四川省石室中学2019届高三一诊模拟数学(理)试题
成都石室中学2019届高三12月一诊模拟数学理试卷(含答案)
四川省成都石室中学2019届高三12月一诊模拟数学理试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，集合，那么集合A.[0,1）【答案】C【解析】解：解；；；；B. C. D.得，；；．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查对数函数和幂函数的单调性，描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．2.若向量，是非零向量，则“”是“，夹角为”的A. C.充分不必要条件充要条件B.D.必要不充分条件既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：向量，是非零向量，，夹角为，“”是“，夹角为”的充要条件．故选：C．根据充分条件和必要条件的定义结合向量的运算进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的运算是解决本题的关键．3.已知等差数列中，前n项和，满足，则A.54B.63C.72D.81【答案】B【解析】解：等差数列，故选：B．中，前n项和，满足，，．利用等差数列前n项和公式得，求出，再由，能求出结果．本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知双曲线C：A. B.，其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为C. D.【答案】A【解析】解：双曲线C：，其焦点到C的一条渐近线的距离为2，可得，可得，，所以，所以双曲线的离心率为：．故选：A．求出双曲线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，然后利用已知条件求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程以及离心率求法，考查计算能力．5.下列结论正确的是A. C.当当且时，时，无最小值B.D.当当时，时，【答案】B【解析】解：当误；时，，可得；当时，，，故A错由的导数为，当时，函数y递增；当时，函数y递减，可得函数y的最小值为1，即，即，故B正确；第2 页，共17 页当时，递增，可得时，取得最小值，故C错误；当时，递增，可得最小值为，故D错误．故选：B．讨论，，结合对数的性质，以及基本不等式可判断A；由的导数，判断单调性和最小值，可判断B；由当时，递增，可判断C；由当时，递增，可判断D．本题考查函数的最值求法，注意运用基本不等式和导数判断单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．6.的展开式中，常数项为14，则A.【答案】D 【解析】解：B.14的展开式的通项为C. D.2．取，得．则，即．故选：D．写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，再由常数项为14求得a值．本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7.已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，若，则A.【答案】AB. C. D.【解析】解：根据题意，函数满足，则有，即函数的周期为4，故，，若，则有，又由函数又由当为奇函数，则有，变形可得，时，，则有，解可得；故选：A．根据题意，分析可得函数的周期为4，进而可得，，据此可得，则有，结合函数的周期性可得，结合函数的解析式可得答案．本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．8.已知，则的面积为A.A. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，，，有，则可得，则则故选：A．根据向量数量积和面积公式可求得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．1，9.如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱，其三视图如图所示，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图所示，可以将四三棱柱补形为长方体，可得，则异面直线与所成角为，由三视图可知，，．即异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．由题意，可以将四三棱柱补形为长方体，得到异面直线第4 页，共17 页与所成角，再由余弦定理求解．本题考查空间几何体的三视图，考查异面直线所成角的求法，关键是找出异面直线所成角，是中档题．10.已知函数，将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知分别在，处取得最大值和最小值，则的最小值为A.【答案】BB. C. D.【解析】解：函数，将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，可得的图象；再向左平移个单位，得到函数的图象．已知分别在，处取得最大值和最小值，，．则，故当时，取得最小值为，故选：B．利用三角恒等变换化简的解析式，再利用函数的图象变换规律求得的解析式，根据正弦函数的最值条件求得的最小值．本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的最值，属于中档题．11.已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，则面积的最小值为A.【答案】C【解析】解：物线C：，，抛物线C：，B. C. D.的焦点坐标为，设，，，，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为，则两切线的交点为，由AB过点，设直线方程为，，由，消y可得，，，，点Q到直线AB的距离当时，此时面积最小，最小值为，故选：C．先求出抛物线的方程，再分别表示出两个切线方程，联立可求得Q的坐标表示出点Q到直线AB的距离，设直线AB的方程，抛物线联立求，根据韦达定理和弦长公式求出AB，利用三角形面积公式表示出三角形面积，即可求出面积的最大值本题主要考查了抛物线与直线的位置关系，点到直线距离公式的应用考查了学生分析推理和运算的能力，属于中档题，且，则方程的实数12.已知函数，根的个数不可能为A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】解：设，则，由题意知有两个根，，且，，不妨设，则，，当或时，，当时，，则在时，取得极小值，第6 页，共17 页在处取得极大值，当，，，，则由图象知，当，时，方程，有5个不同的解，当，当，即方程时，方程，有4个不同的解，时，方程，有3个不同的解，的实数根的个数为3或4或5，不可能是6个，故选：D．利用换元法设，则，结合t的范围，以及，的根的个数，利用数形结合进行判断即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数图象交点个数，结合数形结合是解决本题的关键综合性较强．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件【答案】12【解析】解：x，y满足约束条件由图象可知：，则的最大值______．的可行域如图，目标函数过点z取得最大值，，故答案为：12．先画出x，y满足约束条件时的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最小值．在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解．14.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出y的值为______．【答案】【解析】解：模拟程序的运行，可得当当当当时，，此时；时，，此时；时，，此时；时，，此时；故输出的y的值为：．故答案为：．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15.已知数列中，，，设其前n项和为，若对任意的，恒成立，则k的最小值为______．【答案】【解析】解：由，变形为：，，数列是公比为2，首项为1的等比数列．．．对任意的，．令，则时，．时，．，数列恒成立，的前3项单调递增，从第3项开始单调递减．时，数列取得最大值，．第8 页，共17 页故答案为：．由，变形为：，，利用等比数列的通项公式可得，利用求和公式可得代入，化简，通过作差利用数列的单调性即可得出最小值．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、转化法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，G为线段EC上的动点，则下列结论中正确的是______；该几何体外接球的表面积为；若G为EC中点，则平面AEF；的最小值为3．【答案】【解析】解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，可得0，，0，，1，，1，，1，，0，，即有1，，1，，由，可得，故正确；由球心在过正方形ABCD的中心的垂面上，即为矩形BDEF的对角线的交点，可得半径为，即有该几何体外接球的表面积为，故正确；若G为EC中点，可得1，，0，，0，，1，，设平面AEF的法向量为y，，可得，且，可设，可得一个法向量为，由，可得则平面AEF，故正确；，设t，，当时，取得最小值，故错误．故答案为：．以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求得D，A，B，C，F，E的坐标，由，的坐标表示，可判断；确定球心为矩形BDEF的对角线交点，求得半径，可判断；求得G的坐标，求得平面AEF的法向量，计算可判断；设出G的坐标，由两点的距离公式，结合二次函数的最值求法，可判断．本题考查空间线面的位置关系和空间线线角的求法，以及向量法解决空间问题，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，一点．求c；若，求．