湖北省鄂东南省级示范高中2020~2021学年高三上学期期中联考数学试题及答案
湖北省鄂州市部分高中联考协作体2020-2021学年高一数学上学期期中试题(含解析)
湖北省鄂州市部分高中联考协作体 2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（共12小题）.1. （ 5分）满足条件?? M ? {a , b , c }的集合M 共有（ ）A. 3个B. 6个C. 7个D. 8个2.（ 5分）不等式十冬2的解集为（）A. [2 , +x ）B. [1 , +x ）3.（ 5分）已知a >b >0, c v d v 0,则下列关系式错误的是（）A. —v [B.寸<匸C. ac 2 > bd 2D. ac > bd4.（5分）如果？ x °€ R 使X 02+ax °+1v 0成立，那么实数a 的取值范围为（ ）C. [2 , +O ）D.5. （ 5分）函数y +1的大致图象是（）C.—OO1]D.( — O , 1)U [2 , +O )A. —OO-2]B.(-O ,- 2)U( 2, +O )m的取6. （5分）若幕函数的图象不过原点，且关于原点对称，则值是（）-1是（ ）9. (5 分)已知集合 A = { (x , y ) | y = x - 1}, B = { (x, y ) | y = 1 - x },则 A A B=( A. {1 , 0} B.( 1, 0)C.{ (1, 0) } D { (x , y ) |{；：}10 . (5分)下列四组函数中表示同一函数的组数是()A. f (x )= | x | 与 g (x )='厂B. f (x )= | x | 与 g (C f (x )=( -厂)3与 g (x ) = r ■■)2D. f (x )=胃与 g (x ) = ■ ■11 . (5分)当x € R, X M 0,下列不等式成立的是( )A. |x+：| >2B. 0< ； VC.x +； > 2D. x +； <-212 . ( 5分)判断一下说法正确的是()A. “ ab = 0”的一个必要非充分条件是“ a 2+b 2= 0” 1 1B .如果 2f (x ) +f (j)= x ,那么 f (x )=g-豆7 (X M 0) C. 函数y = r +「，+的最小值为2D. 函数f （x ） = x 十的任意自变量X 1、X 2满足.m=- 2 B . m=（5分）函数f (x )=.(0, 3) B ・(- （5分）已知f (x )=C. m=- 2 或 m=- 1D.— 3< me - 1x 3+x ，则不等式f （2 - X 2） +f （2x +1）＞ 0的解集是（ ） C.:,-3) D . (- 1, 3)x 3(x<0),方程2[ f (x ) ] 2+f (x )- 1 = 0的根x 的个数A. 1B. 2C. 3D. 47.8A A 可，2）f (巧(七)> 2-1 f二、填空题(每小题5分，共20 分)13. ____________________ ( 5 分)如果全集U= A U B= {x€ N|0< x v 8}, ( ?u A)n B= {1 ,3, 5, 7}，那么用列举法表示A= .14. (5 分)已知g (x)= f (x) +x2是奇函数，且f (1)= 1,则f (- 1)= _______________ .15. ( 5分)两辆车需要尽快通过一段100m的桥梁，如果两车安全间距与速度关系为______ s.L=：〔，设车辆限速不超过60ms，那么两车都通过的最短时间为16. (5分)已知奇函数f (x)在(-乂，0)为增函数，且f (2) = 0,则不等式(x+1)f (x+1)> 0的解集为_______ 三、解答题(共70分)17. ( 10 分)设全集为R,集合A= {x|3 <x v6}, B= {x|2 v x v 9}.(1)分别求A n B,( ?R B)U A；(2)已知C-{x| a v x v a+1}，已知C n B= C,求实数a的取值范围.18. ( 12分)(1)求函数y=x0+[‘的定义域；(2)求函数y=—二一的值域.19. ( 12分)定义域为R的奇函数F (x),当x v0时，F (x) = x2+4x.(1)求F (x)解析式，并写出它的单调区间；(2)解不等式F (x2)>3.ax+b20. ( 12分)已知函数f (x)=「厂(a, b€ R).(1)若f (x)是偶函数，当b>0时，用定义证明：f (x)在[0 , +呵上是减函数；(2)若f (x)是奇函数，且f (x)>- 1恒成立，求a的取值范围.21. (12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600 件．(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p= f (x)的表达式;(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？22. ( 12分)函数f (x)对定义域D上任意x、y满足：f (x) +f (y)= f (x+y) [1 -f (x) f (y)].(1)求f (0)的值；(2)设D关于原点对称，判断并证明f (x)的奇偶性；(3)当x€ (- a, 0)时，f (x)v 0,证明：f (乂)在(0, a)上是增函数.参考答案一、选择题（1-8单选每题5分；9-12多选，每题全对5分，部分对3分，选错0分;共60分）1. （5分）满足条件?? M? {a, b, c}的集合M共有（）A. 3个B. 6个C. 7个D. 8个解：满足条件?? M? {a, b, c}的集合M有:{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}.共6 个,•••满足条件？？M P {a, b, c}的集合M共有6个.故选：B.2. （5分）不等式—< 2的解集为（）A. [2 , +x）B. [1 , +x）C.（— =, 1]D.（— =, 1）U [2 , +乂）IT Y =Y解：根据题意，2?亍y- 2< 0? < 0? （X-2）（x- 1）> 0 且x - 1工0 , 解可得：x > 2或x v 1,即不等式的解集为（-=,1）U [2 , +乂），故选：D.3. （5分）已知a>b>0 , c v d v 0,则下列关系式错误的是（）2 2A.十<=B.C. ac>bdD. ac>bd解：T c v d v0, •- c>- d>0,• a- c>b- d>0,- ac>bd,故ac v bd,故D错误;故A正确;由 c 2>d 2,故 ac 2>bd 2，故 C 正确;故选：D.4. （5分）如果？ x °€ R 使x °2+ax °+1v 0成立，那么实数a 的取值范围为（ A.（ — ^,— 2] B.（ — ^,— 2）U （ 2, +乂） C. [2 , +乂）D. ?解：若命题“ ？ x °€ R,使得x 02+ax 0+1 v 0成立”为真命题， 则A 〉。
2020-2021学年湖北省部分重点中学高三(上)联考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2020-2021学年湖北省部分重点中学高三（上）联考数学试卷（10月份）1.已知全集U=R，M={x|x<−1}，N={x|x(x+2)<0}，则图中阴影部分表示的集合是()A. {x|−1≤x<0}B. {x|−1<x<0}C. {x|−2<x<−1}D. {x|x<−1}2.从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%.现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为()A. 55B. 80C. 90D. 1103.已知A={x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2−a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是()A. a≥4B. a≤4C. a≥5D. a≤54.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是()A. 此人第六天只走了5里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C. 此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里D. 此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍5.已知定义在R上的函数f(x)=2|x−m|−1(m为实数)为偶函数，记a=f(2−3)，b=f(3m)，c=f(log0.53)，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a6.函数f(x)=Asin(ωx+π4)(ω>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π3的等A. 向左平移π12个单位 B. 向右平移π4个单位 C. 向左平移π4个单位D. 向右平移3π4个单位7. 现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为12×1000+12×1000×2=32×1000，2小时后，细胞总数约为12×32×1000+12×32×1000×2=94×1000，问当细胞总数超过1010个时，所需时间约为( )(参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301)A. 34小时B. 37小时C. 40小时D. 43小时8. 若a >1，设函数f(x)=a x +x −4的零点为m ，g(x)=log a x +x −4的零点为n ，则1m +1n 的取值范围( )A. (72,+∞)B. [1,+∞)C. (4,+∞)D. (92,+∞)9. 如图，点P 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个结论，其中正确的结论有( )A. 三棱锥A −D 1PC 的体积不变B. A 1P 与平面ACD 1所成的角大小不变C. DP ⊥BC 1D. DB 1⊥A 1P10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右两个顶点分别是A 1，A 2，左、右两个焦点分别是F 1，F 2，P 是双曲线上异于A 1，A 2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有( )A. |PF1|−|PF2|=2aB. 直线PA1，PA2的斜率之积等于定值b2a2C. 使△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有4个D. 焦点到渐近线的距离等于b11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60°，b=4，下列判断：A.若c=√3，则角C有两解；B.若a=92，则角C有两解；C.△ABC为等边三角形时周长最大；D.△ABC为等边三角形时面积最小．其中判断正确的是()A. AB. BC. CD. D12.已知函数f(x)=lnx，g(x)=x3−2ex2+kx，其中e为自然对数的底数，k∈R.若函数y=f(x)−g(x)有唯一零点，则下列命题正确的是()A. k=e2+1eB. 曲线y=g(x)在点(e,g(e))处的切线与直线x−ey+1=0平行C. 函数y=g(x)+2ex2在[0,e]上的最大值为2e2+1D. 函数y=g(x)−xe−e2x在(0,1)上单调递增13.(x+2y)(x+y)4的展开式中x3y2的系数为______．14.函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则实数a=______．15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若函数f(x)=13x3+bx2+(a2+ c2−ac)x+1有极值点，则∠B的范围是______ ．16.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德⋅黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：R(x)={1p,当x=qp(p,q都是正整数,qp是既约真分数)0,当x=0,1或[0,1]上的无理数，若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2−x)+f(x)=0，当x∈[0,1]时，f(x)=R(x)，则f(lg103)−f(85)=______．17.已知函数f(x)=log k x(k为常数，k>0且k≠1)．(1)在下列条件中选择一个______使数列{a n}是等比数列，说明理由；①数列{f(a n)}是首项为2，公比为2的等比数列；②数列{f(a n)}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f(a n)}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．(2)在(1)的条件下，当k=√2时，设a n b n=2n+14n2−1，求数列{b n}的前n项和T n．18.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0,12)，最小正周期为2π3，且最小值为−1．(1)求函数f(x)的解析式．(2)若x∈[π6,m]，f(x)的值域是[−1,−√32]，求m的取值范围．19.如图，在三棱锥V−ABC中，平面VAC⊥平面ABC，△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB=BC，AC=CV=2，M，N分别为VA，VB的中点．(Ⅰ)求证：AB//平面CMN；(Ⅱ)求证：AB⊥VC；(Ⅲ)求直线VB与平面CMN所成角的正弦值．20.在平面直角坐标系中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(√52,√32)，离心率为2√55．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点K(2,0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B点作直线l：x=a2c的垂线，其中c为椭圆C的半焦距，垂足分别为A1，B1，试问直线AB1与A1B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．21.德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，(见下表)，且每一门课程是否合格相互独立，(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；(2)记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．22.已知函数f(x)=x2+ax−a，其中a∈R．e x(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线方程；(2)求证：若f(x)有极值，则极大值必大于0．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用Venn图表示集合的关系及其运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．由图可得图中阴影部分为N∩(∁U M)，求解一元二次不等式，再由交集与补集的混合运算求解．【解答】解：图中阴影部分为N∩(∁U M)，∵M={x|x<−1}，∴∁U M={x|x≥−1}，又N={x|x(x+2)<0}={x|−2<x<0}，∴N∩(∁U M)={x|−1≤x<0}，故选A．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查分层抽样，明确分层抽样中每一层所占比例数相等是关键，是基础题．由已知求得A或B等级所占比例，乘以200得答案．【解答】解：由题意，A、B等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，则A或B等级所占比例为55%，∴200人的样本中，获得A或B等级的学生一共有：200×45%=90人．故选：C．3.【答案】C【解析】解：因为命题“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”是真命题，所以“∀x∈[1,2]，a≥x2”恒成立，所以a≥4，a ≤4，a ≤5是真命题的既不充分也不必要条件， 所以命题是真命题的一个充分不必要条件是a ≥5， 故选：C ．将命题“∀x ∈A ，x 2−a ≤0”是真命题，转化为“∀x ∈A ，a ≥x 2”恒成立求得a 的范围，再利用充分不必要条件的定义判断． 本题考查充分必要条件的概念，属于基础题．4.【答案】BCD【解析】解：设此人第一天行走x 里，由题意可得：x +12x +122x +123x +124x +125x =378，化为：1−1261−12x =378，解得x =192．A .此人第六天只走了125×192=6里路，因此不正确；B .此人第一天走的路程比后五天走的路程多=192−(378−192)=6里，正确；C .此人第二天走的路程比全程的14还多=12×192−14×378=1.5里，正确； D .此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的(1+12+122)x(123+124+125)x =8倍，正确．故选：BCD ．设此人第一天行走x 里，由题意可得：x +12x +122x +123x +124x +125x =378，化为：1−1261−12x =378，解得x.进而判断出结论．