超几何分布
2.2.1超几何分布
X P
P(X=2) = 0.9*0.9= 0.81 .
0 0.01 1 0.18 2 0.81
【新课引入】
思考 2：已知 10 件产品中有 4 件次品，现从这 10 件产
品中任取 3 件，用随机变量 X 表示取得的次品数，写出 X 的分布列。
X 的分布列为： X P
0
0 3 C4 C6 3 C10
1
1 2 C4 C6 3 C102源自2 1 C4 C6 3 C10
3
3 0 C4 C6 3 C10
求分布列一定要说明 X 的分布列也可以写成：
C C P( X k ) C
k 4 3 k 6 3 10
k 的取值范围！
， （ k 0,1, 2, 3 ）
6
【新课引入】
思考 3：一袋子中装有 8 个红球和 4 个白球， 这些球除颜色外完全相同，现从中任意摸出 5 个球，用变量 X 表示摸出红球的个数，写出 X 的分布列。
解：设摸出的 5 个球中红球的个数为 X .
变量 X 服从 N 30 , M 10 , n 5 的超几何分布。
K 5 k C10 C20 P ( X k ) 5 变量 X 的分布列为： , k 0,1, 2,3, 4,5 C30
则:
P ( X 3) P ( X 3) P ( X 4) P ( X 5) 0.191
注: ⑴超几何分布的模型是不放回抽样 ⑵超几何分布中的参数是 M,N,n
【范例讲解】
例 1.现有 10 张相同的卡片，其中有 5 张上印有“奖”字。 游戏者从中任抽 5 张，抽到 2 张或 2 张以上印有“奖”字 的卡片就可获得一份精美小礼品，如果抽到 5 张印有“奖” 字的卡片就可另外获得一套丛书， ⑴某人获得精美小礼品的概率是多少？ ⑵他能获得一套丛书的概率是多少？
超几何分布计算方法
超几何分布计算方法
超几何分布是描述从有限总体中抽出n个样本中成功的数量的
概率分布。
在实际应用中，超几何分布经常被用来描述从一个有限总体中随机抽出一定数量的样本，其中成功的样本数量满足某种特定的条件。
计算超几何分布的方法通常有两种：公式法和逆变换法。
公式法是根据超几何分布的定义公式进行计算。
具体来说，超几何分布的概率密度函数为：
P(X=x) = (M choose x) * (N-M choose n-x) / (N choose n) 其中，M表示总体中成功的数量，N表示总体的大小，n表示从总体中随机抽出的样本数量，x表示随机抽出的样本中成功的数量。
在使用公式法进行计算时，需要先计算组合数，然后将其代入公式中进行计算。
逆变换法则是通过将均匀分布的随机数进行逆变换，得到超几何分布的随机数。
具体来说，可以通过以下步骤进行计算：
1. 生成一个均匀分布的随机数U
2. 计算超几何分布的累积概率分布函数F(X=x)
3. 求解方程F(X=x) = U，得到超几何分布的随机数x
逆变换法可以在一定程度上提高计算的效率，特别是当超几何分布较复杂或概率密度函数难以计算时。
总之，超几何分布是一种常见的概率分布，可以用于描述许多实际问题。
计算超几何分布的方法有多种，需要根据具体问题选择适合
的方法。
超几何分布表达式
超几何分布表达式超几何分布是一种统计计算，主要用来计算多个实验事件之间的相关性。
它将多个抽样结果的概率结合起来，并以表达式的形式描述出这种概率关系。
超几何分布表达式通常是用来描述独立试验中每次结果出现的概率，或者是独立实验室和实验复查时重新出现结果的概率。
超几何分布表达式（Hypergeometric Distribution Expression）由P. L. S. Hogg、J. A. C. Brown提出，它是一种统计概率分布，用于描述一组数据中元素出现的概率。
它可以用于计算多次独立试验中每次结果出现的概率，也可以用于计算独立实验室和实验复查时重新出现结果的概率。
该概率表达式可以定义为P(X) = ( aCx ) / ( Nc )其中，C是组合运算符，代表从a个分类中取x个元素的组合数；N是实验总数；x是元素的组数；a是实验种类数。
超几何分布是一种常见的概率分布，可以用来计算抽样出现各个结果的概率，是计算统计有效性的重要工具。
超几何分布概率分布表达式具有明确的数学描述，在实际应用中，更方便的是通过计算超几何概率分布函数来获得这一概率表达式的解析解。
超几何概率分布函数为：F(x) =[P(X=x)]其中，X表示被试变量，F(x)表示概率分布函数，P(X=x)表示被试变量X等于x的概率。
有关超几何分布表达式，在统计学中有一些技巧和技术，可以帮助实验室和研究者更好地理解该概率分布表达式以及它的意义。