的面积为，F为边AC上【答案】本题满分为12分解：，，的面积为，解得：，分由余弦定理可得：由可得，，分在，，分中，由正弦定理，可得：，，分，，分，分【解析】由已知利用三角形的面积公式可求b的值，根据余弦定理可得c的值；由可得，可求，，由已知根据正弦定理，由，可求，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解的值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.如图，在四棱锥求证：平面中，底面为菱形，已知，，．平面ABCD；求直线AE与平面CED的所成角的正弦值．第10 页，共17 页【答案】证明：如图，过D作，连结EO，，，，≌，，，，，由勾股定理逆定理得，，，，面ABE，面ABCD，平面面ABE，平面ABCD．面ABE，解：由知，，，如图，以O为坐标原点，分别以OE，OB，OD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由已知得0，，，，0，，，2，，，设面CED的法向量y，，则，取，得设直线AE与平面CED所成角为，0，，则，直线AE与平面CED的所成角的正弦值为．【解析】过D作，连结EO，推导出≌，，，从而面ABE，由此能证明平面平面ABCD．由，，，以O为坐标原点，分别以OE，OB，OD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面CED的所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份月份代码x 市场占有率123456 111316152021请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元辆和800元辆的A，B两款车型报废年限各不相同考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：报废年限车型AB 1年2年3年4年总计10304020100 15403510100经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，．参考公式：相关系数回归直线方程为其中：，．，第12页，共17页【答案】解：散点图如图所示，，，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．，又，，回归直线方程为，2018年2月的月份代码，，所以估计2018年2月的市场占有率为．用频率估计概率，A款单车的利润X的分布列为：05001000XP元．B款单车的利润Y的分布列为：YP2007001200元以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B款车型．【解析】画出散点图，求出相关系数，判断线性相关性即可；求出回归方程的系数，求出回归方程，代入函数值检验即可；求出分布列，求出数学期望比较即可判断．本题考查了散点图，考查回归方程以及分布列和数学期望，是一道中档题．20.已知圆：，点，C为圆上任意一点，点P在直线OC上，且满足，，点P的轨迹为曲线E．求曲线E的方程；若直线l：不与坐标轴重合与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线O M、ON 的斜率分别为、，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围．【答案】解：由，可得，则点P的轨迹是以则，，为焦点的椭圆，，则曲线E的方程为，设，，则，消y可得，，，当当由于时，，时，，对任意k恒成立，则，，，综上所述．第14 页，共17 页【解析】由题意可得点P的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出曲线E的方程，设，根据韦达定理结合斜率公式，以及，可得，再分类讨论，根据判别式即可求出的取值范围本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用圆锥曲线性质，注意合理地进行等价转化，是中档题．21.已知函数，其中，，．若是的一条切线，求a的值；在间的前提下，对任意的实数，若存在正实数，，使得，求的最小正整数值．【答案】解：的导数为，设与相切于，可得，，化为，设，导数为，当时，递增；时，递减，可得处取得最小值0，则，；，可得，即，设，令，，时，递减；时，递增，可得，即有，设，对恒成立，在令，，可得，可得由n为正整数，可得n的最小值为4，即递减，的最小值为4．舍去，【解析】求得的导数，设出切点，可得切线的斜率，可得a，m的方程，解得m，a；由题意可得可得，即，设，令，求得导数和单调性，可得最小值，再由不等式恒成立和一次函数的单调性，解不等式可得所求最小值．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查构造函数法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．22.在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为：为参数，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为：，直线与曲线交于A，B两点，求曲线的普通方程及若点，求的最小值；的最大值．【答案】解：曲线的极坐标方程为：，，曲线的普通方程为，即．直线的参数方程为：直线与曲线交于A，B两点，为参数，最小时，圆心距最大为，的最小值为：．设直线上点A，B对应参数方程将直线与方程联立方程，得：为参数的参数分别为，，，，，，，当时，取最大值70．【解析】由曲线的极坐标方程，能求出曲线的普通方程由的最小值．最小时，圆心距最大为，能求出将直线与方程联立方程，得，从而，，进而，由此能求出的最大值．本题考查曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查两线段平方和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知函数，当时，解不等式；若存在，使得不等式的解集非空，求b的取值范围．【答案】解：解不等式当时，函数，化为，即，，第16 页，共17 页解得，不等式的解集为；由，得，设，则不等式的解集非空，等价于；由，；由题意知存在，使得上式成立；在上的最大值为，而函数；即b的取值范围是【解析】时不等式化为，根据绝对值的定义求出解集即可；由不等式得，构造函数，不等式的解集非空等价于，利用绝对值不等式求出在上的最大值即可．本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数在某一区间上的最值问题，是中档题．。
成都石室中学12月份一诊模拟数学(理科参考答案)
x2 y 2 1 ； ……………………5 分 6 2
6km x1 x2 3k 2 1 x2 y 2 1 3m 2 6 2 2 2 (1 3 k ) x 6 kmx 3 m 6 0 x x 2 6 1 2 3k 2 1 y kx m 12(2 m2 6k 2 ) 0
· · · · · · · · · · · 9分
n (1,0,1)
设直线 AE 与平面 CED 的所成角为
sin cos n, EA
3 6 6 ,则直线 AE 与平面 CED 的所成角的正弦值为 .· · · · · · · · · · · 12 分 4 4 22
（2）由（1）可知 DO EO, DO AB, EO AB ，如图，以 O 为坐标原点， OE 为 x 轴正方向， OB 为
理科数学参考答案 第1页 共 6页
y 轴正方向， OD 为 z 轴正方向建立空间直角坐标系 O xyz
由已知得 E
· · · · · · · · · · · 7分
2
……………………10 分
2 2 2
由 12(2 m 6k ) 0 对任意 k 恒成立，则 m 2 6k 0 m 2 ， ( 标注：对于任意的 k ，直线 l : y kx m均与椭圆相交，直接得到点 (0, m) 位于椭圆内部，也可得
理科数学参考答案
第3页 共 6页
CBF 2 CBF 3 4
2 2
· · · · · · · · · · · 9分 · · · · · · · · · · · 10 分
四川省2019届高三第一次诊断性测试数学(理)试题含答案.doc
四川省2019届高三第一次诊断性考试数学试题（理科）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4 = {（x,y）|x+y = 2}, B = {（x,y）|x-y = 4},则集合A B=（）A. x = 3, y = —1B. (3,-1) c. {3,-1} D. {(3,-1)}2.复数2 + i的共辘复数是（)A. 2-iB. -2-zC. i-2D. z + 23.下列函数中，既是偶函数又在（0,+8）上单调递增的函数是（)1A. y =——B. y =COSXC. y ——x~D. y"xTT4.为了得到函数^ = 2sin（x —一）的图像，只需把函数y = 2sinx的图像上所有点（）5IT TTA.向左平行移动上个单位长度B.向右平行移动上个单位长度9 7TC.向左平行移动一个单位长度D.向右平行移动一个单位氏度5.某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在［40,90］之间，英得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）▲频率B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在（60,80）的概率为0.5C. 这100名参赛者得分的中位数为65D. 估计得分的众数为55—r 216. 设椭圆—+ ^ = 1(7« >0,n>0)的焦点与抛物线x 2=8y 的焦点相同，离心率为一，则府 iv 2 m —n=( )A. 2>/3 —4B. 4—3>/3C. 4>/3 —8D. 8-4^57. 执行如图所示的程序框图，若输入x = 8,则输出的y 值为( )&已知等差数列｛%｝的公差为2,若4，色，勺成等比数列，贝艸色｝前10项的和为(9•己知函数/(切的导函数为/(X ),且满足f(x) = 2xf \e) + lnx (其中幺为自然对数的底数)，则 f(e )=( )10.