2020年江苏省高考数学试卷原卷版
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
参考公式：
柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.已知集合，则_____
2.已知是虚数单位，则复数的实部是_____.
3.已知一组数据的平均数为4，则的值是_____.
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.
5.如图是一个算法流程图，若输出的值为，则输入的值是_____.
.
V Sh =S h {1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=A B = i (1i)(2i)z =+-4,2,3,5,6a a -a y 2-x
6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线﹣=1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=x ，则该双曲线的离心率是____.
7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时， ，则f (-8)的值是____.
8.已知 =，则的值是____. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.
10.将函数y =的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.
11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和
，则d +q 的值是_______．
12.已知，则最小值是_______．
13.在△ABC 中，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若
（m 为常数），则CD 的长度是________． 14.在平面直角坐标系xOy 中，已知，A ，B 是圆C ：上的两个动点，满足，则△PAB 面积的最大值是__________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．
的22x a 25
y 2
()23f x x =2sin ()4
πα+23sin 2απsin(2)43x ﹢π6
221()n n S n n n +=-+-∈N 22451(,)x y y x y R +=∈22x y +43=90AB AC BAC ==︒，，∠，3()2
PA mPB m PC =+-
(0)2
P 221()362x y +-=PA PB =
（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；
（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．
16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC 上取一点D ，使得，求的值． 17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，为铅垂线(在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离(米)与D 到的距离a (米)之间满足关系式；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离(米)与F 到的距离b (米)之间满足关系式.已知点B 到的距离为40米. （1）求桥AB 的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点
).3,45a c B ===︒sin C 4cos 5
ADC ∠=-tan DAC ∠OO 'O '1h OO '21140h a =
2h OO '3216800
h b b =-+OO 'OO '
桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价
(万元)(k >0).问为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低? 18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．
（1）求△AF 1F 2的周长；
（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求的最小值；
（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标． 19.已知关于x 的函数与在区间D 上恒有．
（1）若，求h (x )的表达式； （2）若，求k 的取值范围； （3）若求证：．
20.已知数列的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有成立，则称此数列为“λ–k ”数列． （1）若等差数列是“λ–1”数列，求λ的值；
（2）若数列是
”数列，且a n ＞0，求数列的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，
数学Ⅱ(附加题)
【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若32
k O E '22
:143
x y E +=OP QP ⋅ (),()y f x y g x ==()(,)h x kx b k b =+∈R ()()()f x h x g x ≥≥()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，
21 ln ,()()()(0)x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，
()
422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[], D m n =⊆⎡⎣，n m -≤{}*
()∈n a n N 11111k k k
n n n S S a λ++-={}n a {}n a 2{}n a {}n a
多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]
21.平面上点在矩阵对应变换作用下得到点． （1）求实数，的值；
（2）求矩阵的逆矩阵．
B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．
（1）求，的值
（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．
C ．[选修4-5：不等式选讲]
23.设，解不等式．
【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD
BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．
（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；
（2）若点F 在BC 上，满足BF =BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值． 25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．
（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；
的(2,1)A -11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
M (3,4)B -a b M 1M -1π(,)3A ρ:cos 2l ρθ=2π(,)6
B ρ:4sin
C ρθ=0ρ≥02θπ≤<1ρ2ρl C x ∈R 2|1|||4x x ++≤14
的
（2）求2p n+q n与2p n-1+q n-1递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示) ．。
2020年江苏省高考数学试卷 试题+答案详解
E 为 AC 的中点． （1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；
1
（2）若点 F 在 BC 上，满足 BF= BC，
4
设二面角 F—DE—C 的大小为θ，求 sinθ的值．
25.甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任 取一个球交换放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个 黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn． （1）求 p1·q1 和 p2·q2； （2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) ．
a1
d 2
q 2
1
aq120
，∴
d
q
4
.
b1 1 q
1
b1 1
12【答案】 4 5
【解析】∵
5x2
y2
y4
1，∴
y
0
且
x2
1 y4 5y2
∴
x2
y2
1 y4 5y2
y2
1 5y2
+
4y2 5
2
1 4y2 4 ， 5y2 5 5
当且仅当
1 5y2
4y2 5
，即
x2
3 , y2 10
等差数列 an 的前 n 项和公式为 Pn
na1
nn 1
d 2
d n2 2
a1
d 2
n
，
等比数列bn 的前
n
2020年江苏省【数学真题】普通高等学校招生全国统一考试试卷(原卷)
『高考真题·真金试炼』『知己知彼·百战不殆』绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=52x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．。
2020年江苏卷数学高考试题(详细解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = ▲．答案：{02}，解析：因为A ，B 的公共元素有0，2，由交集的定义可知{02}，A B = 2．已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是▲．答案：3解析：(1i)(2i)12(1)(12)i =3+i z =+-=⨯--+-+，故z 的实部为33．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是▲．答案：2解析：由平均数的定义可得42(3)5645a a ++-++=，解得2a =4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是▲．答案：19解析：点数和为5可能的情况有，{1，4}，{2，3}，{3，2}，{4，1}，共有4种，样本空间中样本点的个数为36，故点数和为5的概率是41369=5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是▲．答案：3-解析：因为20x >，而输出的y 的值为负数，故输出的是1x +，即12x +=-，故3x =-6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为52y x =，则该双曲线的离心率是▲．答案：32解析：设题中双曲线的焦距为2c ，虚半轴长为b ，则由双曲线的一条渐近线方程可得52b a =，故此双曲心的离心率32c e a ===7．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则()8f -的值是▲．答案：4-解析：因为y =f (x )是奇函数，所以23(8)(8)84f f -=-=-=-8．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是▲．答案：13解析：因为sin sin cos cos sin (sin cos )4442πππααααα⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭，所以22112sin (sin cos )(1sin 2)4223παααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.所以1sin 23α=.9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是▲cm 3.答案：2π-解析：正六棱柱的底面面积为cm ，高为2cm ，故正棱柱的体积为cm 3，圆柱的体积为20.522ππ⨯⨯=，故此六角螺帽毛坯的体积是（2π-）cm 310．将函数πsin(32)4y x =+的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是▲．答案：524πx =-解析：将函数πsin(324y x =+的图象向右平移π6个单位长度，得到函数3sin 2()3sin 26412πππy x x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，由2122ππx kπ-=+（k ∈Z ）可得7224kππx =+，当1k =-时，对称轴离y 轴最近，此时对称轴方程为524πx =-11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和*221()n n S n n n =-+-∈N ，则d +q 的值是▲．答案：4解析：1111a b S +==，当2n ≥时，22111(21)[(1)(1)21]2(1)2n n n n n n n a b S S n n n n n ---+=-=-+-----+-=-+.当n=1时，上式也成立，对任意正整数n ，都有12(1)2n n n a b n -+=-+，因为1(1)n a a n d =+-，11n n b b q -=，。
