －3＝0，解得m ＝－1或m ＝3； 令2m 2＋m －1＝0，解得m ＝－1或m ＝12.所以实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． (2)由(1)易知，当m ＝12时，方程表示的直线的斜率不存在．(3)依题意，有2m －6m 2－2m －3＝－3，所以3m 2－4m －15＝0，所以m ＝3或m ＝－53，由(1)知所求m ＝－53.(4)因为直线l 的倾斜角是45°，所以斜率为1.由－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43或m ＝－1(舍去)．所以直线l 的倾斜角为45°时，m ＝43.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·无锡期末)过点(2,3)的直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB (O 为坐标原点)面积最小时，直线l 的方程为________________．解析：设直线l 的斜率为k ，且k ＜0，所以直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.令x ＝0，得y ＝3－2k ，所以B (0，3－2k )；令y ＝0，得x ＝2－3k，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫2－3k，0.则△AOB 的面积为S ＝12(3－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋6－9k －4k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k·－4k ＝12，当且仅当－9k ＝－4k ，即k ＝－32时等号成立，所以直线l 的方程为3x ＋2y －12＝0.答案：3x ＋2y －12＝02．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－exe x＋12＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x ＞0，所以e x＋1e x ≥2e x·1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：123．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k＜0且1＋2k ＞0，所以k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
江苏省高三数学专题复习 专题五 解析几何过关提升 文
专题五 解析几何专题过关·提升卷(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．(2015·长沙调研)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝________． 2．(2015·福建高考改编)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且PF 1＝3，则PF 2＝________．3．(2015·北京高考改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是________．4．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(其中O 为坐标原点)，则实数a 的值为________．5．(2015·广东高考改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为________．6．(2015·长沙模拟)双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为F ，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与此双曲线的两条渐近线分别交于点A ，B (不同于O 点)，则|AB |＝________． 7．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．8．(2015·唐山调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为________．9．(2015·重庆高考改编)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝________．10．(2015·山东高考改编)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．11．(2015·青岛模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为a 2＋b 28，则该双曲线的离心率为________．12．已知动点P (x ，y )在椭圆C ：x 216＋y 212＝1上，点F 为椭圆C 的右焦点，若点Q 满足QF →＝1，且QP →·QF →＝0，则PQ →的最大值为________．13．(2015·衡水中学冲刺卷)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，M 为该双曲线右支上一点，且MF 21，12F 1F 22，MF 22成等差数列，该点到x 轴的距离为c 2，则该双曲线的离心率为________．14．(2015·合肥质检)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN .16．(本小题满分14分)(2015·太原模拟)已知动点A 在椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上，动点B 在直线x ＝－2上，且满足OA →⊥OB →(O 为坐标原点)，椭圆C 上的点M ⎝⎛⎭⎪⎫32，3到两焦点距离之和为4 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝3的位置关系，并证明你的结论．17．(本小题满分14分)(2015·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．18．(本小题满分16分)(2014·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．19.(本小题满分16分)(2015·苏、锡、常、镇模拟)如图，已知椭圆：x 24＋y 2＝1，点A ，B是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于E 、F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．20．(本小题满分16分)(2012·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．已知点(1，e )和⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，32都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P . (ⅰ)若AF 1－BF 2＝62，求直线AF 1的斜率； (ⅱ)求证：PF 1＋PF 2是定值．专题过关·提升卷1．9 [圆C 1：x 2＋y 2＝1的圆心C 1(0，0)，半径r 1＝1.圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0的圆心为C 2(3，4)，半径为r 2＝25－m .由于两圆外切，则|C 1C 2|＝r 1＋r 2，所以5＝1＋25－m ，解之得m ＝9.]2．9 [由双曲线定义，|PF 2－PF 1|＝6，又PF 1＝3，知点P 在双曲线的左支上，则PF 2－PF 1＝6.所以PF 2＝9.]3．(x －1)2＋(y －1)2＝2 [因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.] 4．±1 [∵|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，∴以OA →，OB →为邻边作出的平行四边形OACB 为矩形， 则OA →⊥OB →，所以△OAB 为直角三角形，因此AB ＝ 2.于是圆心O 到直线x ＋y ＝a 的距离d ＝AB 2＝22，从而，得|0＋0－a |12＋12＝22，∴a ＝±1.] 5.x 216－y 29＝1 [因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.]6．2 3 [由双曲线x 2－y 23＝1，右焦点F (2，0)，渐近线方程分别为y ＝±3x ，代入圆F 的方程(x －2)2＋y 2＝4，得x ＝1，y ＝± 3. 故AB ＝2 3.]7.2555[圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×（－1）－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫3552＝2555.]8.3－1 [设F (－c ，0)，点A (m ，n )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ·（－3）＝－1，3（m －c ）2＋n 2＝0，解之得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，32c . 代入椭圆方程，有c 24a 2＋3c 24b2＝1.又b 2＝a 2－c 2代入，得c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0. 