高三圆锥曲线经典总结

圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

1．圆锥曲线的两个定义：

（1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中，与两个定点F 1,Ｆ2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹;双曲线中，与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等

于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2｜不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线,若2a ﹥｜F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如（１)已知定点)0,3(),0,3(21F F -,在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B.621=+PF PF C ．1021=+PF PF D.122

2

21=+PF PF

（2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点)0,22(Q 及抛物线4

2

x y =上一动点Ｐ（x ,y),则ｙ+|ＰQ ｜的最小值是

_____

２.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆:焦点在x 轴上时122

22=+b

y a x （0a b >>)⇔{

cos sin x a y b ϕϕ==(参数方程,其中ϕ

为参数），焦点在y 轴上时22

22b

x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要

条件是什么?(AB Ｃ≠０,且A ，B ，C 同号，A ≠B)。

如(1)已知方程1232

2=-++k

y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为_＿＿_

(2)若R y x ∈,,且62322=+y x ,则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是＿__ （2）双曲线:焦点在x 轴上：2222b y a x - =１,焦点在y 轴上：22

22b

x a y -=1（0,0a b >>)。

方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ，B 异号)。

如(1)双曲线的离心率等于25

，且与椭圆14

922=+y x 有公共焦点,则该双曲线的方程＿_＿

___＿

(2)设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点

)10,4(-P ，则C 的方程为＿____＿＿

(3)抛物线:开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

3．圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断）： （１)椭圆:由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程1212

2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__

(２)双曲线:由x 2,y 2项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; （3）抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。

特别提醒:（1)在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；(2)在椭圆中,a 最大,222a b c =+，在双曲线中，c 最大,222c a b =+。

4．圆锥曲线的几何性质:

(１)椭圆（以122

22=+b

y a x （0a b >>)为例)：①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦

点：两个焦点(,0)c ±；③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0)，四个顶点

(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2

a x c

=±； ⑤离心

率:c

e a

=，椭圆⇔01e <<,e 越小,椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。

如（1）若椭圆1522=+m

y x 的离心率510

=

e ，则m 的值是＿_ (２)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__

（2)双曲线（以22

221x y a b

-=（0,0a b >>）为例）：①范围:x a ≤-或,x a y R ≥∈；②

焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心（０,0），两

个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为

等轴双曲线，其方程可设为2

2

,0x y k k -=≠;④准线:两条准线2

a x c

=±; ⑤离心率：

c

e a

=，双曲线⇔1e >，等轴双曲线⇔e =e 越小，开口越小,e 越大，开口越大；

⑥两条渐近线：b

y x a

=±。

如(1)双曲线的渐近线方程是023=±y x ,则该双曲线的离心率等于___＿_＿

(２)双曲线221ax by -=:a b =ﻩ ﻩ

（３)设双曲线122

22=-b

y a x （ａ>0,b>0)中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的

取值范围是＿__＿__＿_

(3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）:①范围：0,x y R ≥∈；

②焦点:一个焦点(,0)2

p

,其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴0y =，没有对称中心,

只有一个顶点(０,0)；④准线:一条准线2p x =-； ⑤离心率:c

e a

=,抛物线⇔1e =。

如设R a a ∈≠,0,则抛物线2

4ax y =的焦点坐标为_＿____＿＿ ５、点00(,)P x y 和椭圆122

22=+b

y a x (0a b >>）的关系:(1)点00(,)P x y 在椭圆外

⇔22

00

221x y a b +>;(2)点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +=1；

（3)点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200

221x y a b

+< ６.直线与圆锥曲线的位置关系：

(1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。

如（1）若直线ｙ=kx+2与双曲线x 2-y ２=6的右支有两个不同的交点,则k 的取值范围是

_______（答:（2）直线y ―ｋｘ―１＝0与椭圆22

15x y m

+

=恒有公共点，则ｍ的取值范围是_______

(3）过双曲线12

12

2=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点,若│AB ︱＝４，则这样的直线有___＿_条

(2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切;0∆=⇔直线与抛物线相切;

（３)相离:0∆<⇔直线与椭圆相离;0∆<⇔直线与双曲线相离;0∆<⇔直线与抛物线相离。

特别提醒：（１)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形: