四川省石室中学2019届高三一诊模拟数学(理)试题

石室中学高2019届“一诊”模拟考试

数学试题（理科）

考试时间：120分钟 总分 150分

一．

选择题（第题5分，共50分）

1.已知集合{}

-2A x x =≥，集合{

}

2

4B x x =≤，则集合()

R B A ?=e（） A.()2∞，+ B.[)2∞，+ C.()()2-∞?∞，-2，+ D.(][)22-∞?∞，-，+

2.已知a b ，

均为单位向量，且它们的夹角为60

，那么a b -= （） A.1

D.12

3.设a b R ∈，，i 是虚数学单位，则 “0a =”是“复数a bi +为纯虚数”的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 4．若某程序框图如图所示，则执行该程序输出P 的值是（）

A ．21

B ．26

C ．30

D ．55

5．已知,αβ是平面，,m n 是直线，则下列命题不正确的是（）

A ．若,,m n m α⊥∥

则n α⊥B ．若,,m m αβ⊥⊥则αβ∥ C ．若m m n α⊥，，∥则αβ⊥

D ．若m n ααβ?=，∥

，则m n ∥ 6．一个四棱锥的底面为正方形，其三

视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（） A ．2

B

．

C.2

D.

7．函数()2232x

log e lnx a f x x --+=的一个极值点在区间()12，内，则实数a 的取值范围是（） A ．()13， B ．()12， C ．()03， D ．()02，

俯视图

侧视图

正视图

8．将标号为123456，

，，，，的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标为12，的小球放入同一个盒子中，则不同的方法共有（）

A ．12种

B ．16种

C ．18种

D ．36种

9．点F 为椭圆()22

2210b x y a b

a +>>=的一个焦点，若椭圆上存在点A 使AOF 为正三角形，那么

椭圆的离心率为（） A

B

C

D

1

10．已知函数()()lg 03636x x f x f x x ?

-

≤≤，设方程()()2x

b x b f R -+∈=的四个实根从小到大依

次为1234x x x x ，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（） （1）()()1234100661x x x x <<--<<或；（2）()()1234100661x x x x <<--<>且； （3）123499125x x x x <<<<或；（4）1234925361x x x x <<<<且。 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0

第II 卷（非选择题，共100分）

二．

填空题（第题5分，共25分）

11．若4cos 5α=-

，且α为第三象限角，则sin 4πα?

?+= ??

?。 12．7

2x x x ??- ??

?的展开式中，2

x 的系数是。（用数字作答）

13．函数()110,1x

y a a a ->+=≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线()100mx ny mn +-=>上，

则

11

m n

+的最上值为。 14．点()P a b ，在函数2

3ln x y x +=-的图象上，点

()Q c d ，在函数2y x =+的图象上，则

()

()2

2

a c

b d +--的最小值为。

15．正方体1111ABCD A BC D -为棱长为1，

动点P Q ，

C 1

D 1

A 1

分别在棱1BC CC ，上，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S ，设,B P xC Q y ==，其中[]01x y ∈，，，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）

①当0x =时，S 为矩形，其面积最大为1； ②当1

2

x y ==时，S 为等腰梯形； ③当11122x y ??

=

∈ ???

，，时，设S 与棱11C D 的交点为R ，则112RD y =-；

④当1y =时，以1B 为顶点，S 为底面的棱锥的体积为定值1

3

。 三．

解答题（16-19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）

16．设ABC 的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知112cos 4

a b C ===，，

， （I ）求ABC 的周长；（II ）求()cos A C -的值。

17．为了解甲、乙两厂的产品质量，已知甲厂生产的产品共有98件，采用分层抽样的方法从甲、乙

两厂生产的产品中分别抽取出14件和5件，测量产品中的微量元素x y ，的含量（单位：毫克）。下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（I ）当产品中微量元素x y ，满足1755x y ，且≥≥时，该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（II ）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取2件产品中优等品数ξ的分布列及其均

值（即数学期望）。

18．正项等差数列{}n a 中，已知12315a a a ++=，且1232513a a a +++，，构成等数列{}

n b 的前三项。

（I ）求数列{}{}n n a b ，的通项公式； （II ）求数列{}n n a b 的前n 项和n T 。

19．如图，在四棱锥P D ABC -中，四边形ABCD 是边长

为1的菱形，且60DAB ∠=

，2P P D B A P ===，

E F ，分别是BC PC ，的中点。

（I ）证明：AD DEF ⊥平面； （II ）求二面角P AD B --的余弦值。

20．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为12F F ，，且122FF =，点

312??

???

，在该椭圆上。 （I ）求椭圆C 的方程；

（II ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A B ，两点，若2B AF 的内切圆半径为7

，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程。 21．已知函数()ln x

g x x

=

，()()f x g x ax =-。 （I ）求函数()g x 的单调区间；

（II ）若函数()f x 在区间()1∞，+上是减函数，求实数a 的最小值；

（III ）若存在212x x e e ??∈??，，，

（e 是自然对数的底数）使()()'f x f x a +≤，求实数a 的取值范围。