离散数学课后习题答案(第三章)
离散数学概论习题答案第3章
第二部分集合、矩阵、关系和函数集合论是处理集合，函数和关系的数学理论。
集合包括最基本的数学概念，例如集合，元素和成员关系。
在大多数现代数学公式中，集合论提供了一种描述数学对象的语言。
集合可用来表示数及其运算，还可表示和处理非数值计算，如数据间关系的描述等。
集合论，逻辑和一阶逻辑构成了数学公理化的基础。
同时，函数和关系是基于集合的映射，它们是满足某些属性的特殊集合。
接下来，我们将在两个单独的章节中介绍它们。
集和矩阵将在第3章中介绍，而关系和函数将在第4章中介绍。
第三章集合和矩阵3.1 集合3.1.1 集合概念集合没有确定的概念。
一般地，我们把研究的对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集。
通常用大写英文字母表示集合。
例如，N代表是自然数集合，Z代表是整数集合，R代表是实数集合。
用小写英文字母表示集合内元素。
若元素a是集合A的一个元素，则表示为a A∈，读作元素a属于集合A；若元素a不是集合A的一个元素，则表示为a A∉，读作a不属于集合A。
集合分为有限集合和无限集合两种，下面给出定义。
表示集合方法有列举法和描述法两种方式，下面分别介绍。
1. 列举法当集合是有限集合时，可以列出集合的所有元素，用逗号隔开各元素，并用花括号把所有元素括起来。
这种表述方式为列举法。
例如：S1={a, b, c, d, e, f}，S2={a, b, b, c, d, e, f}，S3={ d, e, a, b, c, f}上述三个集合S1、S2和S3是相同集合，尽管有重复元素。
且集合元素之间没有次序关系。
一个集合可以作为另个集合的元素。
例如，S1={a, b,{ c, d, e, f }}集合S1包含元素a, b和{ c, d, e, f }。
因为{ c, d, e, f }是集合S1中的元素，故可记为：{}∈。
,,,c d e f A以上给出的集合实例都是有限集合。
当集合是无限集合时，无法列出集合的所有元素，可先列出一部分元素，若剩余元素与已给出元素存在一定规律，那剩余元素的一般形式很明显可用省略号表示。
离散数学课后答案(第1-2-4章)武汉大学出版社
离散数学课后答案(第1-2-4章)武汉大学出版社习题1.11、（1）否（2）否（3）是，真值为0（4）否（5）是，真值为12、（1）P：天下雨Q：我去教室┐P →Q（2）P：你去教室Q：我去图书馆P →Q （3）P，Q同（2）Q →P（4）P：2是质数Q：2是偶数P∧Q3、（1）0（2）0（3）14、（1）如果明天是晴天，那么我去教室或图书馆。
（2）如果我去教室，那么明天不是晴天，我也不去图书馆。
（3）明天是晴天，并且我不去教室，当且仅当我去图书馆。
习题1.21、（1）是（2）是（3）否（4）是（5）是（6）否2、（1）(P →Q) →R，P →Q，R，P，Q （2）(┐P∨Q) ∨（R∧P），┐P ∨Q，R∧P，┐P，Q，R，P（3）((P →Q) ∧(Q →P)) ∨┐(P →Q))，(P →Q) ∧(Q →P)，┐(P →Q)，P →Q，(Q →P)，P →Q，P，Q，Q，P，P，Q3、（1）((P →Q) →(Q →P)) →(P →Q) （2）((P →Q) ∨((P →Q) →R))→((P →Q) ∧((P →Q) →R))（3）(Q →P∧┐P) →(P∧┐P →Q)4、(P →Q) ∨((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧(┐P∨Q)习题1.31、（1）I(P∨(Q∧R)) = I(P)∨(I(Q)∧I(R)) = 1∨(1∧0) = 1（2）I((P∧Q∧R)∨(┐(P∨Q)∧┐(R∨S))) = (1∧1∧0)∨(┐(1∨1)∧┐(0∨1)) = 0∨(0∧0) = 0 （3）I((P←→R)∧(┐Q→S)) = (1←→0)∧(┐1→1) = 0∧1 = 0（4）I((P∨(Q→R∧┐P))←→(Q∨┐S)) = (1∨(1→(0∧┐1)))←→(1∨┐1) = 1←→1 = 1（5）I(┐(P∧Q)∨┐R∨((Q←→┐P)→R∨┐S)) = ┐(1∧1)∨┐0∨((1←→┐1)→(0∨┐1)) = 0∨1∨1 = 12、（1）P Q P→Q Q∧(P→Q) Q∧(P→Q)→P0 0 1 