拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
在半平面 Re s > C 上一定存在.此时右端的积分绝对 收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 F s 为解析 函数
1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换
解
ℒ (t ) 0 (t ) e st dt 1
t 1
所以
f t 1 et
s s s5 例14 已知 F s 求 f (t ) s 3 2 s s s5 5 2 解 F s s s 1 s s
3 2
所以
f t t t t 5
求 f (t ) s 2 9 2 s 2 2s 5 1 3 解 F s 2 2 2 2 2 3 s 2 9 s 2 3 s 2 3
0
我们称上式为函数
f (t ) 的拉普拉斯变换式 ,记做
F ( s ) ℒ f (t ) F ( s) 叫做 f (t ) 的拉氏变换,象函数.
f (t ) 叫做 F ( s ) 的拉氏逆变换,象原函数, f (t ) = ℒ
1
F ( s)
1.2 拉普拉斯变换存在定理
若函数 f (t ) 满足下列条件 Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆 变换 一些常用函数的拉氏变换
(t ) 1
1 e sk
kt
1 u (t ) s
tn n! s n 1
k sin kt 2 s k2
s cos kt 2 s k2
拉氏逆变换的性质 1 ℒ F 1 (s) F 2 (s) f1 (t ) f 2 (t )
拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t) 与复变函数F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
拉普拉斯变换的定义
一个定义在[0,+∞) 区间的函数f(t) ，它的拉普拉斯变换式F(s) 定义为
式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。
由F(s) 到f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为
式中c 为正的有限常数。
留意：
1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开头，即：
它计及t=0-至0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来便利。
2）象函数F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s)，U(s) ，原函数f(t)
用小写字母表示，如i(t),u(t)。
3）象函数F(s) 存在的条件：。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。
左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。
如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。
z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。
作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。
拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。
FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。
拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。
但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，但关于其收敛域的分析（零极点图）依然常用。
Fourier 变换则随着FFT算法（快速傅立叶变换）的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。
拉普拉斯变换公式大全
拉普拉斯变换公式大全1.原始函数的拉普拉斯变换F(s)=L{f(t)}2.常数的拉普拉斯变换对于任意实常数A，其拉普拉斯变换为：L{A}=A/s3.单位冲激函数的拉普拉斯变换单位冲激函数δ(t)的拉普拉斯变换为：L{δ(t)}=14.时延定理时延定理指出，当原始函数向右延时T秒时，其拉普拉斯变换会乘以e^(-sT)。
具体公式如下：L{f(t-T)}=e^(-sT)F(s)5.缩放定理缩放定理指出，当原始函数的变量变为原来的α倍时，其拉普拉斯变换会变为原来的1/α倍。
具体公式如下：L{f(αt)}=1/αF(s/α)6.积分定理积分定理指出，对于原始函数的积分，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s除以s平方。
具体公式如下：L{∫f(t)dt} = 1/sF(s)7.乘积定理乘积定理指出，对于原始函数的乘积，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s替换为s减去相应函数的变换。
