统计物理的基本概念
量子力学中的统计物理与量子统计
量子力学中的统计物理与量子统计量子力学是现代物理学的基石之一，它描述了微观粒子的行为和相互作用。
统计物理是量子力学的一个重要分支，研究的是大量粒子的集体行为。
而量子统计则是在量子力学的框架下研究多粒子系统的统计性质。
本文将介绍量子力学中的统计物理和量子统计的基本概念和应用。
首先，我们来了解一下统计物理的基本原理。
统计物理的核心思想是将微观粒子的运动和相互作用转化为宏观物理量的统计规律。
根据统计物理的理论，我们可以通过统计大量粒子的行为来预测宏观物理现象。
统计物理的基础是热力学，热力学是研究热能转化和能量守恒的学科。
通过热力学的概念和方法，我们可以推导出统计物理的基本公式和定律。
在量子力学中，统计物理的理论需要考虑粒子的波粒二象性和波函数的统计解释。
根据波函数的统计解释，我们可以将粒子分为玻色子和费米子。
玻色子是具有整数自旋的粒子，如光子；费米子是具有半整数自旋的粒子，如电子。
根据波函数的对称性，玻色子的波函数在粒子交换下不变，而费米子的波函数在粒子交换下发生符号变化。
在量子统计中，我们使用的是玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计。
玻色-爱因斯坦统计适用于玻色子，它描述的是多个玻色子处于同一量子态的概率。
根据玻色-爱因斯坦统计，多个玻色子可以占据同一量子态，它们的波函数是对称的。
而费米-狄拉克统计适用于费米子，它描述的是多个费米子不可能处于同一量子态的概率。
根据费米-狄拉克统计，多个费米子不能占据同一量子态，它们的波函数是反对称的。
量子统计在实际应用中有着广泛的应用。
一个典型的例子是玻色-爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein condensation，BEC）。
BEC是指在极低温下，玻色子聚集在一个量子态中形成凝聚态的现象。
这种凝聚态具有超流性和相干性等特殊性质，对于研究超导和超流现象有着重要意义。
BEC的实验观测证实了量子统计的存在，并为研究凝聚态物理提供了新的途径。
另一个重要的应用是费米子的统计行为。
统计物理3基本概念——微观态与宏观态
A状态 → B 状态， 系统内能的变化为：
UB U A W Q
dU dW dQ
热力学第二定律
1. 熵(entropy)
SB S A
B
A （ 可 逆）
dQ T
或
dQ dS T
2. 粒子运动的量子描述
测不准关系 h≈△x△px 微观粒子不可能有确定的动量和坐标 量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描述，由一组 量子数来表征，量子数的数目即粒子的自由度数。 每个状态可表示为该量子数空间中 的一个点——单粒子状态空间 例1. 自旋系统，一个量子数n (1 OR -1) 例2. 1D谐振子系统，一个量子数 n =0，1，2，3，…
W 0
U lim [ T 0 T
V
V
W T
V
]
U lim T 0 T
U dU pdV (简单系统)
热力学基本微分方程 可逆
TdS dU pdV d (U PV ) VdP
H，焓，状态量, J
dH d (U pV ) TdS VdP
熵是一个态函数，其单位是 J / K，它是广延量。 2. 热力学基本方程
T dS dU Yi dyi
i
T dS dU pdV dW '
3. 热力学第二定律的数学表达式
SB S A
B
A
dQ T
或
dS
dQ T
4. 熵增加原理 如果是绝热过程，则有：
SB S A 0
将功、热量的计算和过程方向的判断归结 为态函数的差，摆脱过程细节
统计物理知识点总结
统计物理知识点总结一、统计力学的基本概念1. 微观态和宏观态统计物理研究的对象是处于宏观系统中的微观粒子，其中微观态是指粒子的位置和动量的具体取值，宏观态是指系统的宏观物理性质，例如温度、压强等。
2. 系统的能级系统的能级是指系统各种可能的微观态所对应的能量值，通常将系统的能级表示为E_i，i=1,2,3,...,N。
3. 概率分布统计物理中，概率分布描述了系统各种微观态出现的概率，通常表示为P_i，i=1,2,3,...,N。
4. 统计物理的基本假设统计物理的基本假设包括系统处于平衡态、系统微观态的等可能性、独立粒子假设等，这些假设为统计物理的推导提供了基本条件。
二、玻尔兹曼分布1. 玻尔兹曼分布的概念玻尔兹曼分布描述了理想气体在平衡状态下各个微观态的出现概率与相应能级之间的关系，通过玻尔兹曼分布可以推导出热力学的一些基本性质。