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 1 1 1 1（2）P Q R Q∧R ┐(P∨(Q∧R)) P∨Q P∨R（2）原式<=> ┐T∨(┐(┐P∨Q)∨(┐┐Q∨┐P)) <=> (P∧┐Q)∨(Q∨┐P)<=> (P∧┐Q)∨┐(P∧┐Q) <=> T 原式为永真式（3）原式<=> ┐(P∧Q) ←→┐(P∧Q) <=> T 原式为永真式（4）原式<=> P∧(Q∨R) ←→P∧(Q∨R) <=> T 原式为永真式（5）原式<=> ┐(P∨┐Q)∨Q <=> (┐P∧Q)∨Q <=> Q 原式为可满足式（6）原式<=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> T 原式为永真式（7）原式<=> (┐P∨P∨Q)∧┐P <=> (T∨Q)∧┐P<=> T∧┐P <=> ┐P 原式为可满足式（8）原式<=> ┐((P∨Q) ∧(┐Q∨R))∨(┐P ∨R) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐R)∨(┐P∨R)<=> ((P∧┐Q)∨┐P)∨((Q∧┐R)∨R)<=>(( P∨┐P)∧(┐Q∨┐P))∨(( Q∨R)∧(┐R ∨R))<=> (┐Q∧┐P)∨( Q∨R) <=> T 原式为永真式4、（1）左<=> ┐P∨┐Q∨P <=> ┐┐P∨(┐P ∨┐Q) <=> 右（2）左<=> ┐(┐P∨Q) <=> 右（3）左<=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> 右（4）左<=> ┐(P→Q)∨┐(Q→P) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐P) <=> 中<=> ((P∧┐Q)∨Q)∧((P∧┐Q)∨┐P)<=> (P∨Q)∧(┐Q∨Q)∧(P∨┐P)∧(┐Q∨┐P)<=> (P∨Q)∧┐(P∧Q) <=> 右(5)左( P Q) ( R Q) (P Q) Q 右5.(1)左Q P Q 右(2)(P (Q R)) ((P Q) (P R))( P Q R) ( P Q) ( P R)(P Q R) (P Q) P R(P Q R) ((P P) ( Q P)) R(P Q R) ( Q P R)(P Q R) (P Q R)T故P (Q R) (P Q) (P R)(3).(P Q) (P P Q)( P Q) P (P Q)( P Q) ( P P) ( P Q)( P Q) ( P Q)T故P Q P P Q(4).((P Q) Q) P Q( ( P Q) Q) P Q(( P Q) Q) P Q( P Q) (Q Q) P Q(P Q) (P Q)T故(P Q) Q P Q(5).((P P) Q) ((P P) R) (Q R) (( T Q) ( T R)) Q R(Q R) Q RQ R Q RQ TT故((P P) Q) ((P P) R) Q R(6)左(Q F) (R F)( Q F) ( R F)Q RRR Q 右6.(1)原式( P Q R)(2)原式P Q P (P Q P)(3)原式P (Q R P) P Q R ( P Q R)7.(1)原式( P Q P)(2)原式( P Q R) P Q ( ( P Q R) P Q)(3)原式P Q (R P) (P Q (R P))8. (1) (P Q) (( P ( P Q)) R) P(2)(P Q R) ( P R)(3)(P F) (Q T)习题1.41.(1)原式( P Q) (( P Q) (Q P))( P Q) (Q P)(P Q) Q PQ P,既是析取范式又是合取范式(2)原式(( P Q) ( P Q)) ( ( P Q) ( P Q))(P Q) (P Q) 析取范式P (Q Q)合取范式(3)原式P Q S ( P Q)析取范式( P ( P Q)) Q SP Q S合取范式(4)原式P P Q Q R既是析取范式又是合取范式2.