所以e 4－8e 2＋4＝0，e 2＝4－23，e ＝3－1.] 9．6 [圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4， 圆心为C (2，1)，半径为r ＝2， 因此2＋a ×1－1＝0，a ＝－1， 即A (－4，－1)，AB ＝AC 2－r 2＝（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6.]10．－34或－43[圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心M (－3，2)，半径r ＝1.点N (－2，－3)关于y 轴的对称点N ′(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点N ′(2，－3)且斜率存在，∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －(2k ＋3)＝0. ∵反射光线与已知圆相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0， 解得k ＝－34或k ＝－43.]11.103[设P (x P ，y P )，依题设x P >0，且y P >0. 由S △OFP ＝12·c ·y P ＝a 2＋b 28＝c 28，∴y P ＝c4.又直线PF 的方程为y ＝－(x －c )，∴x P ＝3c4，又点P 在双曲线的渐近线bx －ay ＝0上， ∴3c 4·b －ac4＝0，则a ＝3b ，c ＝10b ， 故双曲线的离心率e ＝ca ＝103.] 12.35 [如图所示，由方程x 216＋y 212＝1知：顶点A (－4，0)，B (4，0)，右焦点F (2，0)．又|QF →|＝1，∴点Q 的轨迹是以焦点F (2，0)为圆心，以1为半径的圆． 由QP →·QF →＝0，知PQ ⊥FQ .因此直线PQ 是圆F 的切线，且Q 为切点， ∴PQ 2＝PF 2－1，当PF 最长时，PQ 取最大值． 当点P 与椭圆的左顶点A 重合时，PF 有最大值AF ＝6. 所以|PQ →|的最大值为62－1＝35.] 13. 2 [依题意，MF 21＋MF 22＝F 1F 22.∴△MF 1F 2是以M 为直角顶点的直角三角形． 因此MF 1·MF 2＝F 1F 2·c 2＝2c ·c2＝c 2.又MF 21＋MF 22＝(MF 1－MF 2)2＋2MF 1MF 2＝4c 2.∴(2a )2＋2c 2＝4c 2，则c 2＝2a 2， 故双曲线的离心率e ＝ca＝ 2.]14．x 2＋32y 2＝1 [设点A 在点B 上方，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)， 由AF 1＝3F 1B ，得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2.代入方程25（1－b 2）9＋19b 2＝1，得b 2＝23，故所求椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.]15．解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆C 的圆心(2，3)在l 上，所以MN ＝2.16．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝43，9a 2＋34b2＝1，∴a 2＝12，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为y 212＋x 23＝1. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝3相切，证明如下： 由题意可设A (x 0，y 0)，B (－2，t )(t ∈R )，则直线AB 的方程为(y 0－t )x －(x 0＋2)y ＋(tx 0＋2y 0)＝0， ∵OA →⊥OB →，∴2x 0＝ty 0，∴t ＝2x 0y 0，∵动点A 在椭圆C 上，∴y 2012＋x 203＝1，∴y 20＝12－4x 20，∴原点O 到直线AB 的距离d ＝|tx 0＋2y 0|（y 0－t ）2＋（x 0＋2）2＝|tx 0＋2y 0|y 20－2ty 0＋t 2＋x 20＋4x 0＋4＝|tx 0＋2y 0|y 20＋t 2＋x 20＋4＝2|x 20＋y 20|x 20y 20＋y 40＋4x 20＋4y 20＝6|4－x 20|12（x 40－8x 20＋16）＝3， ∴直线AB 与圆x 2＋y 2＝3相切．17．解 (1)由点P (0，1)在椭圆上，知b ＝1， 又离心率e ＝c a ＝22且a 2＝b 2＋c 2.解得c 2＝1，a 2＝2， 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M ，0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线PA 的方程为y －1＝n －1mx . 所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )． 设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得OM OQ ＝OQ ON”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2. 故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)． 18．解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．(1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上， 所以169a 2＋19b2＝1.解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋y b＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋y b ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c 2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2ca 2＋c 2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （a 2－c 2）a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b （a 2－c 2）a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－b c ，且F 1C ⊥AB ，所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝55. 19．解 (1)依题设得椭圆的顶点A (2，0)，B (0，1)，则直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0，设EF 的方程为y ＝kx (k >0)．如题图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，联立直线l 与椭圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx消去y 得方程(1＋4k 2)x 2＝4，则x 2＝－x 1＝21＋4k 2，由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2； 由D 在AB 上知x 0＋2kx 0－2＝0，得x 0＝21＋2k. 所以21＋2k ＝1071＋4k2，化简得24k 2－25k ＋6＝0， 解之得k ＝23或k ＝38. (2)根据点到直线的距离公式知，点A ，B 到EF 的距离分别为 h 1＝2k1＋k 2，h 2＝11＋k 2.又EF ＝41＋k 21＋4k 2，所以四边形AEBF 的面积为S ＝12EF (h 1＋h 2)＝2（1＋2k ）1＋4k2 ＝21＋4k 2＋4k 1＋4k 2＝21＋4k1＋4k 2 ＝21＋44k ＋1k≤22， 当且仅当4k ＝1k ，即当k ＝12时，取等号． 所以S 的最大值为2 2.20．解 (1)由题设知a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca，由点(1，e )在椭圆上， 得1a 2＋c 2a 2b 2＝1，解得b 2＝1，于是c 2＝a 2－1， 又点⎝⎛⎭⎪⎫e ，32在椭圆上，所以e 2a 2＋34b 2＝1，即a 2－1a 4＋34＝1，解得a 2＝2. 因此，所求椭圆的方程是x 22＋y 2＝1. (2)由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，又直线AF 1与BF 2平行，所以可设直线AF 1的方程为x ＋1＝my ，直线BF 2的方程为x －1＝my .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＞0，y 2＞0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1x 1＋1＝my 1，得(m 2＋2)y 21－2my 1－1＝0，解得y 1＝m ＋2m 2＋2m 2＋2， 故AF 1＝（x 1＋1）2＋（y 1－0）2＝（my 1）2＋y 21 ＝2（m 2＋1）＋m m 2＋1m 2＋2.① 同理，BF 2＝2（m 2＋1）－m m 2＋1m 2＋2.② (ⅰ)由①②得AF 1－BF 2＝2m m 2＋1m 2＋2，解2m m 2＋1m 2＋2＝62得m 2＝2，注意到m ＞0， 故m ＝ 2.所以直线AF 1的斜率为1m ＝22. (ⅱ)证明 因为直线AF 1与BF 2平行，所以PB PF 1＝BF 2AF 1，于是PB ＋PF 1PF 1＝BF 2＋AF 1AF 1，故PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2BF 1.由B 点在椭圆上知BF 1＋BF 2＝22， 从而PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)．同理PF 2＝BF 2AF 1＋BF 2·(22－AF 1)． 因此，PF 1＋PF 2＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)＋BF 2AF 1＋BF 2·(22－AF 1)＝22－2AF 1·BF 2AF 1＋BF 2. 又由①②知AF 1＋BF 2＝22（m 2＋1）m 2＋2，AF 1·BF 2＝m 2＋1m 2＋2，所以PF 1＋PF 2＝22－22＝322.因此，PF 1＋PF 2是定值．。
