《探索与表达规律》专项练习【2020北师大版七年级数学上册】
北师大版 七年级 上册 3.5 探索与表达规律 练习(带答案)
探索与表达规律练习一、选择题1. 一列数按某规律排列如下：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，若第n 个数为57，则n =( )A. 50B. 60C. 62D. 712. 已知有理数a ≠1，我们把11−a 称为a 的差倒数，如：2的差倒数是11−2=−1，−1的差倒数是11−(−1)=12.如果a 1=−2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么a 1+a 2+⋯+a 100的值是( )A. −7.5B. 7.5C. 5.5D. −5.53. 观察以下一列数的特点：0，1，−4，9，−16，25，…，则第11个数是( )A. −121B. −100C. 100D. 1214. 观察点阵图的规律，第100个图的小黑点的个数应该是( )A. 399B. 400C. 401D. 4025. 下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为( )A. 11B. 13C. 15D. 176. 仔细观察下列数字排列规律，则a =( )A. 206B. 216C. 226D. 2367.按一定规律排列的单项式：x3，−x5，x7，−x9，x11，……，第n个单项式是()A. (−1)n+1x2n−1B. (−1)n x2n−1C. (−1)n+1x2n+1D. (−1)n x2n+18.求1+2+22+23+⋯+22016的值，可设S=1+2+22+23+⋯+22016，于是2S=2+22+23+⋯+22017，因此2S−S=22017−1，所以S=22017−1.我们把这种求和方法叫错位相减法．仿照上述的思路方法，计算出1+5+52+53+⋯+ 52016的值为()A. 52017−1B. 52016−1C. 52017−14D. 52016−149.在下列数字宝塔中，从上往下数，2018在_____层等式的______边．1+2=34+5+6=7+89+10+11+12=13+14+1516+17+18+19+20=21+22+23+24正确的答案是()A. 44，左B. 44，右C. 45，左D. 45，右10.观察下列各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第5个图形中小圆点的个数为()．A. 49B. 50C. 53D. 5611.观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，那么：71+72+73+⋅⋅⋅+72021的末位数字是()A. 9B. 7C. 6D. 012.观察下列两行数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…若第ｎ个相同的数是103，则ｎ等于()A. 18B. 19C. 20D. 2113.计算9个{a+a+⋯+ab⋅b⋯⋅b7个=()A. 9a7b B. a97bC. 9ab7D. a9b714.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处)，按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是()A. C、EB. E、FC. G、C、ED. E、C、F二、填空题15.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成：……，按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________．16.如图，用火柴棍摆出一列正方形图案，其中图①有4根火柴棍，图②有12根火柴棍，图③有24根火柴棍……以此类推，则图⑩中火柴棍的根数是_____________．17.已知a1=t1+t ，a2=11−a1，a3=11−a2，…，a n+1=11−an(n为正整数，且t≠0，1)，则a2016=______(用含有t的代数式表示)．18.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2020次输出的结果为______________．19.如图，在矩形ABCD中，M为CD的中点，连接AM、BM，分别取AM、BM的中点P、Q，以P、Q为顶点作第二个矩形PSRQ，使S、R在AB上．在矩形PSRQ中，重复以上的步骤继续画图……若AM⊥MB，矩形ABCD的周长为30，则第n个矩形的边长分别是______，______．三、解答题20.观察下列关于自然数的等式：2×4−12+1=8；3×5−22+1=12；4×6−32+1=16；5×7−42+1=20；…利用等式的规律，解答下列问题：(1)若等式8×10−a2+1=b(a,b都为自然数)具有以上规律，则a=_________，a+b=_________．(2)写出第n个等式(用含n的代数式表示)．21.请观察下列算式，找出规律并填空：①11×2=1−12；②11×3=12×(1−13)；③11×4=13×(1−14)；④11×5=14×(1−15)……(1)第6个算式是__________________，第n(n为正整数)个算式是_________________；(2)从以上规律你可以得到哪些启示？根据你的启示，试解答下列问题：若有理数a，b满足|a−1|+(b−4)2=0，求1ab+1(a+3)(b+3)+1(a+6)(b+6)+1(a+9)(b+9)+⋯+1(a+30)(b+30)的值．22. 符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f(1)=1+21，f(2)=1+22，f(3)=1+23，f(4)=1+24… (1)利用以上运算的规律写出f(n)=______；(n 为正整数) (2)计算：f(1)⋅f(2)⋅f(3)…f(100)的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，可写为：11，(12,21)，(13,22,31)，(14,23,32,41)，…， ∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为111,210,39,48,57,66,75,84,93,102,111，∴第n 个数为57，则n =1+2+3+4+⋯+10+5=60，2.【答案】A【解答】 解：∵a 1=−2， ∴a 2=11−(−2)=13，a 3=11−13=32，a 4=11−32=−2，…… ∴这个数列以−2，13，32依次循环，且−2+13+32=−16， ∵100÷3=33…1，∴a 1+a 2+⋯+a 100=33×(−16)−2=−152=−7.5，故选：A ．3.【答案】B【解析】解：0=−(1−1)2，1=(2−1)2，−4=−(3−1)2，9=(4−1)2，−16=−(5−1)2，∴第11个数是−(11−1)2=−100，4.【答案】C【解析】解：∵第1个图形中小黑点个数为1+4×1=5个， 第2个图形中小黑点个数为1+4×2=9个， 第3个图形中小黑点个数为1+4×3=13个，…∴第100个图形中小黑点个数为1+4×100=401个，5.【答案】B【解答】 解：观察图形知：第①个图形有3个正方形，第②个有5=3+2×1(个)，第③个图形有7=3+2×2(个)，…故第⑥个图形有3+2×5=13(个)，故选B．6.【答案】C【解答】解：观察发现：2=1×2−0；10=3×4−2；26=5×6−4；50=7×8−6；…a=15×16−14=226，故选C．7.【答案】C【解答】解：∵第1个式子：x3=(−1)1+1x2×1+1，第2个式子：−x5=(−1)2+1x2×2+1，第3个式子：x7=(−1)3+1x2×3+1，第4个式子：−x9=(−1)4+1x2×4+1，第5个式子：x11=(−1)5+1x2×5+1，……∴由上可知，第n个单项式是：(−1)n+1x2n+1，故选C．