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(X -2)2 + /=1都相切，则 双曲线C的离心率是()?7 cID. 3A. 10B. 8C. 6D. -8C. 一1D. 1A. 2或迹B. 2或羽C.、疗或鱼D.巫或世3 2 3 211.己知函数/(x) = ^(sinx+cosx),记广(兀)是/⑴的导函数，将满足f \x) = 0的所有正数兀从小到大排成数列｛%｝,〃"，贝|擞列｛/(兀)｝的通项公式是( )A. (_1)'匕一俗“B. (一1)卄»必C. (一1)〃八”D. (_1)"5一曲)“12.如图，在RtAABC中，ZACB = 90°, AC = l f BC = x(x>Q), D 是斜边AB 的中点, 将ABCD 沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB丄AD,则兀的取值范圉A. (—,2)B. [73,2^3]C. (0,2)D.((),舲]第II卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知向量a = (—1,1), b = (8,k),若allb,则实数R 二_______________ •x-y>014.若满足约束条件< x+y-l<Q ,贝ijz = 2x+y的最大值为__________________ .j + l>09"x _ 2 y < o'一，则/(2019)= _______________ ./(x-2) + l,x>016.已知直线I: y = kx与圆x2 +y2— 2x-2y+ 1 = 0相交于A, B两点，点M (0, h),且MA丄MB,若〃w (1,2),则实数R的収值范围是2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•)17.MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,己知sinA + cosA = 0.(1)求tan A ；｛（2）若b = 2 , c = 3,求\ABC的面积.一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格:人数兀10152025303540件数y471215202327（1）在给定的能标系屮画出表中数据的散点图，并由散点图判断销售件数y与进店人数兀是否线性相关？（给出判断即可，不必说明理由）（2）建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）,预测进店人数为80时，商品销售的件数（结果保留整数）._ _ 7 _ ___ 7参考数据：兀=25 , y = 15.43 ,工彳=5075,7(x)2 = 4375 , Ixy = 2700,工兀％ = 3245.1=1 1=1A工I-心_ _参考公式：回归方程y = hx+a,其中 --------------- , a = ^-^x.£彳_论）2/=130252015105O19.如图所示，四棱锥S- ABCD中，SA丄底面ABCD, ZABC = 90° , AE =品,BC = 1,AD = 2^, ZACD = 60°, E 为CD 的中点.5 10 15 20 25 30 35 40 :(1)求证：BCH平面SAE；(2)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.20.已知椭圆C的屮心在原点0,直线/:x+73y-V3= 0与坐标轴的交点是椭圆C的两个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)若M,N是椭圆C上的两点，且满足OMON = 0,求|M/V|的最小值.21.已知函数/(x) = xlnx.(1)求曲线y = /(%)在点(1,/(1))处的切线方程；(2)设b>a>0,证明：0v/(a) + /(b)-2/(仝空)<@ —讪2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程V在平面直角坐标系兀Oy中，曲线P的参数方程为< 4 (f为参数)，在以坐标原点为极点,yhx轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为Q2-8QCOS&+15=0.(1)求曲线P的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)点M为曲线P上的动点，N为曲线C上的动点，求|MN|的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知f(x) =| x+11 +1 兀一11, g(x) = -a.(1)若a = -4f求不等式f(x)-g(x)<0的解集;(2)若函数/(兀)的图像与函数g(Q 的图像有交点，求G 的取值范围.试卷答案一、 选择题1-5: DADBC 6-10: ABABA 11、 12： CD二、 填空题13. -814.3 15. 1010 16. (1,6-阿)(64-^23,-Foo)三、 解答题17. (1)因为sinA+cosA = \/2cos(A-450) = 0,所以 cos(A-45°) = 0,又0°<A<180°,所以A —45° =90°, 即 4 = 135°,所以 tan A = tan 135° =-1.(2)由(1)得A = 135°,乂 b = 2,(所以S E1, . 4 1 o Q V2 3^2= —bcsm A = —x2x3x ——= ----- . 2 2 2 218. (1)图形(略)由散点图可以判断，商品件数y 与进店人数兀线性相关7 _ _(2)因为工兀y =3245,兀= 25, y = 15.43, /=!7 _ ___工#=5075, 7(x)2=4375, Ixy = 2700, Z=17____A工栩- 7xy所以b= ------------ —丫#-7(疔1=1所以 sin A = sin 135° V2 23245-2700 5075-4375a = = 15.43-0.78x25 = -4.07所以回归方程y = 0.78x 一4.07 , 当x = 80时，y = 0.78x80-4.07 = 58 (件)所以预测进店人数为80时，商品销售的件数为58件.19. (1)证明：因为 AB =羽,BC = 1, ZABC = 90°, 所以 AC = 2f ABC A = 60°,在 AACQ 中，AD = 2羽,AC = 2f ZACD = 60°, 由余弦定理可得：AD 2 = AC 2 + CD 1 -2 AC CD cos ZACD 解得：CD = 4所以AC 2 + AD~ = CD 2,所以AACD 是直角三角形， 又E 为CD 的中点，所以AE = -CD = CE2又ZACD = 60°,所以AACE 为等边三角形， 所以 ZCAE = 60° = ZBCA ,所以 BC//AE, 又AEu 平面SAE f BC Q 平面SAE f 所以BC//平面SAE.(2)解：rtl (1)可知ZBAE = 90°,以点4为原点，以AB, AE f AS 所在直线分别为兀轴,y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 5(0,0,2), B(A /3,0,0), C(J§,l,0), £>(-73,3,0).所以5B = (>/3,0,-2), SC = (巧,1,一2), 50 = (-73,3,-2).即 fV3x-2z = 0[\/3x+ y-2z = 0设n = (x, y, z)为平面SBC 的法向量,则SB"[/? 5C = 0设兀=1 则严0, 即平面SBC的一个法向量为n = (1,0,所以cos < n, SD >=""-2馆|w|l5D|V21 ~7~所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为—.720.(1)因为l:x+\l^y-羽=0与x轴交点为(、疗,0),与y轴交点为(0,1),又直线/与坐标轴交点为椭圆C的顶点，所以椭圆的顶点为(、疗,0), (0,1),故所求椭圆方程为亍yN(-r2 sin 0. /; cos0),其中 /; =| OM \, r2 =| ON |,从而—+ —r = —+ 1 =—・r； r； 3 31 1 厂2 2又(斥+才)(=+ =)= 2 +七+ (当且仅当时取等号)故所求|MN|的最小值为乔.21.(1)由题意/(I) = 0,又/G) = lnx+1,所以广(1) = 1，因此y = /(兀)在点(1,/(!))处的切线方程为y-0 = lx(x-l),即x-y-l = 0(2)证明：因为Ovcvb,所以->1由于/(d) + /(b)-2/(9^) = alna + blnb-2 匕也n竺么aln2L + bln2-2 2 2 a + b a + b2 2设函数F(Q = In ——+ x\n—— (x > 1)1 + x 1 + x2 YF\x) = [In 2 - ln(l + x) + x In 2x - x ln(l + x)] * = In ----1 + x2 Y当兀>1时，^>1,所以F,(x)>0,1 + x所以F(x)在(1,+oo)上是单调递增函数，又F(l) = 0,所以F(兀)>0(兀>1),所以F(-) > 0 ,即/s)+ /(b) —2/(学)>0a 2bzy A A A② f(a) + f(b) - 2/(——)<(b-a)ln2等价于In —- + — In -^― < 0, "2 1 +八1 +色a a令x = — >1 ,a4 x设两数g(x) = ln ------ + xln — (x>\)1+x1+xxg \x) = [ln4 - ln(l + x) + x\nx -xln(l + x)]1 = In —1 + xX当兀〉1时，0<——<1,所以gd)<0,1 + x所以g(兀)在(l,+oo)上是单调递减函数,又g(l) = 0 ,所以gM < 0 (x > 1)所以g (纟)< 0 ,即/(d) + f(b)— 2/(学)<(b-a)\n2a 2综上①②可得：0 v /⑺)+ /(b) — 2/(出)v @ —a) In 2.22. (1)将曲线P的参数方程消去参数Z,得尸=4兀，将°2=兀2 +丿2, x = pcos0代入曲线C的极坐标方程得%2-8X4-/+15 = 0,即(X-4)2+尸=] (2)由(1)知，圆C的圆心C(4,0),半径r = lt2由抛物线的参数方程，设点M(-,r)4则 | MC|=J(^-4)2+(r-0)2-t2 +16 =£ J(F -8)2 +192所以当尸=8即F = ±2血时，| MC |取得最小值丄V192 =2^3,4此时I MN\的最小值为|MC|inin -r = 2V3-l.23. (1)不等式f(x)-g(x)< 0 可化为|x + l| + |x-l|<4,当%<-1时，不等式化为-2%<4,解得x>—2,故—2vx5—1；当—lvx< 1时，不等式化为2<4成立，故-1<X<1；当兀〉1时，不等式化为2x<4,解得兀<2,故1 <兀<2,综上得若。