具体公式如下：L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)8.指数函数的拉普拉斯变换指数函数e^(at)的拉普拉斯变换为：L{e^(at)} = 1/(s-a)9.幂函数的拉普拉斯变换幂函数t^n的拉普拉斯变换为：L{t^n}=n!/(s^(n+1))10.正弦函数的拉普拉斯变换正弦函数sin(ωt)的拉普拉斯变换可通过欧拉公式和拉普拉斯变换公式进行变换。
具体公式如下：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)以上是拉普拉斯变换的一些重要公式。
通过应用这些公式，我们可以将原始函数在时域上的操作转换为变换域上的操作，从而解决各种线性常微分方程、控制系统和信号处理问题。
拉普拉斯变换
解： Q lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
f 0 lim sF (s) s lim s s s a lim 1 s 1 a s 1
f (0)
❖ 6、终值定理
若
f t F s
则
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
2.3 拉氏反变换
一、定义：
将象函数 F(s) 变换到与其对应的原函数 f (t)
1 2
Rt
2
t0
0
t
上式中R为常数, 表示抛物线函数信号的幅值。
R(s)
Lr(t)
R S3
4、其他常见函数
L[sin t]
s2
2
L[cos t ]
s2
s
2
L[eat ] 1 sa
L[ (t)] 1
2.2 拉氏变换的运算定理
❖ 1、线形定理(叠加+比例)
若
f1 t F1 s f2 t F2 s
0 1
t 0 t 0
F (s) L[ (t)] 1
s
1 1 s
阶跃信号
0 t 0
r(t)
r(t) R t 0
R 0
t
上式中R为常数, 表示阶跃函数信号的幅值。
阶跃函数的拉氏变换为
R(s) L[r(t)] L[R] R s
2、单位斜坡函数
0 t 0 f (t) t t 0
F (s)
s2 3s 5 A1 (s 2)(s 3) 1.5
s 1
1.5 3 2.5 s 1 s 2 s 3
A2
s2 3s 5 (s 1)(s 3)
3
s 2
故原函数为
拉普拉斯变换
d f (t ) s n F (s) s n1 f (0 ) f ( n1) (0 ) L[ ] n dt
n
返 回
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若初始条件为零
3.积分定理 若
f (t ) F ( s)
则
若初始条件为零，则
1 为积分算子 s
4.延迟性质 若： L[ f (t )] F (s)
返 回
pn t
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待定常数的确定： 方法1
K i F ( s)( s pi ) s pi i 1 2、 、 n 、 3
K2 Kn ( s p1 ) F (s) K1 ( s p1 ) s p s pn 2
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
部分分式 展开法
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返 回
N ( s) a0 s a1s am F ( s) (n m) n n 1 D( s) b0 s b1s Fra bibliotek bn 3
d K 21 [( s 1) 2 F ( s)] s 1 d [ s 4 ] s 1 4 ds ds s
f (t ) 4 4e 3te
t
t
返 回
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小结 由F(s)求f(t) 的步骤： n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 N 0 (s) F (s) A D(s)
0
t
6.衰减定理 若 f (t ) F ( s) 则
返 回 上 页 下 页
F1 ( s) F2 ( s)
7.初值定理
若
(完整版)拉普拉斯变换
t
Re(s) 0
4)卷积特性（convolution）
若 则有
f1 (t) L F1 (s) f 2 (t) L F2 (s)
Re( s) s 1 Re( s) s 2
f1 (t) f 2 (t) L F1 (s)F2 (s) Re( s) max( s 1,s 2 )
L[ f1(t) f2 (t)] 0
F
(
s)
1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
0 T 2T 3T
t
定义：f1
(t)
f 0
(t
)
0t T 其它
单边周期信号
f (t)
k 0
f1(t - kT)u(t - kT)
L[ f (t)]
k 0
e-skT F1(s)
F1(s) 1- e-sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1
01
2345 周期方波信号
L[u(t) - u(t -1)] 1- e-s s
F(s) 1- e-s s
1 1- e-2s
1 s(1 e-s )
若
f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (at) L 1 F ( s ) aa
a 0, Re( s) as 0
