人教版九年级数学下册《相似》全章测试
第二十七章 《相似》全章测试
第二十七章 《相似》全章测试一、选择题1．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，DB ＝2，则BCDE的值为( )第1题图A ．32 B ．41 C ．31 D ．21 2．如图所示，△ABC 中DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论中正确的是( )第2题图A ．21=BC DE B ．21=∆∆的周长的周长ABC ADEC ．的面积的面积ABC ADE ∆∆31=D ．的周长的周长ABC ADE ∆∆31=3．如图所示，在△ABC 中∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于E 点，则下列结论正确的是( )第3题图A ．△AED ∽△ACB B ．△AEB ∽△ACDC ．△BAE ∽△ACED ．△AEC ∽△DAC4．如图所示，在△ABC 中D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，6=BC ，AC ＝3，则CD 长为( )第4题图A ．1B ．23 C ．2 D ．25 5．若P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，截得的三角形与原△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6．如图所示，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( )第6题图A ．BC DEDB AD =B ．AD EF BC BF = C ．FC BF EC AE =D ．BCDE AB EF =7．如图所示，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于P 点，则下列结论正确的是( )第7题图A ．P A ·AB ＝PC ·PB B ．P A ·PB ＝PC ·PD C ．P A ·AB ＝PC ·CD D ．P A ∶PB ＝PC ∶PD 8．如图所示，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，对于下列中的每一个条件第8题图①∠B ＋∠DAC ＝90° ②∠B ＝∠DAC ③CD ：AD ＝AC ：AB ④AB 2＝BD ·BC 其中一定能判定△ABC 是直角三角形的共有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个二、填空题9．如图9所示，身高1.6m 的小华站在距路灯杆5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AB 为______．图910．如图所示，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点，且61EB AE ，射线CF 交AB 于E 点，则FDAF等于______．第10题图11．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AE ∶EB ＝2∶3，若△AED 的面积是4m 2，则四边形DEBC 的面积为______．第11题图12．若两个相似多边形的对应边的比是5∶4，则这两个多边形的周长比是______． 三、解答题13．已知，如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1．(1)求证：△ABD ∽△CBA ；(2)作DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．14．已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝4cm，DB＝9cm，求CB的长．15．如图所示，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，试在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△A1B1C1(A1，B1，C1三点都在格点上)，并求出这个三角形的面积．16．如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标．17．如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点．(1)求∠D 的度数；(2)求证：AC 2＝AD ·CE ．18．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上的一个动点(不与B ，C 点重合)，∠ADE ＝45°．(1)求证：△ABD ∽△DCE ；(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； (3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．19．已知：如图，△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 边上的一个动点，DE ∥BC ，连结DC ，设△ABC 的面积为S ，△DCE 的面积为S ′．(1)当D 为AB 边的中点时，求S ′∶S 的值； (2)若设,,y SS x AD ='=试求y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围．20．已知：如图，抛物线y ＝x 2－x －1与y 轴交于C 点，以原点O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于另一点D ．设点P 为抛物线y ＝x 2－x －1上的一点，作PM ⊥x 轴于M 点，求使△PMB ∽△ADB 时的点P 的坐标．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知关于x 的二次函数y ＝x 2＋(k －1)x ＋2k －1的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，－3)． 求这个二次函数的解析式及A ，B 两点的坐标．22．如图所示，在平面直角坐标系xOy 内已知点A 和点B 的坐标分别为(0，6)，(8，0)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P ，Q 移动的时间为t 秒．(1)求直线AB 的解析式；(2)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似? (3)当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位?23．已知：如图，□ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAD ＝120°，E 为BC 上一动点(不与B 点重合)，作EF ⊥AB 于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE ＝x ，△DEF 的面积为S ．(1)求证：△BEF∽△CEG；(2)求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；(3)当E点运动到何处时，S有最大值，最大值为多少?答案与提示第二十七章 相似全章测试1．C ． 2．D ． 3．C ． 4．C ． 5．C ． 6．C ． 7．B ． 8．A ．9．4．8m ． 10．⋅3111．21m 2． 12．5∶4．13．(1),BABDCB AB =CBA ABD ∠=∠，得△HBD ∽△CBA ； (2)△ABC ∽△CDE ，DE ＝1.5．14．.cm 133提示：连结AC ．15．提示：.52,10,25111111===C B B A C A △A 1B 1C 1的面积为5． 16．C (4，4)或C (5，2)．17．提示：(1)连结OB ．∠D ＝45°．(2)由∠BAC ＝∠D ，∠ACE ＝∠DAC 得△ACE ∽△DAC ．18．(1)提示：除∠B ＝∠C 外，证∠ADB ＝∠DEC ．(2)提示：由已知及△ABD ∽△DCE 可得.22x x CE -=从而y ＝AC －CE ＝x 2－.12+x (其中20<<x )．(3)当∠ADE 为顶角时：.22-=AE 提示：当△ADE 是等腰三角形时， △ABD ≌△DCE ．可得.12-=x 当∠ADE 为底角时：⋅=21AE 19．(1)S ＇∶S ＝1∶4；(2)).40(41162<<+-=x x x y 20．提示：设P 点的横坐标x P ＝a ，则P 点的纵坐标y P ＝a 2－a －1．则PM ＝｜a 2－a －1｜，BM ＝｜a －1｜．因为△ADB 为等腰直角三角形，所以欲使△PMB ∽△ADB ，只要使PM ＝BM .即｜a 2－a －1｜＝｜a －1｜．不难得a 1＝0．.2.2.2432-===a a a∴P 点坐标分别为P 1(0，－1)．P 2(2，1)．).21,2().21,2(43+--P P 21．(1)y ＝x 2－2x －3，A (－1，0)，B (3，0)；(2))49,43(-D 或D (1，－2)． 22．(1);643+-=x y(2)1130=t 或;1350(3)t ＝2或3． 23．(1)略；(2));30(8311832≤<+-=x x x S (3)当x ＝3时，S 最大值33=．。