成都石室中学高2019级“一诊”模拟考试(理综)
成都石室中学高2019级一诊”模拟考试理综试题可能用到的相对原子量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Fe 56 Cu 64 Ag 108第I卷本卷共21小题，每小题6分，共126分一.选择题：（本大题共13小题，每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1 .下列有关无机盐功能的说法不正确的是（）A. 由碘参与组成的甲状腺激素，是内环境的成分之一B. —定浓度的NaCI溶液可溶解DNA可用于DNA的粗提取与分离C. NaHPQ/Na z HPQ可作为缓冲物质，在血浆中维持PH呈相对稳定的状态D. 用CaCl2处理细菌，可增大细菌细胞膜通透性，有利于目的基因的导入2.下图为体液免疫过程，分析图形。
哪项说法符合题意（）细胞D抗原T细胞A T细胞 4细胞 S细胞 1某种球蛋白f IA. 细胞B为B淋巴细胞，由造血干细胞在骨髓中发育而成B. 细胞E产生的是淋巴因子，可加强免疫效应C. 细胞E产生的球蛋白具有特异性识别功能D. 所有抗原一定要经过细胞A、细胞B才能被细胞C所识别3.右图为人体进食后，某种营养物质在人血液中含量的变化曲线，二对该图的相关叙述不正确的是（）-A. 该营养物质的含量变化可引起下丘脑某区域兴奋=B. 该营养物质以主动运输的方式进入血浆，导致AB段上升C. BC段下降与胰岛B细胞分泌的胰岛素有关二D. CD段上升的主要原因是肾上腺素和甲状腺激素协同作用，匚促进肝糖元分解■:.4•科学家从苏云金芽孢杆菌中提取抗虫的基因，“放入”棉细胞'中，然后培育出了抗虫棉植株。
下列有关抗虫棉植株培育的叙述，正确的是（A. 只能用鸟枪法提取抗虫基因B. 用同种限制酶对供体细胞DNA和质粒切割，可获得相同的黏性末端C. 苏云金芽孢杆菌和抗虫棉细胞中，前者基因的编码区是不连续的D. 要提高抗虫物质的合成速率，只能对抗虫基因的编码区进行修饰5•“白菜-甘蓝”是用细胞工程的方法培育出来的蔬菜新品种，它具有生长周期短、耐热性强和易于储存等优点，下图所示是“白菜-甘蓝”培育过程，相关叙述错误的是（）白號期BHA盘亠第鲨c、②（©③m E G ------- H廿故期电B上4期电° "A. 细胞A和C放在蒸馏水中后的体积大小不同B. 与杂种细胞F相比，G的全能性更高C. 过程④和⑤都会进行细胞的分裂和分化D. ⑤在一定的高温环境中培养得到符合要求的H6、有关下列说法不正确的是( )A、二氯丙烷(GHCI2)的同分异构体共有3种B蛋白质溶液具有丁达尔效应，说明该蛋白质分子直径约1nm~ 100 nmC光导纤维被广泛应用，制造它的主要原料是二氧化硅D福尔马林溶液可以使蛋白质变性，所以农业上可以用福尔马林溶液浸制生物标本7、设N A表示阿伏加德罗常数的值，下列说法中正确的是( )A 4.6 g乙醇中含有的C— H键的个数为0.6 N AB 34 gH2O2中含有的阴离子数为NkC标准状况下，11.2 LCHCI 3中含有的分子数为0.5 N AD 9.2gNQ和N2O4混合气体中含有的原子总数为0.6N A8、短周期元素W X、Y、Z的原子序数依次增大，W与Y、X与Z位于同一主族，W与X可形成共化合物WX, Y原子的内层电子总数是其最外层电子数的 2.5倍。
成都石室中学 一诊模拟试卷数学 理科
成都石室中学高2019届十二月份一诊模拟试卷数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{|A x y ==，集合12{|,0}B y y x x ==>，那么集合()U C A B =A ．∅B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(1,)+∞2．若向量,a b 是非零向量，则“||||a b a b +=-”是“,a b 夹角为2π”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3. 已知等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足7235S S -=，则9S = A ．54B ．63C ．72D ．814. 已知双曲线C ：2221(0)9y x b b-=>，其焦点F 到C 的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为 ABC ．23D ．325. 下列结论正确的是A ．当0x >且1x ≠时，1ln 2ln x x+≥ B ．当0x >时，ln x x > C ．当2x ≥时，1x x-无最小值 D ．当2x ≥时，12x x +≥6．72(a x的展开式中，常数项为14，则a =A ． 14-B ． 14C ．2-D ． 27.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)=(2)f x f x +-，且当(2,0)x ∈-时，2()log (3)f x x a =++，若(13)2(7)1f f =+，则a =A ．43-B ．34-C ．43D ．348．已知()cos22,cos68AB =，()2cos52,2cos38AC =，则ABC △的面积为A ．12BCD ．19. 如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱111ABCA B C ，其三视图如图所示，则异面直线1B A 与1A C 所成角的余弦值为A.45 B.C.D.10.已知函数()3sin 22f x x x =，将()f x 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，已知()g x 分别在1x ，2x 处取得最大值和最小值，则12x x +的最小值为 A.3π B.23π C.π D.43π11. 已知抛物线2:C y ax =的焦点坐标为(0,1)，点(0,3)P ，过点P 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，过,A B 分别作抛物线C 的切线，两切线交于点Q ，则QAB ∆面积的最小值为A． B． C． D．12. 已知函数2()24(0)f x ax bx a a =+->，241()exx x g x ++=，且(2e)0f ->，则方程[()]0f g x =的实数根的个数不可能为A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =+的最大值为 . 14. 执行如图所示的程序框图，若输入12x =，则输出y 的值为______.15. 已知数列{}n a 中，121n n a a +=-，12a =，设其前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，(1)23nSn k n +-≥-恒成立，则k 的最小值为________.16. 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，且1ED FB ==，G 为线段EC 上的动点，则下列结论中正确的是_________.①EC AF ⊥；②该几何体外接球的表面积为3π； ③若G 为EC 中点，则//GB 平面AEF ； ④22AG BG +的最小值为3.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17.（本题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知6C π=，2a =，ABC ∆F 为边AC 上一点.（1）求c ；（2）若CF =，求sin BFC ∠.18.（本题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面为菱形,已知60DAB EAB ∠=∠=︒，2AD AE ==，DE =.（1）求证：平面ABE ⊥平面ABCD ；（2）求直线AE 与平面CED 的所成角的正弦值．19．（本题满分12分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：（1）请用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系； （2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2018年12月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A ，B 两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中20. （本题满分12分）已知圆221:(2)24O x y ++=，点2(2,0)O ，C 为圆1O 上任意一点，点P 在直线1O C 上，且满足222O C O M =，20PM CO ⋅=，点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+（不与坐标轴重合）与曲线E 交于,M N 两点，O 为坐标原点，设直线OM 、ON 的斜率分别为1k 、2k ，对任意的斜率k ，若存在实数λ，使得12()0k k k λ++=，求实数λ的取值范围.21. （本题满分12分）已知函数()=ln 1f x a x -，其中0a ≠，()2=1g x x -，()()()h x f x g x =+.（1）若23y x =-是()f x 的一条切线，求a 的值；（2）在（1）问的前提下，对任意的实数[1,2]λ∈，若存在正实数12,x x ，使得()1212()()h x h x x x λ+=+，求12x x +的最小正整数值.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为:2cos (1sin x t t y t αα=+⎧⎨=-+⎩为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为：=6cos 8sin ρθθ-，直线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，（1）求曲线2C 的普通方程及AB 的最小值； （2）若点(2,1)P -，求22PA PB +的最大值.23. 选修4-5：不等式选讲（1）当2a =时，解不等式()2f x x +<；（2的解集非空，求b 的取值范围.。