2020年江苏省高考数学试卷(含答案详解)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+- （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知(0)2P ，A ，B 是圆C ：221(362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；（2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤．20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
2020年江苏省高考数学试卷含解析答案
2020年江苏省高考数学试卷一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合{1A =-，0，1，2}，{0B =，2，3}，则AB = ．2．已知i 是虚数单位，则复数(1)(2)z i i =+-的实部是 ．3．已知一组数据4，2a ，3a -，5，6的平均数为4，则a 的值是 ．4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ．5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐近线方程为5y x =，则该双曲线的离心率是 ．7．已知()y f x =是奇函数，当0x 时，23()f x x =，则(8)f -的值是 ．8．已知22sin ()43πα+=，则sin 2α的值是 ．9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半径为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 3cm ．10．将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ．11．设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．已知数列{}n n a b +的前n 项和221(*)n n S n n n N =-+-∈，则d q +的值是 ．12．已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是 ．13．在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =．若3()(2PA mPB m PC m =+-为常数），则CD 的长度是 ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知3(2P ，0)，A 、B 是圆221:()362C x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则PAB ∆面积的最大值是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．（1）求证：//EF 平面11AB C ； （2）求证：平面1AB C ⊥平面1ABB ．16．（14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知3a =，2c =，45B =︒． （1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17．（14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上）．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h （米)与D 到OO '的距离a （米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h （米)与F 到OO '的距离b （米)之间满足关系式3216800h b b =-+．已知点B 到OO '的距离为40米．（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB上（不包括端点）．桥墩EF 每米造价k （万元），桥墩CD 每米造价32k （万元）(0)k >，问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？18．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP 的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB ∆与MAB ∆的面积分别为1S ，2S ，若213S S =，求点M 的坐标．19．（16分）已知关于x 的函数()y f x =，()y g x =与()(h x kx b k =+，)b R ∈在区间D 上恒有()()()f x h x g x ．（1）若2()2f x x x =+，2()2g x x x =-+，(,)D =-∞+∞，求()h x 的表达式；（2）若2()1f x x x =-+，()ln g x k x =，()h x kx k =-，(0,)D =+∞，求k 的取值范围； （3）若42()2f x x x =-，2()48g x x =-，342()4()32(0||2)h x t t x t t t =--+<，[D m =，][2n ⊂2]，求证：7n m-．20．（16分）已知数列{}(*)n a n N ∈的首项11a =，前n 项和为n S ．设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有11111kkkn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“k λ-”数列． （1）若等差数列{}n a 是“1λ-”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是“32-”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列，且0n a ？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）平面上的点A (2,1)-在矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到点B (3,4)-． （1）求实数a ，b 的值； （2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知1(A ρ，)3π在直线:cos 2l ρθ=上，点2(B ρ，)6π在圆:4sin C ρθ=上（其中0ρ，02)θπ<． （1）求1ρ，2ρ的值；（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．设x R ∈，解不等式2|1|||4x x ++<．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）在三棱锥A BCD -中，已知5CB CD ==，2BD =，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，2AO =，E 为AC 中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足14BF BC =，设二面角F DE C --的大小为θ，求sin θ的值．25．（10分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X ，恰有2个黑球的概率为n p ，恰有1个黑球的概率为n q ． （1）求1p ，1q 和2p ，2q ；（2）求2n n p q +与112n n p q --+的递推关系式和n X 的数学期望()n E X （用n 表示）．2020年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合{1A =-，0，1，2}，{0B =，2，3}，则A B = {0，2} ．【思路分析】运用集合的交集运算，可得所求集合． 【解析】：集合{0B =，2，3}，{1A =-，0，1，2}，则{0A B =，2}，故答案为：{0，2}．【总结与归纳】本题考查集合的交集运算，考查运算能力，属于基础题． 2．已知i 是虚数单位，则复数(1)(2)z i i =+-的实部是 3 ． 【思路分析】利用复数的乘法的运算法则，化简求解即可．【解析】：复数(1)(2)3z i i i =+-=+，所以复数(1)(2)z i i =+-的实部是：3．故答案为：3． 【总结与归纳】本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用，是基本知识的考查．3．已知一组数据4，2a ，3a -，5，6的平均数为4，则a 的值是 2 ． 【思路分析】运用平均数的定义，解方程可得a 的值． 【解析】：一组数据4，2a ，3a -，5，6的平均数为4， 则42(3)5645a a ++-++=⨯，解得2a =．故答案为：2．【总结与归纳】本题考查平均数的定义的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 19． 【思路分析】分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值．【解析】：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6636⨯=种， 而点数和为5的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，则点数和为5的概率为41369P ==．故答案为：19．【总结与归纳】本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题． 5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是 3- ．【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用程序框图表达式为分段函数计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：由题意可得程序框图表达式为分段函数2,01,0x x y x x ⎧>=⎨+⎩，若输出y 值为2-时，由于20x >，所以解12x +=-，即3x =-，故答案为：3-， 【总结与归纳】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐近线方程为5y =，则该双曲线的离心率是 32．【思路分析】利用双曲线的渐近线方程，求出a ，然后求解双曲线的离心率即可．【解析】：双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐近线方程为5y ，55=，所以2a =， 所以双曲线的离心率为：4532c e a +==，故答案为：32．【总结与归纳】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7．已知()y f x =是奇函数，当0x 时，23()f x x =，则(8)f -的值是 4- ．【思路分析】由奇函数的定义可得()()f x f x -=-，由已知可得f （8），进而得到(8)f -． 【解析】：()y f x =是奇函数，可得()()f x f x -=-，当0x 时，23()f x x =，可得f （8）2384==，则(8)f f -=-（8）4=-，故答案为：4-． 