北师大版初三数学秋季班(教师版) 第13讲 二次函数存在性问题--基础版

北师大初三数学9年级上册秋季版（教师版）
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第13讲 二次函数存在性问题
知识点1二次函数中直角三角形存在性问题 二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于
y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ）， 由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．
【典例】
1.如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C （0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ，点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点（点P 在第三象限）
（1）求抛物线的函数表达式和直线BC 的函数表达式；
（2）当△CDE 是直角三角形，且∠CDE=90° 时，求出点P 的坐标；
（3）当△PBC 的面积为时，求点E 的坐标．
【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴﹣﹣=1，
∴b=﹣2
∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），
∴c=﹣3，
∴抛物线的函数表达式为：y=x2﹣2x﹣3；
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0．
∴x1=﹣1，x2=3．
∵A点在B点左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
设过点B（3，0）、C（0，﹣3）的直线的函数表达式为y=kx+m，
则，
∴
∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3；
（2）∵Rt△CDE 中∠CDE=90°，直线BC的解析式为y=x﹣3，
∴∠OCB=45°，
∵点D在对称轴x=1与直线y=x﹣3交点上，
∴D坐标为（1，﹣2 ）
Rt△CDE为等腰直角三角形易得E的坐标（0，﹣1），
∵点P在CE垂直平分线上，
∴点P纵坐标为﹣2，
∵点P在y=x2﹣2x﹣3上，
∴x2﹣2x﹣3=﹣2，
解得：x=1±，
∵P在第三象限，
∴P的坐标为（1﹣，﹣2）；
（3）过P作PK∥x轴，交直线BC于点K，设P（m，n），则n=m2﹣2m﹣3∵直线BC的解析式为y=x﹣3，
∴K的坐标为（n+3，n），
∴PK=n+3﹣m=m2﹣3m，
∵S △PBC =S △PKC +S △PKB =
，
∴×3KP= ∴m 2﹣3m=，
解得：m=﹣或，
∵P 在第三象限，
∴P 的坐标为（﹣，﹣）
∵点P 在CE 垂直平分线上，
∴E 的坐标为（0，﹣）
【方法总结】
探究直角三角形的存在性问题时，具体方法如下：
（1）先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；
（2）找点：当所给定长没有说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下： ①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；
②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；
（3）计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边（表示线段时，注意代数式的符号）。

再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点坐标。

【随堂练习】
1．（2019•禅城区二模）如图，已知直线2x m =-+与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点(1,4)A 为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．
（1）求m 的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P 是x 轴上一点，当ABP ∆为直角三角形时直接写出点P 的坐标．
【解答】解：（1）将点A 坐标代入2y x m =-+得：42m =-+，解得：6m =；
（2）26y x =-+，令0y =，则3x =，故点(3,0)B ，
则二次函数表达式为：2(1)4y a x =-+，
将点B 的坐标代入上式得：20(31)4a =-+，
解得：1a =-，
故抛物线的表达式为：22(1)423y x x x =--+=-++；
（3）①当90ABP ∠=︒时，
直线AB 的表达式为：26y x =-+，
则直线PB 的表达式中的k 值为1
2，
设直线PB 的表达式为：12
y x b =+， 将点B 的坐标代入上式得：1032
b =⨯+， 解得：32
b =-， 即直线PB 的表达式为：1322
y x =
-， 当1x =时，1y =-，
即点(1,1)P -；
②当()90AP P B ∠'=︒时，
点(1,0)P '； 故点P 的坐标为(1,1)-或(1,0)．
2．（2019•郊区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线2x =-与x 轴交与点C ，与抛物线2y x bx c =-++交于点A ，此抛物线与x 轴的正半轴交于点(1,0)B ，且2AC BC =．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点．过点P 作PD 垂直于x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使3DE PE =．
①求点P 的坐标；
②在直线PD 上是否存在点M ，使ABM ∆为以AB 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）直线2x =-与x 轴交于点C ，
∴点(2,0)C -，
(1,0)B ，
3BC ∴=，
2AC BC =，
6AC ∴=，
直线2x =-与抛物线交于点A ，
∴点(2,6)A -，
把点A 、B 的坐标代入解析式，得：
42610b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：34
b c =-⎧
⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：234y x x =--+；
（2）①P 是直线AB 上方的抛物线上的一点，
∴设点P 的坐标为2(,34)a a a --+，
设直线AB 的解析式为AB y kx b =+，
将点A 、B 的坐标代入解析式，得：
260k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：22
k b =-⎧
⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为：22y x =-+，
PD x ⊥轴于点D ，交AB 于点E ，
∴点E 的坐标为(,22)a a -+，
22DE a ∴=-+，2234(22)2PE a a a a a =--+--+=--+，
3DE PE =，
2223(2)a a a ∴-+=--+，解得：11a =（舍去），24
3a =-，
当4
3x =-时，24456
()3()4339y =---⨯-+=，
∴点P 的坐标为4(3-，56
)9； ②点M 在直线PD 上，
∴设点M 的坐标为4
(3-，)m ，
点(2,6)A -，点(1,0)B ，
AB ∴=AM =BM = ABM ∆为以AB 为直角边的直角三角形，
Ⅰ：当BM 为斜边时，可得：222AB AM BM +=， 即2244945(6)99m m ++-=+，解得：193
m =， ∴点M 的坐标为4
(3-，
19)3； Ⅱ：当AM 为斜边时，可得：222AB BM AM +=， 即2249445(6)99m m ++=+-，解得：76
m =-， ∴点M 的坐标为4
(3-，7)6-；
综上所述，符合题意的点M 的坐标为14(3M -，19)3、24(3
M -，7)6-．
知识点2二次函数中等腰三角形存在性问题
此知识点是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（2）（3）问，符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需要分类讨论．
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y=ax 2+bx ﹣1经过点A （﹣2，1）和点B （﹣1，﹣1），抛物线C 2：y=2x 2+x+1，动直线x=t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ．
（1）求抛物线C 1的表达式；
（2）直接用含t 的代数式表示线段MN 的长；
（3）当△AMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值；。