第一章 试验数据的误差分析
弗兰克赫兹实验的误差分析和实验总结
弗兰克赫兹实验的误差分析和实验总结弗兰克赫兹实验是一项重要的物理实验，它也被称为电子衰减实验，是由瑞士物理学家弗兰克赫兹发现的，并于1899年发表在《英国科学杂志》上。
它的目的是测量电子在不同材料中的衰减率。
在弗兰克赫兹实验中，电子被储存在一个微型试验筒中，然后从试验筒中用一定电压释放出来。
电子然后穿过一系列被称为屏蔽器的容器，同时被重力、磁场和外界影响所抗拒。
从每个屏蔽器中出来的电子数量用电子管来测量，并最终用来比较实验中得到的衰减值。
弗兰克赫兹实验的误差分析和实验总结非常重要。
为了得到实验的准确结果，必须将实验过程中的各种误差进行分析。
误差也可以分为系统性误差和随机误差。
系统性误差指的是把不同因素意识到的误差，如设备本身的误差，实验条件的变化，实验者的误差。
而随机误差指的是实验中不可预测的误差，如实验者的意外犯错，实验材料质量和环境条件等。
实验室为了准确分析实验中的误差，首先要确定实验者的偏移，即由实验者拿出的结果与实验数据的偏差。
这些问题一般可以通过计算技术、误差分析和估计的方法来解决，有时还需要用概率分布等技术来分析误差。
弗兰克赫兹实验的实验总结是对实验结果及其各种误差分析结果进行综合分析的过程。
它需要实验者把实验数据中各个方面的数值进行统计，并与实验预期结果进行比较。
记录实验结果，然后分析实验数据，查看实验数据中可能出现的各种误差，以及实验中可能存在的其他可能的异常结果。
分析实验的误差和进行实验总结对于弗兰克赫兹实验来说是十分重要的。
这可以帮助实验者评价和控制实验中可能出现的各种误差，以及提高实验精度，从而得出准确的实验结果。
误差分析和实验总结的重要性不可忽视，它是确认实验结果的关键步骤，也是实验质量的决定因素。
综上所述，弗兰克赫兹实验的误差分析和实验总结是实验成功与否的关键因素。
实验者需要对实验过程中的各种误差进行分析，确认误差来源，并最终得出准确的实验结果。
细集料筛分实验误差分析和对策
细集料筛分实验误差分析和对策
1、误差分析：影响细集料筛分的因素有很多，对试验数据影响
较大的因素首先是取样位置对单粒级级配的影响，其次是试验操作对单粒级级配的影响，最后是计算过程中对试验数据的分析影响。
2、对策：
（1）首先分析从料堆上取样。
料堆上取样要求取样要均匀分布，在实际取样的过程中，细集料料堆的形状有几种分布状态。
在实际施工过程中，取样检测一定要按照装载机即将上料范围内检测，保证上料的级配与设计的级配基本一致，如果有差异及时查找原因，及时调整。
在皮带运输机上取样采用整段截取的方式取样，然后再四分取样进行试验。
汽车上取样要从材料表皮下挖30公分以后再上中下分别取样。
其它位置的取样都是采取与汽车检测方式一致。
（2）使用电子天平的过程中要随时校对电子天平的零点。
在进行细集料筛分试验的过程中，注意检查设备的稳定性、保持试验操作中的一致性，是保持实验数据数据复现性偏差小的关键。
（3）首先要注意数据的规范性。
按照规范要求的进行取值、读数。
如规范中要求准确烘干试样约500克，准确至0.5克。
试样质量只能填写499.5g、500.0g、500.5g，其余的填写方式都是错误数据;其次检查所有各筛的分计筛余量要与盘中剩余量的总质量与筛分前后试样总量相比其相差不得超过1%。
此条是检验操作是否正确，如果超出此条的要求，试验要求重新进行。
最
后在计算细集料细度模数的过程中。
要注意检查过程中。
如果是两次试验所得细度模一般都是计算程序进行计算，计算完毕，要将分级筛余的每个数据的小数快速累加，检查结果小数是否为0，如果为0，计算过程正确，否则要重新计算。
《试验设计与数据处理》第1章试验数据的误差分析
d p xp x (, n) s
则应将xp从该组试验值
中剔除。
7 10.52 0.066 10.52 0.119
8 10.82 0.366
x 10.45
x 10.40
s= 0.165
s= 0.078
从附录2查取。
(, n)
(1) s (0.05,8) 2.03 0.16 0.320.366 (2) (0.05,7) s 1.94 0.078 0.15220.119
※ 适用场合: 测定次数n >20
※测定次数n <10时，应采用其它准则。如：
格拉布斯准则、狄克逊准则、t检验法等 21
(2) 格拉布斯(Grubbs)准则
序
第一次检验
第二次检验
※ 方法：
号 xi xi x xi xi x
1）计算包括可疑值在内
1 10.29 0.164 10.29 0.111
• 在相同条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号 的变化时大时小，时正时负，没有确定的规律；
• 在一次测定中，是不可预知的，但在多次测定中，其误差 的算术平均值趋于零。
※ 随机误差的来源：偶然因素 ※ 随机误差具有一定的统计规律：
(1) 有界性； (2) 正误差和负误差出现的频数大致相等； (3) 绝对值小的误差比大的误差出现的次数多（收敛性）。 (4) 当测量次数n→∞，误差的算术平均值趋于零（抵偿性1）3 。