【总结与归纳】本题考查函数的奇偶性的定义和运用：求函数值，考查转化思想和运算能力，属于基础题．8．已知22sin ()43πα+=，则sin 2α的值是 13 ．【思路分析】根据二倍角公式即可求出．【解析】：因为22sin ()43πα+=，则21cos(2)1sin 222sin ()4223παπαα-+++===， 解得1sin 23α=，故答案为：13【总结与归纳】本题考查了二倍角公式，属于基础题．9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半径为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 1232π-3cm ．【思路分析】通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．【解析】：六棱柱的体积为：1622sin 6021232⨯⨯⨯⨯︒⨯=圆柱的体积为：2(0.5)22ππ⨯⨯=，所以此六角螺帽毛坯的体积是：3(123)2cm π， 故答案为：1232π-．【总结与归纳】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基本知识的考查．10．将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 524x π=- ．【思路分析】利用三角函数的平移可得新函数()()6g x f x π=-，求()g x 的所有对称轴7242k x ππ=+，k Z ∈，从而可判断平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程， 【解析】：因为函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度可得()()3sin(2)3sin(2)63412g x f x x x ππππ=-=-+=-，则()y g x =的对称轴为2122x k πππ-=+，k Z ∈，即7242k x ππ=+，k Z ∈， 当0k =时，724x π=，当1k =-时，524x π=-， 所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是524x π=-，故答案为：524x π=-， 【总结与归纳】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题．11．设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．已知数列{}n n a b +的前n 项和221(*)n n S n n n N =-+-∈，则d q +的值是 4 ．【思路分析】由{}n n a b +的前n 项和221(*)n n S n n n N =-+-∈，由{}n a 是公差为d 的等差数列，设首项为1a ；求出等差数列的前n 项和的表达式；{}n b 是公比为q 的等比数列，设首项为1b ，讨论当q 为1和不为1时的前n 项和的表达式，由题意可得1q ≠，由对应项的系数相等可得d ，q 的值，进而求出d q +的值．【解析】：因为{}n n a b +的前n 项和221(*)n n S n n n N =-+-∈，因为{}n a 是公差为d 的等差数列，设首项为1a ；{}n b 是公比为q 的等比数列，设首项为1b ， 所以{}n a 的通项公式1(1)n a a n d=+-，所以其前n项和2111[(1)]()222n a n a a n d d d S n a n ++-==+-，当{}n b 中，当公比1q =时，其前n 项和1n b S nb =， 所以{}n n a b +的前n 项和2211()21(*)22n n n n a b d dS S S n a n nb n n n N =+=+-+=-+-∈，显然没有出现2n ，所以1q ≠，则{}n b 的前n 项和为111(1)111n n n b b q b q b S q q q -==+---， 所以22111()21(*)2211n n n n n a b b q b d dS S S n a n n n n N q q =+=+-+-=-+-∈--， 由两边对应项相等可得：111212211dd a q b q ⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪-⎩解得：2d =，10a =，2q =，11b =， 所以4d q +=，故答案为：4．【总结与归纳】本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n 项和求通项的性质，属于中档题．12．已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是45． 【思路分析】方法一、由已知求得2x ，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值；方法二、由2224(5)4x y y =+，运用基本不等式，计算可得所求最小值． 【解析】：方法一、由22451x y y +=，可得42215y x y -=，由20x ，可得2(0y ∈，1]，则44222222211411(4)555y y x y y y y y y-++=+==+ 221142455y y =，当且仅当212y =，2310x =， 可得22x y +的最小值为45； 方法二、222222222254254(5)4()()24x y y x y yx y ++=+=+，故2245x y +， 当且仅当222542x y y +==，即212y =，2310x =时取得等号，可得22x y +的最小值为45．故答案为：45．【总结与归纳】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题．13．在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =．若3()(2PA mPB m PC m =+-为常数），则CD 的长度是 0或185．【思路分析】以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，求得B 与C 的坐标，再把PA 的坐标用m 表示．由9AP =列式求得m 值，然后分类求得D 的坐标，则CD 的长度可求．【解析】：如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则(4,0)B ，(0,3)C ，由3()2PA mPB m PC =+-，得3()()()2PA m PA AB m PA AC =++-+，整理得：2(23)PA mAB m AC =-+-2(4m =-，0)(23)(0m +-，3)(8m =-，69)m -．由9AP =，得2264(69)81m m +-=，解得2725m =或0m =．当0m =时，(0,9)PA =-，此时C 与D 重合，||0CD =；当2725m =时，直线PA 的方程为968m y x m -=，直线BC 的方程为143x y +=，联立两直线方程可得83x m =，32y m =-．即72(25D ，21)25，22722118||()(3)25255CD ∴=+-=．CD ∴的长度是0或185．故答案为：0或185．【总结与归纳】本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知3(P ，0)，A 、B 是圆221:()362C x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则PAB ∆面积的最大值是 105 ．【思路分析】求得圆的圆心C 和半径，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，运用垂径定理和勾股定理，以及三角形的面积公式，由三角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计算可得所求最大值．【解析】：圆221:()362C x y +-=的圆心1(0,)2C ，半径为6，如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，因为PA PB =，6CA CB R ===，所以PC AB ⊥，EF 为垂径， 要使面积PAB S ∆最大，则P ，D 位于C 的两侧， 并设CD x =，可得13144PC =+=，故1PD x =+，22236AB BD x ==-， 可令6cos x θ=，21||||(1)36(16cos )6sin 6sin 18sin 22PAB S AB PD x x θθθθ∆==+-=+=+，02πθ<， 设函数()6sin 18sin 2f θθθ=+，02πθ<，2()6cos 36cos26(12cos cos 6)f θθθθθ'=+=+-，由2()6(12cos cos 6)0f θθθ'=+-=，解得23cos (cos 034θθ==-<舍去），显然，当20cos 3θ<，()0f θ'<，()f θ递减；当2cos 13θ<<时，()0f θ'>，()f θ递增，结合cos θ在(0,)2π递减，故2cos 3θ=时，()f θ最大，此时25sin 1cos θθ=-=，故552()6361053max f θ=⨯+⨯⨯=，则PAB ∆面积的最大值为105．故答案为：105．【总结与归纳】本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．（1）求证：//EF 平面11AB C ； （2）求证：平面1AB C ⊥平面1ABB ．【思路分析】（1）证明1//EF AB ，然后利用直线与平面平行的判断定理证明//EF 平面11AB C ；（2）证明1B C AB ⊥，结合AB AC ⊥，证明AB ⊥平面1AB C ，然后证明平面1AB C ⊥平面1ABB ．【解答】证明：（1）E ，F 分别是AC ，1B C 的中点． 所以1//EF AB ，因为EF ⊂/平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ， 所以//EF 平面11AB C ；（2）因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面1ABB ， 所以1B C AB ⊥， 又因为AB AC ⊥，1AC B C C =，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ，所以AB ⊥平面1AB C ， 因为AB ⊂平面1ABB ， 所以平面1AB C ⊥平面1ABB ．【总结与归纳】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．16．（14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知3a =，2c =，45B =︒． （1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【思路分析】（1）由题意及余弦定理求出b 边，再由正弦定理求出sin C 的值；（2）三角形的内角和为180︒，4cos 5ADC ∠=-，可得ADC ∠为钝角，可得DAC ∠与ADC C ∠+∠互为补角，所以sin sin()DAC ADC C ∠=∠+∠展开可得sin DAC ∠及cos DAC ∠，进而求出tan DAC ∠的值．【解析】：（1）因为3a =，2c =，45B =︒．，由余弦定理可得：2222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， 由正弦定理可得sin sin c bC B =，所以225sin sin 455c C b =︒==， 所以5sin C =； （2）因为4cos 5ADC ∠=-，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=，在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由（1）可得225cos 1sin C C =-=， 所以在三角形ADC中，25sin sin()sin cos cos sin DAC ADC C ADC C ADC C ∠=∠+∠=∠∠+∠∠=， 因为(0,)2DAC π∠∈，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=，所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠．【总结与归纳】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．17．（14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上）．