单项式及单项式系数、次数
道桥中学数学学案稿
年级：七年级科目：数学执笔：吴小波审核：道桥中学数学组
内容：教科书第54—56页，2.1整式：1．单项式
课型：新授时间：09年9月13日
教学目标和要求：
1．理解单项式及单项式系数、次数的概念。
2．会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。
3．初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。
教学重点和难点：
重点：掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。
难点：单项式概念的建立。
学习过程：
一．学前准备
1.自学课本54页到56页，写下疑惑摘要：
2. 青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段，列车在冻土地段的行驶速度是100千米/时，在非冻土地段的行驶速度可以达到120千米/时，请根据这些数据回答下列问题：
列车在冻土地段行驶时，2小时能行驶多少千米？3小时呢？t小时呢？（请列式回答）
解：它行使2小时的路程是
它行使3小时的路程是
它行使t小时的路程是
注意：在含有字母的式子中若出现乘号，通常将乘号写作或。
如：100×a可以写成或
二．自学、合作探究
（一）自学、相信自己
1：用含有字母的式子填空，观察所填式子的特点.
(1)若正方体的的边长是a，则它的表面积是_______,体积是________；
（2）铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔的单价的2.5倍，圆珠笔的单价是_____元；（3）一辆汽车的速度是v千米/小时，行驶t小时所走的路程是_______千米；
(4)设n是一个数，则它的相反数是________；
2：请说出所列代数式的意义。
3：请观察所列代数式包含哪些运算，有何共同运算特征。
（由小组讨论后，经小组推荐人员回答）
（二）思索、交流
1．通过观察及对上面各代数式特征的描述，你能概括出单项式的概念吗？
单项式：由___________________组成的代数式，称为单项式。
而且_____________也是单项式。
2．练习：判断下列各代数式哪些是单项式？
(1)
21
x
；(2)a bc；(3)b2；(4)－5a b2；(5)y；(6)－xy2；(7)－5。
单项式的系数和次数
单项式的系数是指：___________________；（单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写在前面。
）
单项式的次数是指：___________________；
请分别说出单项式 a h 、2r 、a bc 、－m 的系数 和次数 4. 例题： 例1：判断下列各代数式是否是单项式。
如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。
①x ＋1； ②x 1
； ③πr 2； ④－2
3a 2b 。
例2：下面各题的判断是否正确？
①－7xy 2的系数是7； ②－x 2y 3与x 3没有系数； ③－a b 3c 2的次数是0＋3＋2； ④－a 3的系数是－1； ⑤－32x 2y 3的次数是7； ⑥31πr 2
h 的系数是3
1。
5. 游戏：
规则：一个小组学生说出一个单项式，然后指定另一个小组的学生回答他的系数和次数；然后交换，看两小组哪一组回答得快而准。
（三）应用、探究
问题： 用单项式填空，并指出它们的系数和次数：
（1）每包书有12册，n 包书有___________册；
（2）底边长为a ，高为h 的三角形的面积是_________；
（3）一个长方体的长、宽都是a ，高是h ，它的体积是________；
（4）一台电视机原价是a 元，现按原价的9折出售，那么这台电视机现在的售价为____元；
（5）一个长方形的长是0.9，宽是a ，这个长方形的面积是_________．
思考：用字母表示数后，同一个式子在不同的问题中可以表示不同的含义。
例如，在问题
（4）、（5）中，所填的结果都是0.9a ，一个是表示电视机的售价，一个表示长方形的面积，你还能赋予0.9a 一个含义吗？
三、学习体会
四、自我测试
1：填空：
（1）单项式－5y 的系数是_____，次数是_____；
(2) 单项式a3b 的系数是_____，次数是_____；
(3) 单项式 的系数是_____，次数是____；
(4) 单项式 －5πR ² 的系数是_____，次数是_____；
2：选择题
①下列各式中单项式的个数是（ ）
， x ＋1, －2， － ， 0.72xy ，
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
②单项式－x2yz2的系数、次数分别是（ ）
A. 0, 2
B. 0, 4
C. －1, 5
D.1, 4
3：课本练习（第56页 练习1、2） 212ab 3a 33b。
七年级数学上册第三章用字母表示数3.2代数式知识拓展单项式系数次数
单项式、系数、次数由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式(monomial)．单独一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数(coefficient)．例：单项式x 、－a 2b 和mn 8 的系数分别是1、－1和18 ． 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数（degree ）．例：单项式－k 、2xy 2和0.7a 2b 3c 的次数分别是1、3和6．2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，菱形ABCD 中，E. F 分别是AB 、AC 的中点，若EF=3，则菱形ABCD 的周长是（ ）A ．12B ．16C ．20D ．243．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。
那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）A ．()222a b a b -=-B ．()2222a b a ab b +=++C ．()2222a b a ab b -=-+D ．()()22a b a b a b -=+- 4．一次函数满足，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．在同一坐标系中，反比例函数y ＝k x与二次函数y ＝kx 2+k(k≠0)的图象可能为( ) A ． B ．C．D．6．﹣3的绝对值是（）A．﹣3 B．3 C．-13D．137．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝41°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝1．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转11°得到△D1CE1（如图2），此时AB 与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A13B5C．2D．48．一次函数y=kx﹣1的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（）A．（﹣5，3）B．（1，﹣3）C．（2，2）D．（5，﹣1）9．把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-310．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x=－2时，y取最大值；③当m<4时，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=m必有两个不相等的实数根；④直线y=kx+c(k≠0)经过点A，C，当kx+c> ax2＋bx ＋c时，x的取值范围是－4<x<0；其中推断正确的是（）A．①②B．①③C．①③④D．②③④11．如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为( )A．2R B．3R C．2R D．3R12．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（）A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BC D．AD＝BC二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2等_________．14．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于__________．CD=，15．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得8 BC=米，CD与地面成30°角，且此时测得1米的影长为2米，则电线杆的高度为20=__________米．16．如图，AG∥BC，如果AF：FB＝3：5，BC：CD＝3：2，那么AE：EC＝_____．17．已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 .18．已知A、B两地之间的距离为20千米，甲步行，乙骑车，两人沿着相同路线，由A地到B地匀速前行，甲、乙行进的路程s与x（小时）的函数图象如图所示．（1）乙比甲晚出发___小时；（2）在整个运动过程中，甲、乙两人之间的距离随x的增大而增大时，x的取值范围是___．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）重百江津商场销售AB两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A商品和5件B种商品所得利润为1100元．求每件A种商品和每件B 种商品售出后所得利润分别为多少元？由于需求量大A、B两种商品很快售完，重百商场决定再次购进A、B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么重百商场至少购进多少件A种商品？20．（6分）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出45时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价）21．（6分）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？22．（8分）计算532224mmm m-⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭.23．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上；在图中画出以线段AB为一腰，底边长为22的等腰三角形ABE，点E 在小正方形的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长．24．（10分）为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．抽查D厂家的零件为件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为；抽查C厂家的合格零件为件，并将图1补充完整；通过计算说明合格率排在前两名的是哪两个厂家；若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出（3）中两个厂家同时被选中的概率．25．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°．作∠BAC的平分线AD，交BC于D；若AB=10cm，CD=4cm，求△ABD的面积．26．（12分）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．求证：DP是⊙O的切线；若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．27．（12分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】试题分析：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状．选项C左视图与俯视图都是，故选C.2．D【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AD，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解.【详解】Q E、F分别是AC、DC的中点，∴EF是ADCV的中位线，∴2236==⨯=，AD EF∴菱形ABCD的周长44624==⨯=．AD故选：D.【点睛】本题主要考查了菱形的四边形都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键.3．