本题考查了等比数列的求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵定义在R 上的函数f(x)=2|x−m|−1(m 为实数)为偶函数， ∴f(−1)=f(1)，即2|−1−m|−1=2|1−m|−1，解得m =0， ∴f(x)=2|x|−1在(0,+∞)单调递增，在(−∞,0)单调递减， ∵2−3=18∈(0,1)，3m =1，|log 0.53|=log 23>1， ∴f(2−3)<f(3m )<f(log 0.53)，即a <b <c ． 故选：A ．由题意可得m =0，可得f(x)=2|x|−1在(0,+∞)单调递增，在(−∞,0)单调递减，比较三个变量的绝对值大小可得．本题考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题．6.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象及其变换规律，属于中档题．函数f(x)=Asin(ωx +π4)(ω>0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π3的等差数列，可知周期T =2π3，可得ω的值，根据三角函数的平移变换规律可得结论．【解答】解：由题意，函数f(x)=Asin(ωx +π4)(ω>0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π3的等差数列，可知最小正周期T =2π3，那么：ω=2πT=2π×32π=3．则f(x)=Asin(3x +π4)=Asin3(x +π12).要得到g(x)=Acos3x =Asin(3x +π2)=Asin3(x +π6)的图像， 只需将f(x)向左平移π12即可． 故选A ．7.【答案】C【解析】解：设第n 个小时后细胞个数为a n ， 则a n+1=12a n +12a n ×2=32a n ， 又a 1=32×1000，可得{a n }是等比数列， ∴a n =32×1000×(32)n−1=1000×(32)n ， 由a n =1000×(32)n >1010，得(32)n >107， 即nlg 32>7，∴n >7lg3−lg2=70.4771−0.3010≈40．故选：C．设第n个小时后细胞个数为a n，由题意结合等比数列的通项公式求得a n，再由a n= 1000×(32)n>1010，结合对数的运算性质求解．本题考查等比数列的通项公式，考查对数的运算性质，是基础题．8.【答案】B【解析】解：函数f(x)=a x+x−4的零点是函数y=a x与函数y=4−x图象交点A的横坐标，函数g(x)=log a x+x−4的零点是函数y=log a x与函数y=4−x图象交点B的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y=x对称，直线y=4−x与直线y=x垂直，故直线y=4−x与直线y=x的交点(2,2)即是A，B的中点，∴m+n=4，∴1m +1n=14(m+n)(1m+1n)=14(2+mn+nm)≥1，当m=n=2等号成立，而m+n=4，故1m +1n≥1，故所求的取值范围是[1,+∞)．故选B．把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m，n之间的关系个，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．本题综合函数零点、考查反函数的性质，考查利用基本不等式求最值．考查根据函数图象的对称性找到两个函数零点的关系．是一道在知识网络的交汇处命题的优秀试题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A，如图，由题意知AD1//BC1，AD1⊂面ACD1，BC1⊄面ACD1，∴BC1//面ACD1，故BC 1上任意一点到平面ACD1的距离均相等，△ACD1面积为定值，而V A−D1PC =V P−AD1C，所以，以动点P在BC1任何位置，三棱锥A−D1PC体积不变，故A正确；对于B，如图，连接A1B，A1C1，由正方体性质可知，A1C1//AC，A1C1⊄面ACD1，AC⊂面ACD1，∴A1C1//面ACD1，由A知：BC1//面ACD1，A1C1∩BC1=C1，故平面ACD1//平面A1C1B，而A1P⊂面A1C1B，由面面平行的性质易得：A1P//平面ACD1，故B正确；对于C，∵DC⊥面BCC1D1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥面DCP，则BC1⊥PC，则P为BC1中点，与P为动点矛盾，故C错误，对于D，如图，由正方形A1B1C1D1可得A1C1⊥B1D1，又BB1⊥面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，D1B1∩BB1=B1，∴A1C1⊥面BB1D1D，∴DB1⊥A1C1，同理，DB1⊥BC1，∴DB1⊥面BA1C1，∵A1P⊂面A1BC1，∴DB1⊥A1P，故D正确，故选：ABD．对于A选项，可将三棱锥A−D1P的体积转化为求P−AD1C的体积进行求证；对于B选项，可通过证明面ACD1//面A1C1B，进而证明出A1P//平面ACD1；对于C选项，可利用线面垂直的判定以及性质进行证明；对于D选项，可通过证明DB1⊥面BA1C1，进而证明出，DB1⊥面BA1C1．本题考查了三棱锥体积，空间中线面夹角求法，以及空间中线线垂直的判定，属于中档题．10.【答案】BD【解析】解：由双曲线的定义得，||PF1|−|PF2||=2a，故A不正确；由点差法知，直线PA1，PA2的斜率之积等于定值b2a2，故B正确．若点P在第一象限，可以分别以点F1，F2为顶点构成等腰三角形，根据对称性，一共有八个等腰三角形，故C错误．由点F(c,0)到直线y=ba x的距离为√a2+b2=b，故D正确，故选：BD．由双曲线的定义可判断A不正确；由点差法可判断B正确；由三角形的顶点的不同可得等腰三角形的个数可判断C不正确，由点到直线的距离公式可得D正确．本题考查双曲线的性质及命题真假的判断，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：对于A，由bsinB =csinC，得sinC=csinBb=√3sin60°4=38，由于c<b，所以C<B，故C为锐角，所以只有一组解，A错误；对于B，同理，由asinA =bsinB，可得sinA=9√3256<1，由于a>b，所以A>B，A有两个解，则相应的C有两个解，B正确；对于C，由b2=a2+c2−2accosB，得16=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac≥(a+c)2−34(a+c)2=14(a+c)2．故a+c≤8，当且仅当a=c时取等号，此时三角形周长最大，三角形为等边三角形，C正确；对于D，由C推导过程知得16=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac，即ac≤16，当且仅当a=c时取等号，此时三角形ABC面积最大，又B=60°，所以三角形为等边三角形，D正确，故选：BC．根据A、B选项给出的条件，利用正弦定理解出sin C和sin A，结合角度大小进行判断；C，D选项，根据余弦定理结合均值不等式即可判断．本题考查的是正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．12.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=lnx，g(x)=x3−2ex2+kx，若函数y=f(x)−g(x)有唯一零点，可得f(x)=g(x)，即为lnxx=x2−2ex+k有唯一解．设ℎ1(x)=lnxx，ℎ2(x)=x2−2ex+k，ℎ1(x)的导数为ℎ1′(x)=1−lnxx2，当x>e时，ℎ1(x)递减；当0<x<e时，ℎ1(x)递增，可得ℎ1(x)的最大值为1e，ℎ2(x)=x 2−2ex +k 的最小值为ℎ2(x)min =ℎ2(e)=k −e 2， 所以k −e 2=1e ，即k =e 2+1e ，故A 正确；由g(x)=x 3−2ex 2+kx 的导数为g′(x)=3x 2−4ex +e 2+1e ，g′(e)=1e ，g(e)=1，所以切线的方程为y −1=1e (x −e)，即为x −ey =0， 故切线与直线x −ey +1=0平行，故B 正确； 由函数y =F(x)=g(x)+2ex 2=x 3+(e 2+1e )x ， 导数为F′(x)=3x 2+e 2+1e >0，可得函数F(x)在[0,e]上递增，可得最大值为F(e)=2e 3+1，故C 错误； 设G(x)=g(x)−xe −e 2x =x 3−2ex 2的导数为G′(x)=3x 2−4ex ，可得当0<x <43e 时，G′(x)<0，G(x)递减，则G(x)在(0,1)上递减，故D 错误． 故选：AB ．由函数方程的关系，求得函数的最值，可判断A ；求得g(x)的导数，可得切线的斜率，求得切点，可得切线的方程，可判断B ；设F(x)=g(x)+2ex 2，求得导数和单调性，可得最大值，即可判断C ；设G(x)=g(x)−xe −e 2x ，求得导数和单调性，可判断D ． 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】14【解析】解：因为(x +y)4展开式的通项公式为：T r+1=∁4r ⋅x4−r⋅y r ； 令4−r =2可得r =2； 令4−r =3可得r =1；∴(x +2y)(x +y)4的展开式中，x 3y 2的系数为：∁42+2×∁41=14．故答案为：14．求出(x +y)4展开式的通项公式，进而求得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14.【答案】−1【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则f(x)+f(−x)=0，即ln(2x1+x +a)+ln(−2x1−x+a)=0，变形可得：a2−(a+2)x21−x2=1，必有a=−1；故答案为：−1．根据题意，由奇函数的定义可得f(x)+f(−x)=0，即ln(2x1+x +a)+ln(−2x1−x+a)=0，变形分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的定义，属于基础题．15.【答案】(π3,π)【解析】解：∵f(x)=13x3+bx2+(a2+c2−ac)x+1，∴f′(x)=x2+2bx+(a2+c2−ac)，又∵函数f(x)=13x3+bx2+(a2+c2−ac)x+1有极值点，∴x2+2bx+(a2+c2−ac)=0有两个不同的根，∴△=(2b)2−4(a2+c2−ac)>0，即ac>a2+c2−b2，即ac>2accosB；即cosB<12；故∠B的范围是(π3,π)；故答案为：(π3,π)．先求导f′(x)=x2+2bx+(a2+c2−ac)，从而化函数f(x)=13x3+bx2+(a2+c2−ac)x+1有极值点为x2+2bx+(a2+c2−ac)=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解．本题考查了导数的综合应用及余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】15【解析】解：根据题意，对任意x 都有f(2−x)+f(x)=0， 令x =25，则有f(85)=−f(25)， 又由f(25)=R(25)=15，故f(85)=−15 又由0<lg103=1−lg3<1，则有f(lg 103)=R(lg 103)=0，故f(lg 103)−f(85)=0−(−15)=15； 故答案为：15．根据题意，运用特殊值法可得f(85)=−f(25)，由函数的解析式求出f(25)和f(lg 103)的值，计算可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及对数的运算性质，是基础题．17.【答案】②【解析】解：(1)①③不能使数列{a n }是等比数列，②可以．由题意f(a n )=4+2(n −1)=2n +2，即log k a n =2n +2，可得a n =k 2n+2，且a 1=k 4≠0，a n+1a n=k 2n+4k 2n+2=k 2，由常数k >0且k ≠1，可得k 2为非零常数，则{a n }是k 4为首项、k 2为公比的等比数列； (2)由(1)可得a n =k 4⋅(k 2)n−1=k 2n+2， 当k =√2时，a n =2n+1，a n b n =2n+14n 2−1，可得b n =14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1． (1)选②，由f(x)和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论； (2)运用等比数列的通项公式可得a n ，进而得到b n =14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，由数列的裂项相消求和可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由函数的最小值为−1，A >0，得A =1，∵最小正周期为2π3， ∴ω=2π2π3=3，∴f(x)=cos(3x +φ)， 又函数的图象过点(0,12)， ∴cosφ=12，而0<φ<π2， ∴φ=π3，∴f(x)=cos(3x +π3)，(2)由x ∈[π6,m]，可知5π6≤3x +π3≤3m +π3， ∵f(π6)=cos5π6=−√32，且cosπ=−1，cos7π6=−√32， 由余弦定理的性质得：π≤3m +π3≤7π6，∴2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9,5π18].【解析】(1)依题意，易求A =1，ω=3，由函数的图象过点(0,12)，0<φ<π2，可求得φ=π3，从而可得函数f(x)的解析式． (2)x ∈[π6,m]⇒5π6≤3x +π3≤3m +π3，依题意，利用余弦函数的性质可得π≤3m +π3≤7π6，从而可求m 的取值范围．本题考查函数y =Asin(ωx +φ)确定函数解析式，着重考查余弦函数的单调性，考查解不等式的能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵M ，N 分别为VA ，VB 的中点， ∴MN//AB ，∵AB ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ， ∴AB//平面CMN ．(Ⅱ)证明：∵△ABC 和△VAC 均是等腰直角三角形，AB =BC ，AC =CV =2，M ，N 分别为VA ，VB 的中点． ∴AB ⊥BC ，VC ⊥AC ，∵平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC ∩平面ABC =AC ， ∴VC ⊥平面ABC ，∵AB ⊂平面ABC ，∴AB ⊥VC ．(Ⅲ)解：以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，V(√2,0，2)，B(0,0，0)，C(√2,0，0)，N(√22,0，1)，A(0,√2,0)，M(√22,√22,1)， BV ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,2)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,1)，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0，1)， 设平面CMN 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22x +√22y +z =0n ⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22x +z =0，取x =2，得n⃗ =(2,0，√2)， 设直线VB 与平面CMN 所成角为θ， 则直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值为： sinθ=|BV ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||BV ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=4√2√6⋅√6=2√23．【解析】(Ⅰ)推导出MN//AB ，由此能证明AB//平面CMN ．(Ⅱ)推导出AB ⊥BC ，VC ⊥AC ，从而VC ⊥平面ABC ，由此能证明AB ⊥VC ． (Ⅲ)以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意得 { a 2=b 2+c 254a 2+34b 2=1c a =2√55，解得a =√5，b =1，c =2， 所以椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．(2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线l ：x =52，AB 1与A 1B 的交点是(94,0)．②当直线AB 的斜率存在时，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 直线AB 为y =k(x −2)，由{y =k(x −2)x 2+5y 2=5⇒(1+5k 2)x 2−20k 2x +20k 2−5=0， 所以x 1+x 2=20k 21+5k 2，x 1x 2=20k 2−51+5k 2，A 1(52,y 1)，B 1(52,y 2)， 所以l AB 1：y =y 2−y 152−x 1(x −52)+y 2，l A 1B ：y =y 2−y 1x 2−52(x −52)+y 1，联立解得x =x 1x 2−254x 1+x 2−5=20k 2−51+5k 2−25420k21+5k 2−5=−45(1+k 2)−20(1+k 2)=94，代入上式可得 y =k(x 2−x 1)−10+4x 1+y 2=−9k(x 1+x 2)+4kx 1x 2+20k4x 1−10=−9k⋅20k 21+5k 2+4k⋅20k 2−51+5k 2+20k 4x 1−10=0，综上，直线AB 1与A 1B 过定点(94,0)．