2. 玻尔兹曼分布的表达式玻尔兹曼分布的概率分布表达式为P_i=exp(-E_i/kT)/Z，其中E_i表示系统的能级，k为玻尔兹曼常数，T表示系统的温度，Z为配分函数。
3. 玻尔兹曼分布的重要性质玻尔兹曼分布是理想气体状态密度的重要分布律，它描述了系统各个微观态的出现概率与相应能级之间的关系，为热力学性质的计算提供了重要依据。
三、配分函数1. 配分函数的概念配分函数是统计物理中的一个重要概念，它描述了系统各个微观态的出现概率和相应能级之间的关系，可以用来计算系统的热力学性质。
2. 配分函数的表达式配分函数通常用Z表示，它的表达式为Z=Σ(exp(-E_i/kT))，其中E_i表示系统的能级，k 为玻尔兹曼常数，T表示系统的温度，Σ表示对系统所有可能的微观态求和。
3. 配分函数的重要性质配分函数是统计物理的重要概念之一，通过配分函数可以计算系统的内能、熵、平均能级等重要热力学性质，它是统计物理推导的基础。
四、热力学性质1. 内能系统的内能是系统中所有粒子的动能和势能之和，通过配分函数可以计算系统的内能，它是系统热力学性质的重要参量。
统计物理初步
统计物理初步统计物理是一门研究物理系统的数量特征和规律的学科。
它利用概率论和数学方法，从微观层面出发，研究宏观物理规律。
统计物理在各领域中有广泛的应用，如热力学、固体物理、高能物理、天体物理、计算物理等。
本文将介绍统计物理的基本概念和主要内容。
基本概念统计物理的基本概念包括微观状态、宏观状态和分配函数。
微观状态指的是一个物理系统所有粒子的状态和位置等微观信息。
每个粒子的状态包括其能量、自旋、位置、动量等参数。
微观状态信息的不同，对应着不同的宏观物理性质。
宏观状态是指宏观上观察到的物理性质，如温度、压力、体积、熵等。
宏观状态能够表示出微观状态的特征，它与微观态的关系是统计物理的核心问题之一。
分配函数描述了微观状态与宏观状态之间的联系。
分配函数是一种用数学语言描述物系的数学函数，常用的分配函数有配分函数和配合函数。
它们是微观状态的函数，确定了微观状态出现的可能性，从而给出了宏观状态的描述。
扩大规模与独立性假设统计物理在研究物理系统时通常采用扩大规模和独立性假设。
扩大规模是指将物理系统的规模不断扩大到非常庞大的程度，以致于观察宏观性质时可以不考虑微观的详细信息。
独立性假设是指认为粒子之间相互作用可以被平均掉，从而使得粒子之间的相互作用可以视为独立的。
举个例子，假设我们要研究一杯水的温度，采用扩大规模和独立性假设的方法，可以认为水分子之间相互作用可以被视为独立的，从而可以考虑每个水分子的能量，将每个水分子的能量加起来得到总能量，再利用分配函数得到整个系统的温度。
统计力学统计力学是统计物理的一部分，它研究物理系统的动力学性质，如宏观物理量的演化、时间演化、相变等。
统计力学通常采用配分函数方法，通过计算配分函数的方式来求解各物理量。
配分函数是统计力学中的一个重要概念。
它是与温度、能量等宏观物理量相联系的微观状态量函数，揭示了不同微观状态所占的比例。
配分函数可以用来计算各种宏观物理量，如内能、自由能、熵等。
当配分函数和实验数据相符合时，我们可以得到关于物理系统的各种宏观性质，从而可以进一步深入研究物理性质。
热力学和统计物理
热力学和统计物理一、基本概念1. 热力学- 系统与外界- 热力学研究的对象称为系统，系统以外与系统有相互作用的部分称为外界。
例如，研究气缸内气体的性质时，气缸内的气体就是系统，气缸壁、活塞以及周围的环境等就是外界。
- 平衡态- 一个孤立系统经过足够长的时间后，宏观性质不再随时间变化的状态称为平衡态。
例如，将一个盛有热水的容器放在绝热环境中，经过一段时间后，水的温度不再变化，水就达到了平衡态。
平衡态可以用一些宏观参量来描述，如压强p、体积V、温度T等。
- 状态参量- 用来描述系统平衡态的宏观物理量称为状态参量。
- 几何参量：如体积V，它描述了系统的几何大小。
对于理想气体，体积就是气体分子所能到达的空间范围。
- 力学参量：压强p是典型的力学参量，它是垂直作用于容器壁单位面积上的力。
- 热学参量：温度T是热学参量，它反映了物体的冷热程度。
从微观角度看，温度与分子热运动的剧烈程度有关。
2. 统计物理- 微观态与宏观态- 微观态是指系统内每个粒子的微观状态（如每个粒子的位置、动量等）都确定的状态。
而宏观态是指由一些宏观参量（如压强、体积、温度等）确定的状态。
一个宏观态往往包含大量的微观态。
例如，对于一个由N个粒子组成的气体系统，给定气体的压强、体积和温度，这就是一个宏观态，但这些粒子的具体位置和动量有多种可能组合，每一种组合就是一个微观态。