主要有以下几点：1.念解释：超几何分布表达式是一种统计计算，主要用于计算多个实验结果出现的概率，以及独立实验室和实验复查时重新出现结果的概率。
2.学表达：超几何分布表达式的数学表达式为：P(X) = ( aCx ) / ( Nc )，其中，C是组合运算符，N是实验总数，x是元素的组数，a是实验种类数，P(X)是概率表达式。
3.率分布函数：超几何概率分布函数为：F(x) =[P(X=x)]，其中，X表示被试变量，F(x)表示概率分布函数，P(X=x)表示被试变量X等于x的概率。
超几何分布表达式
超几何分布表达式超几何分布表达式是统计学里面一种非常常见的概率分布，它处理的是有关离散变量的观察数据，主要被用于统计计算中处理离散变量。
超几何分布表达式由三个参数组成，即总体大小N，实验次数n和抽样次数k，其中N是总体大小，n是实验的次数，k是抽样的次数。
超几何分布表达式的特性是：它可以表示给定总体中某一类型变量出现的次数的概率分布，并且根据超几何分布的特性，这种概率的计算公式可以被简化，使得计算更加容易。
超几何分布表达式也可以用来描述在给定总体中一次抽样中，抽样次数比实验次数多的情况下，一类变量出现次数的概率分布。
超几何分布表达式的应用非常广泛，它经常被用于评估某一变量出现次数和总体大小之间的关系，从而判断总体大小的大小。
超几何分布表达式也可以用于分析变量出现次数随着总体大小的变化而变化的情况，从而对某一变量的分布情况有一定的认识。
在评估及把握分类数据时也常常使用超几何分布表达式，其中也包括使用离散种类的方法来分析变量在某个离散分布之中出现的概率情况，从而计算一定概率范围内一类变量出现次数的概率。
超几何分布表达式也可以用于数据建模，它可以用于对复杂的数据集进行分析或建模，从而帮助数据科学家们分析和预测数据的变化趋势。
此外，超几何分布表达式还可以用于查询和分析大数据的模型，以便快速找到最合适的模型，并能准确定位出现问题的部位。
超几何分布表达式在统计学中扮演着重要角色，它不仅应用范围广泛，还可以用于分析复杂的变量，从而帮助人们更好地分析及把握数据。
超几何分布表达式是一种有效的数据分析工具，通过计算概率也可以获得更加准确的结果。
未来，超几何分布表达式在统计学以及数据分析领域的应用将越来越广泛，有助于人们加深对数据的理解，加快科技发展的步伐。
超几何分布
几何分布是离散型概率分布的一种。
所描述的是n重伯努利试验成功的概率率。
（所谓的伯努利实验指的是指在一次试验中只考虑两种结果:A发生和A不发生.在相同条件下将伯努利实验重复n次，每次实验A发生的概率都相同，称这样的一系列实验为n重伯努利实验。
）在 n次重伯努利试验中，前n-1次皆失败，第n次才成功的概率就叫做几何分布。
独立重复试验中，试验首次成功所需的试验次数就是服从几何分布。
如果用一个事件描述，它就像你向靶子上无规则地乱投，正中耙心的概率。
这个当时的概率抽样事件是不同的。
比如，从五个小球中拿一个出来，就像面前挖五个小洞，扔出去看它掉在哪个里面，不管中不中，都能掉一个洞里。
而这种，是只有一个目标，但能掉的位置很多，而且不固定。
正因为这样，它有当时的那种选号码的分布是不同的。
那些类似于点，和线上来选择，而这种类似于面上。
超几何分布是产品抽样检查中用的，其实，它是二项分布的变体。
三项分面是，前面五个洞，扔一次之后，拿出来再扔，还是那样。
你所投递的目标，也就耙的面积没有变。
但超几何分布是，当你投过一个小球时，如果不对，你所投递那个位置就不会再投中了。
这好比投一次，就把那个耙重新换一个，各个相独立。
而且，前面那个结果也会带到这个新耙上来。
这就像原来投一个平面，现在的新平面既和原来的无关，不又不包含已经投过的那个点，就相当于在多维面中，每个面依次选择一次。
你无法像二项分面那样，回到原来那个平面上去投中目标了，因为你试验一次，它就变一次。
这也是，明明二项分布和超几何分布极其相似却迥异的原因。
二项分布就像一件事在平面上重复多次。
而超几何分布就像，一件事在每个维度上都只做一次。
抛物几何从属于欧氏几何。
几何学的一门分科。
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。
在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。
超几何分布
函数代码
函数代码