D【解析】【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2﹣b2，乙的面积=（a+b）（a﹣b）．即：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．所以验证成立的公式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：D．【点睛】考点：等腰梯形的性质；平方差公式的几何背景；平行四边形的性质．4．A【解析】试题分析：根据y随x的增大而减小得：k＜0，又kb＞0，则b＜0，故此函数的图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限．故选A．考点：一次函数图象与系数的关系．5．D【解析】【分析】根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．【详解】分两种情况讨论：①当k＜0时，反比例函数y=kx，在二、四象限，而二次函数y=kx2+k开口向上下与y轴交点在原点下方，D符合；②当k＞0时，反比例函数y=kx，在一、三象限，而二次函数y=kx2+k开口向上，与y轴交点在原点上方，都不符．分析可得：它们在同一直角坐标系中的图象大致是D．故选D．【点睛】本题主要考查二次函数、反比例函数的图象特点．6．B【解析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【详解】根据绝对值的性质得：|-1|=1．故选B．【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数. 7．A【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=41°，∠ACD=30°．若旋转角度为11°，则∠ACO=30°+11°=41°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，由勾股定理得：AD1故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.8．C【解析】【分析】根据函数图象的性质判断系数k＞0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论．【详解】∵一次函数y=kx﹣1的图象的y的值随x值的增大而增大，∴k＞0，A、把点（﹣5，3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣45＜0，不符合题意；B、把点（1，﹣3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣2＜0，不符合题意；C、把点（2，2）代入y=kx﹣1得到：k=32＞0，符合题意；D、把点（5，﹣1）代入y=kx﹣1得到：k=0，不符合题意，故选C．【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k＞0是解题的关键．9．B【解析】分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可.详解：（x+1）（x-3）=x2-3x+x-3=x2-2x-3所以a=2，b=-3，故选B．点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键.10．B【解析】【分析】结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案．【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；②若当x=-2时，y取最大值，则由于点A和点B到x=-2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点B的纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A和D；剩下的选项中都有③，所以③是正确的；易知直线y=kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜-4或x＞0，从而④错误．故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题．11．D【解析】【分析】延长BO 交圆于D ，连接CD ，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R ，根据锐角三角函数的定义得BC=3R.【详解】解：延长BO 交⊙O 于D ，连接CD ，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，3，故选D.【点睛】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键.12．C【解析】根据旋转的性质得，∠ABD＝∠CBE=60°, ∠E＝∠C,则△ABD 为等边三角形，即 AD ＝AB=BD,得∠ADB=60°因为∠ABD＝∠CBE=60°，则∠CBD=60°,所以，∠ADB=∠CBD，得AD∥BC.故选C.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2π【解析】试题解析：2222121111ππππ228228AC BC S AC S BC ⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 所以()22212111πππ162π888S S AC BC AB +=+==⨯=．故答案为2π．14．1 2【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．【详解】解：∵∠E=∠ABD，∴tan∠AED=tan∠ABD=ACAB=12．故选D．【点睛】本题利用了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念求解．15．（）米【解析】【分析】过D作DE⊥BC的延长线于E，连接AD并延长交BC的延长线于F，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，再根据勾股定理求出CE，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF，再求出BF，再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可．