2021年高考数学一轮总复习 能力提升练 解析几何 理 苏教版
2021年高考数学一轮总复习能力提升练解析几何理苏教版一、填空题1．(xx·山东省实验中学诊断)已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a等于________．解析因为直线y＝ax－2的斜率存在且为a，所以－(a＋2)≠0，所以3x－(a＋2)y＋1＝0的斜截式方程为y＝3a＋2x＋1a＋2，由两直线平行，得3a＋2＝a且1a＋2≠－2，解得a＝1或a＝－3.答案1或－32．(xx·洛阳模拟)椭圆x216＋y29＝1的焦距为________．解析由题意知a2＝16，b2＝9，所以c2＝a2－b2＝16－9＝7，所以c＝7，即焦距为2c＝27.答案273．(xx·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于________．解析圆心到直线的距离d＝|－5|32＋42＝1，弦AB的长l＝2r2－d2＝24－1＝2 3.答案2 34．(xx·武汉一模)已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是________________．解析设圆心坐标为C(a,0)，则|AC|＝|BC|，即a－52＋22＝a＋12＋42，解得a＝1，所以半径r＝1＋12＋42＝20＝25，所以圆C的方程是(x－1)2＋y2＝20.答案 (x －1)2＋y 2＝205．(xx·湖州模拟)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的焦点为(5,0)，则该双曲线的离心率等于________．解析 因为双曲线的焦点为(5,0)，所以c ＝5，又a 2＋9＝c 2＝25，所以a 2＝16，a ＝4，所以离心率为e ＝c a ＝54.答案546．(xx·济南一模)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点在直线x －2y －2＝0上，则该抛物线的准线方程为________．解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，代入直线x －2y －2＝0方程，得p2－2＝0，即p ＝4，所以抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－42＝－2.答案 x ＝－27．(xx·郑州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是______________．解析 双曲线的右焦点为(3,0)，双曲线的渐近线为y ＝±22x ，不妨取渐近线y ＝22x ，即2x －2y ＝0，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即r ＝|32|22＋22＝326＝33＝ 3.所以圆的方程为(x －3)2＋y 2＝3.答案 (x －3)2＋y 2＝38．(xx·汕头一模)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆的右焦点为(2,0)，所以由p2＝2，得p ＝4.答案 49．(xx·杭州模拟)已知两点M (－5,0)和N (5,0)，若直线上存在点P ，使|PM |－|PN |＝6，则称该直线为“R 型直线”．给出下列直线：①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x＋1，其中为“R 型直线”的是________．解析 由题意可知，点P 的轨迹是在双曲线的右支上，其中2a ＝6，a ＝3，c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝16.所以双曲线方程为x 29－y 216＝1(x ＞0)．显然当直线y ＝x ＋1与y ＝2和双曲线的右支有交点，所以为“R 型直线”的是①②. 答案 ①②10．(xx·湖州一模)已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．解析 依题意，得F (p,0)，因为AF ⊥x 轴，设A (p ，y )，y >0，y 2＝4p 2，所以y ＝2p .所以A (p,2p )．又点A 在双曲线上，所以p 2a 2－4p 2b 2＝1.又因为c ＝p ，所以c 2a 2－4c2c 2－a2＝1，化简，得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－6⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1＝0.所以e 2＝3＋22，e ＝2＋1.答案2＋111．(xx·兰州一模)已知抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是________．解析 由抛物线定义知，y P ＋1＝5，即y P ＝4，所以有x 2P ＝16，解得x P ＝±4. 答案 ±412．(xx·上海卷)设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA ＝π4.若AB ＝4，BC ＝2，则Γ的两个焦点之间的距离为________．解析 设D 在AB 上，且CD ⊥AB ，AB ＝4，BC ＝2，∠CBA ＝45°，所以有CD ＝1，DB ＝1，AD ＝3，所以有C (1，1)，把C (1,1)代入椭圆的标准方程得1a 2＋1b2＝1，a 2＝b 2＋c 2且2a＝4，解得，b 2＝43，c 2＝83，则2c ＝43 6.答案436 13．已知双曲线x 2－y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则M 到x 轴的距离为________．解析 设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧|m －n |＝2，m 2＋n 2＝12，可得mn ＝4.由△MF 1F 2的面积可得M 到x 轴的距离为423＝233.答案23314．(xx·淄博二模)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为________． 解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，0，由题意知b2－－cc －b2＝53，c ＝2b ，所以c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，即4a 2＝3c 2，所以2a ＝3c ，所以e ＝c a＝23＝233. 答案233二、解答题15．(xx·广东卷改编)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程． 解 (1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ， 则|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ， 即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)， 即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0， 又点P (x 0，y 0)在切线PA 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.16．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解 (1) 设圆P 的半径为r ，则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ，∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |，∴P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆(左顶点除外)，且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)由(1)知2r ＝(|PM |－|PN |)＋2≤|MN |＋2＝4， ∴圆P 的最大半径为r ＝2.此时P 的坐标为(2,0)． 圆P 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.①当l 的倾斜角为90°，方程为x ＝0时，|AB |＝23， ②当l 的倾斜角不为90°， 设l 的方程为y ＝kx ＋b (k ∈R )，⎩⎪⎨⎪⎧|－k ＋b |1＋k 2＝1，|2k ＋b |1＋k 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝24，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－24，b ＝－ 2.