成都石室中学高一诊模拟考试数学(理)试题
成都石室中学高20XX 届一诊模拟考试数学试题（理科）NO 姓名 考试时间选择题 填空题 解答题总分第I 卷 （选择题部分 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项，把答案涂在答题卷上.） 1.若复数112m ii +++是实数，则实数m =（ ） A.12 B. 1 C. 32D. 22. 已知向量(),1a t =与()4,b t =共线且方向相同，则a b ⋅=（ ）A. 10-B. 1C. 2-D. 103. 已知集合{}220A x x x =--<，{}2log B x x m =>，若A B ⊆，则m 的取值范围是（ ）A.(]0,4B. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4. 在等比数列{}n a 中，若48,a a 是方程2430x x -+=的两根，则6a =（ ）A.3 B. 3- C. 3± D. 3±5. 将两颗骰子各掷一次，设事件A 为“两个点数不相同”，B 为“至少出现一个1点”，则概率()P A B =（ ）A. 1011B. 511C. 518D. 5366. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）A. 11B. 63C. 13D. 657. 网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积是（ ）A. 83B. 73C. 53D. 438. 函数()21cos 24f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A. ()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B.()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. ()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D.(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦9. 三棱锥P ABC -内接于半径为2的球中，PA ⊥平面ABC ，4A π=，2BC =，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（ ）StartEnd 1,0i S ==50?S >21S S =+NYOutput i21i i =+A.B.C.D. 10. 已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为12F F 、，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于B C 、点，且2BC CF =，则双曲线的离心率的平方为（ ）A.5+ B.4+ C.3+D. 1+11. 如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 所在平面内一点，设1,PD PE 与底面ABCD 所成角分别为12,θθ（12,θθ均不为0），若12θθ=， 则三棱锥1A DPC -体积的最大值是（ ）A. 2B. 3C.154 D. 19412. 已知数列{}n a 满足143n n a a n ++=+且*2,0n n N a n ∀∈+≥，则2016a 的取值范围是（ ）A. []4028,4043B. []4026,4042C. []4017,4029D. []4024,4036二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在相应的位置上.） 13. 若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为 .14. 在()()512x x +-的展开式中，3x 的系数为 .15. 已知22:1O x y +=，若直线2y +上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线相互垂直，则实数k 的最小值为 .16. 设函数()()()22ln f x x a x a =-+-，其中0,x a R >∈，存在0x 使得()012f x ≤成立，则实数a 的取值范围为 .A 1E三、解答题（17-21每小题12分，22题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 如图，点P 在ABC ∆内，2AB CP ==，3BC =，P B π∠+∠=，记∠（I ）试用α表示AP 的长；（II ）求四边形ABCP 的面积的最大值，并求此时α的值.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=，点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F .（I ）求证：AB EF ； （II ）若2PA PD AD ===，平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值.B AP ECBD F19. 20XX 年，我省数学学科将使用新课标全国卷作为高考用卷.现有一所学校（以下简称A 校），为了调查该（I ）根据以上数据，能否有90%的把握认为A 校师生“支持使用新课标全国卷”与“师生身份”有关？ （II ）现将这100名师生按教师、学生身份进行分层抽样，从中抽取10人，试求恰好抽取到持“反对使用新课标全国卷”态度的教师2人的概率；（III ）将上述调查所得到的频率视为概率，从A 校所有师生中，采用随机抽样的方法抽取4位师生进行深入调查，记被抽取的4位师生中持“支持新课标全国卷”态度的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望()E X .【参考公式】()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【参考数据】20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()121,01,0F F -、，过2F 的直线l 交椭圆于不同的两点M N 、，当l x ⊥轴时，3MN =.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）1F MN ∆的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21. 已知函数()1tx x f x xe e =-+，其中R t ∈，e 2.71828=是自然对数的底数.（I ）当0t =时，求函数()f x 的最大值；（II ）证明：当11t e<-时，方程()1f x =无实根；（III ）若函数()f x 是()0,+∞内的减函数，求实数t 的取值范围.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）；以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（I ）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设P 是曲线1C 上的动点，求P 到2C 上的点的距离的最小值.成都市成都七中高三年级第一学期半期考试数学试题（理科）答案。
四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
石室中学高2019届2018～2019学年下期二模考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，集合，.若，则复数等于（）A.1 B. -1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数的概念得到集合Q，计算集合P与集合Q的补集，即可确定出复数z.【详解】,,则，即zi=-1,z=,故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题.2.已知为第二象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将平方得到cos sin，再将所求平方，结合为第二象限角即可得到答案.【详解】∵，平方得，∴2cos sin＝﹣∴，∵为第二象限角，∴【点睛】本题考查同角三角函数关系式，考查之间关系的应用，属于基础题.3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（）A.， B. ，C.， D. ，【答案】A【解析】分析：首先根据平均数的求解方法，代入式子，求得，利用方差的定义和计算公式，求得，从而可以判断其大小关系，求得结果.详解：根据题意有，而，故选C.点睛：该题考查的是有关一组数据的平均数和方差的计算公式，所以在解题的过程中，利用平均数和方差的公式，求新添一个值之后的平均数和方差，从而得到结果.4.设，则使成立的必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得，然后再结合题意对每个选项进行验证、判断后可得结果．【详解】由可得，解得．选项A中，“”是“”成立的充要条件，所以A不符合题意；选项B中，由“”成立不能得到“”成立，反之，当“”成立时，“”成立，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B符合题意；选项C中，“”是“”的既不充分也不必要条件，所以C不符合题意；选项D中，“”是“”的充分不必要条件，所以D不符合题意．