(1)原式P Q R为真的解释是：000，001，011，100，101，110，111故原式的主析取范式为:( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P QR) (P Q R) (P Q R)(2)原式(P Q) R(P Q (R R)) ((P P) R)(P Q R) (P Q R) (P Q) ( P R)(P Q R) (P Q R) (P (Q Q) R) ( P (Q Q) R)(P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R)(P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R)为真的解释是101，100，111，011，001(3)原式( P (Q R)) (P ( Q R))(( P (Q R)) P) (( P (Q R)) ( Q R))( P P) (Q P R) ( P Q R) (Q R Q R)(P Q R) ( P Q R)为真的解释是：000,111(4)原式P P Q Q R P Q R为真的解释是：001，010，011，100，101，110，111故原式的主析取范式为：( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P QR) (P Q R) (P Q R)3.(1)原式P Q P Q T主合取范式，无为假的解释。
(完整版)离散数学课后习题答案(第三章)
a t a t i m e an dA l lt h i ng si nt h ei r be i ng ar eg oo df o r so me t hi n 3-5.1 列出所有从X={a,b,c}到Y={s}的关系。
解：Z 1={<a,s>}Z 2={<b,s>} Z 3={<c,s>}Z 4={<a,s>,<b,s>} Z 5={<a,s>,<c,s>} Z 6={<b,s>,<c,s>}Z 7={<a,s>,<b,s>,<c,s>}3-5.2 在一个有n 个元素的集合上，可以有多少种不同的关系。
解 因为在X 中的任何二元关系都是X ×X 的子集，而X ×X=X 2中共有n 2个元素，取0个到n 2个元素，共可组成22n 个子集，即22|)(|n X X =⨯℘。
3-5.3 设A ＝{6：00，6：30,7：30，…, 9：30,10：30}表示在晚上每隔半小时的九个时刻的集合，设B={3,12,15,17}表示本地四个电视频道的集合,设R 1和R 2是从A 到B 的两个二元关系，对于二无关系R 1，R 2，R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1⊕R 2和R 1-R 2可分别得出怎样的解释。
解：A ×B 表示在晚上九个时刻和四个电视频道所组成的电视节目表。
R 1和R 2分别是A ×B 的两个子集，例如R 1表示音乐节目播出的时间表，R 2是戏曲节日的播出时间表，则R 1∪R 2表示音乐或戏曲节目的播出时间表，R 1∩R 2表示音乐和戏曲一起播出的时间表，R 1⊕R 2表示音乐节目表以及戏曲节目表，但不是音乐和戏曲一起的节日表，R 1-R 2表示不是戏曲时间的音乐节目时间麦。
3-5.4 设L 表示关系“小于或等于”，D 表示‘整除”关系,L 和D 刀均定义于解：L={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,3>,<2,6>, <3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} L ∩D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}3-5.5对下列每一式，给出A 上的二元关系，试给出关系图：a){<x,y>|0≤x ∧y ≤3}，这里A={1,2,3,4}；b){<x,y>|2≤x,y ≤7且x 除尽y ,这里A ＝{n|n ∈N ∧n ≤10}c) {<x,y>|0≤x-y<3}，这里A={0,1,2,3,4}；d){<x,y>|x,y 是互质的}，这里A={2,3,4,5,6}解：a) R={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>, <1,0>,<1,1>,<1,2>,<1,3>, <2,0>,<2,1>,<2,2>,<2,3>, <3,0>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,} 