8.【答案】C【解析】解：设S=1+5+52+53+⋯+52016，则5S=5+52+53+⋯+52017，∴5S−S=52017−1，∴S=52017−1．49.【答案】B【解答】解：第1层等式左右两边共3个数，第2层等式左右两边共5个数，第3层等式左右两边共7个数，第4层等式左右两边共9个数，…，第n层等式左右两边共2n+1个数，3+5+7+9+⋯+2n+1=n(n+2)，当n=43时，n(n+2)=1935，当n=44时，n(n+2)=2024，∵1935<2018<2024，∴2018在第44层，又∵2018−1935=83，83>44+1，∴2018在第44层的右边．故选：B．10.【答案】B【解答】解：根据题意分析可得：第1个图形中小圆点的个数为10=(1+2)2+1；第2个图形中小圆点的个数为17=(2+2)2+1；第3个图形中小圆点的个数为26=(3+2)2+1；…；，第n个图形中小圆点的个数为(n+2)2+1，∴第5个图形中小圆点的个数为7×7+1=50．故第5个图形中小圆点的个数为50．故选B．11.【答案】B【解答】解：由71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，...可知；个位数字的变化规律为：7，9，3，1，所以2021÷4=505...1，所以72021的末位数字为7，∴所有数的个位数之和为：(7+9+3+1)×505+7=10107， 所以71+72+73+⋯+72021的末位数字是7． 故选B ．12.【答案】A【解答】解：第1个相同的数是1=0×6+1， 第2个相同的数是7=1×6+1， 第3个相同的数是13=2×6+1， 第4个相同的数是19=3×6+1， …，第n 个相同的数是6(n −1)+1=6n −5， 所以6n −5=103，解得n =18． 故选A ．13.【答案】C【解析】解：9个{a+a+⋯+ab⋅b⋯⋅b7个=9ab 7，14.【答案】D【解析】解：经实验或按下方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+⋯+k =12k(k +1)，应停在第12k(k +1)−7p 格，这时P 是整数，且使0≤12k(k +1)−7p ≤6，分别取k =1，2，3，4，5，6，7时，12k(k +1)−7p =1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7<k ≤2020，设k =7+t(t =1,2，3)代入可得，12k(k +1)−7p =7m +12t(t +1)， 由此可知，停棋的情形与k =t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．15.【答案】9n +3【解析】解：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3，…，∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3．16.【答案】220【解答】解：设摆出第n个图案用火柴棍为S n．①图，S1=4；②图，S2=4+3×4−(1+3)=4+2×4=4×(1+2)；③图，S3=4(1+2)+5×4−(3+5)=4×(1+2+3)；…；图⑩火柴棍的根数是：S10=4×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=220，故答案为220．17.【答案】−1t【解答】解：根据题意得：a1=t1+t ，a2=11−t1+t=1+t，a3=11−1−t=−1t，a4=11+1t=tt+1⋯2016÷3=672，∴a2016的值为−1t，故答案为−1t．18.【答案】3【解答】解：∵第二次输出的结果为12，∴第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为6，第六次输出的结果为3，…，∴从第三次开始，第偶数次输出的为3，第奇数次输出的为6，∴第2020次输出的结果为3．故答案为3．19.【答案】10×(12)n−1； 5×(12)n−1【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC ，∠D =∠C =90°∵M 为CD 的中点，∴DM =CM ，∴△ADM≌△BCM(SAS)，∴AM =BM ，∵AM ⊥MB ，∴△ABM 是等腰直角三角形，∴∠MAB =∠MBA =45°，∴∠DAM =∠CBM =45°，∴∠DAM =∠DMA ，∴AD =MD =12CD ，∵矩形ABCD 的周长为30，∴CD =10，AD =5，∵P 、Q 分别是AM 、BM 的中点，∴矩形PSRQ 的长和宽之比为2：1，在△ABM 中，PQ =5，则宽为52，同理可得：第三个矩形的边长为10×(12)2 和5×(12)2，则可得：第n 个矩形的边长分别是10×(12)n−1，5×(12)n−1． 20.【答案】解：(1)7，39；(2)由已知的等式可得：第n 个等式为(n +1)(n +3)−n 2+1=4(n +1)．【解答】解：(1)∵2×4−12+1=8；3×5−22+1=12；4×6−32+1=16；5×7−42+1=20；....∴第7个等式为8×10−72+1=4×(7+1)，故a =7，b =32，∴a +b =7+32=39，故答案为7，39；(2)见答案．21.【答案】解：(1)11×7=16×(1−17)，11×(n+1)=1n ×(1−1n+1)；(2)∵|a −1|+(b −4)2=0，∴a −1=0，b −4=0，∴a =1，b =4，∴原式=11×4+14×7+17×10+110×13+···+131×34，=13×(1−14)+13×(14−17)+⋯+13×(131−134)，=13×(1−14+14−17+⋯+131−134)，=13×(1−134)，=1134．22.【答案】解：(1)1+2n ；(2)f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅…⋅f(100)=(1+21)(1+22)(1+23)(1+24)…(1+2100) =31×42×53×64×…×102100 =101×1021×2=5151．(1)根据f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的运算方法，写出f(n)的表达式即可．(2)根据(1)中求出的f(n)的表达式，求出f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅…⋅f(100)的值是多少即可．【解答】解：(1)∵f(1)=1+21，f(2)=1+22，f(3)=1+23，f(4)=1+24…∴f(n)=1+2n ．。
北师大版数学七年级上册3.5《探索与表达规律》练习
3.5 探索与表达规律专题一探索规律1．找出一列数2，3，5，8，13，□，34的规律，在□里的数应为（）A．20 B．21 C．22 D．242．在一列数1，2，3，4，…，200中，数字“0”出现的次数是（）A．30 B．31 C．32 D．333．观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）A．2n+2 B．4n+4 C．4n﹣4 D．4n4．观察如下图形，按照这种方式摆下去，第（n）个图形需用枚棋子．5．, ……，若符合前面式子的规律，则 a + b = ___ __．6．如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想，然后填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为_____块；白色瓷砖为2n（n为正整数）块时，黑色瓷砖为______块．7．实践与探索：将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）．