故选B．【点睛】解题的关键是正确理解“使成立的必要不充分条件”的含义，即由可得所选结论成立，而由所选的结论不能得到成立．本题考查对充分、必要条件概念的理解，属于基础题．5.设等比数列的前项和为，公比为.若，，则（）A. 3B.C.D. 2【分析】根据题意分析可得等比数列{a n}的公比q≠±1，进而由等比数列的前n项和公式可得q＝2，从而可得a1值.【详解】等比数列{a n}中，若S6＝9S3，则q≠±1，若S6＝9S3，则，解可得q3＝8，则q＝2，又由S5＝62，则有S5＝＝31a1＝62，解得a1＝2；故选：D．【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．6. 甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A. 2种B. 10种C. 12种D. 14种【答案】D【解析】试题分析：甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游的情况有种，其中周六或周日没有同学参加郊游的情况有种，故周六、周日都有同学参加郊游的情况共有种.考点：计数原理．7.函数的零点构成一个公差的等差数列，要得到的图象，可将的图象（）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】由题意得函数周期为π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．【详解】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可得函数的周期为π，即＝π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．函数＝sin（+2x+）＝sin[2（x+）+]，【点睛】本题考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图像和性质的应用，考查图像的平移变换规律，要注意平移是在给变量x 本身做变化．8.已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为（）A. 3B.C. 2D. -3【答案】A【解析】动直线与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，于是可设动直线为，根据题意可得，，∵是线段的中点，∴，设，∵，∴，∴，解得，∴，∴，故选A．9.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球体积的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】先用锥体体积公式以及三角形的面积公式得AB•BC＝6，利用余弦定理得出AC的最小值，再利用正弦定理得△ABC 的外接圆半径的最小值r，利用公式可得球半径R的最小值，再利用球体体积公式可得出答案．【详解】因为P A⊥平面ABC，三棱锥P﹣ABC的体积为，得，另一方面，可得AB•BC＝6，由余弦定理得＝AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC＝AB•BC＝6，当且仅当时，等号成立，则AC≥，所以，△ABC的外接圆的直径的最小值为2r=，则球O的半径的最小值为，因此，球O的体积的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查球体体积计算，考查利用锥体体积公式以及三角形的面积公式，考查基本不等式，考查计算能力，属于中等题．10.已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，设,右焦点E,由椭圆的对称性，知是平行四边形，所以在中，由余弦定理得,，选C.【点睛】本题的关键是要看到椭圆的对称性把，转化到焦点中，再应用比值及余弦定理，可得离心率。
2019年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷和答案(理科)
2019年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝}，集合B＝{y|y＝x，x＞0}，那么集合（∁U A）∩B＝（）A．∅B．（0，1]C．（0，1）D．（1，+∞）2．（5分）若向量，是非零向量，则“|+|＝|﹣|”是“，夹角为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知等差数列{a n}中，前n项和S n，满足S7﹣S2＝35，则S9＝（）A．54B．63C．72D．814．（5分）已知双曲线C：＝1（b＞0），其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lnx+≥2B．当x＞0时，x＞lnxC．当x≥2时，x﹣无最小值D．当x≥2时，x+≥26．（5分）（）7的展开式中，常数项为14，则a＝（）A．﹣14B．14C．﹣2D．27．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（x﹣2），且当x∈（﹣2，0）时，f（x）＝log2（x+3）+a，若f（13）＝2f（7）+1，则a＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知＝（cos22°，cos68°），＝（2cos52°，2cos38°）．则△ABC的面积为（）A．B．C．D．19．（5分）如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1，其三视图如图所示，则异面直线B1A与A1C所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝3sin2x+cos2x，将f（x）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，已知g（x）分别在x1，x2处取得最大值和最小值，则|x1+x2|的最小值为．（）A．B．C．πD．11．（5分）已知抛物线C：y＝ax2的焦点坐标为（0，1），点P（0，3），过点P作直线l 交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，则△QAB 面积的最小值为（）A．6B．6C．12D．1212．（5分）已知函数f（x）＝ax2+2bx﹣4a（a＞0），g（x）＝，且f（﹣2e）＞0，则方程f[g（x）]＝0的实数根的个数不可能为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝5x+y的最大值．14．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x＝12，则输出y的值为．15．（5分）已知数列{a n}中，a n+1＝2a n﹣1，a1＝2，设其前n项和为S n，若对任意的n∈N*，（S n+1﹣n）k≥2n﹣3恒成立，则k的最小值为．16．（5分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED＝FB＝1，G为线段EC上的动点，则下列结论中正确的是①EC⊥AF；②该几何体外接球的表面积为3π；③若G为EC中点，则GB∥平面AEF；④AG2+BG2的最小值为3．三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，a＝2，△ABC 的面积为，F为边AC上一点．（1）求c；（2）若CF＝BF，求sin∠BFC．18．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面为菱形，已知∠DAB＝∠EAB＝60°，AD ＝AE＝2，DE＝．（1）求证：平面ABE⊥平面ABCD；（2）求直线AE与平面CED的所成角的正弦值．19．（12分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：（1）请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率； （3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A ，B 两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下： 经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？ 参考数据：，，．参考公式：相关系数＝，回归直线方程为其中：，．20．（12分）已知圆O1：（x+2）2+y2＝24，点O2（2，0），C为圆O1上任意一点，点P在直线O1C上，且满足，＝0，点P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线l：y＝kx+m（不与坐标轴重合）与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，对任意的斜率k，若存在实数λ，使得λ（k1+k2）+k＝0，求实数λ的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣1，其中a≠0，g（x）＝x2﹣1，h（x）＝f（x）+g（x）．（1）若y＝2x﹣3是f（x）的一条切线，求a的值；（2）在（1）间的前提下，对任意的实数λ∈[1，2]，若存在正实数x1，x2，使得h（x1）+h（x2）＝λ（x1+x2），求x1+x2的最小正整数值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为：（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为：ρ＝6cosθ﹣8sinθ，直线C1与曲线C2交于A，B两点，（1）求曲线C2的普通方程及|AB|的最小值；（2）若点P（2，﹣1），求|P A|2+|PB|2的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+a|+1，（1）当a＝2时，解不等式f（x）+x＜2；（2）若存在a∈[﹣，1]，使得不等式f（x）≥b+|2x+a2|的解集非空，求b的取值范围．