其关系图b) R={<2,0>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,0>,<3,3>,<3,6>, <4,0>,<4,4>, <5,0>,<5,5>,i m e an dA l lt h in gs in th ei r be i ng ar eg oo df o rsa）若R1和R2是自反的，则R1○R2也是自反的；b）若R1和R2是反自反的，则R1○R2也是反自反的；c）若R1和R2是对称的，则R1○R2也是对称的；d）若R1和R2是传递的，则R1○R2也是传递的。
离散数学第3章答案
习题3.11.(1) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}(2) {aa , ab , ba , bb }(3) {-1,1}(4) {11,13,17,19,23,29}(5) {1,2,3, (79)(6) {2}2. 用描述法表示下列集合:(1) 不超过200的自然数的集合;{|N 200}x x x ∈∧≤(2) 被5除余1的正整数的集合;+{|I (N 51)}x x y y x y ∈∧∃∈∧=+(3) 函数y =sin x 的值域;{|R 11}y y y ∈∧-≤≤(4) 72的质因子的集合;{|N |72(N 2|)}x x x y y y x y x ∈∧∧∀∈∧≤<→/(5) 不等式031>-x 的解集; {|R 3}x x x ∈∧>(6) 函数2312+-=x x y 的定义域集. {|R 12}x x x x ∈∧≠∧≠3. 用归纳定义法描述下列集合:(1) 允许有前0的十进制无符号整数的集合;① {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A ⊆② 如果x A ∈，则{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x A ⊆(2) 不允许有前0的十进制无符号整数的集合;① {1,2,3,4,5,6,7,8,9}A ⊆② 如果x A ∈，则{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}x x x x x x x x x x A ⊆(3) 不允许有前0的二进制无符号偶数的集合;① 1A ∈② 如果x A ∈，则{0,1}x x A ⊆(4) 5的正整数倍的集合.① 5A ∈② 如果x A ∈，则5x A +∈4. 判断下列命题中,哪些是真的,哪些是假的(A 是任意集合):(1) ;A ∈∅(2) ;A ⊆∅ (3) };{A A ∈ (4) ;A A ⊆ (5) ;A A ∈ (6) };{A A = (7) }.{∅=∅答：(2),(3),(4)为真，(1),(5),(6),(7)为假。
自考 离散数学教材课后题第三章答案
3.1 习题参考答案1、写出下列集合的的表示式。
a)所有一元一次方程的解组成的集合。
A={x|x是所有一元一次方程的解组成的集合}晓津答案：A={x| ax+b=0∧a∈R∧b∈R}b) x2-1 在实数域中的因式集。
B={1,(x-1),(x+1)|x∈R}c)直角坐标系中，单位圆内（不包括单位圆周）的点集。
C={x,y| x2+y2<1 }晓津答案：C={a(x,y)|a为直角坐标系中一点且 x2+y2<1 }d)极坐标中，单位圆外（不包括单位圆周）的点集。
D={r,θ| r>1,0<=θ<=360}晓津答案：D={a(r,θ)|a为极坐标系中一点且 r>1,0<=θ<=2π }e)能被5整除的整数集E={ x| x mod 5=0}----------------------------------------------------------------2、判定下列各题的正确与错误。
a) {x}{x};正确b) {x}∈{x};正确晓津观点:本命题错误。
理由：{x}作为一个元素是一个集合，而右边集合中的元素并不是集合。
c) {x}∈{x,{x}};正确d) {x}{x,{x}};正确----------------------------------------------------------------3、设 A={1,2,4},B={1,3,{2}},指出下列各式是否成立。