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h （米)与D 到OO '的距离a （米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h （米)与F 到OO '的距离b （米)之间满足关系式3216800h b b =-+．已知点B 到OO '的距离为40米．（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB上（不包括端点）．桥墩EF 每米造价k （万元），桥墩CD 每米造价32k （万元）(0)k >，问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？【思路分析】（1）由题意可令40b =，求得2h ，即O O '的长，再令1||h OO '=，求得a ，可得||AB a b =+；（2）可设O E x '=，则80CO x '=-，040x <<，求得总造价23311[160(80)][160(6)]240800y k x k x x =--+--，化简整理，应用导数，求得单调区间，可得最小值．【解析】：（1）3216800h b b =-+，点B 到OO '的距离为40米，可令40b =，可得32140640160800h =-⨯+⨯=，即为||160O O '=，由题意可设1160h =， 由2116040a =，解得80a =， 则||8040120AB =+=米；（2）可设O E x '=，则80CO x '=-，由04008080x x <<⎧⎨<-<⎩，可得040x <<，总造价为23311[160(80)][160(6)]240800y k x k x x =--+--32(30160800)800k x x =-+⨯， 23(360)(20)800800k k y x x x x '=-=-，由0k >，当020x <<时，0y '<，函数y 递减；当2040x <<时，0y '>，函数y 递增，所以当20x =时，y 取得最小值，即总造价最低．答：（1）桥||AB 长为120米；（2）O E '为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低． 【总结与归纳】本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力和分析问题与解决问题的能力，属于中档题．18．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB ∆与MAB ∆的面积分别为1S ，2S ，若213S S =，求点M 的坐标．【思路分析】（1）由椭圆标准方程可知a ，b ，c 的值，根据椭圆的定义可得△12AF F 的周长22a c =+，代入计算即可．（2）由椭圆方程得3(1,)2A ，设(,0)P t ，进而由点斜式写出直线AP 方程，再结合椭圆的右准线为：4x =，得点Q 为34(4,)21tt--，再由向量数量积计算最小值即可．（3）在计算OAB ∆与MAB ∆的面积时，AB 可以最为同底，所以若213S S =，则O 到直线AB距离1d 与M 到直线AB 距离2d ，之间的关系为213d d =，根据点到直线距离公式可得135d =，295d =，所以题意可以转化为M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，根据两平行直线距离公式可得，6m =-或12，然后在分两种情况算出M 点的坐标即可．【解析】：（1）由椭圆的标准方程可知，24a =，23b =，2221c a b =-=， 所以12AF F ∆的周长226a c =+=．（2）由椭圆方程得3(1,)2A ，设(,0)P t ，则直线AP 方程为32()1y x t t =--，椭圆的右准线为：24ax c==，所以直线AP 与右准线的交点为34(4,)21tQ t--，(OP QP t =，0)(4t -，22340)4(2)4421tt t t t--=-=----，当2t =时，()4min OP QP =-．（3）若213S S =，设O 到直线AB 距离1d ，M 到直线AB 距离2d ，则2111||3||22AB d AB d ⨯⨯=⋅⨯⨯，即213d d =， 3(1,)2A ，1(1,0)F -，可得直线AB 方程为3(1)4y x =+，即3430x y -+=，所以135d =，295d =， 由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，95=，即6m=-或12，当6m=-时，直线l为3460x y--=，即3(2)4y x=-，联立223(2)4143y xx y⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得(2)(72)0x x-+=，即2MNxy=⎧⎨=⎩或27127MMxy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以(2,0)M或2(7-，12)7-．当12m=时，直线l为34120x y-+=，即3(4)4y x=+，联立223(4)4143y xx y⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得221182404x x++=，△9(3656)0=⨯-<，所以无解，综上所述，M点坐标为(2,0)或2(7-，12)7-．【总结与归纳】本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题．19．（16分）已知关于x的函数()y f x=，()y g x=与()(h x kx b k=+，)b R∈在区间D上恒有()()()f x h xg x．（1）若2()2f x x x=+，2()2g x x x=-+，(,)D=-∞+∞，求()h x的表达式；（2）若2()1f x x x=-+，()lng x k x=，()h x kx k=-，(0,)D=+∞，求k的取值范围；（3）若42()2fx x x=-，2()48g x x=-，342()4()32(0||2)h x t t x t t t=--+<，[D m=，][n⊂，求证：7n m-．【思路分析】（1）由()()f xg x=得0x=，求导可得(0)(0)2f g'='=，能推出函数()h x的图象为过原点，斜率为2的直线，进而可得()2h x x=，再进行检验即可．（2）由题可知()()(1)h x g x k x lnx-=--，设()1x x lnxϕ=--，求导分析单调性可得，()()10xϕϕ=，那么要使的()()0h x g x-，则0k；令()()()p x f x h x=-为二次函数，则要使得()0p x，分两种情况，当10x k=+时，当10k+>时进行讨论，进而得出答案．（3）因为42()2f x x x=-，求导，分析()f x单调性及图象得函数()y f x=的图象在x x=处的切线为：3420000(44)32y x x x x x=--+，可推出直线()y h x=为函数()y f x=的图象在(0||2)x tt=<处的切线．进而()()f x h x在区间D上恒成立；在分析()()0g x h x-=，设234244()3280x t t x t t--+--=，两根为1x，2x，由韦达定理可得12x x+，12x x，所以12||n m x x-=-=【解析】：（1）由()()f xg x=得0x=，又()22f x x'=+，()22g x x'=-+，所以(0)(0)2f g'='=，所以，函数()h x的图象为过原点，斜率为2的直线，所以()2h x x=，经检验：()2h x x=，符合任意，（2）()()(1ln)h x g x k x x-=--，设()1ln x x x ϕ=--，设11()1x x x xϕ-'=-=， 在(1,)+∞上，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，在(0,1)上，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， 所以()()10x ϕϕ=，所以当()()0h x g x -时，0k ， 令()()()p x f x h x =-所以22()1()(1)(1)0p x x x kx k x k x k =-+--=-+++，得， 当10x k =+时，即1k -时，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 所以()(0)10p x p k >=+，1k -，所以1k =-，当10k +>时，即1k >-时，△0，即2(1)4(1)0k k +-+， 解得13k -<，综上，[0k ∈，3]．42()2f x x x =-，所以3()444(1)(1)f x x x x x x '=-=+-，0x x =处的切线为：343342000000000(44)()(2)(44)32y x x x x x x x x x x x =--+-=--+，可见直线()y h x =为函数()y f x =的图象在(0||2)x t t =<处的切线．由函数()y f x =的图象可知，当()()f x h x 在区间D 上恒成立时，||[1t ∈，又由()()0g x h x -=，得234244()3280x t t x t t --+--=，设方程()()0g x h x -=的两根为1x ，2x ，则312x x t t +=-，42123284t t x x --=，所以12||x x -==2t λ=，则[1λ∈，2]，由图象可知，12||n m x x -=-=设32()538ϕλλλλ=-++，则2()3103(3)(31)ϕλλλλλ'=-+=--， 所以当[1λ∈，2]时，()0ϕλ'<，()ϕλ单调递减， 所以()max ϕλϕ=（1）7=，故12()||max max n m x x -=-=7n m -．【总结与归纳】本题考查恒成立问题，参数的取值范围，导数的综合应用，解题过程中注意数形结合思想的应用，属于中档题．20．（16分）已知数列{}(*)n a n N ∈的首项11a =，前n 项和为n S ．设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有11111kkkn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“k λ-”数列． （1）若等差数列{}n a 是“1λ-”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 2”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列，且0n a ？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．【思路分析】（1）由“1λ-”数列可得1k =，结合数列的递推式，以及等差数列的定义，可得λ的值； （22”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求通项公式；（3）若存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列，则11133311n n n S S a λ++-=，由两边立方，结合数列的递推式，以及t 的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是否存在λ，并可得取值范围．【解析】：（1）1k =时，111n n n n a S S a λ+++=-=，由n 为任意正整数，且11a =，0n a ≠，可得1λ=； （2=则111113()(3n n nn n n n n a S S S S a S S +++++=-=+=+，13n a +=，即11144()33n n n n S a S S +++==-， 从而14n n S S +=，又111S a ==，可得14n n S -=，2134n n n n a S S --=-=，2n ， 综上可得21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⎩，*n N ∈；（3）若存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列， 则11133311n n n S S a λ++-=，则21123333331111133()n n n n n n n n n S S S S S S a S S λλ+++++-+-==-， 由11a =，0na ，且0n S >，令113()0n n nS p S +=>， 则3323(1)33(1)0nn n p p p λλ--+--=， 1λ=时，2n np p =， 由0n p >，可得1n p =，则1n n S S +=，即10n a +=，此时{}n a 唯一，不存在三个不同的数列{}n a ， 1λ≠时，令331t λ=-，则3210n n n p tp tp -+-=，则2(1)[(1)1]0n n n p p t p -+-+=， ①1t 时，2(1)10nn p t p +-+>，则1n p =，同上分析不存在三个不同的数列{}n a ； ②13t <<时，△2(1)40t =--<，2(1)10nn p t p +-+=无解， 则1n p =，同上分析不存在三个不同的数列{}n a ；③3t =时，3(1)0n p -=，则1n p =，同上分析不存在三个不同的数列{}n a ．