2019年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：解lnx≥0得，x≥1；∴A＝[1，+∞）；∵x＞0；∴；∴B＝（0，+∞）；∴∁U A＝（﹣∞，1）；∴（∁U A）∩B＝（0，1）．故选：C．2．【解答】解：∵|+|＝|﹣|⇔||2+||2+2＝||2+||2﹣2⇔＝0，∵向量，是非零向量，∴＝0⇔⊥⇔，夹角为∴“|+|＝|﹣|”是“，夹角为”的充要条件．故选：C．3．【解答】解：∵等差数列{a n}中，前n项和S n，满足S7﹣S2＝35，∴a3+a4+a5+a6+a7＝5a5＝35，∴a5＝7，∴S9＝＝9a5＝63．故选：B．4．【解答】解：双曲线C：＝1（b＞0），其焦点F（0，）到C的一条渐近线y＝的距离为2，可得＝2，可得b＝2，a＝3，所以c＝，所以双曲线的离心率为：e＝．故选：A．5．【解答】解：当x＞1时，lnx＞0，可得lnx+≥2；当）＜x＜1时，lnx＜0，lnx+≤﹣2，故A错误；由y＝x﹣lnx的导数为y′＝1﹣，当x＞1时，函数y递增；当0＜x＜1时，函数y递减，可得函数y的最小值为1，即x﹣lnx≥1，即x＞lnx，故B正确；当x≥2时，x﹣递增，可得x＝2时，取得最小值，故C错误；当x≥2时，x+递增，可得最小值为，故D错误．故选：B．6．【解答】解：（）7的展开式的通项为．取，得r＝6．则，即a＝2．故选：D．7．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝f（x﹣2），则有f（x+4）＝f（x），即函数的周期为4，故f（13）＝f（1），f（7）＝f（﹣1），若f（13）＝2f（7）+1，则有f（1）＝2f（﹣1）+1，又由函数f（x）为奇函数，则有﹣f（﹣1）＝2f（﹣1）+1，变形可得f（﹣1）＝﹣，又由当x∈（﹣2，0）时，f（x）＝log2（x+3）+a，则有log2（2）+a＝a+1＝﹣，解可得a＝﹣；故选：A．8．【解答】解：根据题意，＝（cos22°，sin22°），＝（2sin38°，2cos38°），有||＝1，||＝2，则•＝2（cos22°sin38°+sin22°cos38°）＝2sin60°＝可得cos A＝＝，则∠A＝30°则S△ABC＝||||sin∠A＝×故选：A．9．【解答】解：如图所示，可以将四三棱柱补形为长方体ABCD﹣A1B1C1D1，可得B1D∥A1C，则异面直线B1A与A1C所成角为∠DB1A，由三视图可知，，∴cos．即异面直线B1A与A1C所成角的余弦值为．故选：D．10．【解答】解：∵函数f（x）＝3sin2x+cos2x＝2（sin2x+cos2x）＝2sin（2x+），将f（x）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2sin（x+）的图象；再向左平移个单位，得到函数g（x）＝2sin（x+）的图象．已知g（x）分别在x1，x2处取得最大值和最小值，∴x1+＝2kπ+k∈Z，x2+＝2nπ﹣n∈Z．则|x1+x2|＝|2kπ+2nπ﹣|，故当k+n＝0时，|x1+x2|取得最小值为，故选：B．11．【解答】解：物线C：y＝ax2的焦点坐标为（0，1），∴＝1，∴a＝，抛物线C：x2＝4y，设A（x1，x12），B（x1，x12），∵y＝x2，∴y′＝x，过点A的切线方程为y＝x1x﹣x12，过点B的切线方程为y＝x2x﹣x22，则两切线的交点为Q（，），由AB过点（0，3），设直线方程为y＝kx+3，由，消y可得x2﹣4kx﹣12＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣12，∴Q（2k，﹣3），∴|AB|＝•|x1﹣x2|＝•＝4•，∵点Q到直线AB的距离d＝∴S△QAB＝×4•×＝4（k2+3）≥12当k＝0时，此时面积最小，最小值为12，故选：C．12．【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝0，由题意知f（t）＝0有两个根t1，t2，且t1t2＝＝﹣4＜0，∵f（﹣2e）＞0，∴不妨设﹣2e＜t1＜0，则t2＝﹣＞，g′（x）＝，当x＜﹣3或x＞1时，g′（x）＜0，当﹣3＜x＜1时，g′（x）＞0，则在x＝﹣3时，g（x）取得极小值g（﹣3）＝﹣2e3，在x＝1处取得极大值g（1）＝，当x→﹣∞，f（x）→+∞，x→+∞，f（x）→0，则由图象知，当﹣2e＜t1＜0，＜t2＜时，方程g（x）＝t，有5个不同的解，当﹣2e＜t1＜0，t2＝时，方程g（x）＝t，有4个不同的解，当﹣2e＜t1＜0，t2＞时，方程g（x）＝t，有3个不同的解，即方程f[g（x）]＝0的实数根的个数为3或4或5，不可能是6个，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数z＝5x+y过点A（2，2）时z取得最大值，z max＝12，故答案为：12．14．【解答】解：模拟程序的运行，可得当x＝12时，y＝5，此时|y﹣x|＝7；当x＝5时，y＝，此时|y﹣x|＝；当x＝时，y＝﹣，此时|y﹣x|＝；当x＝﹣时，y＝﹣，此时|y﹣x|＝＜1；故输出的y的值为：﹣．故答案为：﹣．15．【解答】解：由a n+1＝2a n﹣1，变形为：a n+1﹣1＝2（a n﹣1），a1﹣1＝1，∴数列{a n﹣1}是公比为2，首项为1的等比数列．∴a n＝1+2n﹣1．∴S n＝+n＝2n﹣1+n．∵对任意的n∈N*，（S n+1﹣n）k≥2n﹣3恒成立，∴k≥．令b n＝，则n＝1时，b1＝﹣＜0．n≥2时，b n＞0．b n+1﹣b n＝﹣＝，数列{b n}的前3项单调递增，从第3项开始单调递减．∴n＝3时，数列b n取得最大值，b3＝．故答案为：．16．【解答】解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，可得D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），F（1，1，1），E（0，0，1），即有＝（0，1，﹣1），＝（0，1，1），由•＝0+1﹣1＝0，可得EC⊥AF，故①正确；由球心在过正方形ABCD的中心的垂面上，即为矩形BDEF的对角线的交点，可得半径为＝，即有该几何体外接球的表面积为4π•＝3π，故②正确；若G为EC中点，可得G（，1，），＝（﹣，0，），＝（﹣1，0，1），＝（0，1，1），设平面AEF的法向量为＝（x，y，z），可得﹣x+z＝0，且y+z＝0，可设x＝1，可得一个法向量为（1，﹣1，1），由•＝﹣+＝0，可得⊥．则GB∥平面AEF，故③正确；设G（0，t，1﹣t）（0≤t≤1），AG2+BG2＝1+t2+（1﹣t）2+1+（1﹣t）2+（1﹣t）2＝4t2﹣6t+5＝4（t﹣）2+，当t＝时，取得最小值，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵C＝，a＝2，△ABC的面积为＝ab sin C＝，∴解得：b＝2，…3分∴由余弦定理可得：c＝＝＝2， (6)分（2）∵由（1）可得a＝c＝2，∴A＝C＝，∠ABC＝π﹣A﹣C＝，…7分∵在△BCF中，由正弦定理，可得：sin∠CBF＝，∵CF＝，∴sin∠CBF＝，…9分∵∠CBF，∴∠CBF＝，…10分∴sin∠CBF＝sin（∠CBF+∠BCF）＝sin（+）＝sin cos+cos sin＝．…12分18．【解答】证明：（1）如图，过D作DO⊥AB，连结EO，∵∠DAB＝∠EAB＝60°，AD＝AE＝2，AO＝AO，∴△DAO≌△EAO，∴∠DOA＝∠EOA＝90°，DO＝EO＝，∵DE＝，∴DO2+EO2＝DE2，由勾股定理逆定理得∠DOE＝90°，∴DO⊥EO，∵DO⊥AB，AB∩EO＝O，AB⊂面ABE，EO⊂面ABE，∴DO⊥面ABE，∵DO⊂面ABCD，∴平面ABE⊥平面ABCD．解：（2）由（1）知DO⊥EO，DO⊥AB，EO⊥AB，如图，以O为坐标原点，分别以OE，OB，OD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由已知得E（，0，0），A（0，﹣1，0），D（0，0，），C（0，2，），∵＝（），＝（0，﹣2，0），＝（﹣，﹣1，0），设面CED的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，1），设直线AE与平面CED所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝，∴直线AE与平面CED的所成角的正弦值为．19．【解答】解：（1）散点图如图所示＝（11+13+16+15+20+21）＝16，∴＝76，∴r＝≈0.96，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．（2）＝＝2，又＝（1+2+3+4+5+6）＝3.5，∴＝﹣＝9，∴回归直线方程为＝2x+9，2018年2月的月份代码x＝7，∴y＝23，所以估计2018年2月的市场占有率为23%．（3）用频率估计概率，A款单车的利润X的分布列为：∴E（X）＝﹣500×0.1+0×0.3+500×0.4+1000×0.2＝350（元）．B款单车的利润Y的分布列为：∴E（Y）＝﹣300×0.15+200×0.4+700×0.35+1200×0.1＝400（元）以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B款车型．20．【解答】解：（1）由|CP|＝|PO2|，可得|PO2|+|PO1|＝2＞4，则点P的轨迹是以O1O2为焦点的椭圆，则a＝，c＝2，∴b＝＝，则曲线E的方程为+＝1，（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，消y可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6＝0，∴△＝36k2m2+4（1+3k2）（3m2﹣6）＝12（2﹣m2+6k2）＞0∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵λ（k1+k2）+k＝λ（+）+k＝λ（+）+k＝λ[2k+]+k＝当k＝0时，λ∈R，当k≠0时，λ＝＝，由于△＝12（2﹣m2+6k2）＞0对任意k恒成立，则m2＜2+6k2，∴0≤m2＜2，∴﹣≤λ＜0，综上所述λ∈[﹣，0）．21．