∴l 的方程为y ＝24x ＋2，y ＝－24x － 2.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝24x ＋2，化简得7x 2＋8x －8＝0，∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，∴|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或187. 17．(xx·东北三校联考)如图，已知点E (m,0)(m ＞0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解 (1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1，2k 1，同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 12·2k 212＋－2k 12＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取得最小值4. (2)设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －m ，y 2＝4x 得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，2k 1，同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22＋m ，2k 2， ∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2.∴直线MN 的方程为y －2k 1＝k 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．18．(xx·重庆卷)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ ⊥P ′Q ，求圆Q 的标准方程． 解 (1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则－c2a2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b2＝1.由e ＝22，得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4,4])．设P (x 1，y 1)，由题意知，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.因为PQ ⊥P ′Q ，且P ′(x 1，－y 1)，所以QP →·QP ′→＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝0， 即(x 1－x 0)2－y 21＝0. 由椭圆方程及x 1＝2x 0， 得14x 21－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116＝0， 解得x 1＝±463，x 0＝x 12＝±263. 从而|QP |2＝8－x 20＝163. 故这样的圆有两个，其标准方程分别为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2632＋y 2＝163，⎝⎛⎭⎪⎫x －2632＋y 2＝163.]122203 56BB 嚻34259 85D3 藓28454 6F26 漦+Y &\K.24882 6132 愲\=。
高考数学一轮总复习 第九篇 解析几何初步教案 理 苏教版
第九篇 解析几何初步第1讲 直线的方程知 识 梳 理1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. ②倾斜角的范围为[0，π)． (2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α，倾斜角是90°的直线斜率不存在． ②过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2．直线方程的五种形式111222(1)若x 1≠x 2，且y 1≠y 2时，方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. (2)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1. (3)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1. 4．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．辨 析 感 悟1．对直线的倾斜角与斜率的理解(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(³) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°.(³)(3)(教材习题改编)若三点A (2,3)，B (a,1)，C (0,2)共线，则a 的值为－2.(√) 2．对直线的方程的认识(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．(³)(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．(√)(6)直线l 过点P (1,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为x ＋y －3＝0.(³) [感悟²提升]1．直线的倾斜角与斜率的关系 斜率k 是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k ＝tan α.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率，如(1)． 2．三个防范 一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围，如(2)；二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论，如(4)；三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论，如(6).考点一 直线的倾斜角和斜率【例1】 (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．(2)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.(2)依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π (2)－13 规律方法 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．【训练1】 经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α的范围． 解 法一如图所示，k PA ＝－2－ －11－0＝－1，k PB ＝1－ －12－0＝1，由图可观察出：直线l 倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.法二 由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＋1＝kx ，即kx －y －1＝0.∵A ，B 两点在直线的两侧或其中一点在直线l 上． ∴(k ＋2－1)(2k －1－1)≤0，即2(k ＋1)(k －1)≤0. ∴－1≤k ≤1.∴直线l 的倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.考点二 求直线的方程【例2】 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14.(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5.解 (1)法一 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二 由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0， 设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14³3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5， 即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －1 ，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行) 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.规律方法 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况． 【训练2】 △ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由点斜式得直线DE 的方程为y－2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.【例3】 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如右图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．