（1）若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数式表示十字框框住的5个数字之和；（2）十字框框住的5个数之和能等于2020吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由；（3）十字框框住的5个数之和能等于365吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由．8．用如图形状的三角形砖，按一定的方式搭起一个金字塔：（1）观察图形，并填空：当金字塔分别搭到3层、4层、5层时，所用三角形砖的块数分别为：、、，又推断，当金字塔搭了n层时共用去三角形砖块；（2）试推断，当金字塔搭到第99层时，底层需要多少三角形砖块；反之，若底层用了99块三角形砖时，则金字塔能搭几层？状元笔记：【知识要点】学会用语言、用符号、用字母表示数和表示规律，并体会字母表示数的意义及获得初步数学建模思想．【温馨提示】通过生活中对日历等情景的观察与分析，从不同角度进行思考，用本章学过的字母表示数、代数式、代数式的值等知识去探索数与数或图形之间的变化规律，再用去括号、合并同类项等知识去验证规律．探索规律的一般步骤：观察特例，猜想规律，表示规律，验证规律．参考答案：1．B2．B 解析：∵100个数字中，只有整十的数字含有0，共11个，101～109中又有9个，110～200中又有11个，∴共11+9+11=31（个）．3．D 解析：根据给出的3个图形可以知道：第1个图形中三角形的个数是4，第2个图形中三角形的个数是8，第3个图形中三角形的个数是12，从而得出一般的规律，第n 个图形中三角形的个数是4n ．４．3n 解析：观察图形，第一个图形有2×3﹣3=3（个），第二个图形有3×3﹣3=6（个），第三个图形有4×3﹣3=9（个），第n 个图形有3（n+1）﹣3=3n （个）．5．109 解析：观察每个等式，可以发现等式左边的“+”后的分数的分母正好是“+”前的整数的平方减1，“+”后的分数的分子正好是“+”前的整数，可猜想其规律为1122-⨯=-+n n n n n n ，由此得出10,991102==-=b a ，因此109=+b a ．6．16 ()n 44+ 解析：图中的黑白瓷砖数见下表：由上表可得当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为16块；当白色瓷砖为2n 块时，黑色瓷砖为()n 44+块．7．解：（1）从表格知道中间的数为a ，上面的为a ﹣12，下面的为a+12，左面的为a ﹣2，右面的为a+2，a+（a ﹣2）+（a+2）+（a ﹣12）+（a+12）=5a ．（2）令5a=2020，a=404，所以可以，５个数分别是392、402、404、406、416．（3）令5a=365，a=73，所以可以，５个数分别是61、71、73、75、85．8．解：（1）9 16 25 n 2（2）①当金字塔搭到共99层时，底层需要的三角形砖块数为：2×99﹣1=197（块）；②若底层用了99块三角形砖时，可设金字塔能搭n 层，则2n ﹣1=99，∴n=50（层）．答：当金字塔搭到共50层时，底层三角形砖块数刚好为99块．。
3.5 探索与表达规律-2020秋北师大版七年级数学上册习题课件(共25张PPT)
11.用牙签按如图所示的方式摆图.
(1)根据上面的图形，填写下表： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ 牙签根数 3 9 18 30 45
6.(中考·天水)观察如图所示的“蜂窝图”.
则第 n 个图案中的“ ”的个数是__3_n__＋__1___(用含有 n 的代数 式表示).
7.(2018·重庆)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成， 其中第①个图中有 3 张黑色正方形纸片，第②个图中有 5 张黑 色正方形纸片，第③个图中有 7 张黑色正方形纸片，…，按此 规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为( )
100
299 个数是__2_0_1____.
【点拨】按一定规律排列的一列数依次为23，55，87，191，1114，1173，…，
按此规律，第 n 个数为32nn－ ＋11.所以当 n＝100 时，32nn－＋11＝229091，
即这列数中的第 100 个数是229091.
*4.(中考·泰安)如图，每个表格中的四个数都是按相同规律填写 的. 根据此规律确定 x 的值为( )
A.135 B.170
C.209 D.252
【点拨】首先根据图示，可得第 n 个表格的左上角的数等于 n，
左下角的数等于 n＋1；然后根据 4－1＝3，6－2＝4，8－3＝5，
10－4＝6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的
数的差分别是 3，4，5，…，n＋2，据此可得 a＋(a＋2)＝20，
北师大版七年级数学上册 探索与表达规律
2．根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（）A． B． C． D．3．四个小朋友站成一排，老师按图中所示的规则数数，数到2014时对应的小朋友可得一朵红花．那么，得红花的小朋友是（）A．小沈 B．小叶 C．小李 D．小王10．观察下列数表：1 2 3 4…第一行2 3 4 5…第二行3 4 5 6…第三行4 5 6 7…第四行根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为（）228．已知两组数3，7，11，15，…和5，8，11，14，…有许多相同的数，如11是它们第一个相同的数，那么它们的第20个相同的数是．9．如图所示，长方形的长和宽分别为8厘米和6厘米，剪去一个长为x的小长方形（阴影部分）后，余下一个长方形的面积S与x的关系式可表示为S=．三．解答题（共10小题）10．观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×=×25；②×396=693×．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．11．正整数按如图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字是12．将连续的偶数2，4，6，8，10，…排成如图所示：（1）十字框中5个数之和与26有什么关系？（2）设中间数为a，用代数式表示这十字框中五个数的和．（3）若将十字框上、下、左、右平移，方框就是另外五个数，这五个数还有这种规律吗？（4）十字框中的五个数之和能等于2010吗？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由．能否等于2012呢？。
北师大版七年级数学上册探索与表达规律
2．用棋子摆出下列一组图形：
（1）填写下表：
图形编号
12 3 456
图形中棋子的枚数
（2）照这样的方式摆下去，写出摆第n个图 形棋子的枚数； （3）如果某一图形共有99枚棋子，你知道它 是第几个图形吗？
1、探索规律的主要过程： 特殊——一般——特殊
2、探索规律的一般方法： (1)寻找数量关系； (2)用代数式表示规律； (3)验证规律。
桌子张数 3
4
5
6 …… n
可坐人数 14 18 22 26
4n+2
（3）你能用不同的方法解释你所表示的规律吗？ （4）一家餐厅有这样的长方形桌子30张，按照上图方 式每5张拼成一张大桌子，共可坐多少人？若按照上图 方式每6张拼成一张大桌子，共可坐多少人？若现在有 131个客人去吃饭，那该如何拼摆桌子？
以得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕 与上次的折痕保持平行，连续折6次后，可以得 到几条折痕？如果对折10次呢？对折n次呢？
大家来归纳
对折1次,折痕为1. 对折2次，折痕为3，即3=22-1 对折3次，折痕为7，即7=23-1
对折4次，折痕为15,即15=24-1 对折5次，折痕为31,即31=25-1。
妙的大门,按照这种规律写出的第七个数据( ).