九年级数学下册第二十七章《相似》测试题-人教版(含答案)
九年级数学下册第二十七章《相似》测试题-人教版（含答案）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.1.如图，四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，则下列角的度数正确的是( )A.81D ∠=︒B.83F ∠=︒C.78G ∠=︒D.91H ∠=︒2.若线段a b c d ，，，成比例，且5cm 2.5cm 8cm a b c ===，，，则d 等于( ) A.2 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm3.已知ABC A B C '''∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，若10AD =，6A D ''=，则ABC 与A B C '''的周长比是( )A.3:5B.9:25C.5:3D.25:94.如图，小明为了测量大楼MN 的高度，在离N 点20 m 的A 处放了一个平面镜，小明沿射线NA 的方向后退1.5 m 到C 点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M 点，已知小明的眼睛（点B ）到地面的高度BC 是1.6 m ，则大楼MN 的高度（精确到0.1 m ）约是( )A.18.75 mB.18.8 mC.21.3 mD.19 m5.如图，直线123////l l l ，直线AC 分别交直线1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C ，直线DF 分别交直线1l 、2l 、3l 于点D 、E 、F ，直线AC 、DF 交于点P ，则下列结论错误的是( )A.AB DEBC EF= B.PA PDPC PF= C.PA PEPB PF= D.PB ACPE DF=6.如图，下列四个选项中的结论不一定成立的是( )A.COD AOB∽ B.AOC BOD∽ C.DCA BAC∽ D.PCA PBD∽7.如图，在ABC中，ABC C∠=∠，将ABC绕点B逆时针旋转得到DBE，点E在AC上，若3ED=，1EC=，则EB=( )A.3B.32C.312+D.28.如图，点A在第一象限内，AB x⊥轴于点B，以点O为位似中心，把AB缩小为原来的1 2得到A B''（AB与A B''在点O的两侧）.若把点O向上平移2个单位长度，得到点O'，再以点O'为位似中心，把AB缩小为原来的12得到A B''''（AB与A B''''在点O'的两侧），则A'与A''之间的距离为( )A.2B.2.5C.3D.49.如图，直线////a b c，ABC的边AB被这组平行线截成四等份，ABC的面积为32，则图中阴影四边形DFIG 的面积是( )A.12B.16C.20D.2410.将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B '，折痕为EF .已知6AB AC ==，8BC =，若以点B '，F ，C 为顶点的三角形与ABC 相似，那么BF 的长度是( )A.247B.4C.127或2 D.4或247二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.如图，在平面直角坐标系中，已知(1,0)A ，(3,0)D ，ABC 与DEF 位似，原点O 是位似中心.若 1.3AB =，则DE =______________.12.如图，在ABC 中，AB AC ≠，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，3AC AD =，3AB AE =，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：_____________，可以使得FDB 与ADE 相似.（只需写出一个）13.如图，在Rt ABC 中，904ACB AB ∠=︒=，，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2,3DB AD AE EC ==，连接BE 、CD ，相交于点O ，则ABO 面积的最大值为________.14.如图，在ABC 中，点D 为AC 边上一点，且12CD AD =，过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，连接CE ，过点D 作//DF CE 交AB 于点F .若15AB =，则EF =________.15.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()()4,00,4-，，点()3C n ，在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_______________.三、解答题：本题共2小题，第一小题10分，第二小题15分，共25分.16.如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上的A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ，再将镜子放到C 处，后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得2AC =m, 2.1BD = m ，小明的眼睛距地面的高度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE .17.回答下列问题：问题背景 如图（1），已知ABC ADE ∽，求证：ABD ACE ∽；尝试应用 如图（2），在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒，AC 与DE 相交于点F .点D 在BC 边上，3AD BD =DFCF的值； 拓展创新 如图（3），点D 是ABC 内一点，30BAD CBD ∠=∠=︒，90BDC ∠=︒，4AB =，23AC =AD 的长.参考答案1.答案：A 解析：四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，78B F ∴∠=∠=︒，118A E ∠=∠=︒，83C G ∠=∠=︒，360781188381D H ∴∠=∠=︒-︒-︒-︒=︒.故选A.2.答案：B 解析：线段a b c d ，，，成比例，a cb d∴=，5cm a =， 2.5cm b =，8cm c =，582.5d∴=，4cm d ∴=，故选B.3.答案：C 解析：ABC A B C '''∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，10AD =，6A D ''=，ABC ∴与A B C '''的周长比:10:65:3AD A D ===''.故选C.4.答案：C解析：BC CA ⊥，MN AN ⊥，90C MNA ∴∠=∠=︒.BAC MAN ∠=∠，BCA MNA ∴∽，BC AC MN AN ∴=，即1.6 1.520MN =， 1.620 1.521.3MN ∴=⨯÷≈（m ），即大楼MN 的高度约为21.3 m.故选C. 5.