势晶体总的势能—N个原子两原子相互作用势能
晶体的结合能,内能,原子间的相互作用势能
晶体的结合能、内能、原子间的相互作用势能
晶体是由大量排列有序的原子或分子所组成的固体结构，在晶体中，原子或分
子之间存在着结合能和相互作用势能。
晶体的结合能、内能和原子间的相互作用势能密切相关，对于晶体的性质和稳定性起着至关重要的作用。
结合能
晶体的结合能是指晶体内部所有原子或分子之间相互结合所需要的能量。
晶体
的结合能决定了晶体的熔点、硬度、脆性等物理性质。
晶体的结合能可以通过实验方法或计算模拟方法来确定。
通常来说，结合能越大，晶体的稳定性越高，其熔点和硬度也会相应增加。
内能
晶体的内能是指晶体内部原子或分子的总能量。
内能包括晶体的结合能以及原
子或分子在晶体内部的动能和位能。
内能的大小与晶体的温度和压力有关。
晶体的内能是晶体的热力学性质的重要参数，可以通过实验测量或理论计算来确定。
原子间的相互作用势能
晶体中的原子或分子之间存在着相互作用势能，这种相互作用势能决定了晶体
的结构和稳定性。
原子间的相互作用势能可以通过简单的模型来描述，比如晶体中的键能、范德华力等。
不同种类的晶体，其原子间的相互作用势能也有所差异，这种差异导致了不同晶体的性质和行为。
在晶体学研究中，研究晶体的结合能、内能和原子间的相互作用势能是非常重
要的。
通过对这些能量的研究，可以更好地理解晶体的性质和行为，为合成新材料、优化材料性能等提供理论指导和实验依据。
总之，晶体的结合能、内能和原子间的相互作用势能是晶体学研究的核心内容，对于揭示晶体的本质和规律具有重要意义，也为材料科学和工程领域的发展做出了重要贡献。
《固体物理·黄昆》第三章
氢键结合的情况可写成通式:
X－H…Y。 式中 X 、 Y 代表 F 、 O 、 N 等电负 性大而原子半径较小的非金属原 子， X 和 Y 可以是两种相同的元 素，也可以是两种不同的元素。 d F l H F H F
归纳起来，氢键形成的条件是：
A)有与电负性大（X）的原子相结合的氢原子；
B) 有一个电负性也很大，含有孤对电子并带有部分负 电荷的原子（Y）； C)X与Y的原子半径都要较小。
氯化钠型 —— NaCl、KCl、AgBr、PbS、MgO (配位数6) 氯化铯型 —— CsCl、 TlBr、 TlI（配位数8）
离子结合成分较大的半导体材料ZnS等（配位数4）
2. 离子晶体结合的性质
1) 系统内能的计算 晶体内能 : 1)所有离子库仑相互作用能(吸引作用)
2) 和重叠排斥能之和(排斥作用)
具体晶体的内聚能(晶格能)参见周期表,有一定的规律性: 惰性气体晶体<碱金属<过渡族金属(共价晶体)
两粒子间的相互作用 相互作用能.
f(r) 和u(r)分别表示相互 作用力和相互作用势 则:
u (r ) f (r ) r
U 排斥 r
f (r )
B rn
u (r )
pij A12= j'
12
12.13188
pij A6= j'
6
14.45392
物理意义:
晶体总的势能:
—— 非极性分子晶体的晶格常数、结合能和体变模量 晶格常数
平衡状态体变模量
晶体的结合能
分子晶体: 常温下是气态的物质如:Cl2,SO2,HCl, H2, O2, He, Ne, Ar, Xe等在低温下依靠范德瓦耳斯力结合成的晶体.