用来描述试验结果与真值的接近程度，即反映系统误差和随 机误差合成的大小程度。
16
1.5 试验数据误差的估计与检验
※1 随机误差的估计 对试验值精密度高低的判断：
(1) 极差：指一组试验值中最大值与最小值的差值。
第1章_试验数据的误差分析
1 试验数据的误差分析
1.5 试验数据误差的统计假设检验 1.5.1 随机误差的检验 1.5.1.1 2 检验（ 2-test，卡方检验）
（1）目的： 在试验数据的总体方差2已知的情况下，对试验数据的
随机误差或精密度进行检验。
（2）检验步骤：
①计算统计量 2
若试验数据 x1, x2 , , xn 服从正态分布，则 服从自由度为 df n 1 的 2 分布
2
(n
1)s2
2
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1 试验数据的误差分析
②查临界值 2 (df ) ——显著性水平。一般取0.01或0.05，表示有显著差异的概率
③检验
◈双侧（尾）检验(two-sided/tailed test) ： 若
n
n
等精度试验值；
试验值服从正态分布。
Page 3
1 试验数据的误差分析
1.1.2 平均值(mean)
（2）加权平均值(weighted mean)：
n
xw
w1x1 w2 x2 wn xn w1 w2 wn
wi xi
i 1 n
wi
i 1
加权和 wi——权重
适合不同精度的试验值或可靠性不一致时的场合。
①真值未知，常将Δx与试验值
或平均值之比作为相对误差：
ER
x x
或
x ER x
②可以估计出相对误差 的大小范围：
ER
x xt
x xt max
相对误差限或相对误差上界
∴ xt x(1 ER )
③相对误差常常表示为 百分数（%）或千分数 （‰）。
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1 试验数据的误差分析
例1-3 已知某样品质量的称量结果为：(58.7±0.2g），试 求其相对误差。
实验数据误差分析和数据处理
实验数据误差分析和数据处理数据误差分析是首要的步骤，它通常包括以下几个方面：1.随机误差：随机误差是指在重复实验的过程中，由于个体差异等原因引起的测量结果的离散性。
随机误差是不可避免的，并且符合一定的统计规律。
通过进行多次重复测量，并计算平均值和标准差等统计指标，可以评估随机误差的大小。
2.系统误差：系统误差是由于仪器、测量方法或实验条件所引起的，使得测量结果与真实值的偏离。
系统误差可能是由于仪器刻度的不准确、环境温度的变化等原因导致的。
通过合理校准仪器、控制环境条件等方式可以减小系统误差。
在数据误差分析的基础上，进行数据处理是必不可少的步骤。
数据处理的目的是通过对实验结果的合理处理，得到更为准确的结论。
1.统计处理：统计方法是最常用的数据处理方法之一、通过使用统计学中的概率分布、假设检验、方差分析等方法，可以对实验数据进行科学、客观的分析和处理。
2.回归分析：回归分析是一种通过建立数学模型来研究变量之间关系的方法。
通过对实验数据进行回归分析，可以确定变量之间的数学关系，并预测未知数据。
3.误差传递与不确定度评定：在实验中，不同参数之间的误差如何相互影响，以及这些误差如何传递到最终结果中，是一个重要的问题。
通过不确定度评定方法，可以定量评估各个参数的不确定度，并估计最终结果的不确定度。
4.数据可视化和图表展示：通过绘制合适的图表，可以更直观地展示实验数据的分布规律、趋势以及变化情况。
例如，折线图、散点图、柱状图等可以有效地展示数据的分布和相关关系。
综上所述，实验数据误差分析和数据处理是进行科学研究的重要环节。
准确评估和处理数据误差可以提高实验结果的可靠性和准确性，为研究结果的正确性提供基础。
通过合理选择和应用适当的数据处理方法，可以从实验数据中得出有意义的结论，并为进一步研究提供指导。
误差分析—误差的统计检验(试验设计与数据处理课件)
xp -x 10.82－10.45 0.37 0.32
故10.82这个测定值应该被剔除。
（2）检验10.52
剔除10.82之后，重新计算平均值及标准偏差s ，此时10.52偏差最大，故检验之。
x ' 10.40, s ' 0.078
查秩和临界值表： 根据显著性水平和n1，n2，可查得R1的上下限T2和T1 。
检验： ➢ 如果R1＞T2 或R1 ＜T1，则认为两组数据有显著差异，若一组数据无系统误差，则另一
组数据有系统误差。 ➢ 如果T1＜R1＜T2，则两组数据无显著差异，若一组数据无系统误差，则另一组数据也无
系统误差。
（3）例1-12： 设甲、乙两组测定值为： 甲：8.6，10.0，9.9，8.8，9.1，9.1 乙：8.7，8.4，9.2，8.9，7.4，8.0，7.3，8.1，6.8 已知甲组数据无系统误差，试用秩和检验法检验乙组测定值是否有系统误差。（＝0.05）