超几何分布计算函数 function HYPGEOMDIST(kkk,n,MM,NN) for k=kkk to n AA=1 BBA=1 BBB=1 lll=n for i= 0 to k-1 BBA=BBA(MM-i)/(NN-i) next for j= k to n
谢谢观看应用ຫໍສະໝຸດ 例期望方差示例
已经知道某个事件的发生概率，判断从中取出一个小样本，该事件以某一个机率出现的概率问题。 例：在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中 摸出5个球。摸到至少4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？ 解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型。 其中N = 30. D = 10. n = 5. P（一等奖） = P(X=4) + P(X=5) 由公式,k=0,1,2,...得： P（一等奖） = 106/3393
期望
定理：对超几何分布X~H(N,M,n)，随机变量X的数学期望. 引理一： 引理二： 引理证明：它们均可用恒等式（1+x）M-1(1+x)N-M=(1+x)N-1两边的展开式中含xn-1项的系数相等证明。 仅以（2）中n≤M的情形证明如下：的展开式中含xn-1项的系数为（注意N-M） 定理证明：当M=N=1时，X的分布列P（X=1）=1，且有n=1，可得此时欲证成立。 当M=1，N≥2时，X的分布列为： 所以（引理一(2)） 下证M≥2时也成立，又分两种情形： （1）又当n≤N-M时，X的分布列见超几何分布的定义有 （2）又当n＞N-M时，X的分布列见超几何分布的定义有
方差
对X~H(N,M,n)， . 证明：D(X)=E(X2)-E(X)2 （此公式利用定义式简单展开即得） （提取，变形） （拆项，变形） （拆开∑，就是分组求和）
超几何分布
§2 超几何分布
二、利用超几何分布公式求概率
例2：在一个口袋中有30个球，其中有10个红球，其余为 白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5 个球，摸到且只能摸到4个红球就中一等奖.那么获一等 奖的概率有多大？（结果保留两位有效数字）
第二章 概率
§2 超几何分布
二、利用超几何分布公式求概率
第一章 §2 超几何分布
§2 超几何分布
复习
1. 随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样 的变量叫做随机变量．
2.离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这 样的随机变量叫做离散型随机变量．
3.离散型随机变量的分布列
ξ
Ｘ1
Ｘ2
…
Ｘｉ
…
Ｐ
Ｐ1
Ｐ2
…
Ｐｉ
…
P（ξ ＝xｉ）＝Ｐｉ
第二章 概率
§2 超几何分布
一、超几何分布
引例1 已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品 中任取2件，用X表示取得的次品数. 问题1:X可能取哪些值? 问题2:“X＝1”表示的试验结果是什么?P(X＝1)的值呢?
问题3:如何求P(X＝k)(k=0,1,2)
第二章 概率
§2 超几何分布
2 超几何分布
四、超几何分布的综合应用
例4：袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个 红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球. (1)求得分X的概率分布列; (2)求得分大于6分的概率.
第二章 概率
§2 超几何分布
小结
第二章 概率
§2 超几何分布
第二章 概率
P X k
课件1：7.4.2 超几何分布
3．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩 电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________.
【解析】X＝1 表示的结果是抽取的 2 台彩电有甲型和乙型彩电各一 台，故所求概率 P(X＝1)＝CC13C25 12＝53. 【答案】35
4.某 10 人组成兴趣小组，其中有 5 名团员，从这 10 人中任选 4 人参 加某种活动，用 X 表示 4 人中的团员人数，则 P(X＝3)＝________.