固体物理知识点总结
一、考试重点晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带论的基本概念和基本理论和知识二、复习内容第一章晶体结构基本概念1、晶体分类及其特点：单晶粒子在整个固体中周期性排列非晶粒子在几个原子范围排列有序（短程有序）多晶粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒，晶粒随机堆积准晶体粒子有序排列介于晶体和非晶体之间2、晶体的共性：解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性质各向异性晶体的性质与方向有关旋转对称性平移对称性3、晶体平移对称性描述：基元构成实际晶体的一个最小重复结构单元格点用几何点代表基元，该几何点称为格点晶格、平移矢量基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量基矢元胞以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方向的周期，以三个不同方向的周期为边长，构成的最小体积平行六面体。
原胞是晶体结构的最小体积重复单元，可以平行、无交叠、无空隙地堆积构成整个晶体。
每个原胞含1个格点，原胞选择不是唯一的晶胞以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴）为坐标轴，坐标轴上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六面体称为晶胞。
晶格常数WS元胞以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面围成的多面体称为WS原胞。
WS原胞含一个格点复式格子不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格简单格子点阵格点的集合称为点阵布拉菲格子全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。
4、常见晶体结构：简单立方、体心立方、面心立方、金刚石闪锌矿铅锌矿氯化铯氯化钠钙钛矿结构5、密排面将原子看成同种等大刚球，在同一平面上，一个球最多与六个球相切，形成密排面密堆积密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结构称为密堆积。
六脚密堆积密排面按AB\AB\AB…堆积立方密堆积密排面按ABC\ABC\ABC…排列5、晶体对称性及分类：对称性的定义晶体绕某轴旋转或对某点反演后能自身重合的性质对称面对称中心旋转反演轴8种基本点对称操作14种布拉菲晶胞32种宏观对称性7个晶系6、描述晶体性质的参数：配位数晶体中一个原子周围最邻近原子个数称为配位数。
固态电子论-第二章习题参考解答
3、晶体中的空位数高低。空位越多，替代的概率越高。
第16题 硅晶体中的层错发生在［111］晶向，发生抽出型堆垛层错和插入型堆垛层错。
在该晶向上，硅原子密排面层的正常堆垛是„ABCABCABC„„。
晶体，正负离子的相对振动，在晶体中形成交替变化的电偶极子，等效为高频率电
磁波。
晶体振动声学波的特点： 是弹性波，振动频率较低，振动频率随波矢变化较大。
第10题 根据教材中给出的一维双原子晶格色散关系，
光学波
o max
2( 1 2 ) m o min
禁带
声学波
2 2 m
A max
3、4称为杂质点缺陷，是由于杂质存在形成的。
线缺陷的定义： 原子排斥偏离理想晶体周期性结构形成的一维缺陷称为线缺陷。 晶体中的线缺陷包括： 1、刃位错；2、螺位错；
第15题 影响晶体中杂质替位概率的主要因素： 1、替位杂质原子的大小与被替代的晶格原子的大小的接近程度。原子大 小越接近，替代的概率越高； 2、替位杂质原子的价电子壳层与被替代的晶格原子的价电子壳层结构相 似程度。电子壳层结构越相似，替代的概率越高。
第4题 提出杂化轨道概念的原因： 金刚石结构的基本结构单元是同种原子构成的正四面体，正四面体中心的原子 贡献1个电子与四个顶角原子各贡献一个电子形成等同的4个共价键。尽管原子具有4 个价电子，但其中的S态价电子和P态价电子是不同的，不能解释金刚石结构的4个共 价键等同这一现象。而泡林提出的杂化轨道概念可以很好解释金刚石结构成键。 杂化轨道概念对硅晶体结构特点的解释： 硅原子的价电子3s电子和3p电子能量相近。形成晶体时，一个3s电子被激发到 3p态，S态、P态波函数杂化，形成4个未配对电子，使得一个硅原子可与周围四个
晶体结合能 形成能
内能是除去宏观动能之外,晶体（内部）所有形式能量的总和.通常考虑宏观静止的晶体,内能就是其全部能量.对于原子晶体,内能包括：1 原子热振动动能,2 原子间的相互作用势能（与共价键键能、原子结合能相关,但不是同一概念）,3 原子中内层电子的动能,4 内层电子在核电场中的势能（上面3、4两部分只在涉及内层电子激发、电离的过程中,例如x射线发射或吸收,才会改变）、核内部粒子的动能和相互作用势能（这部分仅在核物理过程中才会变化）.
原子间相互作用势能包括价电子动能和价电子在核电场中的引力势能,价电子间的斥力势能和核间斥力势能.
原子结合能是两个孤立原子形成化学键后释放的能量,就是化学键能（通常总是正值）.是原子在成键前后价电子动能、势能、核间斥力势能总和的差,其中成键前,核间斥力势能为零.化学键能通常以每mol化学键键能总量表示.
晶体结合能是晶体中所有原子从孤立原子形成晶体所释放的能量,近似等于晶体中所有化学键能的总和.通常晶体结合能以每摩尔物质的结合能表示.
对于离子晶体、金属晶体情况与原子晶体相同,只不过化学键的类型不同.