【解析】(1)由过点(√52,√32)，离心率为2√55，列方程组，解得a ，b ，c ，即可得出答案．(2)分两种情况：①当直线AB 的斜率不存在时，②当直线AB 的斜率存在时，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，写出直线AB 的方程，联立椭圆的方程，结合韦达定理得x 1+x 2，x 1x 2，写出直线AB 1的方程，直线A 1B 的方程，联立解得x ，y 即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，且事件A ，B ，C ，D 相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为： P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD) =34⋅23⋅23⋅12+34⋅23⋅23⋅12+34⋅23⋅13⋅12=512．(2)由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，ξ～B(3,512)，P(ξ=0)=C 30(712)3=3431728，P(ξ=1)=C 31(512)(712)2=7351728， P(ξ=2)=C 32(512)2(712)=5251728，P(ξ=3)=C 33(512)3=1251728，∴ξ的分布列为：∵ξ～B(3,512)，∴Eξ=3×512=54．【解析】(1)分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)，由事件A ，B ，C ，D 相互独立能求出结果．(2)由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，ξ～B(3,512)，由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，是中档题．22.【答案】解：(1)函数f(x)的导数f′(x)=−x2−(a−2)x+2ae x=−(x+a)(x−2)e x，当a =0时，f′(1)=1e ,f(1)=1e ，则f(x)在(1,f(1))的切线方程为y −1e =1e (x −1)，即y =1e x ， (2)证明：令f′(x)=0，解得x =2或x =−a ，①当a =−2时，f′(x)≤0恒成立，所以函数f(x)在R 上单调递减，无极值； ②当−a <2，即a >−2时，所以函数f(x)存在极值，函数f(x)的极大值为f(2)=a+4e 2>2e 2>0，③当−a >2，即a <−2时，=−ae a>0，所以函数f(x)存在极值，函数f(x)的极大值为f(−a)=−ae−a综上，当f(x)有极值时，函数f(x)的极大值必大于0．【解析】(1)利用导数求得切线斜率，利用点斜式写出切线方程；(2)令f′(x)=0，解得x=2或x=−a，分a=−2，a>−2，a>−2讨论即可．本题考查了导数的几何意义，即利用导数求函数极值，属于中档题．第21页，共21页。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2021-2022学年高二上学期期中联考数学试卷
2021年秋鄂东南教改联盟学校期中联考高二数学试卷（共4页）第1页2021年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学试卷考试时间：2021年11月15日下午15:00－17:00试卷满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 的倾斜角为45 ，且过点(1,2)，则在直线上的点是（）A ．)1,0(B ．)3,2(-C ．)3,3(D ．)2,3(2．两直线01:1=++y ax l 和01:22=--y a x l 互相垂直，则a 的值是（）A ．0B ．1C ．0或1D ．1±3．月球绕地球公转的轨道近似于一个以地心为焦点的椭圆．已知近地点距离（月心到地心的最小距离）约为36.4万公里，远地点距离（月心到地心的最大距离）约为40.6万公里，据此可估算月球轨道的离心率为（）A ．293B ．2926C ．553D ．55524．如图，在空间四边形OABC 中，点E 在OA 上，满足2OE EA = ，点F 为BC 的中点，则EF =（）A ．121232OA OB OC -+- B ．211322OA OB OC -- C ．111222OA OB OC --+ D ．211322OA OB OC -++5．“1=k ”是“两点)2,1(A ，)4,3(B 到直线kx y l =:的距离相等”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设直线l 的方程为sin 20x y θ-+=，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（）A ．[0,π]B ．ππ[,]42C ．π3π[,]44D ．πππ3π[,(,]42247．如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2AD =，13AA =，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠= ，则1BC 与1CA 所成角的余弦值为（）A ．21B ．22C ．23D ．08．设,A B 是椭圆22:13x y C m +=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ∠= ，则m 的取值范围是（）O EAB FCD 1ABCDA 1B 1C12021年秋鄂东南教改联盟学校期中联考高二数学试卷（共4页）第2页A ．(0,1][9,)+∞ B．[9,)+∞ C ．(0,1][4,)+∞ D．[4,)+∞ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A ．若空间向量b a,，满足||||b a =，则ba =B ．若非零向量cb a ,,足c b b a ⊥⊥，，则有ca//C ．若,,OA OB OC 是空间的一组基底，且111333OD OA OB =++，则,,,A B C D 四点共面D ．若向量a c c b b a +++,，是空间的一组基底，则c b a,,也是空间的一组基底10．设有一组圆22:()()4()k C x k y k k -+-=∈R ，下列命题正确的是（）A ．不论k 如何变化，圆心k C 始终在一条直线上B ．存在圆kC 经过点)0,3(C ．存在定直线与圆k C 都相切D ．经过点)2,2(的圆k C 有且只有一个11．已知O是边长为ABCD 的中心，点,E F 分别是,AD BC 的中点，沿对角线AC 把正方形ABCD 折成直二面角B AC D --，以下说法正确的是（）A ．60EOF ∠=B ．EFC ．异面直线,OE BC 所成的角是60D ．点D 到平面EOF 的距离33212．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系xOy 中，到定点)0,(),0,(a B a A -距离之积等于)0(2>a a 的点的轨迹C 是“∞曲线”．若点),(00y x P 是轨迹C 上一点，则下列说法中正确的有（）A ．曲线C 关于原点O 成中心对称B ．0x 的取值范围是],[a a -C ．曲线C 上有且仅有一点P 满足||||PB P A =D ．曲线C 上所有的点P 都在圆2222a y x =+的内部或圆上三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知对于任意实数m ，直线047)1()12(=--+++m y m x m 恒过定点P ，则点P 的坐标是．14．如图，在一个 120的二面角的棱上有两点,,B A 线段BD AC ,分别在这个二面角的两个半平面内，且都与棱AB 垂直，若2=AB ，1=AC，C B AD2021年秋鄂东南教改联盟学校期中联考高二数学试卷（共4页）第3页2=BD ，则CD 的长为．15．已知椭圆C 的中心在原点，)0,3(F 是它的一个焦点，过F 的直线l 与C 交于B A ,两点，且AB 的中点为)1,2(-N ，则C 的方程是．16．若双曲线的一个焦点关于渐近线的对称点恰好也在双曲线上，则双曲线的离心率=e ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知△ABC 的顶点(1,3)B --，AB 边上的高CE 所在的直线方程为4370x y +-=，BC 边上中线AD 所在的直线方程为330x y --=．（1）求点C 的坐标；（2）求点C 到直线AB 的距离．18．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四点(0,1)A ，(0,3)B ，(3,0)C ，(1,4)D ．（1）这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由；（2）以线段AB 为直径作圆M ，过点D 作圆M 的切线，求切线的方程．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，△PAD为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且E ，F 分别为AD ，PC 的中点．（1）求证：DF ∥平面PEB ；（2）求直线EF 与平面PDC所成角的正弦值．PABCE DF2021年秋鄂东南教改联盟学校期中联考高二数学试卷（共4页）第4页20．（本题满分12分）如图，正方形ABCD 和ABEF 所在面互相垂直，且边长都是1．M ，N ，G分别为线段AC ，BF ，AB 上的动点，CM BN =，AF ∥平面MNG ，记(01)BG a a =<<．（1）证明：MG ⊥平面ABEF ；（2）当MN 的长最小时，求二面角A MN B --的余弦值．21．（本题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，且过点(2,3)．（1）求双曲线C 的方程；（2）设点B 、F 分别为双曲线C 的右顶点、左焦点，点A 为C 上位于第二象限的动点，是否存在常数λ，使得AFB ABF λ∠=∠？如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由．22．（本题满分12分）设O 是坐标原点，以12,F F 为焦点的椭圆2222:=1(0)x y C a b a b+>>的长轴长为以12||F F 为直径的圆和C 恰好有两个公共点．（1）求C 的方程；（2）P 是C 外的一点，过P 的直线12,l l 均与C 相切，且12,l l 的斜率之积为1(12≤≤m m --，记u 为||PO 的最小值，求u 的取值范围．CAFEBD M N G2021年秋鄂东南教改联盟学校期中联考高二数学参考答案（共6页）第1页2021年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解答】直线的斜率tan 451k == ，方程为21y x -=-，即1y x =+，将A ，B ，C ，D 中各点代入知，选A ．2．【答案】C【解答】由题知211()0a a ⋅+⋅-=，解得0a =，或1a =，选C ．3．【答案】C 【解答】建立直角坐标系，使月球绕地球公转的轨道的中心在原点，右焦点为地心．设轨道长半轴为a ，半焦距为c ，则由题意得36.4a c -=，40.6a c +=．由此解得38.5a =， 2.1c =，故月球轨道的离心率为 2.1338.555c e a ===，故选C ．4．【答案】D【解答】由2OE EA = 得23OE OA = ；由点F 为线段BC 的中点得1122OF OB OC =+，112211223322EF OF OE OB OC OA OB OC ∴=-=+-=-++，故选D .5．【答案】A 【解答】“两点)2,1(A ，)4,3(B 到直线kx y l =:的距离相等”⇔“AB l //，或l 过AB 的中点”.当AB l //时，由11324=--=AB k 得，1=k ；当l 过AB 的中点时，由AB 的中点为)3,2(得，23=k .所以“两点)2,1(A ，)4,3(B 到直线kx y l =:的距离相等”⇔“⎭⎫⎩⎨⎧∈23,1k ”，故选A ．6．【答案】C【解答】当0sin =θ时，l 的方程为20x +=，2απ=；当)0,1[sin -∈θ时，l 的斜率]1,(sin 1--∞∈=θk ，]1,(tan --∞∈∴α，4π3,2π(∈∴α；当]1,0(sin ∈θ时，l 的斜率),1[sin 1+∞∈=θk ，),1[tan +∞∈∴α，)2π,4π[∈∴α．综上所述]4π3,4π[∈α，选C ．7．【答案】D【解答】设c AA b AD a AB ===1,,，则3,2=⋅=⋅=⋅c b c a b a ，9,4222===c b a ．111BC BC CC AD AA b c =+=+=+ ，111CA CB BA AA AD AB AA a b c =++=--+=--+ ，0)()(2211=+-⋅-⋅-=+--⋅+=⋅∴c b c a b a c b a c b CA BC ，1BC ∴⊥1CA ，1BC ∴与1CA 所成的角为90°，1BC ∴与1CA 所成角的余弦值为0，选D ．8．【答案】A【解答】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan60a b=≥，2页即，得01m<≤；当3m>时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足120AMB∠=，则tan60ab≥，得9m≥，故m的取值范围为(0,1][9,)+∞，选A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．【答案】CD【解答】显然A错误．对于B，由于空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行，所以B错误．对于C，由平面的向量示可知,,OA OB OC是空间的一组基底，则,,A B C三点不共线．由空间中平面的向量表示可得,,,A B C D四点共面，故C正确．对于D，若向量,,a b b c c a+++是空间一组基底，则对空间中的任何一个向量d，存在唯一的实数组(,,)x y z，使得()()()d x a b y b c z c a=+++++，于是()()()d x z a x y b y z c=+++++，所以cba,,也是空间的一组基底，故D正确．10．【答案】AC【解答】圆22:()()4kC x k y k-+-=的圆心为(,)k k，半径为2．对于A，圆心为(,)k k，在直线y x=上，所以A正确．对于B，将(3,0)代入圆的方程可得，化简得22650k k-+=，方程无解，故B错误．对于C，由于圆kC的圆心在直线y x=上，且半径是定值2，所以与直线y x=平行且与其距离为2的直线与圆kC都相切，这样的直线有两条，故C正确．对于D，将(2,2)代入圆的方程可得22±=k，故D错误．11．【答案】BCD【解答】以O点为原点，以,,OB OC OD的方向为轴的正方向，建立如图所示的坐标系，则(1,1,0)F，(0,1,1)E-，(0,1,1)OE∴=-，(1,1,0)OF=，||||OE OF==，1cos2||||OE OFEOFOE OF⋅∴∠==-⋅，120EOF∴∠= ，故A错误．(1,2,1)EF OF OE=-=-，||EF∴=，故B正确．(2,0,0),(0,2,0)(2,2,0)B C BC⇒=-，又(0,1,1)OE=-，1cos,2||||OE BCOE BCOE BC⋅∴<>==-⋅，,120OE BC∴<>=，异面直线,OE BC所成的角是60 ，故C正确．设平面EOF的法向量为(,,)u x y z=，则0,u OEu OF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,y zx y-+=⎧⎨+=⎩，令1x=，得1y z==-，于是(1,1,1)u=--．又(0,0,2)(0,0,2)D OD⇒=，所以点D到平面EOF的距离||||OD udu⋅==D正确．12．【答案】ACD【解答】曲线C2a①ABFC yzDExO2021年秋鄂东南教改联盟学校期中联考高二数学参考答案（共6页）第2021年秋鄂东南教改联盟学校期中联考高二数学参考答案（共6页）第3页若点P ，则满足①，于是对点P 关于原点的对称点00(,)M x y --有：2a ，即00(,)M x y --也在曲线C 上，故A 正确．对于B，由2220||a x a =-得22002x a ≤≤，所以0x ≤，故B 错误．对于C ，若||||PB P A =，则点P 在AB 的垂直平分线上，00x ∴=．将0(0,)P y代入①得22a =，00y ∴=，即仅P 是原点时满足||||PB P A =，故C 正确．对于D2a 化简得2222224()4x y a a x a ++-=，2222422()4x y a a a x ∴++=+，所以由2202x a ≤得22224()9x y a a ++≤，2222x y a ∴+≤，故D 正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【答案】(3,1)【解答】方程047)1()12(=--+++m y m x m 即为(4)(27)0x y m x y +-++-=，由40,270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得直线过定点(3,1)．14．【答案】3【解答】CD CA AB BD =++，．线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，,,,60CA AB AB BD CA BD ∴⊥⊥<>=．