A、
B、
C、
D、
请完成下面的作业：
1．有若干个数，第一个数记为 ，第二个数
记为 ，…，第n个数记为 。若 = ， 从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个 数的差的倒数”。试计算： =______，
=____， =_____， =______。你发现 这排数有什么规律吗？由你发现的规律，请计 算 是多少？
13 14 15 16 17 18 19
七年级数学上册《第三章探索与表达规律》练习题-带答案(北师大版)
七年级数学上册《第三章探索与表达规律》练习题-带答案(北师大版)一、选择题1.如图，用黑白两种颜色的纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2020个白色纸片，则n的值为( )A.671B.672C.673D.6742.下图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2 016次输出的结果为( )A.125B.25C.1D.53.观察下列各式： - 2x，4x2， - 8x3，16x4， - 32x5，…则第n个式子是( )A.- 2n - 1x nB.( - 2)n - 1x nC.- 2n x nD.( - 2)n x n4.观察如图所示图形，则第n个图形中三角形的个数是( )A.2n＋2B.4n＋4C.4nD.4n-45.下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形…依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A.22B.24C.26D.286.下列是由一些火柴搭成的图案，图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第n○个图案用多少根火柴( )A.4n＋3B.5n－1C.4n＋1D.5n－47.小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数，下列数既是三角形数又是正方形数的是 ( )A.2010B.2012C.2014D.20168.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A.21B.24C.27D.30二、填空题9.观察一组数2，5，10，17，26，37…则第n个数是.10.《庄子•天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图.由图易得：＝ .11.当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 .(用含n的代数式表示，n是正整数)12.将从1开始的连续自然数按以下规律排列：第1行 1第2行 2 3 4第3行9 8 7 6 5第4行10 11 12 13 14 15 16第5行25 24 23 22 21 20 19 18 17 …则2023在第行.13.观察等式：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝421＋3＋5＋7＋9＝25＝52……猜想：(1)1＋3＋5＋7…＋99 ＝；(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n﹣1)＝ _______.14.观察下列各式：13＝1213＋23＝3213＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102…猜想13＋23＋33＋…＋103＝.三、解答题15.探究题.用棋子摆成的“T”字形图如图所示：(1)填写下表：图形序号①②③④…⑩每个图案中棋子个数 5 8 …)；(3)第20个“T”字形图案共有棋子多少个？(4)计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数.(提示：请你先思考下列问题：第1个图案与第20个图案中共有多少个棋子？第2个图案与第19个图案中共有多少个棋子？第3个图案与第18个图案呢？)16.我们发现了一种“乘法就是减法”的非常有趣的运算：①1×12＝1﹣12：②2×23＝2﹣23；③3×34＝3﹣34；…(1)请直接写出第4个等式是；(2)试用n(n为自然数，n≥1)来表示第n个等式所反映的规律是；(3)请说明(2)中猜想的结论是正确的．17.察下列各式：第1个：1×3＝3＝22﹣1第2个：2×4＝8＝32﹣1第3个：3×5＝15＝42﹣1第4个：4×6＝24＝52﹣1第5个：5×7＝35＝62﹣1…这些等式反映出自然数间的某种运算规律.(1)请你根据规律写出下一个等式：；(2)设n(n≥1)表示自然数，请根据这个规律把第n个等式表示出来，并通过你所学过的整式运算知识来验证这个等式成立.18.阅读解题：1111212=-⨯，3121321-=⨯，4131431-=⨯， ... 计算：+⨯+⨯+⨯431321211...200520041⨯+ ＝+-+-+-413131212111 (2005)120041-+＝120051-＝20052004 理解以上方法的真正含义，计算：(1)111 (10111112100101)+++⨯⨯⨯ (2)19.用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案.(1)第4个图案中，三角形的个数有 个，六边形的个数有 个； (2)第n(n 为正整数)个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2018个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？(4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由. (2027)20251531311⨯++⨯+⨯20.阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023的值.解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22022＋22023，将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22023＋22024将下式减去上式得2S﹣S＝22024﹣1即S＝22024﹣1即1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023＝22024﹣1请你仿照此法计算：(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210(2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n(其中n为正整数).参考答案1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】B9.【答案】n2＋1.10.【答案】1﹣.11.【答案】n2＋4n.12.【答案】45.13.【答案】502；n2.14.【答案】55215.解：(1)11 14 32 (2)3n＋2 (3)3n＋2＝3×20＋2＝62(个)(4)(5＋62)×202＝670(个).16.【答案】解：等式左侧乘积的第一个因数是从1开始的连续自然数，第二个因数的分子和这个自然数相同，分母比分子大1；右侧恰是左侧两个因数的差； (1)第4个等式：4×＝4﹣ (2)第n 个等式：n ×＝n ﹣ (3)证明：n ×＝，n ﹣＝∴n ×＝n ﹣∴(2)中猜想的结论是正确的．17.【答案】解：(1)第6个：6×8＝48＝72﹣1；故【答案】6×8＝48＝72﹣1； (2)第n 个等式为n(n ＋2)＝(n ＋1)2﹣1.n(n ＋2)＝n 2＋2n (n ＋1)2﹣1＝n 2＋2n ＋1﹣1＝n 2＋2n 所以n(n ＋2)＝(n ＋1)2﹣1. 