审题路线 根据截距式设所求直线l 的方程⇒把点P 代入，找出截距的关系式⇒运用基本不等式求S △ABO ⇒运用取等号的条件求出截距⇒得出直线l 的方程． 解 设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1.∴1＝3a ＋2b ≥26ab，即ab ≥24.∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4.△ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为：x 6＋y4＝1.即2x ＋3y －12＝0.规律方法 (1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的某函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．【训练3】 在例3的条件下，求直线l 在两轴上的截距之和最小时直线l 的方程． 解 设l 的斜率为k (k ＜0)，则l 的方程为y ＝k (x －3)＋2，令x ＝0，得B (0,2－3k )，令y＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，∴l 在两轴上的截距之和为2－3k ＋3－2k＝5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －3k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ≥5＋26，当且仅当k ＝－63时，等号成立． ∴k ＝－63时，l 在两轴上截距之和最小， 此时l 的方程为6x ＋3y －36－6＝0.1．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 2．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．思想方法9——分类讨论思想在求直线方程中的应用【典例】 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程．解 (1)当k ＝0时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为y ＝12.(2)当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G (a,1)． 所以A 与G 关于折痕所在的直线对称， 有k AG ²k ＝－1，1ak ＝－1⇒a ＝－k .故G 点坐标为G (－k,1)，从而折痕所在的直线与AG 的交点坐标(线段AG 的中点)为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，12. 折痕所在的直线方程为y －12＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 2，即y ＝kx ＋k 22＋12.∴k ＝0时，y ＝12；k ≠0时，y ＝kx ＋k 22＋12.[反思感悟] (1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论．(2)本题需对斜率k 为0和不为0进行分类讨论，易错点是忽略斜率不存在的情况． 【自主体验】1．若直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为____________________．解析 若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为52－42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －32k 2＋1，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x＋4y ＋15＝0.答案 x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝02．已知两点A (－1,2)，B (m,3)，则直线AB 的方程为________． 解析 当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1， 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1), 即y ＝1m ＋1(x ＋1)＋2. 答案 x ＝－1或y ＝1m ＋1(x ＋1)＋2基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为________．解析 直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为α∈[0，π)，所以α＝π3.答案π32．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.则直线l 的方程为________．解析 由点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，即3x ＋4y －14＝0. 答案 3x ＋4y －14＝03．(2014²长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案 44．(2014²泰州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________. 解析 令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k3.则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案 －245．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m ＝________. 解析 由题意可知2m 2＋m －3≠0，即m ≠1且m ≠－32，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m2－3m －2＝0，解得m ＝2或－12.答案 2或－126．(2014²佛山调研)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足________．①ab >0，bc <0；②ab >0，bc >0；③ab <0，bc >0；④ab <0，bc <0.解析 由题意，令x ＝0，y ＝－c b >0；令y ＝0，x ＝－c a>0.即bc <0，ac <0，从而ab ＞0. 答案 ①7．(2014²淮阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l 的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析 设所求直线的方程为x a ＋yb＝1，∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |²|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 二、解答题9．(2014²临沂月考)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，当然相等．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， 得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ a ＋1 ＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－ a ＋1 ＝0，a －2≤0.∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]．10．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 存在．理由如下：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，△AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋ －4k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014²北京海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为________．解析 |AB |＝ cos α＋1 2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33. 答案 y ＝33x ＋33或y ＝－33x －332．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是________． 解析如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k PA ＝33，则直线PA 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π6，π23．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析 直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.答案 12二、解答题 4.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ， 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12²m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.