解：X 的所有可能取值为 0,1,2，由题意得：
P(X＝0)＝CC3436＝15，
P(X＝1)＝CC24C36 12＝35，
P(X＝2)＝CC14C36 22＝15. ∴X 的分布列为
X＝k 0 1 2
P(X＝k)
1 5
3 5
1 5
探究三 超几何分布与二项分布间的关系 例3.在10件产品中有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品 中任取3件．求：
∴X 的分布列为
X 0 10 20 50 60 100 110 150 200
P
161 330
7 337 33014 99源自1 3379 990
1 66
11 99 495
∴P(5≤X≤120)＝P(X＝10)＋P(X＝20)＋P(X＝50)＋P(X＝60)＋
P(X＝100)＋P(X＝110)＝373＋3730＋1949＋313＋97990＋616＝12.
①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从 二项分布； 区别 ②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从 超几何分布
在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很 联系
小，此时超几何分布可近似转化成二项分布.
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选修2-3 第2章概率
§2.2 超几何分布（理科）(第1课时) 总第30教案
一、【学习目标】
1、通过实例，理解超几何分布及其特点。
2、通过对实例的分析，掌握超几何分布列及其导出过程，并能简单应用。
二、【概念解读】
1．一般地，若一个随机变量X的分布列为__________________________________________ 则称X服从超几何分布。
记为_________________________。
并将______________________ 称为__________________。
2．超几何分布是一种常见的离散型随机变量的分布。
H(r；n，M，N)中的各个字母都有其具体的含义：r表示样本中次品数，n表示样本容量，M表示次品总数，N表示总体中的个体总数。
3当一批产品共N件，其中有M件不合格品，随机取出n件产品中，则不合格品数X的概率
三、【实例分析】
例题1、生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品。
采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有一箱不合格产品，则接收该
批产品。
问：该批产品被接收的概率是多少？
例题2、高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同。
现一次从中摸出5个球，(1)若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率。
(2)若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率。
例题3、盒中装着标有1,2,3,4的蓝色卡片4张，标有1,2,3,4的红色卡片4张，现从盒中任
意抽取3张，每张卡片被抽出的可能性相等，设取到一张红色卡片记2分，取到一张蓝色卡片记1分，以X 表示抽出的3张卡片的总得分，Y 表示抽出的3张卡片上的最大数字，求X 和Y 的概率。
例题4、10只灯泡中含有)82(≤≤n n 只不合格品，若从中一次任取4只，问：恰含有2只
不合格品的概率)(n f 是多少？当n 为何值时，f(n)取得最大值？并求此时取到的不合格品只数X 的概率分布。
四、【巩固练习】
1、袋中有4个红球，编号为1,2,3,4；3个黑球，编号为5,6,7，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，以X 表示取出的4个球的总得分，Y 表示取出的4个球的最大号码。
则：
① P(X=5)=____________________________ 。
② P(Y=5)=____________________________ 。
③ X 与Y 是否服从超几何分布__________________ 。
2、设50件商品中有15件甲等品，其余为乙等品。
现从中随机选购2件，用X表示所购2
件中的甲等品的件数，求出X的概率分布。
3、某工厂生产过程中出现次品的概率为0.05，每100个产品为一批，检查产品质量时，在
每批中任取一半来检查，如果发现次品不多于1个，则这批产品可以认为是合格的。
求一批产品被认为是合格的概率。
课外作业
1、100张奖券中，有4张有奖，从中任取2张，则2张都中奖的概率为________________。
2、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的
人数，则P(X≤1)=__________ 。
3、从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是_____。
4、盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么恰有2只是好
的概率为_______________________。
5、口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5 个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是___________(用数字作答)
6、在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至
14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分，若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是____________________。
7、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，则至少取到1件次品的概率为___________。
8、设15件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中
的不合格品的件数，试求X的概率分布。
9、一个班级有30名学生，其中有10名女生。
现从中任选3名学生当班委，令随机变量X 表示3名班委中女生的人数，随机变量Y 表示3名班委中男生的人数，试求X 与Y 的概率分布。
10、已知甲，乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装
有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求乙箱次品件数X 的分布列。
11、1000只灯泡中含有n(2≤n ≤992)只不合格品，从中一次任取10只，问：恰含有2只不
合格品的概率)(n f 是多少？当n 为何值时，)(n f 取得最大值。