该检验法适用于试验次数较多或要求不高时 3s为界时，要求n＞10； 2s为界时，要求n＞5
例1-13： 有一组分析测试数据：0.128，0.129，0.131，0.133，0.135，0.138，0.141，
0.142，0.145，0.148，0.167，问其中偏差较大的0.167这一数据是否应被舍 去? （＝0.01）
① 计算统计量： ❖ 两组数据的方差无显著差异时
t x1 x2 n1n2 s n1 n2
服从自由度 df n1 n2 2 的t分布
s——合并标准差，计算公式为 s (n1 1)s12 (n2 1)s22 n1 n2 2
❖ 两组数据的精密度或方差有显著差异时 t x1 x2 s12 s22 n1 n2
第一章 试验数据的误差分析
2
1.1.2 平均值 （1）算术平均值（arithmetic mean） 算术平均值是最常用的一种平均值。
1 n x xi n i1
x x 在同样的试验条件下，如果多次试验值服从正态 分布，则算术平均值是这组等精度试验值中的最佳 值或最可信赖值。
Monday, February 11, 2019
11
1.2.3 算术平均误差
• 设试验值xi与算术平均值之间的偏差（discrepancy） 为di，则算术平均误差（average discrepancy）定义 式为： n n
1 1 xi x d i n i1 n i1
0.22 0.22 0.141 5 1
21
标准误差s
Monday, February 11, 2019
• 无系统误差
精密度 ：A＞B＞C 正确度： A＝B＝C 准确度： A＞B＞C
Monday, February 11, 2019
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• 有系统误差
精密度 ：A’＞B’＞C’ 正确度： A’＝B’＝C’ 准确度： A’＞B’＞C’
解：w1=1/0.12= 100，w2=1/0.022=2500
8.5 100 8. 53 2500 pH 100 2500 8.53
Monday, February 11, 2019
6
（3）几何平均值（geometric mean） 若一组测定值，取对数后遵从正态分布，则称其遵 循对数正态分布。 此时，则宜使用几何平均值。 求 1, 10, 100的几何均值=？
Monday, February 11, 2019
23
正确度与精密度的关系
第2节 试验数据的误差分析
加错 试剂
看错 砝码
过失误差
丢损
过
试液
失
记录 错误
除了上述两类误差外，往往 还可能由于工作上的粗枝大 叶，不遵守操作规程等而造 等等 成过失。 这不是误差，是责任事故，
应杜绝！ 消除方法：提高工作责任心
过失误差的检验
※ 试验数据中:
– 随机误差应要进行估计 – 系统误差要设法消除 – 不能含有过失误差
• 当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时， 宜采用几何平均值。
• 几何平均值≤算术平均值
（5）调和平均值（harmonic mean）
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 + 1 + ... + 1 n 1
1 = x1 x2
xn = i=1 xi
H
n
n
• 常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 • 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
= i=1
= i=1
n
n
di —— 试验值 xi 与算术平均值 x 之间的偏差
◼ 可以反映一组试验数据的误差大小
4、标准误差 (standard error)
• 当试验次数n无穷大时，总体标准差：
n
n
n
(xi − x)2
xi2 − ( xi )2 / n
= i=1
= i=1
i =1
• 样本方差（ s2 ） • 总体方差（σ2 ） • 方差↓，精密度↑
五、误差的表示
绝对误差和相对误差比较
例题：分析天平称量两物体的质量各为1.6380g和0.1637g，假 定两者的真实质量分别为1.6381g和0.1638g，计算其误差（绝 对误差、相对误差）？
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Tuesday, February 23, 2016
3
（2）加权平均值（weighted mean） 如果某组试验值是用不同的方法获得，或由不同的 试验人员得到的，则这组数据中不同值的精度与可靠度 不一致，为了突出可靠性高的数值，则可采用加权平均
值。计算公式为
xw
wi xi
i 1 n
n
• 算术平均误差可以反映一组试验数据的误差大小， 但无法表达出各试验值间的彼此符合程度。
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12
Er
X 100% X