答案：C解析：123////l l l ，AB DE BC EF ∴=，A 中结论正确，不符合题意；PA PDPC PF=，B 中结论正确，不符合题意；PA PD PB PE =，C 中结论错误，符合题意；PB PC PA PE PF PD ==，PB AC PE DF∴=，D 中结论正确，不符合题意.故选C. 6.答案：C解析：OCD OAB ∠=∠，COD AOB ∠=∠， COD AOB ∴∽.ACO BDO ∠=∠，AOC BOD ∠=∠，AOC BOD ∴∽.180PCA ACD ∠+∠=︒，180ACD ABD ∠+∠=︒， PCA PBD ∴∠=∠，又P P ∠=∠，PCA PBD ∴∽.故选C.7.答案：A解析：由旋转可得ABC DBE ≌，BC BE ∴=,3DE AC ==，C BEC ∴∠=∠.又ABC C ∠=∠，ABC BEC ∴∠=∠，又C C ∠=∠，ABC BEC ∴∽，EC BCBC AC∴=，即2BC CE CA =⋅，BC ∴=，BE ∴.故选A.8.答案：C解析：如图，连接A A '''，由题意易知A B ''和A B ''''都与AB 平行，且在同一条直线上，////A A AB OO ''''∴.由题意知，OA B OAB ''∽△△，12OA A B OA AB '''∴==，23OA AA ∴='.//A A OO ''''，AO O AA A ''''∴∽△△，23OO OA A A AA '∴==''''，2OO '=，3A A '''∴=.9.答案：B 解析：直线////a b c ，ABC 的边AB 被这组平行线截成四等份，14AD AB ∴=，34AF AB =，ADG ABC ∽，AFI ABC ∽，211()416ADG ABCS S∴==，239()416AFI ABCS S==.ABC 的面积为32，1216ADGABCS S ∴==，91816AFIABCSS ==，18216AFIADGS SS∴=-=-=阴影.故选B.10.答案：D 解析：ABC 沿EF 折叠后点B 和'B 重合，BF B F '∴=.设(0)BF x x =>，则8CF x =-.要使B FC '与ABC 相似，只需B FC C '∠=∠或FB C C '∠=∠.当B FC C '∠=∠时，B FC ABC '∽，B F CF AB BC ∴='，6AB =，8BC =，868x x -∴=，解得247x =，即247BF =；当FB C C ∠'=∠时，FB C ABC '∽，FB FC AB AC ∴='，即866x x-=，解得4x =，即4BF =，故4BF =或247.故选D. 11.答案：3.9 解析：(1,0)A ，(3,0)D ，1OA ∴=，3OD =.ABC 与DEF 位似，//AB DE ∴，ABO DEO ∴∽，AB OA DE OD ∴=，即1.313DE =，解得 3.9DE =.12.答案：A BDF ∠=∠(或A BFD ∠=∠或ADE BFD ∠=∠或ADE BDF ∠=∠或//DF AC 或BD BF AE ED =或BD BFDE AE=) 解析：3AC AD =，3AB AE =，13AD AE AC AB ∴==，又A A ∠=∠，ADE ACB ∴∽，AED B ∴∠=∠. 故要使FDB 与ADE 相似，只需再添加一角相等，或夹角的两边成比例即可. 13.答案：83解析：本题考查平行线分线段成比例、三角形面积公式.如图,过点D 作//DF AE 交BE 于点F ,则21.,2,33DF BD EC DF EC DO AE BA AE ===∴=∴=222,,,33ADO ADC BDO OC DO DC S S S ∴=∴==22,90,33.BDC ABO ABC S S S ACB ︒∴=∠=∴点C 在以AB 为直径的圆上,设圆心为G ,当CG AB ⊥时，ABC 的面积最大,最大面积为1424,2⨯⨯=此时ABO 面积的最大值为284.33⨯=14.答案：103解析：//,AD AEDE BC AC AB∴=. 12,23CD AD AD AC =∴=，即23AE AB =. 15,10AB AE =∴=.//,AF AD DF CE AE AC ∴=，即2103AF =，解得203AF =， 则20101033EF AE AF =-=-=.故答案为103. 15.答案：2.8解析：本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、相似三角形的判定与性质如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，//CD x ∴轴， CAO ACD∠∠∴=，又DEC OEA ∠∠=，DEC OEA ∴~，2,BCA CAO BCD ACD ∠∠∠∠=∴=，BD DE ∴=，设BD DE x ==，则42OE x =-DC DE OA OE ∴=即3442xx=-，解得 1.2x =， 242 1.6, 1.2 1.6 2.8OE x n OD DE OE ∴=+=∴==+=+=.16.答案：如图，设E 关于O 的对称点为M ，延长GC 与FA ，易知GC 、FA 的延长线相交于点M ，连接GF 并延长，交OE 于点H .易知//GF AC ，MAC MFG ∴∽， AC MA MOFG MF MH∴==， AC OE OE OEBD MH MO OH OE BF ∴===++， 21.62.1OE OE ∴=+， 32OE ∴=.答：楼的高度OE 为32 m. 17.答案：问题背景 证明：ABC ADE ∽，AB ACAD AE∴=，BAC DAE ∠=∠， AB ADAC AE∴=，BAD CAE ∠=∠， ABD ACE ∴∽.尝试应用连接CE ，设BD t =，则AD =. 易得ADE ABC ∽，AB ACAD AE∴=， AB ADAC AE∴=. 又BAC DAE ∠=∠， BAD CAE ∴∠=∠， ACE ABD ∴∽，CE AC BD AB ∴=，CE ∴=，3ADCE∴==.ADE ABC ∠=∠，ABC ACE ∠=∠，30ACE ADE ∴∠=∠=.又AFD EFC ∠=∠， ADF ECF ∴∽，3DF ADCF CE∴==. 拓展创新 AD.解法提示：过点D 作AD 的垂线交AB 于点M ，连接CM . 易证ADB MDC ∽，AB ADCM MD∴==30DMC DAB ∠=∠=，CM ∴=，90AMC AMD DMC AMD DAB ∠=∠+∠=∠+∠=，AM ∴=，cos AD AM MAD ∴=⋅∠。
第二十七章 相似单元测试卷(含答案)
人教版数学九年级下册第二十七章《相似》测试卷[时间：100分钟 满分：120分]一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列说法正确的是( ) A. 所有的矩形都是相似形B. 有一个角等于100°的两个等腰三角形相似C. 对应角相等的两个多边形相似D. 对应边成比例的两个多边形相似2. 下列四条线段中，不是成比例线段的为( )A. a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4B. a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10C. a ＝1，b ＝2，c ＝6，d ＝ 3D. a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝2 3 3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，BC ＝12，则DE 的长是( )A. 3B. 4C. 5D. 6第3题 第4题4. 如图，已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形，它们的位似中心是( ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D5. 如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (4，4)，B (6，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 和D 的坐标分别为( )A. (2，2)，(3，2)B. (2，4)，(3，1)C. (2，2)，(3，1)D. (3，1)，(2，2)第5题第6题6. 如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE=1∶2，则下列等式一定成立的是()A. BCDF=12B.AD的度数的度数=12C. ABCDEF的面积的面积=12错误!未找到引用源。
D.ABCDEF的周长的周长=127. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是()A. (6，0)B. (6，3)C. (6，5)D. (4，2)第7题第8题8. 如图，CD是☉O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是()A. AE>BEB. AD=BCC. ∠D=12∠AEC D. △ADE∽△CBE9．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC＝2 ：3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF的值是()A. 2 ：5 ：25B. 4 ：9 ：25C. 2 ：3 ：5D. 4 ：10 ：25第9题第10题10. 如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形，PQ与AC相交于点M，则下列结论中正确的是()①AB∥CQ；②∠ACQ=60°；③AP2=AM·AC；④若BP=PC，则PQ⊥AC.A. 只有①②B. 只有①③C. 只有①②③D. ①②③④二、填空题(每小题3分，共24分)11. 在比例尺为1∶40000的地图上，某条道路的长为7 cm，则该道路的实际长度是km.12. 如图，∠DAE＝∠BAC＝90°，请补充一个条件：________________，使Rt△ABC∽Rt△ADE.第12题第13题13. 如图，在ABCD中，E在DC上，若DE ：EC＝1 ：2，则BF ：BE＝________.14. △OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(4，6)，B(3，0)，以O为位似中心，将△OAB缩小为原来的12，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标为.15. 如图，点D，E分别在AB，AC上，且∠ABC＝∠AED.若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为．第15题第16题16. 如图，一条4 m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为m2.17. 如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶3，点A 的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________．第17题第18题18．如图，A，B，C，D依次为一直线上4个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD＝120°，设AB＝x，CD＝y，则y与x的函数关系式为________．三、解答题(共66分)19. (8分)如图，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=117°，△ABC∽△DAC.(1)求∠ACB的度数；(2)求CD的长.20．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，BD＝2.过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE＝∠B.求线段EC的长度．21. (8分)如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F.(1)证明：FD=AB；(2)当平行四边形ABCD的面积为8时，求△FED的面积.22．(10分)如图，明珠大厦的顶部建有一直径为16 m的“明珠”，它的西面45 m处有一高16 m 的小型建筑CD，人站在CD的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须往西至少再走12 m．求大厦主体建筑的高度AE(不含顶部的“明珠”部分的高度)．23. (10分)(1)如图(1)，△ABC内接于☉O，且AB=AC，☉O的弦AE交BC于D.求证：AB·AC=AD·AE；(2)在(1)的条件下当弦AE的延长线与BC的延长线相交于点D时，如图(2)，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明.若不成立，请说明理由.24．(10分)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O 于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P.(1)若PC＝PF，求证：AB⊥DE；(2)点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？25. (12分)在△ABC中，P为边AB上一点.(1)如图1，若∠ACP=∠B，求证：AC2=AP·AB；(2)若M为CP的中点，AC=2.如图2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的长.。
人教新版数学九年级下册《相似》习题含答案
人教版初中数学九年级第二十七章-相似-及习题-含答案第二十七章相似本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．(1)求证CD CE AC CB=；(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．分析利用△CDE∽△CAB，可证明CD CE AC CB=．证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CD CE AC CB=.解：(2)∵AE＝8，OC＝12，∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．又∵CD CE AC CB=，∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．连接OB，在△OBC中，OB＝12AE＝4，OC=12，∴8＜BC＜16．【解题策略】将证CD CEAC CB=转化为证明△CDE∽△CAB.专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】证明形如22a cb d=，33a cb d=或abcdef=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a cb d=，可设法证a cb x=，a xb d=，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。
人教版九年级下册数学《第27章相似》单元测试含答案试卷分析解析
第27章相似一、选择题1.如果a=3，b=2，且b是a和c的比例中项，那么c=（）A. B. C. D.2.已知△ABC∽△DEF，面积比为9：4，则△ABC与△DEF的对应边之比为（）A. 3：4B. 2：3C. 9：16D. 3：23.已知△ABC∽△A′B′C′，sinA=m，sinA′=n，则m和n的大小关系为（）A. m＜nB. m＞nC. m=nD. 无法确定4.已知△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，则△ABC与△DEF的对应高之比为（）A. 2：3B. 3：2C. 4：9D. 9：45.三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示。
若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A. 5：2B. 2：5C. 4：25D. 25：46.如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（）．A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 3：27.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A. B. C. D.8.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A. B. C. D.9.如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ, △DKM, △CNH 的面积依次为S1，S2，S3。
若S1+ S3=20，则S2的值为( )A. 8B. 10C. 12D.10.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CD=6，BD=4，则AB的长为（）A. 10B. 11C. 12D. 1311.如图，∠1=∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（）A. ∠D=∠BB. ∠E=∠CC.D.12.如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则球拍击球的高度h为（）A. 0.6mB. 1.2mC. 1.3mD. 1.4m二、填空题13.在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是________ ．14.已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为________ cm．15. 已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是 ________．16.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB=2，BC=4，BD=1.5，则线段BE的长为________ ．17.如图，在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D为AC上一点，DC=AC．在AB上取一点E得△ADE．若图中两个三角形相似，则DE的长是________ ．18.在比例尺为1：6000的地图上，图上尺寸为1cm×2cm的矩形操场，实际尺寸为________．19.已知△ABC中的三边a=2，b=4，c=3，h a，h b，h c分别为a，b，c上的高，则h a：h b：h c=________．20.有一张矩形风景画，长为90cm，宽为60cm，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%．若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm，左、右边衬的宽都为bcm，那么ab=________ cm221.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=6，则AE=________．22. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．如图，线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则AP n的长度是________．三、解答题（共3题；共15分）23.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）连接FG，如果α=45°，AB=4，BG=3，求FG的长．24.如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长BC=20米，斜坡坡面上的影子CD=8米，太阳光AD与水平地面BC成30°角，斜坡CD与水平地面BC成45°的角，求旗杆AB的高度．（=1.732，=1.414，=2.449，精确到1米）．25.又到了一年中的春游季节．某班学生利用周末去参观“三军会师纪念塔”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；甲：我们的身高都是1.6m；乙：我们相距36m．请你根据两位同学的对话，计算纪念塔的高度．（精确到1米）26. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．27. 如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B﹣A ﹣C运动到点C时停止运动．设点P出发x s时，△PBC的面积为y cm2．已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：（1）试判断△DOE的形状，并说明理由；（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？参考答案一、选择题C D C A B B B D A D D D二、填空题13.1：314.415.（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）16.317.6或818.60m×120m19.6：3：420.5421.222.三、解答题23.证明：（1）∵∠DME=∠A=∠B=α，∴∠AMF+∠BMG=180°﹣α，∵∠A+∠AMF+∠AFM=180°，∴∠AMF+∠AFM=180°﹣α，∴∠AFM=∠BMG，∴△AMF∽△BGM；（2）解：当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC，∵M为AB的中点，∴AM=BM=2，∵△AMF∽△BGM，∴，∴AF===，AC=BC=4•cos45°=4，∴CF=AC﹣AF=4﹣=，CG=BC﹣BG=4﹣3=1，∴FG== =．24.解：延长AD交BC于E点，则∠AEB=30°，作DQ⊥BC于Q，在Rt△DCQ中，∠DCQ=45°，DC=8，∴DQ=QC=8sin45°=8×=4，在Rt△DQE中，QE=≈9.8（米）∴BE=BC+CQ+QE≈35.5（米）在Rt△ABE中，AB=BEtan30°≈20（米）答：旗杆的高度约为20米．25.解：如图，CD=EF=BH=1.6m，CE=DF=36m，∠ADH=30°，∠AFH=30°，在Rt△AHF中，∵tan∠AFH=，∴FH=，在Rt△ADH中，∵tan∠ADH=，∴DH=，而DH﹣FH=DF，∴﹣=36，即﹣=36，∴AH=18，∴AB=AH+BH=18+1.6≈33（m）．答：纪念塔的高度约为33m．26.（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴，又∵，∴，∴=1．27.（1）解：△DOE是等腰三角形．理由如下：过点A作AM⊥BC于M，∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，∴AM= × = a，AC=AB= a，∴S△ABC= BC•AM= a2，∴P在边AB上时，y= •S△ABC= ax，P在边AC上时，y= •S△ABC= a2﹣ax，作DF⊥OE于F，∵AB=AC，点P以1cm/s的速度运动，∴点P在边AB和AC上的运动时间相同，∴点F是OE的中点，∴DF是OE的垂直平分线，∴DO=DE，∴△DOE是等腰三角形（2）解：由题意得：∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，∴AM= × = a，∴AB= a，∴D（a，a2），∵DO=DE，AB=AC，∴当且仅当∠DOE=∠ABC时，△DOE∽△ABC，在Rt△DOF中，tan∠DOF= = = a，由a=tan30°= ，得a= ，∴当a= 时，△DOE∽△ABC．第11页共11页。
最新人教版九年级数学下册第二十七章-相似单元测试试题(含解析)