又1,2AB AC BD == ，212400212cos609CD ∴=+++++⨯⨯= ，||3CD ∴= ，故答案为3．15．【答案】221189x y +=【解答】设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,2x x y y +=+=-，1l NF k k ==．由2222112222221,1x y x y a b a b +=+=相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，即1212220l x x y y k a b +++⋅=，22420a a b-∴+=⇒=．又3c =，229a b ∴-=，解得2218,9a b ==，故椭圆C 的方程为221189x y +=．16．【解答】方法一：如图，设双曲线的右焦点2(,0)F c 关于渐近线by x a=的对称点为A ，2AF 交b y x a =于B ，则在2Rt △F OB 中，由2||OF c =，2tan b F OB a∠=得2||,||OB a BF b ==．又B 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点，所以21||2,||2AF b AF a ==．又21||||2AF AF a -=，2222b a a b a ∴-=⇒=，c e a ∴===．OxF 2A B y F 12021年秋鄂东南教改联盟学校期中联考高二数学参考答案（共6页）第4页方法二：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b +=>>，点1(,0)F c -关于渐近线by x a=的对称点为(,)F m n '，则n a m c b =-+且()22n b m c a-=，解得222,b a ab m n c c -==-．将(,)F m n '代入双曲线方程得222222222(2)41c a a b c a c b --=，即2222(2)41e e e--=，解得e ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【解答】（1）设(,)D a b ，则(21,23)C a b ++，330,4(21)3(23)70a b a b --=⎧∴⎨+++-=⎩，解得0,1.a b =⎧⎨=-⎩(0,1),(1,1)D C ∴-．（2）CE AB ⊥ ，且直线CE 的斜率为43-，∴直线AB 的斜率为34，∴直线AB 的方程为33(1)4y x +=+，即3490x y --=，所以点C 到直线AB2=．18.【解答】（1）设经过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=．令0x =得20y Ey F ++=，由,A B 在圆上知1,3是方程两根，4,3E F ∴=-=．再将点C 坐标代入圆的方程得9330D ++=，4D ∴=-，所以经过,,A B C 三点的圆的方程为224430x y x y +--+=，即22(2)(2)5x y -+-=．由于22(12)(42)5-+-=，故点D 也在这个圆上，因此，,,,A B C D 四点都在圆22(2)(2)5x y -+-=上．（2）圆M 的圆心为(0,2)，半径为1，所以方程为22(2)1x y +-=．过点D ，且斜率不存在的直线为1x =，是圆M 的切线．过点D ，且斜率为k 的直线为4(1)y k x -=-，即40kx y k --+=，1=，解得34k =．此时切线方程是13044x y -+=，即34130x y -+=．综上所述，所求切线方程为1x =，或34130x y -+=．19．【解答】（1）证明：取PB 中点G ，连接,EG FG ．因为F 是PC 中点，//FG BC ∴，且12FG BC =．E Q 是AD 的中点，则//DE BC ，且12DE BC =，//FG DE ∴，且FG DE =．∴四边形DEGF 是平行四边形，//DF EG ∴．又DF ⊄Q 平面PEB ，EG ⊂平面PEB ，//DF ∴平面PEB .（2）E Q 是正三角形PAD 边AD 的中点，则PE AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PE ⊂平面PAD ，∴PE ⊥平面ABCD ，P A BC E DF xy zG2021年秋鄂东南教改联盟学校期中联考高二数学参考答案（共6页）第5页四边形ABCD 为菱形，=60BAD ∠o ，∴正三角形BAD 中，BE AD ⊥．以E 为原点，,,EA EB EP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．不妨设菱形ABCD 的边长为2，则1,2,AE ED PA PE BE ======则点(0,0,0),(1,0,0),((0,0,(1,E D C P F ---，(DC DP ∴=-=uuu r uuu r ．设平面PDC 的法向量为(,,)n x y z =r ，则00n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uuu r即00x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令1z =，得(1,1)n =-r．设EF 与平面PDC 所成角为θ，又33(22EF =-uuu r，6sin |cos ,|5EF n θ∴=<>=uuu r r ，所以EF 与平面PDC 所成角的正弦值为65．20．【解答】（1）证明：//AF Q 平面MNG ，且AF ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面MNG NG =，//AF NG ∴．BG a =Q，CM BN ∴==，1,)AG a AM a =-=-，1AM AG a CM BG a-∴==，//MG BC ∴，AB BC ⊥Q ，MG AB ∴⊥．Q 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，MG ⊂平面ABCD ，MG ∴⊥平面ABEF .（2）解：由（1）知，MG ⊥平面ABEF ，NG ⊂Q 平面ABEF ，MG NG ∴⊥.MN ∴===，当且仅当12a =时等号成立.以B 为原点，BA BE BC ，，，所在的直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A ,1111(0,0,0),(,0,),(,,0)2222B M N ，11(,0,)22AM ∴=-uuur ，11(0,,)22MN =-uuur .设平面AMN 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则00m AM m MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuur u r uuur ,即110,22110.22x z y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩令1z =，则1,1x y ==，(1,1,1)m ∴=u r.同理可得，平面BMN 的法向量为(1,1,1)n =-r，1cos ,3||||m n m n m n ⋅∴<>==⋅u r ru r r u r r ，由图可知，二面角A MN B --为钝角，∴二面角A MN B --的余弦值为13-.21．【解答】（1）离心率2c e a ==，2c a ∴=，222b c a =-，所以双曲线的方程2222:13x y C a a -=.A F EB DM N G C x yz2021年秋鄂东南教改联盟学校期中联考高二数学参考答案（共6页）第6页把点(2,3)代入双曲线方程得224913a a-=，解得21a =，故双曲线C 的方程为2213y x -=.（2）设,AFB ABF αβ∠=∠=，00(,)A x y ，其中001,0x y <->．由（1）知(1,0),(2,0)B F -．①当直线AF 的斜率不存在时，90,||3,||3AFB FB AF ∠===o ，45ABF ∴∠=o ，此时2αβ=．②当直线AF 的斜率存在时，由于双曲线渐近线方程为y =，所以2ππ(0,),(0,)33αβ∈∈．由220013y x -=得22003(1)y x =-．又0000tan ,tan 21y y x x αβ==-+-，所以000000222220000000212(1)2(1)tan 22(1)(1)3(1)11y x y x y x y x x y x x y x β------====+-----⎛⎫- ⎪-⎝⎭，tan 2tan βα∴=．又2π,(0,)3αβ∈，2αβ=．综上，存在常数2λ=，满足2AFB ABF ∠=∠．22．【解答】（1）由题意，2a =即a =又以12||F F 为直径的圆和C 恰好有两个公共点，即b c =，又222+2b c a ==Q ，1b c ∴==，∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）由题意，12,l l 的斜率存在且不为零，设过点00(,)P x y 的切线00:()l y y k x x -=-，联立0022()12y y k x x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得2220000(12)4()2()20k x k y kx x y kx ++-+--=，∵l 与C 相切，2222000016()8(12)[()1]0k y kx k y kx ∴∆=--+--=，化简并整理，得2200()21,y kx k -=+整理成关于k的一元二次方程得22200000(2)210(x k x y k y x --+-=≠．设12,l l 的斜率分别为12,k k ，易知12,k k 为方程2220000(2)210x k x y k y --+-=的两根，2012201=2y k k m x -∴=-．220012y mx m ∴=+-，222000(1)12x y m x m ∴+=++-．|PO ∴=当00x =时，有min ||u PO ==，又112≤≤m --Q，u u的取值范围为．。
高三试卷数学-湖北省鄂东南省级示范高中联盟校2024届高三上学期期中联考数学试卷及参考答案
2023年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学试卷试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）4．已知G 为ABC ∆的重心，3=∠A ，2-=⋅AC AB ，则||AG 的最小值为（）A ．81B ．94C ．91D ．325．某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为mm 60，满盘时直径为mm 100，已知卫生纸的厚度为mm 1.0，则满盘时卫生纸的总长度大约为（）（14.3≈π，结果精确到m 1）A ．m35B ．m50C ．m60D ．m906．将函数()cos f x x =的图像先向右平移3π个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的()10ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，若函数()g x 在()0，π-上单调递增，则ω的取值范围是（）7．函数b x x a x x f +--+=23)1()(为R 上的奇函数，过点)1,21(-P 作曲线)(x f y =的切线，可作切线条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．不确定8．在ABC ∆中，AC AB 2=，且ABC ∆的面积为1，则BC 的最小值为（）A ．2B ．3C ．1D ．2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.10．)(x f 是定义在R 上的连续可导函数，)(x f '为其导函数，下列说法正确的有（）A ．若)()(x f x f =-，则)()(x f x f '-=-'B ．若)(x f '为偶函数，则)(x f 为奇函数C ．若)(x f '是周期为）（0≠T T 的函数，则)(x f 也是周期为T 的函数D ．已知x x f x f 2)()(=--且0)1()1(=--+x f x f ，则1)1()0(='+'f f 11．已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<<=144),36cos(440log )(21x x x x x f ππ，，若方程m x f =)(有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x ，且4321x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A ．20<<m B ．2121=x x C ．)55,48(43∈x x D ．)5,1(31∈x x 12．正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，若122+=n n n a S a ，nn n S S b 22log +=，数列的}{n b 前n 项和为n T ，下面结论正确的有（）A ．n n a a >+1B ．}{2n S 是等差数列C ．nS n 22ln ≥+D ．满足2≥n T 的最小正整数n 为5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量),2(λλ=a ,），（1λ=b ，若向量a 与向量b 共线，则实数λ的值为．14．已知函数122)193(log )(22+-++=xx x x f ，若2)2()1(-≤-+-a f a f ，则实数a 的解集为．15．已知数列}{n a 的首项531=a ，且1231+=+n n n a a a ，202411121<++na a a ，则满足条件的最大整数=n ．16．已知实数0>a ，对2>∀x ，)2ln(2a ax a a e x->+恒成立，则a 的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列|}{|n a 的前n 项和n T ．20．（本题满分12分）已知函数x a e x f xsin 1)(--=．（1）若曲线)(x f y =在点))0(0(f ，处的切线方程为x y -=，求a 的值；（2）当2=a 时，)(12)(Z c c x f ∈-≥在],0[π∈x 恒成立，求c 的最大值．21．（本题满分12分）已知}{n a 为等比数列，且14432=++a a a ，432,1,a a a +成等差数列．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）当}{n a 为递增数列时，)12)(12()26()1(1+++-=+n n n n n a b ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，若存在n T m N n ≥∈*,，求m 的取值范围．22．（本题满分12分）已知函数1ln )(-+=xmx x f ．（1）若存在实数x ，使1)(-<x f 成立，求实数m 的取值范围；（2）若)(x f 有两个不同零点21,x x ，求证：e x x <+<212．2023年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考19.解：（1）设}{n a 的公差为d ，则：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+==+=6427881121813d a S d a a ⎩⎨⎧-==⇒2151d a ，n a n 217-=∴；（5分）（2）n n nn S n 162)21715(2+-=-+=，当80217≤⇒>-=n n a n ，当8≤n 时，0>n a ，nn n a a a a a a T ++=++=2121||||||n n S n 162+-==，（8分）当9≥n 时，0<n a ，)(||||||982121n n n a a a a a a a a T ++-+++=++= nn S S S S S -=--=8882)(12816)16()8168(2222+-=+--⨯+-=n n n n .（11分）综上所述：⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-=9,1281681622n n n n n n T n ，.（12分）20.解：（1）x a e x f xsin 1)(--=x a e x f xcos )(-='⇒，11)0(-=-='∴a f 2=⇒a 且此时切线方程为x y -=；（4分）（2）依题意：，min )1)((21+≤x f c ，当2=a 时，x e x f xsin 21)(--=，x e x f xcos 2)(-='，且)(x f '在],0[π上单调递增，01)0(<-='f ，024(4>-='ππe f ，)4,0(0π∈∃∴x ，使得0)(0='x f ，即0cos 20x e x =，)(x f 在),0(0x 上单调递减，)(0π，x 上单调递增，1sin 2)()(00min 0--==x e x f x f x 1sin 2cos 200--=x x 1)4cos(220-+=πx ，（8分）4,0(0π∈x ，2,4(40πππ∈+∴（x ，)22,0(4cos0∈+）（πx ，)1,1()()2,0(4cos 2200-∈⇒∈+∴x f x （π，)1,0()1)((210∈+x f ，0,≤∴∈c Z c ，c 的最大值为0.（12分）21.解：（1）⎩⎨⎧+=+=++)1(214342432a a a a a a ⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒2142433q a q a 或12-=∴n n a 或n n a -=52；（5分）（2）)12)(12(223)1(1+++⋅-=+n n n nn b 121121(11+++-=+n n n）（（7分）当n 为偶数时，)121121(121121(121121(1322++++++++++++-=+n n n T 121311++-=+n 在*∈N n 上单调递减，]92,31(--∈∴n T ，（9分）；当n 为奇数时，121121(121121(121121(1322+++-++++++++-=+n n n T 121311+--=+n 在*∈N n 上单调递增，31,158[--∈∴n T ，（11分）158-≥∴m.（12分）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[] ()()()()()()()()()()()()()()()exxexxemxmexexxge qxqexqxxqexxxqexexxgxqmxxxgxxgxxxpxxxgxpexyBxgxyOAeBAexxxxxxxxxgxgxgxgxgxgxgxghx hx hxlxgxgxhxxgxgx hexxmggxgxgxxgxgxxxmxgxgxxxgxxxxmxxxfeexxxexxxexxxxmxxxxxmxmxxf<+<<+∴+-<∴>+-∴+-<∴=<∴∴>-='--=<<+--=<>∴>∴>-=<<-=+-==<+>+∴->∴>->-<∴=-<-<∴=<∴∴>+---=-'+'='∴<<--=<<<<<<∴=>=<'+∞∈>'∈-='==-=-=∴<∴=≤∴<'>>'<<--='<-=∞+-<<+-<2121222211121211212122111221212121max2,0)()(,1)(.0ln1)(,)ln2()()1)(()()(,)(,0ln)()10()()()(,),0,(),1,1(22,12,122,2,011011n2121,1e,011,0,1)(,01,0lng,,ln1,)ln1(,)()2(e1m1)1()()(,0)(1)(,0)(1,ln1)()(,ln)(lnln1)(1.22综上递增，在则设即则设处的切线为在的方程直线设下证又即递增，，在令不妨设，又递减时递增，当时，当又则令有两个不同实根有两个不同零点递减时，当递增时，当只需令）有解，在（即得）由（ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ。