④3t >时，即01λ<<时，△2(1)40t =-->，2(1)10nn p t p +-+=有两解α，β， 设αβ<，12t αβ+=->，10αβ=>，则01αβ<<<， 则对任意*n N ∈，11n n S S +=或31n n S S α+=或31n n SS β+=，此时1n S =，31,1,2n n S n α=⎧=⎨⎩，31,1,2,3n n S n β=⎧=⎨⎩均符合条件．对应1,10,2n n a n =⎧=⎨⎩，31,11,20,3n n a n n α=⎧⎪=-=⎨⎪⎩，31,11,30,2,4n n a n n n β=⎧⎪=-=⎨⎪=⎩，则存在三个不同的数列{}n a 为“3λ-”数列，且0n a ， 综上可得01λ<<．【总结与归纳】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，是一道难题．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）平面上的点A (2,1)-在矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到点B (3,4)-． （1）求实数a ，b 的值； （2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．【思路分析】（1）由123114a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，列方程组，求出a 、b 的值； （2）设矩阵M 的逆矩阵为1m n M p q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用11001M M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列方程组求出m 、n 、p和q 的值即可．【解析】：（1）由题意，知122131124a a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则21324a b -=⎧⎨--=-⎩，解得2a =，2b =；（2）由（1）知，矩阵2112M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 设矩阵M 的逆矩阵为1mn M pq -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 1212210122201m n m pn q M M p q m p n q -++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴21202021m p n q m p n q +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得25m =，15n =-，15p =，25q =，121551255M -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 【总结与归纳】本题考查了矩阵的变换与计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知1(A ρ，)3π在直线:cos 2l ρθ=上，点2(B ρ，)6π在圆:4sin C ρθ=上（其中0ρ，02)θπ<． （1）求1ρ，2ρ的值；（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【思路分析】（1）直接根据点A 在直线l 上，列方程求出1ρ的值，点B 在圆C 上，列方程求出2ρ的值；（2）联立直线l 与圆C 的方程，然后求出其公共点的极坐标即可． 【解析】：（1）1(A ρ，)3π在直线:cos 2l ρθ=上，∴1cos23πρ=，解得14ρ=．点2(B ρ，)6π在圆:4sin C ρθ=上，∴24sin6πρ=，解得22ρ=．（2）由直线l 与圆C 得，方程组cos 24sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，则sin21θ=．[0θ∈，2]π，∴22πθ=，∴4πθ=．∴4sin4πρ=⨯=．故公共点的极坐标为)4π．【总结与归纳】本题考查的知识要点：极坐标与极坐标方程的关系和根据简单曲线极坐标方程求交点坐标，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．设x R ∈，解不等式2|1|||4x x ++<．【思路分析】先将2|1|||x x ++写为分段函数的形式，然后根据2|1|||4x x ++<，利用零点分段法解不等式即可．【解析】：32,02|1|||2,1032,1x x x x x x x x +>⎧⎪++=+-⎨⎪--<-⎩．2|1|||4x x ++<，∴3240x x +<⎧⎨>⎩或2410x x +<⎧⎨-⎩或3241x x --<⎧⎨<-⎩， ∴203x <<或10x -≤≤或21x -<<-，223x ∴-<<，∴不等式的解集为2{|2}3x x -<<．【总结与归纳】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）在三棱锥A BCD -中，已知5CB CD ==，2BD =，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，2AO =，E 为AC 中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足14BF BC =，设二面角F DE C --的大小为θ，求sin θ的值．【思路分析】（1）由题意画出图形，连接OC ，由已知可得CO BD ⊥，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到(1,0,2)AB =-，(1,1,1)DE =，设直线AB 与DE 所成角为α，由两向量所成角的余弦值，可得直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）由14BF BC =，得14BF BC =，设(F x ，y ，)z ，由向量等式求得3(4F ，12，0)，进一步求出平面DEF 的一个法向量与平面DEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得cos θ，再由同角三角函数基本关系式求解sin θ．【解析】：（1）如图，连接OC ，CB CD =，O 为BD 的中点，CO BD ∴⊥．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．2BD =，1OB OD ∴==，则22512OC BC OB =-=-=．(1B ∴，0，0)，(0A ，0，2)，(0C ，2，0)，(1D -，0，0)，E 是AC 的中点，(0E ∴，1，1)，∴(1,0,2)AB =-，(1,1,1)DE =．设直线AB 与DE 所成角为α， 则||15cos ||||14111AB DE AB DE α===+++，即直线AB 与DE； （2）14BF BC =，∴14BF BC =， 设(F x ，y ，)z ，则(1x -，y ，1)(4z =-，12，0)，3(4F ∴，12，0)． ∴(1,1,1)DE =，71(,,0)42DF =，(1,2,0)DC =． 设平面DEF 的一个法向量为111(,,)m x y z =，由11111071042m DE x y z m DF x y ⎧=++=⎪⎨=+=⎪⎩，取12x =-，得(2,7,5)m =--； 设平面DEC 的一个法向量为222(,,)n x y z =， 由22222020n DE x y z n DC x y ⎧=++=⎪⎨=+=⎪⎩，取22x =-，得(2,1,1)n =-． |||cos |||||44925411m nm n θ∴===+++． sin θ∴= 【总结与归纳】本题考查利用空间向量求空间角，考查空间想象能力与逻辑思维能力和运算求解能力，是中档题．25．（10分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X ，恰有2个黑球的概率为n p ，恰有1个黑球的概率为n q ．（1）求1p ，1q 和2p ，2q ；（2）求2n n p q +与112n n p q --+的递推关系式和n X 的数学期望()n E X （用n 表示）．【思路分析】（1）利用已知条件求出113p =，123q =，推出2p ；2q 即可． （2）推出11239n n n p p q +=+，11293n n q q +=-+，得到11122(2)33n n n n p q p q +++=++，推出11121(21)3n n n n p q p q --+-=+-，说明数列{21}n n p q +-是首项为13，公比为13的等比数列，然后求解的通项公式以及期望即可． 【解析】：（1）由题意可知：113p =，123q =，则211121733327p p q =+⨯=； 2112221116()3333327q p q =+⨯+⨯=． （2）由题意可知：11211233339n n n n n p p q p q +=+⨯=+， 122211212()(1)33333393n n n n n n q p q p q q +=+⨯+⨯+--=-+， 两式相加可得11212122(2)33333n n n n n n p q p q p q +++=++=++， 则：11122(2)33n n n n p q p q --+=++，所以，11121(21)3n n n n p q p q --+-=+-， 因为111213p q +-=，数列{21}n n p q +-是首项为13，公比为13的等比数列， 所以121()3n n n p q +-=， 即12()13n n n p q +=+， 所以1()20(1)()13n n n n n n E X p q p q =++⨯--=+． 【总结与归纳】本题考查数列与概率相结合，期望的求法，数列的递推关系式以及通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是难题．。
2020年高考数学试题-江苏卷(参考答案)
所以 u(x)min u(1) 0 .则 x 1 ln x 恒成立， 所以当且仅当 k 0 时， f (x) g(x) 恒成立． 另一方面， f (x) h(x) 恒成立，即 x2 x 1 kx k 恒成立， 也即 x2 (1 k)x 1 +k 0 恒成立． 因为 k 0 ，对称轴为 x 1 k 0 ，
（2）在
△ADC
中，因为
cos ADC 4 5
，所以
ADC
为钝角，而
ADC C CAD 180 ， 所 以 C 为 锐 角 . 故 cos C 1 sin 2 C 2 5 , 则 5
tan C sin C 1 . 因 为 cos ADC 4 ， 所 以 sin ADC 1 cos2 ADC 3 ，
（2）因为 B1C 平面 ABC ， AB 平面 ABC ，所以 B1C AB 。又 AB AC ，B1C 平
面 AB1C1 ， AC 平面 AB1C ， B1C AC C ，所以 AB 平面 AB1C 。又因为 AB 平
面 ABB1 ，所以平面 AB1C 平面 ABB1 。
16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等 基础知识，考查运算求解能力。满分 14 分。
Sn1 1 3
Sn
3
Sn1 1 ． Sn
令
Sn1 Sn
bn ，则 bn
1
3 3
bn2
1 ，即 (bn
1)2
1 3
(bn2
1)(bn
1) ．
解得 bn 2 ，即
Sn1 Sn
2
，也即
Sn1 Sn
4，
所以数列{Sn} 是公比为4的等比数列．
因为
S1
2020年江苏省高考数学试卷(原卷版)
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
参考公式：
柱体的体积 ，其中 是柱体的底面积， 是柱体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
（1）求p1·q1和p2·q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1 递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 (万元)(k>0).问 为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?