18.【答案】解：①根据题意得：1111111111011111210010110111112100101+++=-+-++-⨯⨯⨯ ＝1191101011010-= ②根据题意得：＝21(1﹣20271)＝20272013 19.【答案】解：(1)10 4;(2)观察发现，第1个图案中有4个三角形与1个六边形 以后每个图案都比它前一个图案增加2个三角形与1个六边形则第n 个图案中三角形的个数为4＋2(n-1)=(2n ＋2)个，六边形的个数为n. (3)第2018个图案中，三角形的个数为2×2018＋2=4038(个)，六边形的个数为2018个.)(4)不存在.理由如下：假设存在这样的一个图案，其中有30个六边形，则这个图案是第30个图案 而第30个图案中三角形的个数为2×30＋2=62≠100… 202720251531311⨯++⨯+⨯所以这样的图案不存在.20.【答案】解：(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211 将下式减去上式得：2S﹣S＝211﹣1，即S＝211﹣1则1＋2＋22＋23＋24＋…＋210＝211﹣1；(2)设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n①两边同时乘以3得：3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1②②﹣①得：3S﹣S＝3n＋1﹣1，即S＝12(3n＋1﹣1)则1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n＝12(3n＋1﹣1).。
2024-2025学年北师大版七年级数学上册《3.3探索与表达规律》同步练习题(附答案)
2024-2025学年北师大版七年级数学上册《3.3探索与表达规律》同步练习题（附答案）一、单选题1．有一组数为：−1，12，−13，14，−15．．．，找规律得到第7个数是（）A．−17B．17C．−7D．7 2．已知31=3,32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38= 6561,…推测32024的个位数字是（）A．1B．3C．7D．9 3．有如下数列：1,2,3,4,5,6,⋅⋅⋅,K2,K1,,⋅⋅⋅，满足K2⋅=2K1，已知1=1，3=4，则2024=（）A．8B．6C．4D．2 4．按一定规律排列的多项式：−2，2−4，3−6，4−8，5−10，…第个多项式是（）A．−B．−B C．−2B D．−2B5．用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个正方形，第②个图案用了6个正方形，第③个图案用了8个正方形，…，按此规律排列下去，则第2024个图案中用的正方形的个数是（）A．4045B．4046C．4048D．40506．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2021次输出的结果为（）A．6B．3C．24D．127．如图，将连续的偶数2，4，6，8，…．．排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，思考：若将十字框上下左右移动，则框内五个数之和可能是（）A．2022B．2024C．2025D．20308．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．若把第一个三角形数记为1，第二个三角形数记为2，…，第n个三角形数记为，计算2−1，3−2，4−3…由此推算，9−8的值为（）A．7B．8C．9D．10二、填空题9．某地电影院观众席座位排列为扇形，座位按下列方式设置：排数第1排第2排第3排第4排…座位数50535659…根据表格中规律可知，第排的座位数可表示为．10．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按图所示规律铺地面，则第5个图形有块白色地砖，第个图形有块白色地砖．11．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，那么第2023个图形中共有个○．12．已知2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524……，若20+= 202×符合前面式子的规律，则+=．13．仔细观察下列等式：第1个：52−12=8×3；第2个：92−52=8×7；第3个：132−92=8×11；第4个：172−132=8×15；…请你写出第8个等式：．14．观察并找出如图图形变化的规律，则第2027个图形中黑色正方形的数量是个．15．如图，一种圆环的外圆直径是8cm，环宽1cm．若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为vm，则当=2024时，y的值为．16．如图，将一张边长为1的正方形纸片进行分割，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，部分④的面积是部分③面积的一半…，依此类推，受此启发，则12+122+123+124+125+…+12=（为正整数）．三、解答题17．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：7−6=7−6；6−7=7−6=12−13；−=12−13．观察上述式子的特征，解答下列问题：(1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：①23−47=；=；(2)当>时，|−U=；当<时，|−U=；(3)−1+++⋯⋯+−+18．阅读下面的文字，完成后面的问题：我们知道：那么：11×2=1−12；12×3=12−13；13×4=13−14那么：(1)14×5=；12023×2024=(2)用含有的式子表示你发现的规律_____(3)求式子11×2+12×3+13×4+⋯+12023×2024的值．19．如图所示的数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并解决下列问题：(1)第10行的最后一个数是______；(2)第20行共有______个数；(3)数字2023排在第_____行，从右往左数是第_____个数．20．如下图，通过观察，小丽同学发现可以用这样的方法确定每个图形中黑色和白色小正方形的总个数：图（1）中共有1个黑色小正方形，图（2）中共有1+3=22个黑白小正方形，图（3）中共有1+3+5=32个黑白小正方形，图（4）中共有1+3+5+7=42个黑白小正方形，回答下列问题：(1)根据前四个图中计算黑白小正方形的总个数的方法和规律，则第（5）个图中计算小正方形个数的等式是：___________；(2)根据规律，第50个图比第49个图多___________个小正方形；(3)根据每个图中计算黑白小正方形总个数的方法和规律，计算①1+3+5+⋯+197+199；②201+203+205+⋯+297+299．21．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；请猜想1+3+5+7+9+…+19=；(2)试用含有n的式子表示这一规律：1+3+5+7+9+…+=2；（n为正整数）(3)请用上述规律计算：①1+3+5+…+99；②101+103+105+…+2023+2025．参考答案：题号12345678答案A A D C D B D C1．解：∵第7个数，7是奇数，∴应该是负数，即−17．故选：A．2．解：∵31=3,32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38= 6561,…∴个位数字按照3，9，7，1的顺序循环，∵2024÷4=506，∴32024的个位数字是1，故选：A．