【详解】如图，过D作DE⊥BC的延长线于E，连接AD并延长交BC的延长线于F．∵CD=8，CD与地面成30°角，∴DE=12CD=12×8=4，根据勾股定理得：．∵1m杆的影长为2m，∴DEEF=12，∴EF=2DE=2×4=8，（）．∵ABBF=12，∴AB=12（28+43）=14+23．故答案为（14+23）．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出AB的影长若全在水平地面上的长BF是解题的关键．16．3:2；【解析】【分析】由AG//BC可得△AFG与△BFD相似,△AEG与△CED相似，根据相似比求解.【详解】假设：AF＝3x,BF＝5x ,∵△AFG与△BFD相似∴AG＝3y,BD＝5y由题意BC:CD＝3:2则CD＝2y∵△AEG与△CED相似∴AE:EC＝ AG:DC＝3:2.【点睛】本题考查的是相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.17．y3>y1>y2.【解析】试题分析：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得：y1=3,y2=5-4,y3=15,∴y3>y1>y2. 考点：二次函数的函数值比较大小.18．2，0≤x≤2或43≤x≤2．【解析】【分析】（2）由图象直接可得答案；（2）根据图象求出甲乙的函数解析式，再求出方程组的解集即可解答【详解】（2）由函数图象可知，乙比甲晚出发2小时．故答案为2．（2）在整个运动过程中，甲、乙两人之间的距离随x的增大而增大时，有两种情况：一是甲出发，乙还未出发时：此时0≤x≤2；二是乙追上甲后，直至乙到达终点时：设甲的函数解析式为：y＝kx，由图象可知，（4，20）在函数图象上，代入得：20＝4k，∴k＝5，∴甲的函数解析式为：y＝5x①设乙的函数解析式为：y＝k′x+b，将坐标（2，0），（2，20）代入得：202k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得2020kb=⎧⎨=-⎩，∴乙的函数解析式为：y＝20x﹣20 ②由①②得52020y xy x=⎧⎨=-⎩，∴43203xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故43≤x≤2符合题意．故答案为0≤x≤2或43≤x≤2．【点睛】此题考查函数的图象和二元一次方程组的解，解题关键在于看懂图中数据三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）200元和100元（2）至少6件【解析】【分析】（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由售出1件A 种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；（2）设购进A 种商品a 件，则购进B 种商品（34﹣a ）件．根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解即可．【详解】解：（1）设A 种商品售出后所得利润为x 元，B 种商品售出后所得利润为y 元．由题意， 得4600351100x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：200100x y =⎧⎨=⎩， 答：A 种商品售出后所得利润为200元，B 种商品售出后所得利润为100元．（2）设购进A 种商品a 件，则购进B 种商品（34﹣a ）件．由题意，得200a+100（34﹣a ）≥4000，解得：a≥6答：威丽商场至少需购进6件A 种商品．20．（1）第一批T 恤衫每件的进价是90元；（2）剩余的T 恤衫每件售价至少要80元.【解析】【分析】（1）设第一批T 恤衫每件进价是x 元，则第二批每件进价是（x+9）元，再根据等量关系：第二批进的件数=第一批进的件数可得方程；（2）设剩余的T 恤衫每件售价y 元，由利润=售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于650元，可列不等式求解.【详解】解：（1）设第一批T 恤衫每件进价是x 元，由题意，得45004950x x 9=+， 解得x=90经检验x=90是分式方程的解，符合题意.答：第一批T 恤衫每件的进价是90元.（2）设剩余的T 恤衫每件售价y 元．由（1）知，第二批购进495099=50件． 由题意，得120×50×45+y×50×15﹣4950≥650， 解得y≥80.答：剩余的T 恤衫每件售价至少要80元.21．（1）50%；（2）今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．【解析】【分析】（1）设年平均增长率为x ，根据“2015年投入资金×（1+增长率）2=2017年投入资金”列出方程，解方程即可；（2）设今年该地有a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万”列不等式求解即可．【详解】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x ，根据题意，得：1280（1+x ）2=1280+1600，解得：x=0.5或x=﹣2.25（舍），答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）设今年该地有a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1000×8×400+（a ﹣1000）×5×400≥5000000，解得：a≥1900，答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.22．26m +【解析】 分析：先计算522m m +--，再做除法，结果化为整式或最简分式. 详解： 532224m m m m -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭()()()2252423m m m m m +---=⋅-- ()222923m m m m --=⋅-- ()()()332223m m m m m -+-=⋅--26m=+.点睛：本题考查了分式的混合运算．解题过程中注意运算顺序．解决本题亦可先把除法转化成乘法，利用乘法对加法的分配律后再求和.23．作图见解析；CE=4.【解析】分析：利用数形结合的思想解决问题即可.详解：如图所示，矩形ABCD和△ABE即为所求；CE=4.点睛：本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题．