对于分子晶体,内能中还应增加一个层次,就是1 分子热振动能（包括振动势能）2 分子间相互作用势能3 分子内部原子间相互作用势能（与化学键能相关,不考虑化学键的振动,这部分已考虑在分子振动能中）4 以下层次同原子晶体.
对分子晶体,晶体结合能通常理解为游离（气态）分子形成晶体后释放的能量.。
原子间相互作用势解读
原子间相互作用势解读原子间相互作用势是描述两个或多个原子之间相互作用力的函数。
它是描述原子、分子或固体材料性质的关键因素，对于理解化学反应、材料力学性能、相变、晶体结构等都起着重要的作用。
本文将对原子间相互作用势进行解读。
一种显著的原子间相互作用势是范德华力(Van der Waals forces)，它是由电荷偶极、氢键、格列高利亚力和弥散力等组成。
这些力可以通过公式来描述，例如Lennard-Jones势能公式：V(r)=4ε[(σ/r)^12-(σ/r)^6]这个公式中，r是两个原子间的距离，ε和σ是相互作用的参数。
这个公式表示了势能和原子间距离的关系，当两个原子非常接近时，势能会变得非常大，当原子间距离较大时，势能会变得非常小。
除了范德华力，库仑力也是原子间相互作用势的重要组成部分。
库仑力是由原子间的电荷交互作用引起的，它可以通过库仑电势公式来描述：V(r)=k*q1*q2/r其中r是两个原子间的距离，q1和q2是原子的电荷，k是电常数。
这个公式表示，当两个原子带有相同的电荷时，它们之间会存在排斥力；当两个原子带有相反的电荷时，它们之间会存在吸引力。
除了范德华力和库仑力，还有其他一些原子间相互作用势也非常重要。
例如，金属间相互作用势(Metal-Metal Interaction Potential)用于描述金属之间的相互作用力，分子间相互作用势(Molecule-Molecule Interaction Potential)用于描述分子之间的相互作用力。
通过使用原子间相互作用势，我们可以研究原子间的排列方式和结构稳定性。
例如，在材料科学中，人们可以使用原子间相互作用势预测材料的熔点、弹性模量、黏度等性质。
在化学反应中，通过分析原子间相互作用势，我们可以了解反应的速率和过程。
虽然原子间相互作用势是描述原子间相互作用的重要工具，但是它并不是完美的。
由于原子间相互作用力很复杂，我们通常只能采用近似的方法来描述这些力。
计算晶格能的公式
计算晶格能的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：晶格能是固体材料中一种非常重要的物理量，它是描述固体内部晶格结构稳定性的一个重要参数。
在固体物理学中，晶格能通常用于描述晶体中原子或离子之间的相互作用力强度，是一个评价固体结构稳定性和形变行为的重要指标。
晶格能的计算方法有多种，其中一种常用的方法是利用电子结构理论和分子动力学模拟来计算固体的晶格能。
在电子结构理论中，晶格能可以通过计算晶体中原子或离子之间相互吸引或排斥的相互作用力来获取。
具体而言，电子结构理论将固体中的原子或离子看作是受到外部势场影响的粒子，通过计算这些粒子之间相互作用的库伦势和交换-相关能来得到晶格能。
晶格能的计算公式通常可以表示为以下形式：\[E_{\text{总}} = E_{\text{能带}} + E_{\text{核}} + E_{\text{排斥}}\]\(E_{\text{总}}\)表示晶格的总能量，\(E_{\text{能带}}\)表示晶格中电子的能带结构对晶格能的贡献，\(E_{\text{核}}\)表示核之间的库伦势能和交换-相关能对晶格能的贡献，\(E_{\text{排斥}}\)表示晶格中原子或离子之间的排斥力对晶格能的影响。
在实际计算中，通常会采用密度泛函理论（DFT）来计算固体的晶格能。
密度泛函理论是一种基于量子力学原理的电子结构计算方法，通过求解固体中电子的薛定谔方程来得到晶格的总能量。
在密度泛函理论中，采用交换-相关泛函来描述电子之间的交换和相关作用，从而得到晶体的总能量。
分子动力学模拟也是一种常用的计算晶格能的方法。
通过分子动力学模拟，可以模拟固体中原子或离子的运动行为，通过计算原子或离子之间的相互作用力和位移来得到晶格的总能量。
分子动力学模拟可以更直观地模拟固体内部的结构和性质，对于探索固体的晶格能具有重要意义。
计算晶格能是一个复杂而重要的问题，涉及到多种物理量和计算方法。
通过电子结构理论、密度泛函理论和分子动力学模拟等方法，我们可以得到固体的晶格能，从而进一步了解固体结构的稳定性和性质。
固体物理题库之名词解释