高三数学上学期期中联考试题 文试题 2
卜人入州八九几市潮王学校鄂东南教改联盟2021届高三数学上学期期中联考试题文〔扫描〕鄂东南教改联盟2021年秋季期中联考数学〔文科〕参考答案 李杰审题老师：王付繁1.选B.考察对数函数值域的求法及集合运算。
{}0y y ≥=M ，{}2x <=x N ，应选B2.i i i i i +=-+-=+1)i 1)(1()1(212i ，对应点〔1，1),故间隔为23.选 A.考察三角函数定义及诱导公式。
α是第二象限角，110cos 70cos 20sin =-=-=x ，110sin 70sin 20cos ===y,所以 110=α。
4.选C.指对运算。
a=421-2=⎪⎭⎫ ⎝⎛，b=3ln 3=e ,输出16)13(4=+⨯。
5.选A.数量积的几何意义。
1cos 22AB AO AB AO AB AB θ⋅==⋅=6.D.等比数列求和公式。
0)1(3)1(112=++++a q a q q ，01≠a ，0442=++∴q q 2-=∴q7.选D.焦距为2c=4,2c =∴,4122,10,222222=-=-=-=-=m b a c m b m a ,8=∴m8.选B.x y 2cos -=,应选B.9.选A.区域D 为等腰直角三角形，可求2=m 。
y x z 42+=，易知在点〔2，-2)取最值。
10.选C.线面垂直的断定需垂直面内两条相交直线，故②错11.选A.①特值法。
()ππππ=⋅-=-）（-cos )(f ，()00=f ，()()0f f >-π，故[]0,π-递增错。
②假设关于⎪⎭⎫⎝⎛0,2π中心对称，那么()()x f x f --=π，()ππππ-=⋅=）（cos f ，()00=f ，()()0f f -≠π，故②错。
③假设函数y ＝f(x)图象关于直线x ＝π对称，那么()()x f x f -=π2。
()ππππ22cos 22=⋅=）（f ，()00=f ，()()02f f ≠π，故③错。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题含答案
2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学试卷（答案在最后）命题学校考试时间：2024年11月4日下午15：00-17：00试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}2log 1B x x =≤，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}1,2 C.{}0,1 D.{}1【答案】B 【解析】【分析】化简集合B ，再根据集合的交集运算求解.【详解】由2log 1x ≤，解得02x <≤，{}02B x x ∴=<≤，又{}0,1,2,3A =，{}1,2A B ∴= .故选：B.2.已知()1cos 2αβ+=，1cos cos 3αβ=，则tan tan αβ=（）A.2-B.2C.12-D.12【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用和角的余弦公式求出sin sin αβ即可得解.【详解】由()1cos 2αβ+=，得2si c n i 1o n s cos s αβαβ-=，而1cos cos 3αβ=，因此1sin sin 6αβ=-，所以2sin si 1tan tan cos cos n αααβββ==-.故选：C3.设,a b ∈R ，则“10b a>>”是“1a b <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的性质化简，即可根据逻辑关系求解.【详解】由10b a>>可得0,0,1a b ab >><，由1a b <可得1100ab ab b b<⎧-<⇒⎨>⎩或10ab b >⎧⎨<⎩，故10b a >>能得到1a b <，同时1a b <也无法推出10b a >>，故“10b a>>”是“1a b <”的充分不必要条件，故选：A.4.已知函数()1514xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（）A.10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,54⎛⎫⎪⎝⎭C.1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,4【答案】B 【解析】【分析】我们将通过计算区间端点的函数值的正负来判断函数()f x 在哪个区间存在零点.【详解】因为151,4xy y x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在()0,∞+上均单调递减，则()1514xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，对A ，可得()01510010104f ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭.因为幂函数15y x =在()0,∞+上单调递增，所以1155111(()()0545f =->，且函数()f x 在()0,∞+上连续不间断，则()f x 在10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，故A 错误；对B ，因为14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，则1154111()(()0444f =-<，则11()()054f f <，且函数()f x 在()0,∞+上连续不间断，故()f x 在11,54⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，故B 正确；对C ，因为13(1)1044f =-=-<，且函数()f x 在()0,∞+上连续不间断，则()f x 在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，故C 错误；对D ,计算114455111(4)(4(0)()444f --=-=<，且函数()f x 在()0,∞+上连续不间断，则()f x 在()1,4上无零点，故C 错误；故选：B.5.在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，点F 满足2DF FE =，则BF =（）A.1126BA BC +B.13BA BC+C.2133BA BC +D.1123BA BC +【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得.【详解】依题意，12DE BC = ，而2DF FE =，所以12112323BF BD DF BA DE BA BC =+=+=+故选：D6.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上,B C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在,B C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60o 和20 ，且100m BC =，则该球体建筑物的高度约为（）()cos100.985≈A.45.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60m【答案】B 【解析】【分析】数形结合求得3,tan 30tan1033OA RAB R AC ====︒︒，进而根据3100tan10RBC R ==︒即可求解.【详解】如图，设球的半径为R，则3,tan 30tan1033OA RAB R AC ====︒︒，所以由题3100tan10RBC ==︒，又cos100.985︒≈，故1001001cos10cos103sin1013332cos10sin10tan10sin1022R ===︒⎛⎫︒-︒-︒-︒ ⎪︒︒⎝⎭()()100sin10100sin10100sin10100sin102cos60cos10sin 60sin102cos 60102cos702sin 20︒︒︒︒====︒︒-︒︒︒+︒︒︒100sin10252522sin10cos10cos100.985︒==≈⨯︒︒︒，所以50250.760.985R =≈，即该球体建筑物的高度约为50.76m .故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是依据已知条件数形结合得,tan 30tan1033OA RAB AC ====︒︒，进而由100tan10RBC ==︒求出球的半径R 得解.7.已知函数()πsin π6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当[]0,20x ∈时，把()f x 的图象与直线12y =的所有交点的横坐标限依次记为123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅，记它们的和为n S ，则n S =（）A.11603B.5803C.5603D.2803【答案】B 【解析】【分析】求出函数与直线的交点，再结合数列求和计算即可.【详解】解：由π1sin π62x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πππ2π66x k -=+或52ππ6k +，k ∈Z 解得123x k =+或21k +，k ∈Z 所以113a =，21a =，373a =，43a =，…，19553a =，2019a =所以()()()201155101191017135528058021351910033333233S ⨯+⨯+⨯⎛⎫=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=+=+= ⎪⎝⎭，故B 正确.故选：B8.已知定义在R 上的函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，且满足()()()422f x f x f ++=-，函数()2y f x =-的对称中心为()4,0，则下述结论正确的是（）（注：ln3 1.099≈）A.()20240f =B.()7102f f ⎛⎫+>⎪⎝⎭C.()()232log 48f f >D.()14sin1ln9f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由条件证明()()8f x f x =+，函数()y f x =的对称中心为()2,0，对于A ，结合单调性证明()()02f f >，再证明()()20240f f =，由此判断结论；对于B ，结合对称性可得()()130f f +=，结合单调性可得()732f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，由此判断结论；对于C ，结合性质()()8f x f x =+，可得()()222log 48log 9f f =，再由单调性比较大小判断结论；对于D ，由条件可得1ln2.1989≈-，2.1984sin14<<，再结合单调性比较大小判断结论.【详解】解：()()()422f x f x f ++=-，故()()()8422f x f x f +++=-所以()()8f x f x =+，函数()2y f x =-的对称中心为()4,0，函数()2y f x =-往左平移2个单位得到函数()y f x =，故函数()y f x =的对称中心为()2,0，所以()()220f x f x ++-=，取0x =可得，()20f =，对于A ，()f x 在区间[]0,2上单调递减，故()()020f f >=，且()()8f x f x =+，所以()()202400f f =>，故A 错误：对于B ，()f x 在区间[]0,2上单调递减，对称中心为()2,0，故()()130f f +=，且()f x 在区间[]2,4上单调递减，则()732f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，()7102f f ⎛⎫∴+< ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ，结合()f x 在区间[]2,4上单调递减，故()()()()2222log 482log 488log 93f f f f =-=<，故C 正确：对于D ，因为()()()422f x f x f ++=-，取2x =-可得()()()2222f f f +-=-，又()20f =，所以()()220f f -==，所以()()40f x f x ++=，因为函数()y f x =的对称中心为()2,0，故()()40f x f x ++-=，所以()()f x f x -=因为1ln2ln32 1.099 2.1989=-≈-⨯=-，故()()1ln 2.198 2.1989f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且ππ4sin4sin14sin 43<<，4sin1∴<< 2.1984sin14<<，结合()f x 在区间[]2,4上单调递减，故()14sin1ln 9f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设四个复数13i z =+，()2i 13i z =+，32z =-+，()43i 0z a a =->在复平面xOy 内的对应点1Z 、2Z 、3Z 、4Z 在同一个圆上，则下述结论正确的是（）A.1z 与2z 互为共轭复数B.点3Z 在第二象限C.复数12z z 的虚部是35- D.14OZ OZ ⊥【答案】BCD 【解析】【分析】首先需要求出这四个复数在复平面内的坐标，根据共轭复数概念，几何意义，除法，虚部概念来判断前面ABC 选项，再根据四个点在同一个圆上这一条件，可利用圆的方程相关知识来判断D 选项.【详解】对于13i z =+，其对应点1(3,1)Z .对于22i(13i)i 3i 3i z =+=+=-+，其对应点2(3,1)Z -.对于32z =-+，其对应点3(Z -.对于43i(0)z a a =->，其对应点4(,3)Z a -.对于选项A,13i z =+，23=-+z i ，它们实部不同，不是共轭复数，所以选项A 错误.对于选项B，对于3(Z -，所以点3Z 在第二象限，选项B 正确.对于选项C,13i z =+，23=-+z i ，21223i (3i)(3i)93i 3i i 86i 43i 3i (3i)(3i)9i 1055z z ++--------=====---+-+---.其虚部是35-，选项C 正确.对于选项D ，1(3,1)Z ，2(3,1)Z -，3(Z -，4(,3)Z a -在同一个圆上.设圆的方程为222()()x m y n r -+-=.将1(3,1)Z 代入方程得222(3)(1)m n r -+-=，即2226210m m n n r -+-+=①.将2(3,1)Z -代入方程得222(3)(1)m n r --+-=，即2226210m m n n r ++-+=②.将3(Z -代入方程得222(2))m n r --+=，即222410m m n r ++-+=③.用②-①可得：2222226210(6,210)m m n n m m n n r r ++-+--+-+=-即120,m =解得0m =.将0m =代入①和③，①变为22210n n r -+=，③变为2210n r -+=.用③-①可得：222210(210)n n n r r -+--+=-，解得0n =.