- 等概率原理- 对于处于平衡态的孤立系统，系统各个可能的微观态出现的概率相等。
这是统计物理的一个基本假设。
二、热力学定律1. 热力学第零定律- 如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡，则这两个系统彼此也必定处于热平衡。
这一定律为温度的测量提供了依据。
例如，我们可以用温度计（第三个系统）去测量不同物体（两个系统）的温度，当温度计与物体达到热平衡时，就可以确定物体的温度，并且如果两个物体与同一温度计达到热平衡，那么这两个物体之间也处于热平衡，它们具有相同的温度。
统 计 物 理
μ 空间
粒子的自由度数r 能够完全确定质点空间位置的独立坐标数目.
自由度为r的一个微观粒子的微观运动状态由2r个广 义坐标和广义动量确定。
广义坐标： q1 , q2 , q3 ,qr 广义动量： p1 , p2 , p3 , pr
μ空间 — 由2r个相互垂直的轴张成的2r维的空间，
其中r个轴代表广义坐标，另外r个轴代表广义动量。
qi1 , qi 2 ,, qir , pi1 , pi 2 ,, pir
这 2rN 个变量来确定。
用 μ 空间中N个点描述
一个粒子在某时刻的力学运动状态可以在 μ空间中用一个点表示，由N个全同粒子组成的 系统在某时刻的微观运动状态可以在μ空间中用 N个点表示，那么如果交换两个代表点在μ空间 的位置，相应的系统的微观状态是不同的。
全同粒子是可以分辨的（因为经典粒子的运动是轨道运动， 原则上是可以被跟踪的）。
如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子的运动状态 加以交换，交换前后，系统的微观状态是不同的。
, pi1, pi2 ,, pir ) j(q i(qi1, qi2 ,, qir j1 , q j 2 ,, q jr , p j1 , p j 2 ,, p jr )
一维自由粒子 考虑处于长度为 L 的一维容器中自由粒子的运 动状态。周期性边界条件要求对粒子可能的运动状 态，其德布罗意波长 满足 L nx , nx 0,1,2,
又：k x 2
2 kx nx , nx 0, 1, 2, L
代入德布罗意关系式：px k x 2 px nx L
i
j j
i
交换前
交换后
, pi1, pi2 ,, pir ) i(q j(qi1 , qi2 ,, qir j1 , q j 2 ,, q jr , p j1 , p j 2 ,, p jr )
统计物理学基础
x xdP ( x ) x ( x )dx
lim i N i N
i lim ( N i N ) i Pi
N N
比较！
4-2
理想气体的压强
温度和内能
一、理想气体的微观模型和统计假设
1. 理想气体微观模型 分子本身的大小比起它们之间的平均距离 可忽略不计。
3kT 3 RT v m M
2
v T
2
v 1
2
M
气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平 方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。
例:在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果
压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到
1770C，体积减少一半，这时气体分子的平均平动 动能变化多少？ 解： W 3 kT 2
3 3 k (T T ) W W W w w2 2w1 1 2k (T22 T1 ) 1 2 3 1.38 10 23 ( 450 300) 3.11 10 21 J 2
四、能量按自由度均分定理 1.自由度 确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。 以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例
z
z
C ( x, y, z )
y
C ( x, y, z )
x
单原子分子
平动自由度t=3
y
x 双原子分子
平动自由度t=3
转动自由度r=2
i tr3
i tr5
z
C ( x, y, z )
x
三原子或三 原子以上的 分子
y
热力学与统计物理的关系
热力学与统计物理的关系热力学和统计物理是物理学中两个重要的分支领域，它们之间有着密切的关系。
热力学是研究宏观物质的热现象和能量转化规律的科学，而统计物理则是从微观角度出发，通过统计方法研究物质的性质和规律。
本文将探讨热力学与统计物理之间的关系，以及它们在物理学研究中的重要性。
热力学是研究热现象和能量转化规律的科学，它主要关注宏观系统的性质和规律。
热力学的基本概念包括热力学系统、热平衡、热力学过程等。
热力学第一定律和第二定律是热力学的两大基本定律，它们揭示了能量守恒和热力学过程的方向性规律。
热力学通过研究热力学系统的性质和相互作用，揭示了物质在能量转化过程中的规律，为工程技术和自然科学的发展提供了重要的理论基础。
统计物理是研究物质微观结构和性质的科学，它通过统计方法研究大量微观粒子的运动规律和相互作用，揭示了物质宏观性质与微观结构之间的联系。
统计物理的基本概念包括微正则系综、正则系综、巨正则系综等，这些系综描述了不同条件下系统的微观状态分布和宏观性质。
统计物理通过研究微观粒子的统计规律，揭示了物质性质的微观基础，为理解物质的宏观行为提供了重要的理论支持。
热力学和统计物理之间存在着密切的关系，它们相辅相成，相互促进。
热力学研究宏观系统的性质和规律，而统计物理则揭示了这些宏观性质背后的微观基础。
热力学和统计物理的结合，使我们能够更全面地理解物质的性质和行为。
例如，热力学第二定律揭示了热力学过程的方向性规律，而统计物理则通过描述微观粒子的随机运动，解释了热力学第二定律的微观基础。
在物理学研究中，热力学和统计物理的重要性不言而喻。
热力学为我们提供了研究宏观系统的基本框架和方法，而统计物理则为我们揭示了物质微观结构与宏观性质之间的联系。
热力学和统计物理的结合，不仅拓展了我们对物质世界的认识，也为物理学的发展开辟了新的研究领域。
因此，研究热力学与统计物理的关系，对于深化我们对物质世界的理解，推动物理学科学的发展具有重要意义。
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能 量 ＝ （ q 1 ,q 2 ,L q r ； p 1 ,p 2 ,L p r ）
由此2r 个直角坐标构成的2r 维空间称为μ空间。
μ空间：（ q 1,q2,Lqr； p 1,p2,Lpr）
μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的 一个运动状态，这个点称为代表点。当粒子运动状 态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动， 描画出一条轨迹。
合粒子。如：电子、质子、中子等。
b)玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子或 复合粒子。 如：光子、Л介子等。
c)复合粒子的分类 ：凡是由玻色子构成的复合粒子 是玻色子；由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色 子，由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。
玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统
玻耳兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且 处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。
§13-2 相空间
粒子是指组成物质系统的基本单元。
粒子的运动状态是指它的力学运动状态。
如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动 状态的描述称为经典描述。
如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动 状态的描述称为量子描述，称为量子态。
一、粒子运动状态的经典描述
自由度为r 的一个微观粒子的微观运动状态由 2r 个广义坐标和广义动量确定。
因此，一个自由度为3的微观粒子在相空间的位 置只能确定在大小为h3的空间内，称为一个相格。 每一个相格对应微观粒子的一个量子态。
自由度为3的微观粒子需要6维相空间描述。
相空间体积元
ddxdydzdpxdpydpz
相空间体积元中的状态数（相格数）为
gd h3h 13dxdydzdpxdpydpz
相空间体积元中的能量认为是相同的，故体积元 中g个状态具有相同的能量，因此又可以说是简并 的，g即为简并度。