3．解：1=1，3=4，且1⋅3=22，∴2=2，同理，可得：4=4,5=2,6=1,7=1,8=2,9=4,10=4,11=2,12=1⋯⋯，所以，1，2，4，4，2，1，六个数字循环出现，又2024÷6=337⋯⋯2∴2024=2=2，故选：D4．解：观察多项式可得：含的项的次数是从1开始的连续的自然数，含的项的系数是从2开始的连续偶数，且两项之间用−号连接起来，∴第个多项式是−2B，故选：C．5．解：由所给图形可知，第①个图案中用的正方形个数为：4=1×2+2；第②个图案中用的正方形个数为：6=2×2+2；第③个图案中用的正方形个数为：8=3×2+2；…，所以第个图案中用的正方形个数为(2+2)个，当=2024时，2+2=2×2024+2=4050（个)，即第2024个图案中用的正方形个数为4050个．故选：D．6．解：把x=24代入程序中，得12×24=12，第1次输出的结果为12，把x=12代入程序中，得12×12=6，第2次输出的结果为6，把x=6代入程序中，得12×6=3，第3次输出的结果为3，把x=3代入程序中，得：3+3=6，第4次输出的结果为6，当输入x=6时，得12×6=3，第4次输出的结果为3，…依此类推，以6，3循环，∵2021=2×1010+1，∴第2021次输出的结果为3，故选B．7．解：由题意可知：若中间数为，另外四个数分别为−10、−2、+2、+10，∴十字框中五个数的和是−10+−2++2+++10=5．∵为偶数，2022÷5=404...2，2024÷5=404...4，2025÷5=405，2030÷5=406，故选：D．8．解：由题意可得，2−1=3−1=2，3−2=6−3=3，4−3=10−6=4，…则9−8=9，故选：C．9．解：根据表格中数据可知，后一排总比前一排多3，第1排：47+3，第2排：47+2×3，第3排：47+3×3，第4排：47+4×3，⋯⋯，依次类推，第排的座位数可表示为：47+3，故答案为：47+3．10．解：第1个图形有白色地砖6块，第2个图形有白色地砖6+4=10（块)，第3个图形有白色地砖6+4+4=14（块)，第5个图形白色地砖的块数：6+4×(5−1)=22（块)，第个图形白色地砖的块数：6+4×(−1)=(4+2)块，答：第5个图形有22块白色地砖，第个图形有(4+2)块白色地砖．故答案为：22；(4+2)．11．解：由图可得，第1个图象中○的个数为：1+3×1=4，第2个图象中○的个数为：1+3×2=7，第3个图象中○的个数为：1+3×3=10，第4个图象中○的个数为：1+3×4=13，……∴第2023个图形中共有：1+3×2023=1+6069=6070个○，故答案为：6070．12．解：∵2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，∴+1+r1r12−1=+12.r1r12−1，∴20+20202−1=202×20202−1，∴=202−1，=20，∴+=202−1+20=419，故答案为：419．13．解：第1个：52−12=8×3，即4×1+12−4×1−32=8×4×1−1；第2个：92−52=8×7，即4×2+12−4×2−32=8×4×2−1；第3个：132−92=8×11，即4×3+12−4×3−32=8×4×3−1；第4个：172−132=8×15，即4×4+12−4×4−32=8×4×4−1；．．．．．．，依此类推可知第n个等式：4+12−4−32=84−1，∴第8个等式：4×8+12−4×8−32=84×8−1，即332−292=8×31故答案为：332−292=8×31．14．解：由图可得：第1个图形中黑色正方形的数量为2个；第2个图形中黑色正方形的数量为3个；第3个图形中黑色正方形的数量为5个；第4个图形中黑色正方形的数量为6个；第5个图形中黑色正方形的数量为8个；⋯⋯，依此类推，当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为32个；当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的数量为3r12个，∴当=2027时，黑色正方形的个数为3×2027+12=3041（个）．故答案为：3041．15．解：由题意可得，=8+8−2×−1=6+2,当=2024时，=6×2024+2=12146，故答案为：12146．16．解：∵观察图形发现部分①的面积为：12，部分②的面积为：122，…，部分n的面积12，∴12+122+123+124+125+…+12=1−12．故答案为：1−12．17．（1）解①|23−47|=47−23；②|23−25|=23−25；（2）解：当>时，|−U=−当<时，|−U=−；（31+−+−+⋯⋯++=1−12+12−13+13−14+⋯+12021−12022+12022−12023=1−12023=20222023．18．（1）解：∵14×5=14−15，12023×2024=12023−12024，故答案为：14−15；12023−12024．=1−1r1，（2=1−1r1．（3∴11×2+12×3+13×4+⋯+12023×2024=1−12+12−13+…+12023−12024=1−12024=20232024．19．（1）解：第1行最后一个数为12，第2行最后一个数为22第3行最后一个数为32第4行最后一个数为42，……，以此类推，可知第n行最后一个数为2，∴第10行最后一个数为102=100，故答案为：100；（2）解：由（1）得第20行最后一个数为202=400，第19行最后一个数为192=361，∴第20行共有400−361=39个数，故答案为：39；（3）解：∵442=1936<2023<452=2025，∴数字2023排在第45行，从右往左数是第3个数，故答案为：45；3．20．（1）解：图（1）中共有1个黑色小正方形，图（2）中共有1+3=22个黑白小正方形，图（3）中共有1+3+5=32个黑白小正方形，图（4）中共有1+3+5+7=42个黑白小正方形，∴图（5）中共有1+3+5+7+9=52个黑白小正方形，故答案为：1+3+5+7+9=52；（2）解：∵图（1）中共有1个黑色小正方形，图（2）中共有1+3=22个黑白小正方形，图（3）中共有1+3+5=32个黑白小正方形，图（4）中共有1+3+5+7=42个黑白小正方形，图（5）中共有1+3+5+7+9=52个黑白小正方形，⋯，则图（）中共有1+3+5+7+9+2−1=2个黑白小正方形，∴第50个图比第49个图多502−492=99（个），故答案为：99；（3）由（2）得图（）中共有1+3+5+7+9+2−1=2个黑白小正方形，∴①2−1=199，解得：=100，∴1+3+5+⋯+197+199=1002=10000；②2−1=99，解得：=50，∴201+203+205+⋯+297+299=200×100+1+3+5+7⋯+97+99=20000+502=20000+2500=22500．21．（1）解：观察，发现规律：1=12，1+3=22，1+3+5=32，…，∴1+3+5+…+(2−1)=2，∴④1+3+5+7+9+…+19=102=100．故答案为：100．（2）由（1）知，1+3+5+…+(2−1)=2，故答案为：2−1；（3）①令2−1=99，解得：=50，∴1+3+5…+99=502．②∵1+3+5+7+…99+101+103+105+…+2025=10132，1+3+5+7+…+99=502，上式减去下式可得：101+103+105+…+2025=10132−502=1023669．。
北师大版七年级上册 3.5 探索与表达规律(专题练习)