将0,0m n ==代入222(3)(1)m n r -+-=，可得222319110r =+=+=.所以圆的方程为2210x y +=.将4(,3)Z a -代入2210x y +=，得到22(3)10a +-=，即2910a +=，21(0)a a =>，解得1a =.1(3,1)OZ = ，4(1,3)OZ =-.则140OZ OZ ⋅=，即14OZ OZ ⊥ ，所以选项D 正确.故选：BCD.10.已知两个正数a ，b 满足2a b +=，则下述结论正确的是（）A.11a b -=-B.224a b +≥ C.1lg lga b≥ D.241b a-<-【答案】ABD 【解析】【分析】变形等式判断A ；利用基本不等式判断B ；举例说明判断C ；作差与0比较大小判断D.【详解】对于A ，由2a b +=，得11a b -=-，因此11a b -=-，A 正确；对于B ，由2a b +=，得224a b +≥==，当且仅当1a b ==时取等号，B 正确；对于C ，取31,22a b ==，满足2a b +=，而31lg lg lg 2lg 2a b =<=，C 错误；对于D ，由2a b +=，得2,02a b b =-<<，则224411(2)b b a b -+=-+-22222(44)(44)4(3)0(2)(2)b b b b b b b b b -++-+--==<--，D 正确.故选：ABD11.已知函数3,0(),0x x f x ax x x -≤⎧=⎨+>⎩，若不等式(1)()f x f x -≥对任意x ∈R 都成立，则实数a 的值可以为（）A.3227-B.1627-C.2-D.1-【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件，按0,0a a ≥<分类作出函数()y f x =和(1)=-y f x 的图象，结合图象可得当0a <，01x <≤，31ax x x +≤-+成立时，(1)()f x f x -≥恒成立，再构造函数，利用导数求出最小值即可得解.【详解】依题意，函数(1)=-y f x 的图象恒在()y f x =的图象及上方，作函数()y f x =和(1)=-y f x 的图象，当0a ≥时，如上左图所示，观察图知(1)()f x f x -≥在 上不恒成立，不合题意；当0a <时，如上右图所示，观察图知，当且仅当01x <≤，31ax x x +≤-+成立时，(1)()f x f x -≥恒成立，即当01x <≤时，312x a x -≤，令312()x g x x -=，01x <≤，求导得443()x g x x -'=，当304x <<时，()0g x '<，当314x <≤时，()0g x '>，函数()g x 在3(0,)4上递减，在3(,1]4上递增，因此min 73()32()42g x g =-=，所以实数a 的取值范围是3227a ≤-，a 的值可以为AC.故选：AC【点睛】关键点睛：分类作出函数()y f x =和(1)=-y f x 的图象，结合图象确定求解条件是关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()ππsin sin 063f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是π2，则ω的值为______.【答案】2【解析】【分析】k 利诱导公式化简，结合二倍角正弦和周期公式计算即可.【详解】解：()πππsin sin 626f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1πsin cos sin 26623x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2ππ22T ω==，2ω=.故答案为：2.13.已知两个单位向量a ，b 满足1a b -=r r ，则向量2a b - 和a 的夹角为______.【答案】π6【解析】【分析】由条件结合数量积运算律可求a b ⋅，再求()2a b a -⋅ ，2a b - ，根据向量夹角公式求结论.【详解】因为向量a ，b为单位向量，所以1a = ，1b = ，又1a b -=r r ，所以2221a b a b +-⋅=，所以12a b ⋅= ，所以()23222a b a a a b -⋅=-⋅= ，2a b -==所以()322cos 2,22a b a a b a a b a-⋅-==-⋅，又[]2,0,πa b a -∈ ，所以π2,6a b a -= .故答案为：π6.14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 是以a 为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数t ，使得数列也成等差数列，则实数a 的取值范围是______.【答案】1[,)2-+∞【解析】【分析】根据给定条件，求出nS ，再利用等差数列通项的特征分析求解即得.【详解】依题意，(1)2n n n S an -=+=由数列为等差数列，得2212()2a t -=，21||22a n -=+是n的一次式而对任意正整数n ，2102a n -+≤不恒成立，因此2102a n -+≥对n *∈N 恒成立，即21102a -+≥，解得12a ≥-，所以实数a 的取值范围是1[,)2-+∞.故答案为：1[,)2-+∞【点睛】关键点点睛：由为等差数列，探求得2212()2a t -=是解决问题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，12a =，且22a -，34a -，46a -成等比数列.（1）求n a 和n S ；（2）若2n n b S =，求数列{}n b 的前20项和20T .【答案】（1）2n a n =；()1n S n n =+（2）204021T =【解析】【分析】（1）设出等差数列的公差d ，由给定条件列出方程求出d ，利用等差数列前n 项和公式求解即可.（2）由（1）的结论求出n b ，利用裂项相消法求和即得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()21n a n d =+-，由2324(4)(2)(6)a a a -=--，得2(22)(34)d d d -=-，即2440d d -+=，解得2=d ，所以2n a n =，()()112n n n a a S n n +==+.【小问2详解】由（1）知，()1n S n n =+，又2n n b S =，则2112()(1)1n b n n n n ==-++因此1111111112[()()()(2(112233411n T n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=-++，所以201402(12121T =-=.16.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为1S ，2S ，3S ，已知123S S S -+=，1sin 3B =.（1）求ABC V 的面积；（2）若sin sin 3A C =，求b 【答案】（1）24；（2）22.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合正三角形面积可得2224a c b +-=，再利用余弦定理及三角形面积公式计算即得.（2）由（1）中信息，利用正弦定理求得sin b B =即可.【小问1详解】在ABC V 中，依题意，221133224S a a =⋅⋅=，2234S b =，2334S c =，则222123444S S S a b c -+=-+=，即2224a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 2ac B =，cos 0B >，由1sin 3B =，得22cos 3B ==，则132cos 2ac B ==，所以ABC V 的面积12sin 24ABC S ac B ==△.【小问2详解】由正弦定理sin sin sin b a c B A C ==，得223292sin sin sin sin sin 223b ac ac B A C A C =⋅===，则sin b B =，所以sin 22b B ==.17.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点 ，将射线OA 按逆时针方向旋转π2后于单位圆O 交于点 ，()12f x x α=-，()12g xx α=⋅.（1）若π[0,]2α∈，求()fα的取值范围；（2）在（1）的条件下，当函数()()()22m F g mf ααα=+-的最大值是152-时，求m 的值.【答案】（1）；（2）3m =-或4m =+.【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义求出12,x x ，进而求出()f α，利用正弦函数的性质求出范围.（2）利用（1）的信息，求出()F α，利用换元法，结合闭区间上二次函数最值求解即得.【小问1详解】由三角函数定义，得1cos x α=，2πcos(2x α=+，12ππ()cos cos()cos sin )24f x x αααααα=-=-+=+=+，由π[0,2α∈，得ππ3π444α≤+≤，则2πsin(124α≤+≤，因此π1)4α≤+≤，()f α的取值范围是.【小问2详解】由（1）及已知，得2()sin cos (sin cos )2m F m ααααα=-⋅++-，π[0,2α∈，令πsin cos )[1,4t ααα+=+=∈222111()())2222t m F G t mt t m α-==-+-=--+，t ∈，①当1m ≤时，()G t 在上单调递减，2max 15()(1)22m G t G m ==-=-，则3m =-；②当1m <<时，()G t 在[1,]m 上单调递增，在[m 上单调递减，max 115()()22G t G m ==≠-，不符合题意；③当m ≥()G t 在单调递增，2max115()222m G t G ==-+-=-，则4m =+，所以3m =-或4m =+.18.已知2x =为函数21()()ef x x x c =--的极小值点.（1）求c 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对1(0,)x ∀∈+∞，2x ∃∈R ，使得12()()0f x g x -≥，求k 的取值范围.【答案】（1）2c =；（2）(,1](0,)-∞-⋃+∞.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数()f x '，由(2)0f '=求出c 并验证即可得解.（2）由（1）求出()f x 在(0,)+∞上的最小值，再按0,0,0k k k >=<分类，并借助导数讨论()g x 值即可求解.【小问1详解】函数21()()ef x x x c =--的定义域为R ，求导得()()(3)f x x c x c '=--，依题意，(2)(2)(6)0f c c '=--=，解得2c =或6c =，当2c =时，()(2)(32)f x x x '=--，当23x <或2x >时，()0f x '>，当223x <<时，()0f x '<，因此2x =为函数21()()ef x x x c =--的极小值点，符合题意，则2c =；当6c =时，()(6)(36)f x x x '=--，当2x <或6x >时，()0f x '>，当26x <<时，()0f x '<，因此2x =为函数21()()ef x x x c =--的极大值点，不符合题意，所以2c =.【小问2详解】由（1）知，函数()f x 在2(0,)3+∞上单调递增，在2(,2)3上单调递减，因此min 1()(2)ef x f ==-，①当0k >时，对1(0,)x ∀∈+∞，21x k ∃=-，使得121)11()(e 1(ek g x g f x k =-=-<-<-≤，因此12()()0f x g x -≥，符合题意，则0k >；②当0k =时，()0g x =，取12x =，对2x ∀∈R ，有12()()0f x g x -<，不符合题意；③当0k <时，函数()ex kxg x =，求导得()(1)e x g x k x -'=-，当1x <时，()0g x '<，()g x 在(,1)-∞上单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增，则()min ()1ek g x g ==，若对1(0,)x ∀∈+∞，2x ∃∈R ，使得12()()0f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-，所以k 的取值范围为(,1](0,)-∞-⋃+∞.19.已知正实数构成的集合{}()12,,,2,n A a a a n n *=⋅⋅⋅≥∈N（1）若定义{},i j i j A A a a a a A +=+∈，当集合A A +中的元素恰有()12n n +个数时，称集合A 具有性质P .①当{}1,2,3A =，{}1,2,4B =时，判断集合A ，B 是否具有性质P ，并说明理由；②设集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，其中数列{}n a 为等比数列，10a >且公比为2，判断集合A 是否具有性质P 并说明理由.（2）若定义{},,i j i j A A a a a a A i j +=+∈≠且，当集合A A +中的元素恰有()12n n -个数时，称集合A具有性质Ω.设集合A 具有性质Ω且A A +中的所有元素能构成等差数列.问：集合A 中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）①集合A 不具有性质P ，集合B 具有性质P ，理由见解析；②集合A 具有性质P ，理由见解析；（2）存在，最大值为4.【解析】【分析】（1）①写出,A A B B ++中的所有元素，利用定义判断即可；②求出等比数列的通项，证明该数列任意两项的和不等，由此求出A A +中的元素个数即可判断.（2）根据新定义得在集合A A +中，121321n n n n a a a a a a a a --+<+<<+<+ ，得到3221n n a a a a --+=+，由此分类讨论，可确定n 的取值，可得答案.【小问1详解】①集合A 不具有性质P ，集合B 具有性质P ：{}2,3,4,5,6A A +=，A A +中元素个数()33152+=≠不具有性质P ；{}2,3,4,5,6,8B B +=，B B +中元素个数()33162+==具有性质P .②若集合A 具有性质P ，设1112(0)n n a a a -=>，假设当i k l j <≤<时有i j l k a a a a +=+成立，则有2221j i k i l i ---=+-，等式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，则i j l k a a a a +=+不成立，因此A A +中元素个数()121C C 2n n n n +=+=，所以集合A 具有性质P .【小问2详解】不妨设1231n n a a a a a -<<<<< ，则在集合A A +中，121321n n n n a a a a a a a a --+<+<<+<+ ，又A A +中的所有元素能构成等差数列，设公差为d ，则()()()()131212n n n n d a a a a a a a a --=+-+=+-+，即3212n n d a a a a --=-=-，于是3221n n a a a a --+=+，当5n >时，2321,,,n n a a a a --是集合A 中互不相同的4项，从而A A +中元素个数小于(1)2n n -，与集合A 具有性质Ω矛盾，当5n =时，3242a a a =+，即234,,a a a 成等差数列，且公差也为d ，则A A +中的元素从小到大的前三项为121314,,a a a a a a +++，且第四项只能是15a a +或23a a +，（i ）若第四项为15a a +，则1415a a d a a ++=+，从而5432a a d a a -==-，于是5234a a a a +=+，A A +中元素个数小于(1)2n n -，与集合A 具有性质Ω矛盾；（ii ）若第四项为23a a +，则1423a a d a a ++=+，有122a d a +=，而()4512()9a a a a d +-+=，即517a a d =+，于是1512342723a a a d a d a a +=+=+=+，因此A A +中元素个数小于()12n n -，与集合A 具有性质Ω矛盾，则4n ≤，取{1,3,4,5}A =，{}4,5,6,7,8,9A A +=，则集合A 具有性质Ω，所以集合A 中的元素个数存在最大值，最大值为4.【点睛】关键点睛：本题是关于集合新定义类型题目，解答的关键是要理解新定义，并依据该定义去解决问题.。
2020年秋鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学试卷
A．若 p : n N , n2＞2n ，则 p : n N , n2＜2n
B．若 a＞b＞0, c＜d＜0 ，则 a ＜ b dc
C．使不等式1 1 ＞0 成立的一个充分不必要条件是 x＜1或 x＞1 x
D．若 ai , bi , ci i
1,2是全不为 0 的实数，则“a1
a2
b1 b2
c1 c2
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1、已知集合 M x y lg x2 4 , N x 0＜x＜4， CRM N （
）
A． x 2 x＜4
B．x 0＜x＜2
C．x 2 x 2
D．x x＜4
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、（本小题满分 10 分）在等差数列an中，已知 a3 5 ，an的前 6 项和 S6 36 . （1）求数列an的通项公式 an ； （2）若______________（填①或②或③中的一个），求数列bn的前 n 项和Tn .