二、系统微观运动状态的量子描述
微观粒子全同性原理：全同粒子是不可分辨的。在 含有多个全同粒子的系统中，将任意两个全同粒子 加以交换，不改变整个系统的微观状态。
对于不可分辨的全同粒子，确定由全同近独立粒子 组成的系统的微观状态归结为确定每一个量子态上 的粒子数。
微观粒子的分类
1)玻色子与费米子 a)费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子或复
玻色系统：由不可分辨的全同近独立玻色粒子组成， 不受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子 态上的粒子数不受限制的系统。
费米系统：由不可分辨的全同近独立费米粒子组成， 受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态 上的粒子数最多只能为1个粒子的系统。
例： 设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子态 有3个，如果这两个粒子分属玻耳兹曼系统、玻 色系统、费米系统时，试分别讨论系统各有哪些 可能的微观状态？
二、粒子运动状态的量子典描述
微观粒子具有波粒二象性
根据不确定关系，微观粒子不可能同时有确 定的动量和坐标，说明微观粒子的运动不是轨道 运动。微观粒子的运动状态不是用坐标和动量来 描述的。
根据不确定关系，微观粒子在某一方向上位 置的不确定度与动量不确定度的乘积在数量级上 最小等于普朗克常量。
xpx h
对于玻尔兹曼系统可有9种不同的微观状态
量子态1 量子态2 量子态 3
1
AB
2
ABB
5
B
A
6
A
B
7
B
A
8
A
B
9
B
A
对于玻色系统可以有6种不同的微观状态
单个粒子的经典运动状态，由r个广义坐标和 个广义动量来描述，当组成系统的N个粒子在某一 r时刻的运动状态都确定时，也就确定了整个系统 的在该时刻的运动状态。因此确定系统的微观运 动状态需要
q i1,q i2, ,q i,rp i1,p i2, ,p iri1,2N
这 2rN个变量来确定。
一个粒子在某时刻的力学运动状态可以用μ空 间中一个点来表示，由N个全同粒子组成的系统在 某时刻的微观运动状态可以用μ空间中的N个点表 示，那么如果交换两个代表点在μ空间的位置，相 应的系统的微观状态是不同的。
•优点：具有很高的可靠性和普遍性；
•缺点：由于热力学理论不涉及物质的微观结构和粒 子的运动，把物质看成是连续的，因此不能解释宏 观性质的涨落。
统计物理学是研究物质热运动的微观理论，它从 “宏观物质系统是由大量微观粒子组成的”这一基本 事实出发。认为物质的宏观性质是大量微观粒子运动 的集体表现，根据微观粒子的行为来解释物质的宏观 性质，认为宏观量是微观量的统计平均值。
•优点：它可以把热力学的几个基本定律归结于一个 基本的统计原理，阐明了热力学定律的统计意义；
•缺点：由于对物质微观结构所做的往往只是简化的 模型假设，因而所得到的理论结果往往只是近似的。
二者的联系：
热力学对热现象给出普遍而可靠的结果，可以用 来验证微观理论的正确性； 统计物理学则可以深入热现象的本质，使热力学 的理论获得更深刻的意义，二者相辅相成。
§13-3 宏观态与微观态
宏观状态和微观状态的区别 宏观状态：平衡状态下由一组参量表示
如N、E、V（热力学） 微观状态：每个微观粒子的运动状态（统计物理）
一、系统微观运动状态的经典描述
1）全同粒子 具有完全相同内禀属性(如质量、电荷和自旋)
的同类微观粒子。
2）近独立粒子 忽略粒子间的相互作用(没有势能只有动能)，
系统能量为单个粒子能量之和。
E N 11 N 22 L N ii L N ii
i
经典认为全同粒子是可以分辨的(因为经典粒 子的运动是轨道运动，原则上是可以被跟踪的)。 如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子 的运动状态加以交换，交换前后，系统的力学运 动状态是不同的。
描述方式
第十三章
统计物理的基本概念
§13-1 引言
宏观物体具有微观结构，是由大量的微观粒 子（分子、原子等）所组成的。而这些微观粒子在 不停地作无规则的运动----热运动。
宏观物体的物理特征正是建立在微观粒子热运 动的基础上的。
热力学是研究物质热运动的宏观理论，它以热力学 实验定律为基础，应用数学方法，通过逻辑推理和演 绎，得出有关物质各种宏观性质之间的关系，以及宏 观物理过程进行的方向和限度等方面的结论。