18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在极坐标系中，已知点 在直线 上，点 在圆 上（其中 ， ）．
（1）求 ， 的值
（2）求出直线 与圆 的公共点的极坐标．
2020年江苏高考数学试卷及答案(含附加题)
2020年江苏高考数学试卷及答案（含附加题）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}0,2,3B =，则A B = __________。
2.已知i 是虚数单位，则复数()()12z i i =+-的实部是__________。
3.已知一组数据4，2a，3-a，5，6的平均数为4，则a 的值是__________。
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是。
5.右图是一个算法流程图,若输出y的值为-2,则输入x的值为。
6.在平面直角坐标系xOy中22y =,若双曲线()222105x y a a -=>的一条渐近线方程为52y x =,则该双曲线的离心率是。
7．已知()y f x =是奇函数，当0x >时，23()f x x =，则(8)f -的值是。
8.已知22sin +=43πα（），则sin 2α的值是。
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是3cm 。
10.将函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度，则平移后的图像与y 轴最近的对称轴方程是。
11.设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，已知数列{}+n n a b 的前项和()221n n S n n n N *=-+-∈，则d q +的值是。
12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是。
13.在△ABC 中，4AB =，=3AC ，∠=90BAC °，D 在边AC 上，延长AD P 到，使得=9AP ，若32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（m 为常数），则CD 的长度是。
2020年江苏省高考数学试卷及答案详解,
2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1. 已知集合B={0,2,3}，A={−1,0,1,2}，则A∩B=________.2. 已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是________.3. 已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是________.4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________.5. 下图是一个算法流程图，若输出y值为−2，则输入x的值是________.6. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，则该双曲线的离心率是________.7. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x 23，则f(−8)的值是________.8. 已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是________.9. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正________cm 2.10. 将函数y =3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________.11. 设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列.已知{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，则d +q 的值是________.12. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R )，则x 2+y 2的最小值是________.13. 在△ABC 中，AB =4， AC =3， ∠BAC =90∘，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA →=mPB →+(32−m)PC →(m 为常数），则CD 的长度是________.14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P (√32,0)，A ，B 是圆C:x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是________. 二、解答题15. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证： EF//平面AB 1C 1；(2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1.16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知a=3，c=√2，∠B=45∘.(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−45，求tan∠DAC的值.17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线（O′在AB上）．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离ℎ1（米）与D到OO′的距离a（米）之间满足关系式ℎ1=140a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离ℎ2（米）与F到OO′的距离b（米）之间满足关系式ℎ2=−1800b3+6b．已知点B到OO′的距离为40米．(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF. 且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）. 桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价32k（万元）(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．(1)求△AF1F2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →⋅QP →的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19. 已知关于x 的函数y =f (x ) ，y =g (x )与ℎ(x )=kx +b (k,b ∈R )在区间D 上恒有f (x )≥ℎ(x )≥g (x ).(1)若f (x )=x 2+2x ，g (x )=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x )的表达式；(2)若f (x )=x 2−x +1，g (x )=k ln x ，ℎ(x )=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f (x )=x 4−2x 2，g (x )=4x 2−8，ℎ(x )=4(t 3−t )x −3t 4+2t 2(0<|t|≤√2)，D =[m,n ]⊂[−√2,√2]，求证：n −m ≤√7.20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k=λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列. (1)若等差数列是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案与试题解析2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1.【答案】{0,2}【考点】交集及其运算【解析】集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B．【解答】解：集合B={0,2,3}，A={−1,0,1,2}，则A∩B={0,2}.故答案为：{0,2}.【点评】此题暂无点评2.【答案】3【考点】复数代数形式的混合运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：z=(1+i)(2−i)=3+i，则实部为3.故答案为：3.【点评】此题暂无点评3.【答案】2【考点】众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】=4，解：由4+2a+(3−a)+5+65可知a=2.故答案为：2.此题暂无点评4.【答案】19【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】解：总事件数为6×6=36，满足条件的事件为(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 1)为共4种，则点数和为5的概率为436=19.故答案为：19.【点评】此题暂无点评5.【答案】−3【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知当y=−2时，当x>0时，y=2x=−2，无解；当x<0时，y=x+1=−2，解得：x=−3. 故答案为：−3.【点评】此题暂无点评6.【答案】32【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：由x 2a2−y25=1得渐近线方程为y=±√5ax.∴c2=a2+5=9，∴c=3，∴离心率e=ca =32.故答案为：32. 【点评】此题暂无点评7.【答案】−4【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x 2 3，则f(−8)=−f(8)=−823=−4.故答案为：−4.【点评】此题暂无点评8.【答案】13【考点】二倍角的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为sin2(π4+α)=23，由sin2(π4+α)=12[1−cos(π2+2α)]=12(1+sin2α)=23，解得sin2α=13.故答案为：13.9.【答案】12√3−π2【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：记此六角螺帽毛坯的体积为V，正六棱柱的体积为V1，内孔的体积为V2，则V1=6×12×2×2×sin60∘×2=12√3，V2=π×(0.5)2×2=π2，所以V=V1−V2=12√3−π2.故答案为：12√3−π2.【点评】此题暂无点评10.【答案】x=−5π24【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=3sin(2x+π4)，将函数f(x)=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度得：g(x)=f(x−π6)=3sin(2x−π3+π4)=3sin(2x−π12)，则y=g(x)的对称轴为2x−π12=π2+kπ,k∈Z，即x=7π24+kπ2,k∈Z.当k=0时，x=7π24，当k=−1时，x=−5π24，故答案为：x =−5π24. 【点评】 此题暂无点评 11.【答案】 4【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为{a n +b n }的前n 项和为： S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)， 当n =1时，a 1+b 1=1，当n ≥2时，a n +b n =S n −S n−1 =2n −2+2n−1， 所以当n ≥2时，a n =2(n −1)，b n =2n−1，且当n =1时，a 1+b 1=0+1=1成立， 则d =a 2−a 1=2−0=2， q =b 2b 1=21=2，则d +q =4. 故答案为：4. 【点评】 此题暂无点评 12. 【答案】45【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤[(5x 2+y 2)+4y 22]2=254(x 2+y 2)2，故x 2+y 2≥45，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2， 即x 2=310，y 2=12时取(x 2+y 2)min =45.【点评】 此题暂无点评 13. 