【解答】解：（1）f（x）＝alnx﹣1的导数为f′（x）＝，设y＝2x﹣3与f（x）相切于（m，n），可得2m﹣3＝alnm﹣1，2＝，化为mlnm﹣m+1＝0，设F（x）＝xlnx﹣x+1，导数为F′（x）＝lnx，当x＞1时，F（x）递增；0＜x＜1时，F（x）递减，可得x＝1处F（x）取得最小值0，则m＝1，a＝2；（2）h（x1）+h（x2）＝λ（x1+x2），可得2lnx1x2+x12+x22﹣4＝λ（x1+x2），即（x1+x2）2﹣λ（x1+x2）﹣4＝2x1x2﹣2lnx1x2，设x1x2＝t＞0，令m（t）＝2t﹣2lnt，m′（t）＝2﹣，0＜t＜1时，m（t）递减；t＞1时，m（t）递增，可得m（t）≥m（1）＝2，即有（x1+x2）2﹣λ（x1+x2）﹣4≥2，设x1+x2﹣＝n＞0，n2﹣λn﹣6≥0对λ∈[1，2]恒成立，令φ（λ）＝﹣nλ+n2﹣6，﹣n＜0，φ（λ）在[1，2]递减，可得φ（λ）≥φ（2）＝n2﹣2n﹣6≥0，可得n≥1+（n≤1﹣舍去），由n为正整数，可得n的最小值为4，即x1+x2的最小值为4．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵曲线C2的极坐标方程为：ρ＝6cosθ﹣8sinθ，∴ρ2＝6ρcosθ﹣8ρsinθ，∴曲线C2的普通方程为x2+y2＝6x﹣8y，即（x﹣3）2+（y+4）2＝25．∵直线C1的参数方程为：（t为参数），直线C1与曲线C2交于A，B两点，∴|AB|最小时，圆心距最大为，∴|AB|的最小值为：2＝2．（2）设直线C1上点A，B对应参数方程（t为参数）的参数分别为t1，t2，将直线C1与C2方程联立方程，得：（t cosα﹣1）2+（t sinα+3）2＝25，∴t2﹣2t cosα+6t sinα﹣15＝0，∴t1+t2＝2cosα﹣6sinα，t1t2＝﹣15，∴|P A|2+|PB|2＝＝（2cosα﹣6sinα）2+30＝4cos2α+36sin2α﹣24sinαcosα+300＝34+16（1﹣cos2α）﹣12sin2α＝50﹣20sin（2α+γ）≤70（sin），当sin（2α+γ）＝﹣1时，取最大值70．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）当a＝2时，函数f（x）＝|2x+2|+1，解不等式f（x）+x＜2化为|2x+2|+1+x＜2，即|2x+2|＜1﹣x，∴x﹣1＜2x+2＜1﹣x，解得﹣3＜x＜﹣，∴不等式的解集为{x|﹣3＜x＜﹣}；（2）由f（x）≥b+|2x+a2|，得b≤|2x+a|﹣|2x+a2|+1，设g（x）＝|2x+a|﹣|2x+a2|+1，则不等式的解集非空，等价于b≤g（x）max；由g（x）≤|（2x+a）﹣（2x+a2）|+1＝|a2﹣a|+1，∴b≤|a2﹣a|+1；由题意知存在a∈[﹣，1]，使得上式成立；而函数h（a）＝|a2﹣a|+1在a∈[﹣，1]上的最大值为h（﹣）＝，∴b≤；即b的取值范围是（﹣∞，]．。
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石室中学高2019届“一诊”模拟考试
数学试题（理科）
考试时间：120分钟 总分 150分
一．
选择题（第题5分，共50分）
1.已知集合{}
-2A x x =≥，集合{
}
2
4B x x =≤，则集合()
R B A ⋂=ð（） A.()2∞，+ B.[)2∞，+ C.()()2-∞⋃∞，-2，+ D.(][)22-∞⋃∞，-，+
2.已知a b ，
均为单位向量，且它们的夹角为60
，那么a b -= （） A.1
D.12
3.设a b R ∈，，i 是虚数学单位，则 “0a =”是“复数a bi +为纯虚数”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．若某程序框图如图所示，则执行该程序输出P 的值是（）
A ．21
B ．26
C ．30
D ．55
5．已知,αβ是平面，,m n 是直线，则下列命题不正确的是（）
A ．若,,m n m α⊥∥
则n α⊥B ．若,,m m αβ⊥⊥则αβ∥ C ．若m m n α⊥，，∥则αβ⊥
D ．若m n ααβ⋂=，∥
，则m n ∥ 6．一个四棱锥的底面为正方形，其三
视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（） A ．2
B
．
C.2
D.
7．函数()2232x
log e lnx a f x x --+=的一个极值点在区间()12，内，则实数a 的取值范围是（） A ．()13， B ．()12， C ．()03， D ．()02，
俯视图
侧视图
正视图
8．将标号为123456，
，，，，的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标为12，的小球放入同一个盒子中，则不同的方法共有（）
A ．12种
B ．16种
C ．18种
D ．36种
9．点F 为椭圆()22
2210b x y a b
a +>>=的一个焦点，若椭圆上存在点A 使AOF 为正三角形，那么
椭圆的离心率为（） A
B
C
D
1
10．已知函数()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨
-<⎪⎩，，
≤≤，设方程()()2x
b x b f R -+∈=的四个实根从小到大依
次为1234x x x x ，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（） （1）()()1234100661x x x x <<--<<或；（2）()()1234100661x x x x <<--<>且； （3）123499125x x x x <<<<或；（4）1234925361x x x x <<<<且。
A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
第II 卷（非选择题，共100分）
二．
填空题（第题5分，共25分）
11．若4cos 5α=-
，且α为第三象限角，则sin 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭。
12．7
2x x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，2
x 的系数是。
（用数字作答）
13．函数()110,1x
y a a a ->+=≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线()100mx ny mn +-=>上，
则
11
m n
+的最上值为。
14．点()P a b ，在函数2
3ln x y x +=-的图象上，点
()Q c d ，在函数2y x =+的图象上，则
()
()2
2
a c
b d +--的最小值为。
15．正方体1111ABCD A BC D -为棱长为1，
动点P Q ，
C 1
D 1
A 1
分别在棱1BC CC ，上，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S ，设,B P xC Q y ==，其中[]01x y ∈，，，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）
①当0x =时，S 为矩形，其面积最大为1； ②当1
2
x y ==时，S 为等腰梯形； ③当11122x y ⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
，，时，设S 与棱11C D 的交点为R ，则112RD y =-；
④当1y =时，以1B 为顶点，S 为底面的棱锥的体积为定值1
3。
三．
解答题（16-19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）
16．设ABC 的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知112cos 4
a b C ===，，
， （I ）求ABC 的周长；（II ）求()cos A C -的值。
17．为了解甲、乙两厂的产品质量，已知甲厂生产的产品共有98件，采用分层抽样的方法从甲、乙
两厂生产的产品中分别抽取出14件和5件，测量产品中的微量元素x y ，的含量（单位：毫克）。
下表是乙厂的5件产品的测量数据：
（I ）当产品中微量元素x y ，满足1755x y ，且≥≥时，该产品为优等品。
用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（II ）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取2件产品中优等品数ξ的分布列及其均
值（即数学期望）。
18．正项等差数列{}n a 中，已知12315a a a ++=，且1232513a a a +++，，构成等数列{}
n b 的前三项。
（I ）求数列{}{}n n a b ，的通项公式； （II ）求数列{}n n a b 的前n 项和n T 。
19．如图，在四棱锥P D ABC -中，四边形ABCD 是边长
为1的菱形，且60DAB ∠=
，2P P D B A P ===，
E F ，分别是BC PC ，的中点。
（I ）证明：AD DEF ⊥平面； （II ）求二面角P AD B --的余弦值。
20．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为12F F ，，且122FF =，点
312⎛⎫
⎪⎝⎭
，在该椭圆上。
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A B ，两点，若2B AF 的内切圆半径为7
，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程。
21．已知函数()ln x
g x x
=
，()()f x g x ax =-。
（I ）求函数()g x 的单调区间；
（II ）若函数()f x 在区间()1∞，+上是减函数，求实数a 的最小值；
（III ）若存在212x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，，，
（e 是自然对数的底数）使()()'f x f x a +≤，求实数a 的取值范围。