24．（1）500，90°；（2）380；（3）合格率排在前两名的是C、D两个厂家；（4）P（选中C、D）=16．【解析】试题分析：（1）计算出D厂的零件比例，则D厂的零件数=总数×所占比例，D厂家对应的圆心角为360°×所占比例；（2）C厂的零件数=总数×所占比例；（3）计算出各厂的合格率后，进一步比较得出答案即可；（4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．试题解析：（1）D厂的零件比例=1-20%-20%-35%=25%，D厂的零件数=2000×25%=500件；D厂家对应的圆心角为360°×25%=90°；（2）C厂的零件数=2000×20%=400件，C厂的合格零件数=400×95%=380件，如图：（3）A厂家合格率=630÷（2000×35%）=90%，B厂家合格率=370÷（2000×20%）=92.5%，C厂家合格率=95%，D厂家合格率470÷500=94%，合格率排在前两名的是C、D两个厂家；（4）根据题意画树形图如下：共有12种情况，选中C、D的有2种，则P（选中C、D）=212=16．考点：1.条形统计图；2.扇形统计图；3. 树状图法.25．（1）答案见解析；（2）220cm【解析】【分析】(1)根据三角形角平分线的定义,即可得到AD;(2)过D作于DE⊥ABE,根据角平分线的性质得到DE=CD=4,由三角形的面积公式即可得到结论.【详解】解:(1)如图所示,AD即为所求;(2)如图,过D 作DE⊥AB 于E,∵AD 平分∠BAC,∴DE=CD=4,∴S △ABD =12AB·DE=20cm 2. 【点睛】掌握画角平分线的方法和角平分线的相关定义知识是解答本题的关键.26．（1）证明见解析；（2）2933()22cm p -. 【解析】【分析】（1）连接OD ，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可．（2）求出OP 、DP 长，分别求出扇形DOB 和△ODP 面积，即可求出答案．【详解】解：（1）证明：连接OD ，∵∠ACD=60°，∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．∴∠DOP=180°﹣120°=60°．∵∠APD=30°，∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．∴OD⊥DP．∵OD 为半径，∴DP 是⊙O 切线．（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm ，∴OP=6cm，由勾股定理得：3．∴图中阴影部分的面积22160333()23602ODP DOB S S S cm p p 创=-=创=V 扇形 27．（1）购进A 种树苗1棵，B 种树苗2棵（2）购进A 种树苗9棵，B 种树苗8棵，这时所需费用为1200元【解析】【分析】（1）设购进A 种树苗x 棵，则购进B 种树苗（12﹣x ）棵，利用购进A 、B 两种树苗刚好用去1220元，结合单价，得出等式方程求出即可；（2）结合（1）的解和购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，可找出方案.【详解】解：（1）设购进A 种树苗x 棵，则购进B 种树苗（12﹣x ）棵，根据题意得： 80x+60（12﹣x ）=1220，解得：x=1．∴12﹣x=2．答：购进A 种树苗1棵，B 种树苗2棵．（2）设购进A 种树苗x 棵，则购进B 种树苗（12﹣x ）棵，根据题意得：12﹣x ＜x ，解得：x ＞8.3．∵购进A 、B 两种树苗所需费用为80x+60（12﹣x ）=20x+120，是x 的增函数，∴费用最省需x 取最小整数9，此时12﹣x=8，所需费用为20×9+120=1200（元）． 答：费用最省方案为：购进A 种树苗9棵，B 种树苗8棵，这时所需费用为1200元．。
单项式的知识点
单项式、系数、次数
单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的系数：含字母的单项式中的数字因数
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和
常数项的次数为：0
(1)、3ab ：3是系数，a 的次数1，b 的次数1，所以此单项式的次数为1+1=2。
(2)、-
xy 32：3
2 是系数，x 的次数1，y 的次数1，所以此单项式的次数为1+1=2。
(3)、-mx=-1×m x ，所以-1是系数，x 的次数1，m 的次数1，所以此单项式的次数为1+1=2。
(4)、710xyz2:710是系数，x 的次数1，y 的次数1，z 的次数2，所以此单项式的次数为1+1+2=4。
(5)、25:次数是0.
例1、指出的系数和次数
例2、指出单项式的系数和次数
例3、指出单项式
的系数和次数
多项式命名
多项式中，每个单项式叫做多项式的一个项；每一个项的次数中最高的一个，就叫做这个多项式的次数。
一个多项式是几次几项，就叫几次几项式。
例如：x4+x2-44是四次三项式，就是说这个多项式的最高次数是4次，并且由3个单项式组成。
“一般不写成“4次3项式”，而写成四次三项式。
1、x2-y2是____次____项式
2、a2-2ab+3b2是____次____项式
3、x+1是____次____项式
4、y-2xy-3是____次____项式
5、+3x3+2x2+x+1是____次____项式
6、b3-3a2b2+a3b2-2ab+8是____次____项式。
单项式
找规律
2×1 只眼睛， ______ 4×1 条腿， 一只青蛙一张嘴， ______ 扑通一声跳下水；两只青蛙两张嘴， ______只眼睛， ______条腿 4 ×2 2 ×2 ， 扑通扑通一声跳下水；三只青蛙三张嘴， ______只眼睛， ______ 2 ×3 4 ×3 条腿， 扑通扑通扑通一声跳下水······ 2n 只眼睛，____ 4n 条腿， n只青蛙一张嘴，____ 扑通扑通······扑通一声跳下水······
思考
用含有字母的式子填空 （1）边长为a的正方体的表面积为（ ），体积为（ ） （2）铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔单价的2.5倍，圆
珠 笔的单价是（ 2.5x ）元 （3）一辆汽车的速度是v千米/时，它t小时行驶的路程为（ vt －n ） （4）数n的相反数是（
）
6 ×a ×a
a ×a ×a 2.5x=2.5×x
答案：m≠2，n=2
根据要求构造单项式
写出一个系数为-1，且含有 x 、y 两个字母的三次单项式.