3.5 探索与表达规律（含答案）一．选择题：（四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内）1．将正奇数按下表排成5列：第一列第二列第三列第四列第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9 第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25 根据上面规律，2019应在（）A ．125行，3列B ．125行，2列C ．251行，2列D ．251行，5列2．如图所示的是某年5月的日历表,任意圈出一竖列上相邻的三个数,发现这三个数的和不可能是（)A ．27B ．36C ．40D ．543．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2019应标在（）A ．第504个正方形的左下角B ．第504个正方形的右下角C ．第505个正方形的左上角D ．第505个正方形的右下角4．一根绳子弯曲成如图1所示的形状，当用剪刀像图2那样沿虚线a 把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b （b ∥a ）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a ，b 之间把绳子再剪（n 2）次（剪刀的方向与a 平行），这样一共剪n 次时绳子的段数是（）A ．4n +1B ．4n +2C ．4n +3D ．4n +55．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n (n 是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是( )A ．3nB ．n (n ＋2)C ．n (n ＋1)D ．2n －16．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，……，这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，……，这样的数称为“正方形数”；从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和；则下列符合这一规律的等式是（） A ．20=4+16 B ．25=9+16 C ．36=15+21 D ．40=12+283 2第1个正方形54 7 6第2个正方形 88 11 10第3个正方形 15 14第4个正方形日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31图 1 图 2 a 图 2 a b7．同用样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第10个图案需要的黑色五角星的个数是（）A ．15B ．16C ．17D ．188．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，……，则第⑥个图形中五角星的个数为（）A ．50B ．64C ．68D ．729．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，……，依此规律，第11个图案需（）根火柴 A ．156 B ．157 C ．158 D ．15910．如图，都是由边长为1的正方体叠成的立体图形，例如第（1）个图形由1个正方体叠成，第（2）个图形由4个正方体叠成，第（3）个图形由10个正方体叠成，依次规律，第（6）个图形由（）个正方体叠成； A ．36 B ．37 C ．56 D ．84二．填空题：（将正确答案填在题目的横线上）11．观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，根据上述算式中的规律，32019的末位数字是_______；12．下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律，则第4个正方形中间数字m 为，第n 个正方形的中间数字为；（用含n 的代数式表示）13．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放： （（14．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形有个；15．将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体.观察并回答下列问题：（1）其中三面涂色的小正方体有________个，两面涂色的小正方体有______个，各面都没有涂色的小正方体有________个；145 32第1个581376第2个912211110第3个13m第4个图 ① 图 ② 图 ③（2）如果将这个正方体的棱n等分，所得的小正方体中三面涂色的有_________个，各面都没有涂色的有________个；（3）如果要得到各面都没有涂色的小正方体125个, 那么应该将此正方体的棱______等分；三．解答题：（写出必要的说明过程，解答步骤）16．观察下面数表：12343456745678 9 10(1)依此规律：第6行最后一个数字是________；第n行最后一个数字是________．(2)其中某一行最后一个数字可能是2019吗？若不可能，请说明理由；若可能，请求出是第几行？17．将连续的奇数1，3，5，7，9，……，排成如图所示的数阵．（1）十字框中的五个数的和与中间数15有什么关系？（2）设中间数为a，求出十字框中五个数之和；（3）十字框中五个数之和能等于2 015吗？若能，请写出这五个数；若不能，说明理由．18．如图1是一个三角形，分别连接这个三角形三变的中点得到图2，在分别连接图3中间的小三角形三边中点，得到图3，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：（1（219．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，……，请你根据以上操作方法得到的正方形的个数的规律完成各题；（1（2）a n =___________________（用含n的代数式表示）；（3）按照上述方法，能否得到2019个正方形？如果能，请求出n；如果不能，请简述理由．20．用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，观察下列图形并解答有关问题．（1）在第n个图中，第一横行共_____________块瓷砖，第一竖列共有____________块瓷砖；（均用含n的代数式表示）（2）在第n个图中，铺设地面所用黑瓷砖的总块数为______________；（3）某商店黑瓷砖原价每块4元，则铺设第n个图的矩形地面，共需花多少元购买黑瓷砖？现在该商店举行“双11”促销活动，活动一：凡参加买黑瓷砖活动者赠送2块黑瓷砖；活动二：不赠送瓷砖，每块黑瓷砖打9折；现在需要购买黑瓷砖，铺设n=6时矩形地面，参加哪个活动合算？3.5 探索与表达规律参考答案：1~10DCDAB CBDBC11.7；12.29，8n-3；13.24，34，10104；14.1 (2)nn-+；15.（1）8，12，1；（2）8，3(2)n-；（3）7；16.（1）6，3n-2；（2）可能，672行；17.（1）15的5倍；（2）5a；（3）能；18.（1）13，17；（2）4n-3；19.（1）13，16；（2）a n =3n+1；（3）由3n+1=2019得：16723 n=这时，n不是整数，按照上述方法，不能得到2019个正方形；20．（1）（n+3），（n+2）；（2）4n+6；（3）参加活动二合算；。
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试题汇编一一找规律
1、如图所示，观察小圆圈的摆放规律，第一个图中有5个小圆圈，第二个图中
有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第4幅图中有______ 个菱形，第n幅图中有 _______ 个菱形.