【答案】 185【考点】二倍角的正弦公式 正弦定理 向量的共线定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由向量系数m +(32−m)=32为常数， 结合等和线性质可知|PA →||PD →|=321，故PD =23PA =6，AD =PA −PD =3=AC ，故∠C =∠CDA ，故∠CAD =π−2C . 在△ABC 中，cos C =ACBC =35.在△ADC ，由正弦定理CDsin ∠CAD =ADsin C ， 即CD =sin (π−2C)sin C⋅AD =sin 2C sin C⋅AD =2AD cos C=2×35×3=185.故答案为：185. 【点评】 此题暂无点评 14. 【答案】10√5 【考点】与圆有关的最值问题 利用导数研究函数的最值【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，∵PA=PB，CA=CB=R=6，∴PC⊥AB.∵EF为直径，要使面积S△PAB最大，则P，D位于C点两侧，并设CD=x，计算可知PC=1，故PD=1+x, AB=2BD=2√36−x2，故S△PAB=12AB⋅PD=(1+x)⋅√36−x2.令x=6cosθ，其中θ∈(0, π2)，S△PAB=(1+x)√36−x2=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ.记函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，则f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos2θ+cosθ−6).令f′(θ)=6(12cos2θ+cosθ−6)=0，解得cosθ=23或cosθ=−34<0(舍去)，显然，当0≤cosθ<23时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减；当23<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增.结合cosθ在(0,π2)递减，故cosθ=23时，f(θ)最大，此时sinθ=√1−cos2θ=√53，故f(θ)max=6×√53+36×√53×23=10√5，即△PAB面积的最大值是10√5.故答案为：10√5.【点评】此题暂无点评二、解答题15.【答案】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF//AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂面ABC，所以B1C⊥AB.又因为AB⊥AC，AC∩B1C=C，AC⊂面AB1C，B1C⊂面AB1C，所以AB⊥面AB1C.因为AB⊂面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF//AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂面ABC，所以B1C⊥AB.又因为AB⊥AC，AC∩B1C=C，AC⊂面AB1C，B1C⊂面AB1C，所以AB⊥面AB1C.因为AB⊂面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.【点评】此题暂无点评16.【答案】解：(1)由余弦定理，得cos B=cos45∘=a2+c2−b22ac=26√2=√22，因此b2=5，即b=√5.由正弦定理csin C =bsin B，得√2sin C=√5√22，因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=−45，所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35，因为∠ADC∈(π2, π)，所以C∈(0, π2)，所以cos C=√1−sin2∠C=2√55，所以sin∠DAC=sin(π−∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) =sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525.因为∠DAC∈(0, π2)，所以cos∠DAC=√1−sin2∠DAC=11√525，故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC =211.【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由余弦定理，得cos B=cos45∘=a2+c2−b22ac=26√2=√22，因此b2=5，即b=√5.由正弦定理csin C =bsin B，得√2sin C=√5√22，因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=−45，所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35，因为∠ADC∈(π2, π)，所以C∈(0, π2)，所以cos C=√1−sin2∠C=2√55，所以sin∠DAC=sin(π−∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) =sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525.因为∠DAC∈(0, π2)，所以cos∠DAC=√1−sin2∠DAC=11√525，故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC =211.【点评】此题暂无点评17.【答案】解：(1)过A，B分别作MN的垂线，垂足为A1，B1，则AA 1=BB 1=−1800×403+6×40=160. 令140a 2=160，得a =80，所以AO ′=80，AB =AO ′+BO ′=80+40=120(米). 故桥AB 的长度为120米.(2)设O ′E =x ，则CO ′=80−x ， 由{0<x <40，0<80−x <80， 解得：0<x <40， 则总造价y =3k 2[160−140(80−x )2]+k [160−(−1800x 3+6x)] =k 800(x 3−30x 2+160×800)(0<x <40)，则y ′=k800(3x 2−60x )=3k800x (x −20).因为k >0，所以令y ′=0，得x =0或20， 所以当0<x <20时， y ′<0，y 单调递减； 当20<x <40时， y ′>0，y 单调递增，所以，当x =20时，y 取最小值155k ，此时造价最低． 答： O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低． 【考点】利用导数研究函数的最值 函数模型的选择与应用【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)过A ，B 分别作MN 的垂线，垂足为A 1，B 1，则AA 1=BB 1=−1800×403+6×40=160. 令140a 2=160，得a =80，所以AO ′=80，AB =AO ′+BO ′=80+40=120(米). 故桥AB 的长度为120米.(2)设O ′E =x ，则CO ′=80−x ， 由{0<x <40，0<80−x <80， 解得：0<x <40， 则总造价y =3k 2[160−140(80−x )2]+k [160−(−1800x 3+6x)] =k 800(x 3−30x 2+160×800)(0<x <40)，则y ′=k800(3x 2−60x )=3k800x (x −20).因为k >0，所以令y ′=0，得x =0或20， 所以当0<x <20时， y ′<0，y 单调递减； 当20<x <40时， y ′>0，y 单调递增，所以，当x =20时，y 取最小值155k ，此时造价最低． 答： O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低． 【点评】 此题暂无点评 18.【答案】解：(1)由题意知，△AF 1F 2的周长l =2a +2c =6. (2)由椭圆方程得A (1,32)， 设点P (t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t ).令x =a 2c=4，得y Q =6−32t 1−t，即Q(4,12−3t2−2t)，则QP →=(t −4,12−3t 2t−2)，所以OP →⋅QP →=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 即OF →⋅QP →的最小值为−4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1，M 到直线AB 的距离为d 2. 若S 2=3S 1，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3， 即d 2=3d 1.由题意可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0， 所以d 1=35,d 2=95.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点.设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95，所以√9+16=95，即m =−6或12． 当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2). 联立{y =34(x −2),x 24+y 23=1,可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2,y M =0,或{x M =−27,y M =−127,所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4). 联立{y =34(x +4),x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0，Δ=9×(36−56)<0，所以无解． 综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127).【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 椭圆中的平面几何问题 直线与椭圆结合的最值问题【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知，△AF 1F 2的周长l =2a +2c =6. (2)由椭圆方程得A (1,32)，设点P (t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t ).令x =a 2c=4，得y Q =6−32t 1−t，即Q(4,12−3t 2−2t)，则QP →=(t −4,12−3t 2t−2)，所以OP →⋅QP →=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 即OF →⋅QP →的最小值为−4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1，M 到直线AB 的距离为d 2. 若S 2=3S 1，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3， 即d 2=3d 1.由题意可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35,d 2=95.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点. 设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95， 所以√9+16=95，即m =−6或12． 当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2). 联立{y =34(x −2),x 24+y 23=1,可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2,y M =0或{x M =−27,y M=−127,所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4).联立{y =34(x +4),x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0，Δ=9×(36−56)<0，所以无解． 综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127). 【点评】 此题暂无点评 19. 【答案】(1)解：由f(x)=g(x)，得x=0,f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图像为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x符合题意.(2)解：ℎ(x)−g(x)=k(x−1−ln x)，设φ(x)=x−1−ln x，则φ′(x)=1−1x =x−1x，可得φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0.