人教版九年级数学下册第二十七章-相似单元测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（）A．2：3 B．4：9 C D．16：812、如图，已知直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则DF 的长是（）A．92B．4 C．6 D．23、一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它的长是26cm，那么它的宽是（）cmA．B．26 C．D．134、某校开展“展青春风采，树强国信念”科普阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接顶点AB ，AC ，ACB ∠的平分线交边AB 于点D ，则点D 就是线段AB 的一个黄金分割点，即0.618AD AB≈，已知10cm AC =，那么该正五边形的周长为（ ）A ．19．1cmB ．25cmC ．30．9cmD ．40cm5、如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝4，CD ＝12，那么EF 的长是（ ）A ．2B ．2.5C ．2.8D ．36、在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的两个点，并且DE ∥BC ，AD ：BD ＝3：2，则ADE 与四边形BCED 的面积之比为（ ）A ．3：5B ．4：25C ．9：16D ．9：257、在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ．BC ＝8，则AC ＝（ ）A ． 4B ． 4C ．16D ．128、如图, 点 E 是线段 BC 的中点, B C AED ∠∠∠==, 下列结论中, 说法错误的是（ ）A ．ABE △ 与 ECD 相似B ．ABE △ 与 AED 相似C ．AB AE AE AD = D ．BAE ADE ∠=∠9、如图，线段AB 两个端点的坐标分别为(6,6)A ，(8,2)B ，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为（ ）A ．(3,3)B ．(4,3)C ．(3,1)D ．(4,1) 10、如图，H 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，且12AH DH =，BH 与AC 相交于点K ，那么AK ：KC 等于（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知O是坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上，OA=1，OB=2，若点D在x轴下方，且使得△AOB和△OAD相似（不包括全等），则点D的坐标为__________．2、如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点；下列结论：①∠AMD=45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3;④S△ACD＝2S△DNE．其中正确的结论有 _____．（填写序号即可）3、如图，在ABC中，D为AB边上的一点，要使BAC EAD△∽△成立，还需要添加一个条件，你添加的条件是__________4、如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 为AB 上一点，4BD AD =，连接CD ，45BCD ︒∠=，132AC =，则BC 的长为________．5、若3x ＝7y ，则x y＝_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、小豪为了测量某塔高度，把镜子放在离塔（AB ）50m 的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到塔尖A ，再测得DE ＝2.4m ，小豪目高CD ＝1.68m ，求塔的高度AB ．2、阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P 是线段AB 上一点（AP ＞BP ），若满足BP AP AP AB=，则称点P 是AB 的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．（1）理解：如图（1），请将内角分别36°，36°，108°的等腰三角形分割成三个“黄金三角形”，并标出每个“黄金三角形”内角的度数；（2）运用：如图（2），已知等腰三角形ABC 为“黄金三角形”，AB=AC ，∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线．求证：点D 是AC 的黄金分割点．3、如图，在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过点C 作射线CP AB ∥，D 为射线CP 上一点，E 在边BC 上（不与,B C 重合）且45DAE ∠=︒，AC 与DE 交于点O ．（1）求证：ADC AEB △△；（2）求证：ADE ACB ；（3）如果CD CE =，求证：2CD CO CA =．4、如图，在ABCD 中，BE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，且:1:2AE EB =．（1）求证：AEF CDF∽△△；（2）求AEF与AFD的面积比．5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC BC＝DF＝CE的长．---------参考答案-----------一、单选题1、B【解析】【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，∴这两个相似多边形的相似比是2：3，∴它们的面积比是4：9，故选B．【点睛】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．2、A【解析】【分析】由直线////a b c，根据平行线分线段成比例定理，即可得AC BDCE DF=，又由4AC=，6CE=，3BD=，即可求得DF的长即可．【详解】解：////a b c，∴AC BDCE DF=，4AC=，6CE=，3BD=，∴436DF=， 解得：92DF =，故选择A ．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．3、D【解析】【分析】根据一种数学课本的宽与长之比为黄金比，即可得到宽：长:1=⎝⎭，由此求解即可． 【详解】解：∵一种数学课本的宽与长之比为黄金比，∴宽：长:1=⎝⎭， ∵长是26cm ，∴宽2613==，故选D ．【点睛】本题主要考查了黄金比，解题的关键在于能够熟练掌握黄金分割比例．4、C【解析】【分析】根据正五边形各边相等，各内角相等，得到ADC AEC ≅△△ ，得到AE AD = ，再根据0.618AD AB≈求出AD 即可求解 ．【详解】解：∵正五边形每个内角＝540=1085︒︒ ，每条边相等，AB AC = ， ∴108AEC ECB ∠=∠=︒ ，∵AE EC = ， ∴180108362EAC ECA ︒-︒∠=∠==︒ ， ∴1083672ACB ECB ECA ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ，∵DC 为∠ACB 的平分线，∴1362ACD ACB ∠=∠=︒ ， ∵AB AC = ，∴72ABC ACB ∠=∠=︒ ， ∴36BAC ∠=︒ ， ∵AC AC = ，∴()ADC AEC ASA ≅ ， ∴AE AD = ， ∵0.618ADAB≈，10cm AB AC ==， ∴100.618 6.18cm AE AD ==⨯= ， ∴该五边形周长=6.185=30.9cm ⨯ ， 故选：C ． 【点睛】本题考查正多边形的性质，三角形全等的判定与性质，黄金比例，通过全等求出正五边形边长是解题关键． 5、D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定得出△DEF ∽△DAB ，△BFE ∽△BDC ，根据相似得出比例式，求出1EF EFAB DC+=，代入求出即可． 【详解】解：∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥EF ∥CD ，∴△DEF ∽△DAB ，△BFE ∽△BDC ， ∴EF DF AB BD =，EF BFDC BD =， ∴1EF EFAB DC+=， ∵AB =4，CD =12， ∴EF =3， 故选：D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，能根据相似三角形的性质得出比例式是解此题的关键． 6、C 【解析】 【分析】根据题意先判断△ADE ∽△ABC ，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行分析计算即可得到结论． 【详解】 解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∵AD ：BD ＝3：2， ∴:3:5AD AB =， ∴22:3:59:25ADE ABCSS==，∴ADE 与四边形BCED 的面积之比为9：16.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，注意掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方．