答案：
或
根据要求构造单项式
写出一个系数为-1，且含有 x 、y 两个字母的四次单项式.
答案：
或
或
总结
这节课我们学会了什么？ 1、单项式的概念 数或字母的乘积 单项式中的数字因数 字母指数的和
2、单项式的系数 3、单项式的次数
数 或______ 字母 的______ 乘积 都是____
-n=-1×n
举世瞩目的青藏铁路于2006年7月1日建成通车,实现了 几代中国人梦寐以求的愿望,青藏铁路是世界上海拔最高
、线路最长的高原铁路．
青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段， 列车在冻土地段的行驶速度是100千米/时． 列车在冻土地段行驶时，2小时能行驶多少千米？3小时呢？ t小时呢？ 注意： 解：它2小时行驶的路程是 在含有字母的式子中 100×2=200（千米） 若出现乘号， 3小时行驶的路程是 通常将乘号写作“•” 100×3=300（千米） 或省略不写． t小时行驶的路程是 如：100×a可以写成 100×t=100t（千米） 100•a或100a．
单项式的系数和次数解读
2、字母指数是1的情况
如：单项式10x的次数是 1 ，-3ab3的次数是 4 ，
3、对于单独的一个非零数，规定它的次数为0.
如：常数5，-2，0.7， 2 都是0次单项式.
4、易混淆的情况
5
如：-53a2b4的次数是 6
；4 r3 的次数是
人教版七年级上册
第二章 整式的加减
2.1 整式
深度解读单项式系数和次数
一、单项式系数的解读
单项式的系数：
单项式中的数字因数叫单项式的系数.
况
如：单项式100
t的系数是100
；
2 3
x2
y
3的系数是
2 3
2、隐含数字因数的情况
如：单项式a的系数是1
x2 y3的系数是 -1
3
3
.
当字母指数是1时， “1”省略不写，如 a1写成a，所以a的 指数是1，而不是0.
三、练习巩固
填表
单项式 3x2y2
-7a2
a
0.68mn
8xy2 z3 3
9 r2 23 x2 y4
100
系数 3 -7 1 0.68
8 3
9 23或 8
100
次数 4
21
2
6
2
6
请暂停播放，完成后继续.
3、易弄错数字因数的情况
2a3 的系数是 2
5
5
r 2的系数是
23 x2 y3的系数是 23或 8
在单项式中，当系 数是1或-1时，“1”
通常省略不写
π是圆周率，它是一
个常数，不能当做 普通字母.