第2讲 两条直线的位置关系知 识 梳 理1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直． 2．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式P 1P 2＝ x 1－x 2 2＋ y 1－y 2 2. 特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离OP ＝x 2＋y 2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.辨 析 感 悟1．对两条直线平行与垂直的理解(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.(³) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(³)(3)(2013²天津卷改编)已知过点P (2,2)斜率为－12的直线且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a＝2.(√)2．对距离公式的理解(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.(³) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√) (6)(教材习题改编)两平行直线2x －y ＋1＝0,4x －2y ＋1＝0间的距离是0.(³) [感悟²提升]三个防范 一是在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．如(2)中忽视了斜率不存在的情况；二是求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式，如(4)； 三是求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x ，y 的系数对应相同，如(6).考点一 两条直线平行与垂直【例1】 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)l 1⊥l 2时，求a 的值． 解 (1)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－ a ＋1 ，解得a ＝－1，综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1³2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1³6≠0， ∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a a －1 －1³2＝0，a a 2－1 －1³6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－1 ≠6⇒a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．(2)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2²11－a＝－1⇒a ＝23.法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.规律方法 (1)也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 【训练1】 (2014²长沙模拟)已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为________．解析 ∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8，又∵l 2⊥l 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ³(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10. 答案 －10考点二 两条直线的交点问题【例2】 求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．解 法一 先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1，l 2的交点(－1,2)， 故5³(－1)＋3³2＋C ＝0，由此求出C ＝－1，故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三 由于l 过l 1，l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条， 将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0. 其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.规律方法 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有： (1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ∈R ，此直线系不包括l 2)．【训练2】 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．解 法一 设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，并且满足⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3 －2－x 0 －5 4－y 0 －5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝5，因此直线l 的方程为y －25－2＝x － －1 －2－ －1，即3x ＋y ＋1＝0.法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋k ＋2＝0，4x ＋y ＋3＝0，得x ＝－k －5k ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋k ＋2＝0，3x －5y －5＝0，得x ＝－5k －155k －3.则－k －5k ＋4＋－5k －155k －3＝－2，解得k ＝－3. 因此直线l 的方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋1＝0.考点三 距离公式的应用【例3】 已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋ －12＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72，又a ＞0，解得a ＝3. (2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0； 由于P 在第一象限， 所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12 舍去 ；联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．规律方法 (1)在应用两条平行直线间的距离公式时．要注意两直线方程中x ，y 的系数必须对应相同．(2)第(2)问是开放探索性问题，要注意解决此类问题的一般策略．【训练3】 (1)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．(2)已知两条平行直线，l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0间的距离为5，则直线l 1的方程为________．解析 (1)由题意可知所求直线斜率存在，故设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.(2)∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或18.故所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为4x －8y －2＝0， ∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或22.故所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.答案 (1)2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 (2)2x ±4y ＋9＝0或2x ±4y －11＝0两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1²k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．思想方法10——对称变换思想的应用【典例】 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解 (1)设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1²23＝－1，2³x －12－3³y －22＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上． 设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2³⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3³⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2³23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点， 则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.