a)晶体的共性：i.长程有序：晶体中的原子按一定规则排列ii.自限性：晶体自发地形成封闭几何多面体的特性，晶面夹角守恒定律iii.各向异性：晶体的物理性质是各向异性的，是区别晶体与非晶体的中要特征。
原胞：布拉维格子的周期重复单元，有惯用原胞（能反映点对称性的周期性重复单元），初基原包（Bravais格子中体积最小的周期性重复单元，一般为平行六面体）和WS原包（体积最小又能反映点对称性的周期性重复单元）晶面指数：某一晶面把基矢分别分成h1h2h3等分h1h2h3为米勒指数，互质化以后为该晶面的晶面指数d)倒格空间：i.倒格基矢：倒格基矢具有与正格基矢倒逆的量纲，以 b1、b2、b3 表示。
ii.倒格矢：倒格矢是倒格基矢的线性组合，一般用 Kh 表示。
由倒格基矢平移组成的格子称为倒格子，倒格子构成原胞称为倒格原胞。
iii.倒格子和正格子的性质：1.正格原胞的体积与倒格原胞的体积之积等于(2π)^3;2.正格子与倒格子互为对方倒格子。
b) 3.倒格矢Kh = h1b1 + h2b2 +h3b3 与正格子晶面族 (h1h2h3)正交。
晶体对称性：i.对称操作：一个晶体在某一个变换后，晶格在空间的分布保持不变，这一变换称为对称变换。
ii.空间群：若包括平移，有230种对称类型。
点群：不包括平移，有32钟宏观对称类型。
c)晶体结构的分类：i.七大晶系：立方晶系，六角晶系，四方晶系，三角晶系，正交晶系，单斜晶系，三斜晶系。
ii.十四钟布喇菲格子晶胞：1.简单三斜、2.简单单斜、3.底心单斜、4.简单正交、5.底心正交、6.体心正交、7.面心正交、8.六角、9.菱面三角、10.简单四方、11.体心四方、12.简单立方、13.体心立方、14.面心立方。
布拉格反射：行进平面波在布里渊区边界上发生发生反射产生散射平面波布拉格定律用公示表达为：2dsinθ=nλ德拜模型：德拜提出的计算固体热容得模型，用连续介质波代替格波，w=cq的关系，在第一布里渊区积分视为在等效的德拜球中积分，最后得到固体热容，低温时与T的三次方正比，与实验温和很好结论：德拜模型低温时符合好的原因：低温时，对晶格比热的贡献主要来自于声学波，而声学波在长波长极限下，就是弹性波爱因斯坦模型：爱因斯坦提出计算固体热容的模型，假设N个原子构成的晶体所有的格波都以w（常数）振动，最后得出的结果与高温时的实验结果温和较好1.理想晶体：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间无限重复排列而构成的。
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dU
q2 6nb
dr
r0
N
4
0r02
r0n1
0
q2 6nb 4 0r02 r0n1
1
r0
(
e
)
24 0nb q 2
n1
电荷加倍时
1
1
r0 (
2e
)
240nb
2q2
n1
1 4
n1
r0
j
j
位移平方平均值为
m
2 n
m nj
m*nj
m
2 nj
m nj m*nj'
j
j
j
j j'
mnj取正和取负几率相等，第1项是主要项，忽略2nd项
m
2 n
m
2 nj
j
计算mnj平均值
m
2 nj
1 T0
T0 a 2
0j
sin2
wjt
naq j
dj
dt
a
r06
2
A12 A6
6
U (r0 )
1 N
2
A6 2 A12
Wbcc W fcc
U (r 0)bcc U (r 0) fcc
A6 2 A12
A'62 A'12
12.252
9.11 14.452
12.13
0.957
2.7 利用2-48式，可算出r0，将r0代入可得U
2.6 用林纳德－琼斯势计算Ne在体心立方和面心立方结 构中的结合能之比。
两原子相互作用势能
引入新的参量
相互作用势能 u(r) 4[( )12 ( )6 ]
r
r
—— 勒纳－琼斯（Lennard-Jones）势
晶体总的势能 — N 个原子
U(r)
1 2
N
(4
)[
A12
(
r
)12
红色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……
—— 第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程 —— 体系N个原胞，有2N个独立的方程 —— 方程的解
令
—— A、B有非零的解，系数行列式满足
——
11w02 w2 2 101w04 20w04 cosaq 0