的切线相同（e 是自然对数的底数），则当 m 变化时，实数 a 取以下哪些值能满足以上要求（ ）
A．1
B．e
C．2e
D． e2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13、已知向量
a
1,2,
b
m,3
，若
a
a
b
，则
a
在
b
方向上的投影为_______．
14、有 8 个座位连成一排，现有 5 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有_______（用数 字作答）．
湖北省鄂州市部分高中联考协作体2020-2021学年高一数学上学期期中试题(含解析)
湖北省鄂州市部分高中联考协作体2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（共12小题）.1．（5分）满足条件∅⫋M⫋{a，b，c}的集合M共有（）A．3个B．6个C．7个D．8个2．（5分）不等式≤2的解集为（）A．[2，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）3．（5分）已知a＞b＞0，c＜d＜0，则下列关系式错误的是（）A．＜B．＜C．ac2＞bd2D．ac＞bd4．（5分）如果∃x0∈R，使x02+ax0+1＜0成立，那么实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[2，+∞）D．∅5．（5分）函数y＝+1的大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则m的取值是（）A．m＝﹣2 B．m＝﹣1 C．m＝﹣2或m＝﹣1 D．﹣3≤m≤﹣17．（5分）函数f（x）＝x3+x，则不等式f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0的解集是（）A．（0，3）B．（﹣，2）C．（﹣，﹣3） D．（﹣1，3）8．（5分）已知f（x）＝，方程2[f（x）]2+f（x）﹣1＝0的根x的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x﹣1}，B＝{（x，y）|y＝1﹣x}，则A∩B＝（）A．{1，0} B．（1，0）C．{（1，0）} D．{（x，y）|}10．（5分）下列四组函数中表示同一函数的组数是（）A．f（x）＝|x|与g（x）＝B．f（x）＝|x|与g（x）＝C．f（x）＝（）3与g（x）＝（）2D．f（x）＝与g（x）＝11．（5分）当x∈R，x≠0，下列不等式成立的是（）A．|x+|≥2 B．0＜≤C．x+≥2 D．x+≤﹣212．（5分）判断一下说法正确的是（）A．“ab＝0”的一个必要非充分条件是“a2+b2＝0”B．如果2f（x）+f（）＝x，那么f（x）＝﹣（x≠0）C．函数y＝+的最小值为2D．函数f（x）＝x的任意自变量x1、x2满足f（）＞二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）如果全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x＜8}，（∁U A）∩B＝{1，3，5，7}，那么用列举法表示A＝．14．（5分）已知g（x）＝f（x）+x2是奇函数，且f（1）＝1，则f（﹣1）＝．15．（5分）两辆车需要尽快通过一段100m的桥梁，如果两车安全间距与速度关系为L＝，设车辆限速不超过60m/s，那么两车都通过的最短时间为s．16．（5分）已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）为增函数，且f（2）＝0，则不等式（x+1）f（x+1）＞0的解集为．三、解答题（共70分）17．（10分）设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜9}．（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知C＝{x|a＜x＜a+1}，已知C∩B＝C，求实数a的取值范围．18．（12分）（1）求函数y＝x0+的定义域；（2）求函数y＝的值域．19．（12分）定义域为R的奇函数F（x），当x＜0时，F（x）＝x2+4x．（1）求F（x）解析式，并写出它的单调区间；（2）解不等式F（x2）＞3．20．（12分）已知函数f（x）＝（a，b∈R）．（1）若f（x）是偶函数，当b＞0时，用定义证明：f（x）在[0，+∞）上是减函数；（2）若f（x）是奇函数，且f（x）≥﹣1恒成立，求a的取值范围．21．（12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．（1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f（x）的表达式；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？22．（12分）函数f（x）对定义域D上任意x、y满足：f（x）+f（y）＝f（x+y）[1﹣f（x）f（y）]．（1）求f（0）的值；（2）设D关于原点对称，判断并证明f（x）的奇偶性；（3）当x∈（﹣a，0）时，f（x）＜0，证明：f（x）在（0，a）上是增函数．参考答案一、选择题（1-8单选每题5分；9-12多选，每题全对5分，部分对3分，选错0分；共60分）1．（5分）满足条件∅⫋M⫋{a，b，c}的集合M共有（）A．3个B．6个C．7个D．8个解：满足条件∅⫋M⫋{a，b，c}的集合M有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}．共6个，∴满足条件∅⫋M⫋{a，b，c}的集合M共有6个．故选：B．2．（5分）不等式≤2的解集为（）A．[2，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）解：根据题意，≤2⇒﹣2≤0⇒≤0⇒（x﹣2）（x﹣1）≥0且x﹣1≠0，解可得：x≥2或x＜1，即不等式的解集为（﹣∞，1）∪[2，+∞），故选：D．3．（5分）已知a＞b＞0，c＜d＜0，则下列关系式错误的是（）A．＜B．＜C．ac2＞bd2D．ac＞bd解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∴a﹣c＞b﹣d＞0，﹣ac＞bd，故ac＜bd，故D错误；∴＜，故A正确；由﹣＝＜0，故＜，故B正确；由c2＞d2，故ac2＞bd2，故C正确；故选：D．4．（5分）如果∃x0∈R，使x02+ax0+1＜0成立，那么实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[2，+∞）D．∅解：若命题“∃x0∈R，使得x02+ax0+1＜0成立”为真命题，则△＞0，解得a＞2或a＜﹣2，因此实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：B．5．（5分）函数y＝+1的大致图象是（）A．B．C．D．解：当x＝3时，函数y＝+1＝＞0，排除选项C，D；当x＝1时，函数y＝+1＝＝＞0，排除选项A；故选：B．6．（5分）若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则m的取值是（）A．m＝﹣2 B．m＝﹣1 C．m＝﹣2或m＝﹣1 D．﹣3≤m≤﹣1解：由题意，m2+3m+3＝1∴m2+3m+2＝0∴m＝﹣1或m＝﹣2当m＝﹣1时，幂函数为y＝x﹣4，图象不过原点，且关于y轴对称，不合题意；当m＝﹣2时，幂函数为y＝x﹣3，图象不过原点，且关于原点对称，符合题意；故选：A．7．（5分）函数f（x）＝x3+x，则不等式f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0的解集是（）A．（0，3）B．（﹣，2）C．（﹣，﹣3） D．（﹣1，3）解：因为f（x）＝x3+x为单调递增的奇函数，由f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0可得f（2﹣x2）＞﹣f（2x+1）＝f（﹣2x﹣1），所以2﹣x2＞﹣2x﹣1，整理可得，x2﹣2x﹣3＜0，解得，﹣1＜x＜3．故选：D．8．（5分）已知f（x）＝，方程2[f（x）]2+f（x）﹣1＝0的根x的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：f（x）＝的图象如图：方程2[f（x）]2+f（x）﹣1＝0，可得f（x）＝﹣1，或f（x）＝，由函数的图象可知：f（x）＝﹣1，有2个x的值，f（x）＝，有一个x的值，所以方程2[f（x）]2+f（x）﹣1＝0的根x的个数是3．故选：C．9．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x﹣1}，B＝{（x，y）|y＝1﹣x}，则A∩B＝（）A．{1，0} B．（1，0）C．{（1，0）} D．{（x，y）|}解：由得，∴A∩B＝{（1，0）}或．故选：CD．10．（5分）下列四组函数中表示同一函数的组数是（）A．f（x）＝|x|与g（x）＝B．f（x）＝|x|与g（x）＝C．f（x）＝（）3与g（x）＝（）2D．f（x）＝与g（x）＝解：对于A，f（x）＝|x|，x∈R，g（x）＝＝|x|，x∈R；两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于B，f（x）＝|x|，x∈R，g（x）＝＝x，x∈R；两函数的对应关系不同，不是同一函数；对于C，f（x）＝＝x，x∈R，g（x）＝＝x，x∈[0，+∞）；两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，f（x）＝，x∈[0，+∞），g（x）＝＝，x∈[0，+∞）；两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：AD．11．（5分）当x∈R，x≠0，下列不等式成立的是（）A．|x+|≥2 B．0＜≤C．x+≥2 D．x+≤﹣2解：对于A，当x＞0时，x+≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，当x＜0时，x+＝﹣（x+）≤﹣2＝﹣2，当且仅当x＝﹣1时取等号，故|x+|≥2，故A正确，CD不正确，对于B，＝≤＝，当且仅当x＝±1时取等号，故B正确．故选：AB．12．（5分）判断一下说法正确的是（）A．“ab＝0”的一个必要非充分条件是“a2+b2＝0”B．如果2f（x）+f（）＝x，那么f（x）＝﹣（x≠0）C．函数y＝+的最小值为2D．函数f（x）＝x的任意自变量x1、x2满足f（）＞解：对于A，a2+b2＝0时，a＝b＝0，所以ab＝0，所以“a2+b2＝0”是“ab＝0”的一个充分条件，选项A错误；对于B，由2f（x）+f（）＝x，…①得2f（）+f（x）＝，…②①②得f（x）＝﹣（x≠0），选项B正确；对于C，函数y＝+≥2•＝2，当且仅当＝1时取等号，此时x的值不存在，所以等号不成立；即函数的最小值不是2，是+＝，选项C错误；对于D，画出f（x）在[0，+∞）上的图象，如图所示：由图象知，当0＜x1＜x2时，[f（x1）+f（x2）]＜f（）；对任意自变量x1、x2满足f（）≥，选项D错误．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）如果全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x＜8}，（∁U A）∩B＝{1，3，5，7}，那么用列举法表示A＝{0，2，4，6} ．解：因为N代表自然数集，所以A∪B＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，而（∁U A）∩B＝{1，3，5，7}，所以1，3，5，7不是集合A的元素，都是集合B的元素，因此A＝{0，2，4，6}．故填：{0，2，4，6}14．（5分）已知g（x）＝f（x）+x2是奇函数，且f（1）＝1，则f（﹣1）＝﹣3 ．解：∵y＝g（x）＝f（x）+x2是奇函数，∴g（﹣x）＝﹣g（x），即f（﹣x）+x2＝﹣f（x）﹣x2，即f（﹣1）+1＝﹣f（1）﹣1，∴f（﹣1）＝﹣f（1）﹣2，∵f（1）＝1，∴f（﹣1）＝﹣1﹣2＝﹣3．故答案为：﹣3．15．（5分）两辆车需要尽快通过一段100m的桥梁，如果两车安全间距与速度关系为L＝，设车辆限速不超过60m/s，那么两车都通过的最短时间为 4 s．解：设车速为v，则两车安全间距L＝，第二辆车走过的路程为100+，则两车都通过的时间t＝（0＜v≤60）．∴t＝，当且仅当，即v＝50时等号成立．∴两车都通过的最短时间为4s．故答案为：4．16．（5分）已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）为增函数，且f（2）＝0，则不等式（x+1）f（x+1）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．解：∵奇函数f（x）在（﹣∞，0）为增函数，且f（2）＝0，∴f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（﹣2）＝0，由（x+1）f（x+1）＞0可得或，即或，解得，x＞1或x＜﹣3．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．三、解答题（共70分）17．（10分）设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜9}．（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知C＝{x|a＜x＜a+1}，已知C∩B＝C，求实数a的取值范围．解：（1）因为A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜9}，所以A∩B＝[3，6），而∁R B＝（﹣∞，2]∪[9，+∞），所以（∁R B）∪A＝（﹣∞，2]∪[3，6）∪[9，+∞），（2）因为C∩B＝C，所以C⊆B，即，解得2≤a≤8，故实数a的取值范围为[2，8]．