[反思感悟] (1)解决点关于直线对称问题要把握两点：点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直．(2)如果是直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题． (3)若直线l 1，l 2关于直线l 对称，则有如下性质：①若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；②若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上． 【自主体验】 (2013²湖南卷改编)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于________． 解析 以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝x ，从而P (x,0)，x ∈(0,4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4,4－x )，P 2(－x,0)与△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43共线，所以4343＋x ＝43－ 4－x 43－4，求得x ＝43.答案 43基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是________．解析 由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y－1＝0.答案 3x ＋2y －1＝02．(2014²济南模拟)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝________.解析 若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，两直线若平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2.答案 －1或23．已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．解析 ∵直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32.答案 324．(2014²金华调研)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限．解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以kk －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限． 答案 二5．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点________． 解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)． 答案 (0,2)6．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ³1＋2³2＋5＝0， ∴m ＝－9. 答案 －97．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________．解析 由a sin A ＝bsin B ，得b sin A －a sin B ＝0.∴两直线垂直． 答案 垂直8．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°. 其中正确答案的序号是________．解析 很明显直线l 1∥l 2，直线l 1，l 2间的距离为d ＝|1－3|2＝2，设直线m 与直线l 1，l 2分别相交于点B ，A ，则|AB |＝22，过点A 作直线l 垂直于直线l 1，垂足为C ，则|AC |＝d ＝2，则在Rt △ABC 中，sin ∠ABC ＝|AC ||AB |＝222＝12，所以∠ABC ＝30°，又直线l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°. 答案 ①⑤ 二、解答题9．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得： (1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合． 解 (1)由已知1³3≠m (m －2)，即m 2－2m －3≠0， 解得m ≠－1且m ≠3.故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交． (2)当1²(m －2)＋m ²3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)当1³3＝m (m －2)且1³2m ≠6³(m －2)或m ³2m ≠3³6，即m ＝－1时，l 1∥l 2. (4)当1³3＝m (m －2)且1³2m ＝6³(m －2)，即m ＝3时，l 1与l 2重合．10．求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴l 1，l 2的交点为(1,2)，设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线的距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2， 解得k ＝0或43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x＋c ＝0的两个实数根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为________．解析 ∵d ＝|a －b |2，a ＋b ＝－1，ab ＝c ，又|a －b |＝1－4c ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，从而d max ＝22，d min ＝12.答案22，122．(2014²武汉调研)已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0与x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为________． 解析 由两直线垂直，得－1a²2＝－1，解得a ＝2.所以中点P 的坐标为(0,5)．则OP ＝5，在直角三角形中斜边的长度AB ＝2OP ＝2³5＝10，所以线段AB 的长为10. 答案 103．已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，如图，所以四边形的面积S ＝2k 2³2＋(4－k ＋4)³2³12＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18.答案 18二、解答题4．(1)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点Q ，使得Q 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．图1解 (1)如图1，设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，直线l 的斜率为k 1，则k 1²k BB ′＝－1.即3²b －4a＝－1.∴a ＋3b －12＝0.① 又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，∴3³a 2－b ＋42－1＝0.即3a －b －6＝0.②解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．图2(2)如图2，设C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245.∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫117，267，故Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.知 识 梳 理1．圆的标准方程(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)表示圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r (r ＞0)的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4，故有：(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2；(3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 3．P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系 (1)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2，则点P 在圆外； (2)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，则点P 在圆上； (3)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2，则点P 在圆内．