L[ f (t)]
0-
f (at)e-st dt
1 a 0-
f
-st
(t)e a dt
1
F(
拉普拉斯变换
f (t ) = te
at 0
at
L[te ] = ∫ te e dt =
1 = 2 (s − a)
Modern Control Laplace
+∞
at − st
8．周期函数
1 L[ f (t )] = − sT 1− e
f1 ( t )
∫
T
0
f (t )e dt
− st
b
0
1b
2b
t
Modern
j ωt
f (t ) = F
Modern Control
−1
[F (ω )]
Laplace
一、拉普拉斯变换的定义
Laplace变换 Laplace变换
F ( s) = ∫
+∞
F ( s ) = L[ f (t )]
0
f (t )e dt
− st
Laplace反变换 Laplace反变换
1 σ + j∞ st f (t ) = F ( s ) e ds ∫ 2πj σ − j∞
ω
σ
控制衰减速度
Laplace
二、常用的拉普拉斯变换 1.阶跃函数 1.阶跃函数
f (t ) = u (t ) = 1(t )
L[u( t )] = ∫
∞ 0
(σ > −α )
1 ⋅ e d t = 1 e − st −s
− st
∞ 0
1 = s
Modern
Control
Laplace
二、常用的拉普拉斯变换 2.单位冲激信号 2.单位冲激信号
Control
Laplace
三、拉氏变换的性质 1.线性性质 1.线性性质
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拉普拉斯变换 Prepared on 22 November 2020§13拉普拉斯变换重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤难点：1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用本章与其它章节的联系：是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。
预习知识：积分变换§13－1拉普拉斯变换的定义1.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
2.拉普拉斯变换的定义一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。
由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为式中c为正的有限常数。
注意：1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即：它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。
2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如i(t),u(t)。
3）象函数F(s)存在的条件：3.典型函数的拉氏变换1)单位阶跃函数的象函数2)单位冲激函数的象函数3)指数函数的象函数§13－2拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质列于表中。
表13-1拉氏变换的若干性质和定理特性和定理表达式条件和说明线性a、b为常数位移特性时域延迟为一非负实数频域延迟微分若所有初值为零，则有积分初值定理或存在终值定理或所有奇点均在s平面左半部卷积定理为与的卷积应用拉氏变换的性质，同时借助于表中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。
表13-2拉氏变换简表1Cos at Sin(at)Cosh at Sinh(at)例13-1已知，求函数的像函数。
解：例13-2已知，求f(t)=的象函数。
解：根据积分性质和时域延迟性质例13-3求函数的像函数。
解：例13-4求函数的像函数。
解：根据微分性质，因为，所以例13-5求函数的像函数。
解：根据频域导数性质有：例13-6求函数的像函数。
解：根据频域导数性质有：例13-7求函数的像函数。
解：根据频域导数性质有：§13－3拉普拉斯反变换的部分分式展开1．拉普拉斯反变换法用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。
由象函数求原函数的方法有：1）利用公式2)对简单形式的F(S)可以查拉氏变换表得原函数3)把F(S)分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。
则§13－3拉普拉斯反变换的部分分式展开2.部分分式展开法用部分分式法求拉氏反变换(海维赛德展开定理)，即将展开成部分分式，成为可在拉氏变换表中查到的的简单函数，然后通过反查拉氏变换表求取原函数。
设，的阶次不高于的阶次，否则，用除，以得到一个的多项式与一个余式（真分式）之和。
部分分式为真分式时，需对为分母多项式作因式分解，求出=0的根。
设象函数的一般形式：即F（s）为真分式。
下面讨论=0的根的情况。
1）若=0有n个不同的单根p1、p2……p n。
利用部分分式可将F(s)分解为：待定常数的确定：方法一：按，i=1,2,3,…,n来确定。
方法二：用求极限方法确定a i的值得原函数的一般形式为：2）若=0有共轭复根和，可将F(s)分解为：则，因为F(s)为实系数多项式之比，故和为共轭复数。