18．（12分）（1）求函数y＝x0+的定义域；（2）求函数y＝的值域．解：（1）要使函数有意义，则有，解得x＞﹣1且x≠0且x≠1，所以函数的定义域为[﹣1，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．（2）函数y＝＝2++，令t＝≠0，则y＝t2+2t+2＝（t+1）2+1，所以函数的值域为[1，2）∪（2，+∞）．19．（12分）定义域为R的奇函数F（x），当x＜0时，F（x）＝x2+4x．（1）求F（x）解析式，并写出它的单调区间；（2）解不等式F（x2）＞3．解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，∴F（﹣x）＝x2﹣4x，∵F（x）为奇函数，∴F（﹣x）＝﹣F（x），F（0）＝0∴F（x）＝﹣x2+4x，∴F（x）＝，函数在（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）为减区间，在（﹣2，2）上为增区间．（2）∵F（x2）＞3，∴﹣x4+4x2＞3，∴1＜x2＜3，解得﹣＜x＜﹣1或1＜x＜，故不等式的解集为（﹣，﹣1）∪（1，）．20．（12分）已知函数f（x）＝（a，b∈R）．（1）若f（x）是偶函数，当b＞0时，用定义证明：f（x）在[0，+∞）上是减函数；（2）若f（x）是奇函数，且f（x）≥﹣1恒成立，求a的取值范围．解：（1）证明：f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），所以＝，即﹣ax+b＝ax+b，可得a＝0，所以f（x）＝，b＞0，设x1＞x2≥0，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，由x1＞x2≥0，b＞0，可得x2﹣x1＜0，x1+x2＞0，则＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在[0，+∞）上是减函数；（2）因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，即为b＝0，由f（x）＝≥﹣1恒成立，即为x2+ax+1≥0恒成立，可得△＝a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，所以a的取值范围是[﹣2，2]．21．（12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．（1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f（x）的表达式；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？解：（1）当0＜x≤100时，p＝60；当100＜x≤600时，p＝60﹣（x﹣100）×0.02＝62﹣0.02x．∴p＝（2）设利润为y元，则当0＜x≤100时，y＝60x﹣40x＝20x；当100＜x≤600时，y＝（62﹣0.02x）x﹣40x＝22x﹣0.02x2．∴y＝当0＜x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2 000；当100＜x≤600时，y＝22x﹣0.02x2＝﹣0.02（x﹣550）2+6 050，∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050．显然6050＞2000．所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．22．（12分）函数f（x）对定义域D上任意x、y满足：f（x）+f（y）＝f（x+y）[1﹣f（x）f（y）]．（1）求f（0）的值；（2）设D关于原点对称，判断并证明f（x）的奇偶性；（3）当x∈（﹣a，0）时，f（x）＜0，证明：f（x）在（0，a）上是增函数．解：（1）令x＝y＝0，可得f（0）+f（0）＝f（0）[1﹣f2（0）]，所以2f（0）＝f（0）﹣f3（0），所以f3（0）+f（0）＝0，所以f（0）＝0；（2）令y＝﹣x，可得f（x）+f（﹣x）＝f（0）[1﹣f（x）f（﹣x）]，所以f（x）+f（﹣x）＝0，所以f（x）为D上的奇函数；（3）证明：设0＜x1＜x2＜a，所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1﹣x2）[1﹣f（x1）f（﹣x2）]，因为﹣a＜﹣x2＜﹣x1＜0，﹣a＜﹣x1＜0，﹣a＜x1﹣x2＜0，所以f（x1﹣x2）＜0，f（﹣x2）＜0，f（﹣x1）＜0，所以f（x1﹣x2）[1+f（﹣x1）f（﹣x2）]＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，a）上递增．。
【精校版】2022届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中联考数学试卷(解析版)
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2021-2022学年高三上学期数学期中联考试卷一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 A ={x|log 2x <4} ， B ={x|1−xx+2≥0} ，则 A ∩B = （ ） A. {x|−2<x <2} B. {x|0<x <1} C. {x|−2<x ≤1} D. {x|0<x ≤1}2.已知平面向量 a ⃗ =(1,1) ， b ⃗ =(−2,0) ，若 (2a −b ⃗ )⊥(a +kb ⃗ ) ，则 k 的值为（ ） A. 2 B. 34 C. 12 D. -23.函数 f(x)=ln(2x+2−x)x的图象大致为（ ）A. B.C. D.4.若 cos(π6+α)=13，则 sin(π6−2α)= （ ）A. −79 B. 2√23 C. 79 D. 4√295.已知偶函数 f(x) 在 (−∞,0] 上单调递增，则满足 f(2x +1)>f(12) 的 x 的取值范围是（ ）A. (−14,+∞)B. (−∞,−14)C. (−∞,−34)∪(−14,+∞)D. (−34,−14)6.已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 4=3 ， S 8=9 ，则 S 16 的值为（ ） A. 12 B. 30 C. 45 D. 817.已知函数f(x)=13ax3−x2+bx( a>0且a≠12，b>0)的一个极值点为2，则1a+1b的最小值为（）A. 74 B.94 C.85 D. 78.2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形ABCD边长为a1，后续各正方形边长依次为a2，a3，…，a n，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为b1，后续各直角三角形面积依次为b2，b3，…，b n，….下列说法错误．．的是（）A. 从正方形ABCD开始，连续3个正方形的面积之和为1294B. an =4×(√104)n−1C. 使得不等式a n2=4S n−1+4(n−1)−3成立的n的最大值为4D. 数列{b n}的前n项和S n<4二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9.下列命题为真命题的是（）A. 命题p：“ ∃x∈R，x2+3x−2<0”的否定为¬p：“ ∀x∈R，x2+3x−2≥0”B. 若a，b，m为实数，则“ am2>bm2”是“ a>b”的充分不必要条件C. 平面向量a⃗，b⃗的夹角为锐角的充要条件是a⃗⋅b⃗>0D. 若a，b为实数，则{a>1b>1是{ab>1a+b>2的充要条件10.已知函数f(x)=2sin2x，下列说法正确的是（）A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)是奇函数C. f(x)的单调递增区间为[kπ,π2+kπ]，k∈Z D. f(x)的图象关于点(π4,1)对称11.已知数列{a n}的前n项和为S n，下列说法正确的是（）A. 若 S n =n 2−11n +1 ，则 a n =2n −12B. 若 a n =−2n +11 ，则数列 {|a n |} 的前10项和为49C. 若 a n =−2n +11 ，则 S n 的最大值为25D. 若数列 {a n } 为等差数列，且 a 1011<0 ， a 1011+a 1012>0 ，则当 S n <0 时， n 的最大值为202112.已知函数 f(x)=lnx −x+1x−1，下列结论成立的是（ ） A. 函数 f(x) 在定义域内无极值B. 函数 f(x) 在点 A(2,f(2)) 处的切线方程为 y =52x +ln2−8C. 函数 f(x) 在定义域内有且仅有一个零点D. 函数 f(x) 在定义域内有两个零点 x 1 ， x 2 ，且 x 1⋅x 2=1三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.将函数 y =f(x) 的图象向左平移 π6 个单位长度后得到 g(x)=sin2x 的图象，则 f(π6)= .14.已知函数 f(x)={(1−2a)x +a,x ≤32x−3,x >3，若单调递增数列 {a n } 满足 a n =f(n) ，则实数 a 的取值范围为 .15.在 △ABC 中， AB =4 ， AC =3 ， A =π3，点 O 为 △ABC 的外心，若 AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， λ 、 μ∈R ，则 λ= .16.若集合 U n ={1,2,3,⋯,n} ， n ≥2 ， n ∈N ∗ ， A,B ⊆U n ，且满足集合 A 中最大的数大于集合B 中最大的数，则称有序集合对 (A,B) 为“兄弟集合对”.当 n =3 时，这样的“兄弟集合对”有 对；当 n ≥3 时，这样的“兄弟集合对”有 对（用含有 n 的表达式作答）.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列 {a n } 的各项均为正数，其前 n 项和为 S n ，且 a n 2=4S n −2a n −1 . （1）求 a n ， S n ；（2）设 b n ={√2√n √n n 为奇数S n −S n−1,n 为偶数，求数列 {b n } 的前8项和 T 8 .18.小 C 和小 D 两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有6个大小和质地相同的球，其中甲盒子中有1个红球，2个黄球，3个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为2个，小 C 同学在甲盒子中取球，小 D 同学在乙盒子中取球.（1）若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；（2）若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子；第二次再各取一个球，对比颜色后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次.记球颜色相同的次数为随机变量 X ，求 X 的分布列和数学期望19.如图，在四棱锥A−BCDE中，四边形BCDE为平行四边形，且BC=2，∠CBE=45°，三角形ABE为等腰直角三角形，且AB=2，∠BAE=90°.（1）若点O为棱BE的中点，证明：平面ACD⊥平面AOC；（2）若平面ABE⊥平面BCDE，点F为棱BC的中点，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值.20.在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinB+√33bcos(A+B)=√33b.（1）求角C的大小；（2）若c=√3，角A与角B的内角平分线相交于点D，求△ABD面积的取值范围.21.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1,0)，点P是其渐近线上的一点，且以PF为直径的圆过点A，|PO|=2，点O为坐标原点.（1）求双曲线C的标准方程；（2）当点P在x轴上方时，过点P作y轴的垂线与y轴相交于点B，设直线l:y=kx+m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M、N，若|BM|=|BN|，求实数m的取值范围.22.已知函数f(x)=−12ax2+(a−1)x+lnx(a<0).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当a<−1时，判断函数g(x)=f(x)+(x−1)lnx−x+1的零点个数.湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2021-2022学年高三上学期数学期中联考试卷一、单选题1.设集合A={x|log2x<4}，B={x|1−xx+2≥0}，则A∩B=（）A. {x|−2<x<2}B. {x|0<x<1}C. {x|−2<x≤1}D. {x|0< x≤1}【答案】 D【考点】交集及其运算，指、对数不等式的解法【解析】【解答】由log2x<4得0<x<16，即A={x|0<x<16}，由1−xx+2≥0得x−1x+2≤0⇔{(x−1)(x+2)≤0x+2≠0，解得−2<x≤1，即B={x|−2<x≤1}，于是得A∩B={x|0<x≤1}.故答案为：D【分析】根据题意由对数不等式和分式不等式的解法，求解出不等式的解集由此得到集合A与B，再由交集的定义结合不等式即可得出答案。