二、单项式次数的解读
单项式、多项式、一元一次方程概念集合
单项式、多项式、一元一次方程概念
单项式:由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
次数：所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
多项式：由若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式。
（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）。
项：多项式中每个单项式叫做多项式的项，
多项式的次数：这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。
一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程。
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
必须含有未知数等式的等式才叫方程。
等式不一定是方程，方程一定是等式。
和= 加数+加数另一个加数=和-其中一个加数
被减数=差+减数差被=减数-减数减数=被减数-差，
积=因数×因数另一个因数=积÷一个因数
商=被除数÷除数除数=被除数÷商被除数= 商×除数
解方程的步骤：
⑴有分母先去分母
⑵有括号就去括号
⑶需要移项就进行移项
⑷合并同类项
⑸系数化为1求得未知数的值
（6）检验（把X的值带入方程看等号两边是否相等，相等就是对了，不等说明算错，请重新计算。
）。
单项式
单项式说课稿
思源实验学校陈美蓉
一、教学目标
1、理解单项式及单项式系数、次数的概念。
2、会准确迅速地确定单项式的系数、次数。
3、初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系．
二、教学重难点
教学重点：掌握单项式及单项式系数、次数的概念，并会找出单项式系数、次数。
教学难点：单项式概念的建立。
三、教法
课堂教学采用“情境—问题—探究—反思—提高”，使学生初步体验到数学是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程。
根据教材分析和目标分析，贯彻新课程改革下的课堂教学方法，确定本课主要的教法为：学生在教师营造的“可探索”的环境里，积极参与，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发现、主动发展。
1、计算机辅助教学 2、讨论式教学通过观察课件的演示，让学生讨论、交流、总结，由小组长代表小组发表意见， 3、评议结合教学教师耐心引导、分析、讲解和提问，并及时对学生的意见进行肯定与评议四、学法
主动探究――主动总结――主动提高
五、教学过程略(详见教案）。
单项式的意义课件
单项式的系数是单项式中数字因子的 数值。
详细描述
单项式一般表示为"数字因子+字母因 子"的形式，其中的数字因子即为单项 式的系数。例如，单项式"5x"中，数 字因子是5，因此系数是5。
单项式的次数
总结词
单项式的次数是单项式中所有字母因子的指数之和。
详细描述
单项式的次数是指单项式中所有字母因子的指数之和。例如，单项式"x^2y^3" 中，字母因子x的指数为2，字母因子y的指数为3，因此次数是2+3=5。
掌握单项式乘法的规则和技巧
详细描述
单项式乘法涉及到两个单项式相乘，其结果是两个单项式的 系数相乘，未知数相加或相乘，以及相应指数相加。例如， $2x^2$与$3x$相乘得到$6x^3$。通过掌握这些规则，可以 快速进行单项式乘法运算。
单项式的除法
总结词
理解单项式除法的概念和规则
VS
详细描述
单项式除法是单项式乘法的逆运算，涉及 到将一个单项式除以另一个单项式。其规 则是将被除数与除数的系数相除，未知数 相除或相减，以及相应指数相减。例如， 将$6x^3$除以$2x^2$得到$3x$。掌握 这些规则有助于进行单项式的除法运算。
单项式的意义课件
CATALOGUE
目 录
• 单项式的定义 • 单项式的系数和次数 • 单项式的运算 • 单项式在数学中的应用 • 单项式与其他数学概念的关系
01
CATALOGUE
单项式的定义
单项式的文字表述
总结词
单项式是由数字、字母通过有限 次乘法运算得到的代数式。
详细描述
单项式是数学中基本的代数式之 一，它由数字和字母通过有限次 乘法运算组合而成，表示一个单 一的数学对象。
单项式系数和次数的概念
单项式系数和次数的概念嘿，朋友！今天咱们来唠唠单项式系数和次数的概念，这可是数学里特别有趣的东西呢。
我有个小侄子，叫小明。
有一次啊，他拿着数学作业来问我，说这单项式到底是啥，那系数和次数又是什么鬼玩意儿？看着他那一头雾水的小模样，我就知道，得好好给他讲讲这事儿了。