4．确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； (3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程．辨 析 感 悟1．对圆的方程的理解(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√) (2)方程x 2＋y 2＝a 2表示半径为a 的圆．(³) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆．(³)(4)(2013²江西卷改编)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.(√)2．对点与圆的位置关系的认识(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.(√) (6)已知圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条．(³) [感悟²提升]1．一个性质 圆心在任一弦的中垂线上，如(4)中可设圆心为(2，b )．2．三个防范 一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号，如(2)中半径应为|a |； 二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件，如(3)；三是过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况，如(6).考点一 求圆的方程【例1】 根据下列条件，求圆的方程．(1)求过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43的圆的方程． (2)已知圆的半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，圆被直线x －y ＝0截得的弦长为4 2. 解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)．① 将P ，Q 点的坐标分别代入①得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20， ②D －3E －F ＝10， ③令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0.④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根， 所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.⑤解②、③、⑤组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. (2)法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝10. 由圆心在直线y ＝2x 上，得b ＝2a .① 由圆在直线x －y ＝0上截得的弦长为42， 将y ＝x 代入(x －a )2＋(y －b )2＝10， 整理得2x 2－2(a ＋b )x ＋a 2＋b 2－10＝0.由弦长公式得 2 a ＋b 2－2 a 2＋b 2－10 ＝42， 化简得a －b ＝±2.②解①、②得a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.法二 根据图形的几何性质：半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形．如图，由勾股定理，可得弦心距d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫4222＝10－8＝ 2. 又弦心距等于圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离， 所以d ＝|a －b |2，即|a －b |2＝ 2.③又已知b ＝2a .④解③、④得a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4. 故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10 或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.规律方法 求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． (2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．【训练1】 (1)(2014²济南模拟)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________． 解析 (1)由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2或－12(舍去)．故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.(2)依题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，将A ，B 点坐标分别代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧5－a 2＋1＝r 2，1－a 2＋9＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，r 2＝10.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.答案 (1)(x －2)2＋(y －1)2＝1 (2)(x －2)2＋y 2＝10考点二 与圆有关的最值问题【例2】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如。
高三数学专题复习-解析几何苏教版知识精讲
高三数学专题复习-解析几何苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 专题复习-解析几何【高考要求】二、基本内容： 直线名称 已知条件直线方程使用范围 示意图 点斜式 ()111y ,x P ，k ()11x x k y y -=- k 存在 斜截式b k ， b kx y += k 存在两点式)y ,x (11（)y ,x 22121121x x x x y y y y --=-- 2121y y ,x x ≠≠截距式 b ,a1by a x =+ 0b ,0a ≠≠一般式0C By Ax =++A 、B 不全为0（二）圆的方程（1）圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（2）圆的标准方程 ：222)()(r b y a x =-+- 圆心为),(b a C ，半径为r ， （3）圆的一般方程：只有当0422>-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x ①表示的曲线才是圆，把形如①的方程称为圆的一般方程（1）当0422>-+F E D 时，①表示以（-2D ，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，方程①只有实数解2D x -=，2Ey -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）; （3）当0422<-+F E D 时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形。
渐 近 线焦点在x 轴上时：0=-bya x 焦点在y 轴上时： 0=-bxa y 图形xyO FlxyO Fl方程)0(22>=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x焦点 )0,2(p )0,2(p-)2,0(p)2,0(p -准线 2p x -= 2p x =2p y -=2p y =【典型例题】例1、过点P （2，1）的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点．求OA OB ⋅取得最小值时直线的方程．解：设直线的方程为1,(0,0),x y a b a b +=>>211a b+=. ∴2228ab b a ab ab =+≥≥于是, ∴8OA OB ab •=≥，即OA OB ⋅的最小值为8 当且仅当a =2b ，即a =4，b =2时取得等号。
苏教版高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 解答题专项 第1课时 定点问题
= 2,即 = 2
2
2,所以椭圆的标准方程为
8
2
+
4
= 1.
（2）过点分别作直线,交椭圆于,两点,设两直线,的斜率分别为1 ,
2 ,且1 + 2 = 8,证明:直线过定点.
0
−0 −2
+
0
= 8,解得0 =
此时直线的方程为 =
综上,直线过定点
1
− ,
2
1
− ,显然过点
2
1
− , −2
2
.
1
− , −2
2
.
1
2
所以
+
1 −2
2 −2
1
2
=
+
1 + − 2 2 + − 2
21 2 + − 2 1 + 2
= 2
1 2 + − 2 1 + 2 + − 2
2
62 − 24 62 − 12
−
2−4
2−4
3
3
=
32 2 − 122 62 2 − 122
02
又因为
4
02
+
3
=
1,所以02
将②代入①可得 3
302
−
4
=3
302
−
②,
4
+ 2 = 3 0 + 2 − 0 ,即 − 2 0 + 2
因为0 ≠ −2,则 = 2,所以直线过定点 2,0 .
2