7、A【解析】【分析】根据两角对应相等，判定两个三角形相似．再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出AC的长．【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=180362︒-︒=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠BDC=∠ABD+∠A=72°，∴∠BDC=∠C=72°，∴AD=BD=BC=8．∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共角，∴△ABC∽△BDC，∴BC ACCD BC=，即888ACAC=-，整理得：AC2-8AC-64=0，解方程得：AC AC舍去)，故选：A．本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出AC 的长． 8、D 【解析】 【分析】根据外角的性质可得BAE DEC ∠=∠，结合已知条件即可证明ABE ECD ∽△△，从而判断A ，进而可得AB AEEC ED=，根据E 是中点，代换BE CE =，进而根据两边成比例夹角相等可证ABE △∽AED ，进而判断B ，C ，对于D 选项，利用反证法证明即可． 【详解】解：AEC BAE B AED DEC ∠=∠+∠=∠+∠，AED B ∠=∠BAE DEC ∴∠=∠又B C ∠=∠ABE ECD ∴∽故A 选项正确ABE ECD ∽△△AB AEEC ED∴= E 为BE 的中点∴BE CE =AB AEBE ED∴= 又B AED ∠=∠∴ABE △∽AED故B 、C 选项正确ABE △∽AEDDAE BAE ∴∠=∠若BAE ADE ∠=∠ 则DAE ADE ∠=∠AE DE ∴=根据现有条件无法判断AE DE =，故BAE ADE ∠∠≠ 故D 选项不正确 故选：D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9、A 【解析】 【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C 点坐标． 【详解】解：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半， ∴端点C 的坐标为：（3，3）． 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．10、C【解析】【分析】根据AH=12DH求出AH：AD即AH：BC的值是1：3，再根据相似三角形对应边成比例求出AK：KC的值．【详解】解：∵AH=12DH，∴AH：AD=13，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴AH：BC=1 3∴△AHK∽△CBK，∴13 AK AHKC BC==故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，比例式的变形是解题的关键．二、填空题1、（0，-12）或（1，-12）或（15，25-）或（45，25-）．【解析】【分析】点D 在y 轴上，根据△AOB ∽△DOA ，可得BO OA AO OD=，即211OD =；当点D 在过点A 平行y 轴的直线上，根据△AOB ∽△D 1AO ，1BO OA OA D A =，即1211D A =；当点D 2在AD 上，作D 2E ⊥x 轴于E ，OD 2⊥AD 于D 2，在Rt △AOB 中，ABOD 2A ∽△AOB ，2BO ABAD OA =，即22AD △D 2EA ∽△DOA ，22AD D E AE AD AO OD ==2112D E AE ==，求出AE =45，D 2E =25，当点D 3在0D 1上，作D 3F ⊥x 轴于F ，AD 3⊥OD 1于D 3，根据△OD 3A ∽△BOA ，3BO ABOD AO =，即32OD，3OD =△D 3FO ∽△D 1AO ，3311OD D F OF OD OA AD ==3112D F OF ==，求出OE =45，D 3F =25即可． 【详解】解：点D 在y 轴上，△AOB ∽△DOA ， ∴BO OA AO OD=，即211OD =，解得OD =12， 点D （0，-12）；当点D 在过点A 平行y 轴的直线上，△AOB ∽△D 1AO ，∴1BO OA OA D A =，即1211D A =， 解得D 1A =12， 点D 1（1，-12）；当点D 2在AD 上，作D 2E ⊥x 轴于E ，OD 2⊥AD 于D 2，在Rt △AOB 中，AB= ∵△OD 2A ∽△AOB ，∴2BO AB AD OA =，即22AD =∴2AD =在Rt △OAD 中，AD= ∵D 2E ⊥x 轴于E ，，OD ⊥x 轴， ∴D 2E∥OD ，∴∠AD 2E =∠ADO ，∠D 2EA =∠DOA =90°， ∴△D 2EA ∽△DOA ，∴22AD D EAE AD AO OD ==2112D E AE ==， ∴AE =45，D 2E =25，∴OE =OA -AE =1-45=15，∴D 2（15，25-）当点D 3在OD 1上，作D 3F ⊥x 轴于F ，AD 3⊥OD 1于D 3， ∵△OD 3A ∽△BOA ，∴3BO AB OD AO =，即32OD ，∴3OD =在Rt △OAD 1中，0D 1=， ∵D 3F ⊥x 轴于F ，OD ⊥x 轴， ∴D 3F∥OD ，∴∠OD 3F =∠QD 1A ，∠D 3FO =∠D 1AO =90°， ∴△D 3FO ∽△D 1AO ，∴3311OD D F OF OD OA AD ==3112D FOF ==， ∴OE =45，D 3F =25，∴D 3（45，25-）；△AOB 和△OAD 相似（不包括全等），则点D 的坐标为（0，-12）或（1，-12）或（15，25-）或（45，25-）． 故答案为（0，-12）或（1，-12）或（15，25-）或（45，25-）．【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，勾股定理，掌握三角形相似判定与性质是解题关键．2、①②③【解析】【分析】①利用ASA证明△BDN≌△CDM，再证明△DMN是等腰直角三角形，即可判断结论①正确；②过点D作DF⊥MN于点F，则∠DFE＝90°＝∠CME，可利用AAS证明△DEF≌△CEM，即可判断结论②正确；③先证明△BDE∽△CME，可得出CMEM＝BDDE＝2，进而可得CM＝2EM，NE＝3EM，即可判断结论③正确；④先证明△BED≌△CAD（ASA），可得S△BED＝S△CAD，再证明BN＜NE，可得S△BDN＜S△DEN，进而得出S△BED＜2S△DNE，即可判断结论④不正确．【详解】解：①∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠ADC=90°，∵∠ABC=45°，∴BD=CD，∵BM⊥AC，∴∠AMB=∠ADC=90°，∴∠A+∠DBN=90°，∠A+∠DCM=90°，∴∠DBN=∠DCM，∵DN⊥MD，∴∠CDM+∠CDN=90°，∵∠CDN+∠BDN=90°，∴∠CDM=∠BDN，∴△BDN≌△CDM（ASA），∴DN =DM ，∵∠MDN =90°，∴△DMN 是等腰直角三角形，∴∠DMN =45°，∴∠AMD =90°-45°=45°，故①正确；②如图1，由（1）知，DN =DM ，过点D 作DF ⊥MN 于点F ，则∠DFE =90°=∠CME ，∵DN ⊥MD ，∴DF =FN ，∵点E 是CD 的中点，∴DE =CE ，在△DEF 和△CEM 中，DEF CEM DFE CME DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DEF ≌△CEM （AAS ），∴ME =EF ，CM =DF ，∴FN =CM ，∵NE-EF=FN，∴NE-EM=MC，故②正确；③由①知，∠DBN=∠DCM，又∵∠BED=∠CEM，∴△BDE∽△CME，∴CMEM＝BDDE＝2，∴CM=2EM，NE=3EM，∴EM：MC：NE=1：2：3，故③正确；④如图2，∵CD⊥AB，∴∠BDE=∠CDA=90°，由①知：∠DBN=∠DCM，BD=CD，∴△BED≌△CAD（ASA），∴S△BED=S△CAD，由①知，△BDN≌△CDM，∴BN=CM，∴BN=FN，∴BN＜NE，∴S△BDN＜S△DEN，∴S△BED＜2S△DNE．