令p(x)=f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k) =x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得当x=k+1≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，所以k=−1；当k+1>0时，Δ≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，(k+1)(k−3)≤0，−1<k≤3.综上，k∈[0,3]．(3)证明：因为f(x)=x4−2x2，所以f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，所以函数y=f(x)的图像在x=x0处的切线为y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图像在x=t(0<|t|≤√2)处的切线.又因为由函数y=f x的图像可知，当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2].又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0.设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t，x1x2=3t4−2t2−84，所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t4−8)=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ，则λ∈[1,2]，由图像可知n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√φ(λ)max=√7，即n−m≤√7.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题函数与方程的综合运用利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由f(x)=g(x)，得x=0,f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图像为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x符合题意.(2)解：ℎ(x)−g(x)=k(x−1−ln x)，设φ(x)=x−1−ln x，则φ′(x)=1−1x =x−1x，可得φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0.令p(x)=f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k) =x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得当x=k+1≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，所以k=−1；当k+1>0时，Δ≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，(k+1)(k−3)≤0，−1<k≤3.综上，k∈[0,3]．(3)证明：因为f(x)=x4−2x2，所以f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，所以函数y=f(x)的图像在x=x0处的切线为y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图像在x=t(0<|t|≤√2)处的切线.又因为当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2].又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0.设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t，，x1x2=3t4−2t2−84所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t4−8)=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ，则λ∈[1,2]，由图像可知n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√φ(λ)max=√7，即n−m≤√7.【点评】此题暂无点评20.【答案】解：(1)k=1时，a n+1=S n+1−S n=λa n+1，由n为任意正整数，且a1=1，a n≠0，可得λ=1.(2)√S n+1−√S n=√3√a n+1，3a n+1=S n+1−S n=√3√a n+1(√S n+1+√S n)，3因此√S n+1+√S n=√3√a n+1，√3a n+1，即√S n+1=23S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 所以S n+1=4S n .又S 1=a 1=1，S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2.综上，a n ={1，n =1，3⋅4n−2，n ≥2.(n ∈N ∗) (3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n ). 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0， 令p n =(S n+1S n )13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0可得p n =1，则S n+1=S n ，即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }； λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n 2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，Δ=(1−t)2−4<0，p n 2+(1−t)p n +1=0无解，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ③t =3时，(p n −1)3=0， 则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ④t >3即0<λ<1时，Δ=(1−t)2−4>0， p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β. 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0， 则0<α<1<β， 则对任意n ∈N ∗，S n+1S n =1或S n+1S n =α3或S n+1S n =β3，此时S n =1，S n ={1，n =1，α3，n ≥2，S n ={1,n =1,2β3，n ≥3均符合条件， 对应a n ={1,n =1,0,n ≥2，a n ={1,n =1,α3−1,n =2,0,n ≥3，a n ={1,n =1,β3−1,n =3,0,n =2,n ≥4,则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0. 综上，0<λ<1.【考点】数列递推式一元二次方程的根的分布与系数的关系 等比数列的通项公式等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)k =1时，a n+1=S n+1−S n =λa n+1， 由n 为任意正整数，且a 1=1，a n ≠0， 可得λ=1.(2)√S n+1−√S n =√33√a n+1， a n+1=S n+1−S n =√33√a n+1(√S n+1+√S n )，因此√S n+1+√S n =√3√a n+1， 即√S n+1=23√3a n+1， S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 所以S n+1=4S n .又S 1=a 1=1，S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2.综上，a n ={1，n =1，3⋅4n−2，n ≥2.(n ∈N ∗) (3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n ). 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0， 令p n =(S n+1S n )13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0可得p n =1，则S n+1=S n ，即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }； λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n 2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，Δ=(1−t)2−4<0，p n 2+(1−t)p n +1=0无解，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ③t =3时，(p n −1)3=0， 则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；④t >3即0<λ<1时，Δ=(1−t)2−4>0， p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β. 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0， 则0<α<1<β，则对任意n ∈N ∗，S n+1S n =1或S n+1S n =α3或S n+1S n =β3，此时S n =1，S n ={1，n =1，α3，n ≥2，S n ={1,n =1,2β3，n ≥3均符合条件， 对应a n ={1,n =1,0,n ≥2，a n ={1,n =1,α3−1,n =2,0,n ≥3，a n ={1,n =1,β3−1,n =3,0,n =2,n ≥4,则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0. 综上，0<λ<1.【点评】此题暂无点评。
2020年江苏省高考数学试卷（含详细解析）
保密★启用前2020年江苏省高考数学试卷—.■总分得分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分1.已知集合A=(—l,0,l,2},g=(0,2,3},则AC\B=.2.己知i是虚数单位，则复数Z=(l+i)(2-i)的实部.3.己知一组数据4.2劣3—",5,6的平均数为4,则。
的值是______.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______.5.如图是一个算法流程图.若输出)'的值为-2,则输入.1的值是•6.在平而直角坐标系X。
)，中，若双曲线竺-22=l(a>0)的一条渐近线方程为y=2^/52 x,则该双曲线的离心率是—・7.己知.汽心)是奇函数，当官时，门刁=指，则直罚的值是8.已知sin'U+a)=二.则sin2tz的值是____.439.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.己知螺帽的底面正六边形边长为2cm.高为2cm.内孔半轻为0.5cm.则此六角螺帽右坯的体枳是—cm.10,将函数y=3sin(2wf)的图象向右平移兰个单位长度，则平移后的图象中与y轴最46近的对称轴的方程是—.11.设｛叫｝是公差为，的等差数列，(加J是公比为g的等比数列.已知数列｛”〃+“｝的前〃项和/一〃+2〃一1(〃£FT),则d+q的值是12.已知5亍八寸=1(矽苗),则J2的最小值是________.13.在△ABC中，仙=4AC=3,ZBAC=90°,D在边8C上，延长AO到F,使得AP=9.14.在平而直角坐标系xOy中.己知,0),1△是圆G”+。
-或)・=36上的两个动点，满足PA=PB，则△用8而积的最大值是二、解答题评卷人得分15.在三棱柱ABC-A\B\C｝中，AB1AC.&C1平而ABC,E,F分别是AC,3C的中点......O...........O.....I-.....O.....滨......O............O ※※寒※※即※※田※※s?I※※II※※堞※※I※※群※※点※※军浓※（1）求证：段〃平而/IF i C i：（2）求证：平面AB.CL平而ABB,.16.在△ABC中,角A. B.C的对边分别为〃，b,c,己知”=3.c=JI b=45Q.1）⑴求sinC的值:4（2）在边8C上取一点。