设，3）=0的具有重根时，因含有的因式。
则，；；……；总结上述得由F(s)求f(t)的步骤：1）n=m时将F(s)化成真分式和多项式之和；2）求真分式分母的根，确定分解单元；3）将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数；4）对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。
例13-8已知求原函数解法一：设其中所以解法二：例13-9已知求原函数。
解：因为的根为：所以例13-10已知，求原函数解：；；；则，例13-11已知，求原函数。
解：原式所以§13－4运算电路应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。
运算法的思想是：首先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出R、L、C单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。
显然运算法与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。
1.电路定律的运算形式基尔霍夫定律的时域表示：把时间函数变换为对应的象函数：得基尔霍夫定律的运算形式：2.电路元件的运算形式根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算形式。
1)电阻R 的运算形式图（a）图(a)所示电阻元件的电压电流关系为：u=Ri，两边取拉普拉斯变换，得电阻元件VCR的运算形式：或根据上式得电阻R的运算电路如图（b ）所示。
图（b）2)电感L的运算形式图(a)所示电感元件的电压电流关系为两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电感元件VCR的运算形式：或根据上式得电感L的运算电路如图(b)和图(c)所示。
图中表示附加电压源的电压，表示附加电流源的电流。
式中分别称为电感的运算阻抗和运算导纳。
图（a）图（b）图（c）3)电容C的运算形式图(a)所示电容元件的电压电流关系为：两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电容元件VCR的运算形式：或根据上式得电容C的运算电路如图(b)和图(c)所示。
图中表示附加电流源的电流，表示附加电压源的电压。
式中分别为电容的运算阻抗和运算导纳。
图（a）图（b）图（c）4)耦合电感的运算形式图（a）所示耦合电感的电压电流关系为：两边取拉普拉斯变换，得耦合电感VCR 的运算形式：图（a）根据上式得耦合电感的运算电路如图(b)所示。
图中和都是附加电压源。
式中分别称为互感运算阻抗和互感运算导纳。
5)受控源的运算形式图（a）所示VCVS的电压电流关系为：两边取拉普拉斯变换，得运算形式为：图（b）根据上式得VCVS的运算电路如图（b）所示。
图（a）图（b）3.运算电路模型图（a）图（b）图为RLC串联电路，设电容电压的初值为，电感电流的初值为，其时域方程为：取拉普拉斯变换，得运算方程或写为即：上式称运算形式的欧姆定律，式中称运算阻抗。
根据上式得图（b）所示的运算电路。
因此，运算电路实际是：（1）电压、电流用象函数形式（2）元件用运算阻抗或运算导纳表示；（3）电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。
例13-12给出图（a）所示电路的运算电路模型。
已知例13-12图（a）解：运算电路如图（b）所示。
例13-12图（b）例13-13给出图（a）所示电路的运算电路模型，已知t=0时打开开关。
例13-13图（a）解：由图（a）可知：uc(0-)=25V，iL(0-)=5A，则运算电路模型如图（b）所示。
例13-13图（b）注意图中的附加电源。
§13－5应用拉普拉斯变换法分析线性电路应用拉普拉斯变换法分析线性电路计算步骤为：1.由换路前的电路计算u c(0-),i L(0-)。
2.画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用。
3.应用电路分析方法求象函数。
4.反变换求原函数。
注意：1）运算法直接求得全响应；2）用0-初始条件，跃变情况自动包含在响应中；例13-14电路如图（a）所示，开关S原来闭合，求S在0时刻打开后电路中的电流及电感元件上的电压。
其中，R1=2Ω，R2=2Ω，L1=，L2=，U s=10V。
例13-14图（a）例13-14图（b）解：图（b）是开关S打开后的运算电路图。
L1中的初始电流为U s/R1=5A。
则故 A所以VV例13-15电路如图(a)所示，t=0时刻开关S闭合，用运算法求S闭合后电路中感元件上的电压及电流。
已知。
例13-15图（a）解：(1)首先计算初值由已知条件和图(a)得：(2)画运算电路如图(b)所示。
其中例13-15图（b）(3)应用回路法，回路电流方向如图示，得回路方程：从中解得：(4)反变换求原函数有三个根：令所以注意：例13-16电路如图（a）所示，已知，用运算法求电路中电容元件上的电压及电流。
例13-16图（a）例13-16图（b）解：由已知条件知：，运算电路如图（b）所示。
有：所以例13-17电路如图（a）所示，t=0时打开开关k,求电流i1,i2。
已知：例13-17图（a）例13-17图（b）解：由图（b）所示的运算电路得：所以。