1 2 3 n
3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去,
4、观察表一，寻找规律.表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其
中a、b、c的值分别为________________ .
5、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面.如果铺成一个 2 2的正
方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3 3的正方形有8个小圆圈，第100个图中有个小圆圈.
2、
(1) (2) (3)
找规律.下列图中有大小不同的菱形, 第1幅图中有1个菱形，第2幅图中
则第n个图形需棋子枚（用含n的代数式表示）.
第1个图
• •
第2个图
第3个图
O
图案（如图③），其中完整的圆共有
13
个，如果铺成一个4 4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个•若这样铺成一个10 10的正方形图案,
6 如下图，用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，
则第n个图案需要用白色棋子_____________ 枚（用含有n的代数式表示，并写
成最简形式）•
O O O O O O O O O
O O O O••O O•••O
O•O O••O O•••O
O O O O O O O O•••O
O O O O O
7、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第334个图形
需______ 根火柴棒。
8、将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n ,m ）表示第n排, 从左到右第m个数，如（4，2 ）表示实数9，则表示实数17的有序实数对
1第一排
3 2 "，，，
・，
第二排
4□56第三排
1098 匚7第四排
9、如图2 ，用n表示等边三角形边上的小圆圈，f（n）表示这个三角形中小圆圈
的总数，那么f（n）和n的关系是___________
则其中完整的圆共有 __________ 个.
3J
00 … o oo ooo o oo ooo oooo
10、观察图4的三角形数阵，则第50行的最后一个数是
（ ）
1
-2 3
-4 5 -6
7 -8 9 -10
0 0 0 0 0 0 11、下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成， 依此规律, 第n 个图案中白色正方形的个数为 ___________ :
12、观察下列各式：
答案解析：
1解析：n=1时，m=5 n 再每增加一个数时，m 就增加3个数•解答：根据所给 的具体数据，发现：8=5+3, 11=5+3X 2, 14=5+3X 3,….以此类推，第n 个圈 中，m=5+3( n-1 ) =3n+2.
2解析：分析可得：第1幅图中有1X2-1=1个，第2幅图中有2X2-1=3个，第 3幅图中有3X2-1=5个，…，故第n 幅图中共有2n-1个
3解析：在4的基础上，依次多3个，得到第n 个图中共有的棋子数.
观察图形，发现：在4的基础上，依次多3个.即第n 个图中有4+3( n-1 )=3n+1.当 n=6时，即原式=19.故第6个图形需棋子19枚
4解析：此题只要找出截取表一的那部分，并找出其规律即可解.
解答：解：表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等，所以a=15+3=18. 表猜.3 _3 _3 . . ._3 1 2 3 L L 10
.3 .2 ,3 ^3 小2 1 1
1 2 3 62 ,3 小3 八2 1 2 3 ffl
第一个
,3 小3 八3 ,3 2 1 2 3 4 10
三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差应比左边一列数字的差大1,所b=24+25-20+1=30.
表四中截取的是两行三列中的6个数字：18是3的6倍，则c应是4的7倍，
即28.
故选D.
认真观察表格，熟知各个数字之间的关系：第一列是1, 2，3,…；第二列是对
应第一列的2倍；等三列是对应第一列的3倍
5解析：据给出的四个图形的规律可以知道，组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，每四个小正方形组成一个完整的圆，从而可得这样的圆是大正方形边长减1的平方，从而可得若这样铺成一个10X 10的正方形图案，则其中完整的圆共有102+ (10-1 ) 2=181个.
解答：解：分析可得完整的圆是大正方形的边长减1的平方，从而可知铺成一个
, _ 2 2
10X 10的正方形图案中，完整的圆共有10+ (10-1) =181个.
点评：本题难度中等，考查探究图形的规律.本题也只可以直接根据给出的四个图形中计数出的圆的个数，找出数字之间的规律得出答案.
6解析：解：第1个正方形图案有棋子共32=9枚，其中黑色棋子有12=1枚，白色棋子有(32-12)枚；
第2个正方形图案有棋子共42=16枚，其中黑色棋子有22=4枚，白色棋子有(42-22) 枚；
…由此可推出想第n个图案的白色棋子数为（n+2）2-n2=4 （n+1）.
故第n个图案的白色棋子数为（n+2）2-n2=4 （n+1）.
点评：根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题.解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论
7解析：根据题意分析可得：
搭第1个图形需12根火柴；
搭第2个图形需12+6X仁18根；
搭第3个图形需12+6X 2=24根；
搭第n个图形需12+6 （n-1 ）=6n+6根.
解答：解：搭第334个图形需6X 334+6=2010根火柴棒
8解析：寻找规律，然后解答.每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，
从小到大，而偶数排从左到右，从大到小.
解答：解：观察图表可知：每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小.实数15=1+2+3+4+5则17在第6 排,第5个位置，即其坐标为（6, 5）.故答案填：（6, 5）.
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.
9解析：根据题意分析可得：第n行有n个小圆圈.故f （n）和n的关系是？（n）=扌（n2+n）.
（^―11KR 10解析：根据题意可得：第n行有n个数；且第n行第一个数的绝对值为9
（7i—
+1，最后一个数的绝对值为 2 +n；奇数为正，偶数为负；故第50行的最
后一个数是1275.
（凱一1））＜旧
解答：解：第n行第一个数的绝对值为 2 +1，最后一个数的绝对值为+n，
奇数为正，偶数为负，
第50行的最后一个数是1275
11、第一个图中白色正方形的个数为3X3-1 ;
第二个图中白色正方形的个数为3X5-2
第三个图中白色正方形的个数为3X7-3 ;
当其为第n个时，白色正方形的个数为3 (2n+1) -n=5n+3
12解析：根据所给的等式，可以发现右边的底数是前边的底数的和，指数是平
方，则最后的底数是1+2+3+..+10=5 X 11=55,贝U原式M552•解答：解：根据分
析最后的底数是1+2+3+..+10=5 X 11=55,则原式=552.故答案552。