1.2.4 标准误差（standard error） 标准误差常用来表示试验值的精密度，也称作： ●均方根误差（mean-root-square error） ●标准偏差（standard discrepancy），简称为标 准差（standard deviation）。
14
随机误差是试验过程中一系列偶然因素造成的，
如无规则的温度变化，气压的起伏，电磁场的干扰， 电源电压的波动等，引起测量值的变化。这些因素 不可控制又无法预测和消除。 当测量次数很多时，随机误差就显示出明显的
规律性，大多服从正态分布。因此，增加测量次数
可以减小随机误差，但不能完全消除。
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2 12 / 2 /2
2 12
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28
例1-5：已知仪器检修前总体方差为0.152，依 据仪器检修后所测的的7个试验数据，判断仪器检修 后稳定性是否有了显著变化，若有显著变化，是否显 著提高。 说明：属于双侧检验，若问稳定性是否有显著提 高，则应该用左侧检验。
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11
1.2.3 算术平均误差
• 设试验值xi与算术平均值之间的偏差（discrepancy） 为di，则算术平均误差（average discrepancy）定义 式为： n n
1 1 xi x d i n i1 n i1
绝对误差＝ 试验值－真值 △x＝x－xt
xt ＝x± |△x|
某测量结果为58.7±0.2g，则其所在范围为：
58.5<w<58.9。
若某压强表的精度为1.5级，最大量程为0.4MPa， 则该压强表的绝对误差为：0.4*1.5%=0.006MPa。
若某天平的最小刻度为0.1mg，则该天平的最大绝 Tuesday, February 23, 对误差为0.1mg。（有简单办法使读数精确到0.05吗？） 2016 10
Tuesday, February 23, 2016
26
2
( n1) S 2 2
服从自由度为n 1的 2分布。
close all; x=0:0.001:50; hold on; grid on; y=chi2pdf(x,20); plot(x,y); xlabel('x'); ylabel('f(x)');
n
1 xi
x x
n
i 1
n
1 xi
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8
试比较算术均值、几何均值和调和均值间大小关系？ 对于两个数a和b，其算术均值、几何均值和调和均值各 为多少？
x x
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9
§1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差 （absolute error）
13
§1.3 试验数据误差的来源及分类
根据误差的性质和产生的原因，误差可分为三
类：系统误差、随机误差和过失误差。 1.3.1 随机误差 在相同测量条件下，以不可预知方式变化着的 误差称为随机误差。多次测量同一物理量时，绝对 误差时大时小、时正时负，也叫偶然误差。
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x x
wi
i 1
其中w（weight）为加权系数。
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4
例1-1：对于四组测量数据，假设各组测量结果的可 靠程度仅与测量次数成正比(每组平均值的权值为对应的 试验次数)，求各组的算术均值和测试结果的加权平均值。 解： 组 测量值 算术均值 1 2 3 4 100.357, 100.343, 100.351 100.360, 100.348 100.350,100.344,100.366,100.340,100.345 100.339, 100.350, 100.340 100.350 100.354 100.343 100.343
15
1.3.2系统误差 是指在相同试验条件下，由某个或某些因素按 照某一确定的规律起作用而形成的。系统误差的特 征是具有一定的规律性。 系统误差的来源具有以下几个方面： （1）仪器误差 它是由于仪器本身缺陷或没有按规定条件使用 仪器而造成的误差。（调水平？） （2）理论误差 它是由于测量所依据的理论公式本身的近似性， 或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，或测 量方法不当等所引起的误差。（恒温恒湿？）
第一章 试验数据的误差分析
试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切