a) {2}∈A; b) {2}∈B c) {2}Ad) {2}B; e) ∈A f) A解：jhju、晓津和wwbnb 的答案经过综合补充，本题的正确答案是：b、c、d、f成立，a，d、e不成立。
理由：a式中，{2}是一个集合，而在A中并无这样的元素。
因此不能说{2}属于A，当然如果说2∈A则是正确的。
对于e式也应作如此理解，空集是一个集合，在A中并无这个集合元素,如f 式则是正确的。
华东师范大学离散数学章炯民课后习题第3章答案
华东师范大学离散数学章炯民课后习题第3章答案第一篇：华东师范大学离散数学章炯民课后习题第3章答案1.下列语句哪些是命题？（1）2是正数吗？（2）x2+x+1=0。
（3）我要上学。
（4）明年2月1日下雨。
（5）如果股票涨了，那么我就赚钱。
解：(1)不是(2)不是(3)不是(4)是(5)是2.判断下列命题的真值：（1）若1+1=3，则2+2=4（2）若鸟会飞，则 1+1=3 解：(1)1(2)011.将下列两个命题符号化，并分别用真值表和等值演算的方法证明所得到的那两个命题公式是等值的。
（1）你不会休息所以就不会工作，你没有丰富的知识所以你就不会工作；（2）你会工作所以一定会休息并具有丰富的知识。
解：设p：你会休息，q:你会工作，r:你有丰富的知识。
原命题符号化为(1)(⌝p→⌝q)∧(⌝r→⌝q)(2)q→(p∧r)12.（1）用等值演算的方法证明命题恒等式p→(q→p)=⌝p→(p→⌝q)。
13.构造一个只含命题变量p、q和r的命题公式A，满足：p、q 和r的任意一个赋值是A的成真赋值当且仅当p、q和r中恰有两个为真。
解：(p∧q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)14.通过等值演算求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。
解：主析取范式：(⌝p∧q)∨(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)主合取范式不存在15.一教师要从3名学生A、B和C中选派1～2人参加市级科技竞赛，需满足以下条件：（1）若A去，则C同去；（2）若B去，则C不能去；（3）若C不去，则A或B可以去。
问该如何选派？解：为此问题建立数学模型。
有三个方案：仅C去，仅B去，仅A和C去16.证明{⌝,→}是功能完备集。
17.（1）证明p→(q→s),q,p∨⌝r⇒r→s。
证明：① p∨⌝r前提引入② r附加前提引入③ p①②析取三段④ p→(q→s)前提引入⑤ q→s③④假言推理⑥ q前提引入⑦ s⑤⑥假言推理19.构造下列推理的形式证明：“今天下午没有出太阳并且今天比昨天冷。
离散数学第四版课后答案(第3章)
( A B C) ( A B) ((A B) ( A B)) (C ( A B))
= (C ( A B)) C ( A B). 易 见 ， C (A B) C, 但 不 一 定 有 C (A B) C.如 令 A B C {1}.时，等式（4）不为真。类假地，等式（5）的左 边经化简后得 (A C) B ，而 (A C) B 不一定恒等于 A-C。 3．17 （1）不为真。（2），（3）和（4）都为真。对于题 （1）举反例如下：令 A {1}, A {1}, B {1,4},C {2}, D {2,3}, 则 A B 且 C B ，但 A C B D ，
这是 S T 的充公必要条件,从而结论为真. 对 于 假 命 题 都 可 以 找 到 反 例 , 如 题 (2) 中 令 S {1,2},T z{1}, M {2}即可;而对于题(5),只要 S 即可. 3.9 (2),(3)和(4)为真,其余为假. 3.10 (1) A {0,1,2}. (2) A {1,2,3,4,5} (3) A {1} (4) A { 0,0 , 0,1 1,0 , 0,2 , 1,1 , 2,0 , 0,3 ,
A B .
（4）易见，当 A=B 成立时，必有 A-B=B-A。反之，由 A-B=B-A 得
( A B) B (B A) B
化简后得 B A ，即 B A，同理，可证出 A B ，从而 得到 A=B。
3．18 由| P(B) | 64 可知|B|=6。又由| P(A B) | 256 知| A B | 8 ， 代入包含排斥原理得
{,{1},{2},{1,2}}}.