那咱们就先说说单项式吧。
单项式啊，就像是数学世界里的小单元。
你可以把它想象成一个个小积木块。
比如说，3x，这就是一个单项式。
这里的3x就像是一个小团队，由数字3和字母x组成。
再比如-5y²，这也是个单项式呢。
那这个单项式里面的系数是啥呢？咱们还是拿3x来说吧。
这个3啊，就是系数啦。
系数就像是这个小团队里的小队长。
你想啊，如果把单项式当成是一场战斗里的一个小分队，那系数就是这个小分队的核心力量数字。
它决定了这个单项式的一些重要特征呢。
我就问小明，“你看，如果系数是1呢，就像1x，这个1虽然有时候我们不写出来，但是它就像一个默默带领着x这个小兵的小队长，力量比较基础。
那要是系数是5呢，5x是不是感觉就比1x要强大一些呀？”小明似懂非懂地点点头。
接着咱们再来说说次数。
还看3x，这里的x的次数是1。
次数啊，就像是这个字母小兵的等级。
你看，在-5y²里，这个y的次数就是2啦。
这就好比y这个小兵已经升级了一次，比次数是1的时候更有“威力”呢。
我给小明举了个例子，我说：“假如x代表一个小苹果，那3x就是3个小苹果，这里x的次数是1，就像每个苹果都是最基础的状态。
但是如果是x²呢，你可以想象成是把苹果堆成了两层，就像一个小苹果塔，它就和单独的一个苹果不一样啦，这个2就是它的特殊之处，也就是次数。
”咱们再深入一点哈。
如果单项式是4abc呢？这里的系数就是4啦，这个小队长是4呢。
而a、b、c的次数都是1，因为它们都没有被“升级”，都是最基础的状态。
就像三个刚入伍的小兵，都是一级小兵。
你可能会问，那要是有数字单独出现呢，像5，这算不算单项式呢？嘿，这当然算啦！这个时候啊，它的系数就是5，次数就是0。
人教版(2024)数学七年级上册 4.1 第1课时 单项式
(5)单项式可以如何命名？
可以根据单项式的次数来命名，比如－5a2b3叫作五次单项式
2．判断下列式子哪些是单项式：
－15，2x2y， 1 xy，3a＋2b，0，m， 2bc
3a
π
－15，2x2y，
1 xy，0，m是单项式
π
3．请同学们完成下表：
(3)网购一种图书，每册定价为a元，另加价10%作为邮费，那么
购书一册需要费用多少元？
5
5
解：(1)8m，系数是8，次数是 1.
(2)xy，系数是1，次数是2.
(3)1.1a，系数是1.1，次数是1.
例4：观察一组单项式：－x，3x2，－5x3，7x4，－9x5……解答下列问题：
(1)这组单项式的系数的符号的规律是什么？
单项式 －xy 32m πr2h
5
系数
－1
9
π
5
次数
2
1
3
0
5
－ 3 πxy
－5π
3
2
小组讨论
1.通过刚才的练习，你觉得在找单项式的系数和次数时应该注意什么？
①单项式的系数包含它前面的符号，当系数为1或－1时，这个“1”省略
不写，但不要误认为是0；
②圆周率π是常数；③单独一个非0数字的次数是0；④单项式的系数可
vt
2.
（4）半径为r cm的圆的周长是_____cm，面积为_______cm
2πr
πr2
请同学们观察列出的式子有什么共同特点呢？
注意：π是圆周率
的代号，不是字母.视频来自入请同学们观看一段视频：
活动导入
同学们，数学世界举办了一场研讨会，邀请的成员都是“单项式”，
什么叫单项式单项式的系数和次数
（1）几个单项式的和叫做___多__项_式___.
（2）在多项式中，每个单项式叫做__多_项__式_的__项___. （3）在多项式中，不含字母的项叫做 _常__数_项___.
（4）在多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个 __多__项_式__的_次__数____.
（5）多项式的每一项是否包括它前面的符号？ 多项式的每一项都包括它前面的符号，有正号 也有负号。
3
(3) 4 R3
3
(4)0
(5) m2 m (6) 5x2 yz3
4
(7)a
(8) x y
(9) x 1 4
说出下列单项式的系数和次数：
(1) 3a b2 3 (2)0.5 xyz ((7)23 ab5 (8)xy
(6) 2x2 y3 5
(9) 7 x2 y 13
∴a = 3 又∵代数式的项是二项
∴2b=0即b=0
∴a=3, b=0
例4：已知代数式3xn-(m-1)x+1是关 于x的三次二项式，求m，n的值
解： ∵代数式的次数是三次
∴n = 3
又∵代数式的项是二项
∴m-1=0
∴即m=1
拓展提高：
4x|2k-1|y + xy - 5 1、当k为何值时，多项式 是四次多项式？此时是关于x的几次式？ 2、当m,n满足何条件时，多项式 (2n - 1)xm-1 - nx + 4 是关于x的二次二项式？
（2）多项式3n4-2n2+1的次数为4，常数项为1。 解：（1）错误的，多项式a3-a2b+ab2-b3 的项为
a3,-a2b,ab2,-b3,次数为3. 是三次四项式。 （2）正确的。
例2.指出下列多项式是几次几项式：