科学实验过程中。
●误差(error)：试验中获得的试验值与它的客观真 实值在数值上的不一致。 ●误差分析(error analysis)：对原始数据的可靠性进
行客观的评定。
Tuesday, February 23, 2016
1
第一章 试验数据的误差分析
Tuesday, February 23, 2016
23
正确度与精密度的关系
x2
x1
x3
x4
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精密度高 正确度低
精密度低 正确度高
精密度高 正确度高
图(A)
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图(B)
图 (C)
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§1.5 试验数据误差的统计检验
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1.1.2 平均值 （1）算术平均值（arithmetic mean） 算术平均值是最常用的一种平均值。
1 n x xi n i1
x x 在同样的试验条件下，如果多次试验值服从正态 分布，则算术平均值是这组等精度试验值中的最佳 值或最可信赖值。
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例1-３: 有两组观测数据：
第一组 2.9、3.1、3.0、2.9、3.1
第二组 3.0、2.8、3.0、3.0、3.2
求平均值 x 、算术平均误差、标准误差，并 分析其准确度。 解：
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解：w1=1/0.12= 100，w2=1/0.022=2500
8.5 100 8. 53 2500 pH 100 2500 8.53
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（3）几何平均值（geometric mean） 若一组测定值，取对数后遵从正态分布，则称其遵 循对数正态分布。 此时，则宜使用几何平均值。 求 1, 10, 100的几何均值=？
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16
（3）个人误差
它是由于观测者本人生理或心理特点造成的误 差。如有人用秒表测时间时，总是使之过快。 （4）环境误差 是外界环境性质（如光照、温度、湿度、电磁 场等）的影响而差生的误差。如环境温度升高或降 低，使测量值按一定规律变化。 产生系统误差的原因通常是可以被发现的，原 则上可以通过修正、改进加以排除或减小。
18
§1.4 试验数据的精准度
表示误差性质术语：精密度、正确度和准确度。 （1）精密度 反映随机误差大小。测量结果的重复性、测量数据的 离散程度。一般用极差、标准差或方差描述其高低。 （2）正确度 反映了系统误差大小。算术平均值偏离真值程度。 （3）准确度 反映系统误差和随机误差的综合。准确度高，测量数 据较集中在真值附近。
第一组
算术平均值 x 算术平均误差 标准误差s 3.0
0.1 0.1 0.0 0.1 0.1 0.08 5
0.12 0.12 0.02 0.12 0.12 0.1 5 1
第二组 算术平均值 x 算术平均误差 3.0
0 0.2 0 0 0.2 0.08 5
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17
• 1.3.3 过失误差
由于测量者过失，如操作失误，读错数值或 记错数据等引起的误差，是一种人为的过失误差， 不属于测量误差，只要测量者采用严肃认真的态 度，过失误差是可以避免的。 在数据处理中要把含有粗大误差的异常数据加 以剔除。
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n 2 i 1 i
Sx
1 n 2 1 样本（ sample ）标准差： s x x i X X n 1 n 1 i1
当试验次数n无穷大时，称为总体（population ） 标准差： 1 n 2 x x i n i1
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§1.1 真值与平均值
1.1.1 真值 真值（true value）是指在某一时刻和某一状态下，某量 的客观值或实际值。 真值——无系统误差的情况下，观测次数无限多时所求 得的平均值。但实际测量量总是有限的，故用有限测量所求 得的平均值作为近似真值（或称最可信赖值）。 真值一般是未知的，但从相对的意义上来说，真值又是 已知的，如： （1）平面三角形内角和为1800； （2）国际上公认的计量值，如C的原子量为12； （3）国际标准器(国家级鉴定合格的标准器)作为真值。