(4) P( A) {,{{1}},{{1,2}},{{1}},{{1,2}} (5) P( A) {,{1},{1},{2},{1,1},{1,2}{1,2}{1,1,2}. 分析 在做集合运算前先要化简集合,然后再根据题目 要求进行计算.这里的化简指的是元素,谓词表示和集合公 式三种化简. 元素的化简——相同的元素只保留一个，去掉所有冗余 的元素。 谓词表示的化简——去掉冗余的谓词，这在前边的题解 中已经用到。 集合公工的化简——利用简单的集合公式代替相等的 复杂公式。这种化简常涉及到集合间包含或相等关系的判别。 例如，题（4）中的 A {{1,1},{2,1},{1,2,1}}化简后得 A {{1},{1,2}}， 而题（5）中的 A {x | x R x3 2x2 x 2 0} 化 简为 A {1,1,2}。 3．15
离散数学第三章习题详细答案
3.9解：符号化：p：a是奇数. q：a是偶数. r：a能被2整除前提：(p→¬r),(q→r)结论：(q→¬p)证明：确。
方法2（等值演算法）(p→¬r)∧(q→r) →(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)⇔(p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p⇔((p∧r) ∨¬p)∨((q∧¬r) ∨¬q)⇔(r∨¬p) ∨(¬r∨¬q)⇔¬p∨(r∨¬r) ∨¬q⇔1即证得该式为重言式，则原结论正确。
方法3（主析取范式法）(p→¬r)∧(q→r) →(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)⇔(p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p⇔m0+ m1+ m2+ m3+ m4+ m5+ m6+ m7可知该式为重言式，则结论推理正确。
3.10. 解：符号化：p：a是负数. q：b是负数. r：a、b之积为负前提： r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)结论：¬r→(¬p∧¬q)方法1（真值法）证明：不正确。
方法2（主析取范式法）证明：(r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)) →(¬r→(¬p∧¬q))⇔¬ (¬r∨(p∧¬q) ∨(¬p∧q)) ∨(r∨(¬p∧¬q))⇔r∨(¬p∧¬q)⇔m0+m2+m4+m6+m7只含5个极小项，课件原始不是重言式，因此推理不正确3.11.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
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（e1）（＜a, e1＞∈R1∧＜e1, b＞∈R1) ∧（e2）（＜b, e2＞∈R1∧＜e2, c＞∈R1）
＜a,b＞∈R1∧＜b, c＞∈R1（∵R1传递）
＜a,c＞∈R12
即R12是传递的。
故R12是A上的等价关系。
d）如b）所设，R1和R2是A上的等价关系，但
b）设 A={a,b,c}
R1={＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,c＞，＜c,b＞，＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞}
R2={＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞，＜b,c＞，＜c,b＞}
R1-R2={＜a,b＞，＜b,a＞，＜a,c＞，＜c,a＞}
所以R1和R2是A上等价关系，但R1-R2不是A上等价关系。
证明：(1)对任意非零实数a，有a2>0(a+bi)R(a+bi)
故R在C*上是自反的。
(2) 对任意(a+bi)R(c+di)ac>0,
因ca=ac>0(c+di)R(a+bi),
所以R在C*上是对称的。
(3)设(a+bi)R(c+di) ，(c+di)R(u+vi)，则有ac>0cu>0
若c>0，则a>0u>0au>0
证明 ：设A上定义的二元关系R为：
＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R =
1对任意＜x,y＞∈A，因为 = ，所以
＜＜x,y＞, ＜x,y＞＞∈R
即R是自反的。
2设＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，若
＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R = = ＜＜u,v＞,＜x,y＞＞∈R
即R是对称的。
3设任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，对
因此，RkRj，于是I/Rk细分I/Rj
fjasasdhgaowirghaoghaa;owghfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owghfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasas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