w2 w02(11 20cos qa 101)
—— 两种色散关系
w2 w02(11 20cos qa 101) —— 两种色散关系
—— 色散关系图
u, v 分别为原胞内两个原子的位移，s 为原胞序号
( 1 )n1
xn n
Rn (
x
)
可知：x=1
2ln( 1 1 ) 2ln2
2.2 讨论使离子电荷加倍所引起的对Nacl晶格常数及 结合能的影响（排斥势看作不变）
解：设晶体中含N个原胞（2个原子），系统的内能
U
N
q 2 4 0r
6b
r
n
3.1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点
引起的位移为，mnj=ajsin(wjt+naqj+dj)，dj为任意相
位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量
为kT，具体计算每个原子的平方平均位移
解：任意一个原子的位移是所有格波引起位移的叠加
mn mnj a j sinw jt naqj d j
w2j
La
2 j
4
kT 2
m
2 nj
a
2 j
2
kT w2j L
m
2 n
j
m
2 nj
kT L
j
1 w2j
3.3 质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间
力常数交错等于
和
，并且最近邻的间距
1) 求出色散关系和分析计算 2) 大致画出色散关系图
处格波的频率值
绿色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……
4q2 4 0r0 ( 2e
)
N
1
1 n
n
4n1 U(
e
)
2.3 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为
计算
1) 平衡间距r0
2) 结合能W（单个原子的）
3) 体弹性模量
4) 若取
计算
的值
1) 平衡间距r0的计算 晶体内能
平衡条件 2) 单个原子的结合能
r0
(
A6
(
r
)6
]
—— 1/2因子: 相互作用能为两个原子共有
—— A12和A6: 与晶格结构有关的求和项
晶体总的势能
U(r)
1 2
N
(4
)[
A12 ( r
)12
A6
(
r
)6
]
—— 非极性分子晶体的晶格常数、结合能和体变模量
晶格常数
平衡状态体变模量 晶体的结合能
关键：找出结合能与A6和A12的关系式，分别将面 心和体心的值代入
n
1
) nm
m
W
1 (1
m )(
n
m
) nm
2 n m
3) 体弹性模量 晶体的体积 晶体内能
—— A为常数，N为原胞数目
体弹性模量
由平衡条件
m
r0m
n
r0n
体弹性模量
m
r0m
n
r0n
U0
N 2
(
r0m
r0n
)
mn K U0 9V0
4) 若取 m = 2, n = 10, r0 = 3 Å, W = 4 eV
2 j
2
设L是原子链的长度，是质量密度，T0为周期
mnj平方的动能时间平均值为
Knj
1 T0
T0 0
L 0
1 2
dx
dm nj dt
2 dt
w2j 2T0
L
dx
0
T0 a 2 cos2
0j
wjt
naq j
dj
dt
w2j
La
2 j
4
题目告知较高温度下每个格波的能量为kT
(
e
)
q2 6b
U
N
4 0r
rn
1
r0
(
e
)
24 0nb q 2
n1
U ( r0
)
q 2Байду номын сангаас
4 0r0
N 1
1 n
1
r0
(
2e
)
1 4
n1
r0
(
e
)
电荷加倍时，平衡位置变为r0(2e)
U(
2e
)
计算
的值
1.2 10-95 eV m10 9.01019 eV m2
2.5 假设Ⅲ-Ⅴ族化合物中，Ⅲ族、Ⅴ族原子都是电中 性的（q*＝0），求出其电离度。
解：对于Ⅲ族原子的有效电荷为
在A、B原子上电子的几率分别为 l：不同原子波函数组合成分 子轨道波函数时的权重因子
根据卡尔森（Coulson）定义的电离度，Ⅲ-Ⅴ族 化合物（q*＝0）的电离度为
2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为
证： 马德隆常数
对于一维一价离子，选定某一个离子为参考离子，假定离子 数目很大，参考离子左右两边各有一个异号离子
—— 一维一价离子
当
ln( 1 x ) ln1 ln( n )( 1 x )xn
n1
n!
x
x2 2
x3 3