∴S△ACD＜2S△DNE．故④不正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．3、AED ABC∠=∠∠=∠或ADE ACB【解析】【分析】根据图形可以看出两个三角形有一个公共角A∠，相似证明中，有两个角对应相等即可证明两三角形相似，即添加对应角相等即可．【详解】解：由图可知，在BAC EAD∠=∠△与△中，BAC EAD∴添加的条件为：AED ABC∠=∠∠=∠或ADE ACB故答案为：AED ABC∠=∠∠=∠或ADE ACB【点睛】本题主要考查三角形相似的判定，掌握判定相似的条件是解题的关键．4、【分析】过A点作AH⊥BC，过D点作DE⊥BC，得到BH=CH，△ABH∽△DBE，设BC=10a，求出BE=4a、DE=6a，根据Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2，求出a，故可求解．【详解】过A点作AH⊥BC，过D点作DE⊥BC∵AB AC=∴BH=CH，设BC=10a∴BH=CH=5a∵132AC==AB，4BD AD=∴BD=426 55 AB=∵AH⊥BC，DE⊥BC ∴DE∥AH∴△ABH∽△DBE∴AB HBDB EB=∵4BD AD=∴5=4 AB HB DB EB=∴BE=4a∴CE=10a-4a=6a∵45BCD︒∠=，DE⊥BC∴∠CDE=180°-45°-90°=45°∴△ADE是等腰直角三角形∴DE=CE=6a在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2即（265）2=（6a）2+（4a）2解得a∴BC=10a=故答案为：【点睛】此题主要考查三角形内线段求解，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及勾股定理的运用．5、7 3【解析】【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可进行解答．【详解】解：若3x＝7y，则73 xy故答案为：7 3【点睛】此题主要考查比例的基本性质，掌握比例的性质是解题的关键．三、解答题1、35m【解析】【分析】根据题意得：∠ABE=∠CDE=90°，BB=50m BE=50m，由光的反射定律得：∠AEB=∠CED，从而得到△ABE∽△CDE，再由相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠ABE=∠CDE=90°，BE=50m，由光的反射定律得：∠AEB=∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴BBBB=BBBB，∴BB1.68=502.4，解得：BB=35m，即塔的高度为35m．【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，明确题意，准确得到相似三角形是解题的关键．2、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据“黄金三角形”的定义进行分割即可；（2）证明△CBD∽△CAB，结合图形、根据黄金分割的定义判断即可．【详解】解：（1）如图，（2）∴∠ABC=∠C=72°又∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°∴∠BDC=180°－∠C－∠CBD＝72°∴AD＝BD，BC＝BD即AD＝BC＝BD·又∵∠C＝∠C，∠CBD＝∠A∴△CBD∽△CAB∴BBBB=BBBB∴BBBB=BBBB·即D点是AC的黄金分割点【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB 和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题的关键．3、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据题意先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB；（2）根据题意由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合∠DAE=∠CAB=45°得证结果；（3）根据题意结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求证．【详解】解：（1）证明：∵ABC是等腰直角三角形，∴∠BBB=∠B=45°，∵∠BBB=45°，BB∥BB，∴∠BBB=∠BBB，∠BBB=∠BBB=∠B=45°，∴ΔBBB∼ΔBBB；（2）证明：∵ΔBBB∼ΔBBB∴BBBB=BBBB，即BBBB=BBBB，∵∠BBB=∠BBB=45°，∴ΔBBB∼ΔBBB；（3）∵∠BBB=45°,∠BBB=90°，∴∠BBB+∠BBB=180°−90°−45°=45°，∵CD CE=，∴∠BBB=∠BBB=22.5°，∵ΔBBB∼ΔBBB，∴∠BBB=∠BBB=90°，∴∠BBB=180°−∠BBB−∠BBB−∠BBB=180°−90°−22.5°−45°=22.5°∴∠BBB=∠BBB，又∵∠BBB=∠BBB，∴ΔBBB∼ΔBBB，∴BBBB=BBBB，∴2CD CO CA=【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似．4、（1）见解析；（2）1:3【解析】【分析】（1）由ABCD得出BB∥BB，由平行线的性质得∠BBB=∠BBB，∠BBB=∠BBB，即可证明△BBB∼△BBB；（2）由:1:2AE EB=得出BB:BB=1:3，由相似三角形的性质得BBBB =BBBB=13由BE AB⊥得∠BBB=90°，由三角形的面积公式得B△BBB=12×BB×BB，B△BBB=12×BB×BB，即可求出B△BBB:B△BBB．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BB ∥BB ，∴∠BBB =∠BBB ，∠BBB =∠BBB ，∴△BBB ∼△BBB ；（2）∵BB :BB =1:2，∴BB :BB =BB :BB =1:3，∵△BBB ∼△BBB ，∴BB BB =BB BB =13，∵BB ⊥BB ，∴∠BBB =90°，∵B △BBB =12×BB ×BB ，B △BBB =12×BB ×BB ，∴B △BBB :B △BBB =BB :BB =1:3．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，掌握相似三角形的判定定理以及性质是解题的关键．5、（1）1；n m ；（2）①n m ；②n m ；（3）CE =CE =【解析】【分析】（1）先用等量代换判断出ADE CDF ∠=∠，A DCB ∠=∠，得到ADE ∽CDF ，再判断出ADC ∽CDB △即可；（2）方法和()1一样，先用等量代换判断出ADE CDF ∠=∠，A DCB ∠=∠，得到ADE ∽CDF ，再判断出ADC ∽CDB △即可；（3）由()2的结论得出ADE ∽CDF ，判断出2CF AE =，求出DE ，再利用勾股定理，计算出即可．【详解】解：()1当m n =时，即：BC AC =，90ACB ∠=，90A ABC ∴∠+∠=，CD AB ⊥，90DCB ABC ∴∠+∠=，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠=，FDE CDE ADC CDE ∴∠-∠=∠-∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴∽CDF ，DE AD DF DC∴=， A DCB ∠=∠，90ADC BDC ∠=∠=，ADC ∴∽CDB △，1AD AC DC BC ∴==，1DE DF∴= ()290ACB ∠=①，90A ABC ∴∠+∠=，CD AB ⊥，90DCB ABC ∴∠+∠=，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠=，FDE CDE ADC CDE ∴∠-∠=∠-∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴∽CDF ，DE AD DF DC∴=， A DCB ∠=∠，90ADC BDC ∠=∠=，ADC ∴∽CDB △，AD AC n DC BC m ∴==，DE n DF m∴= ②成立.如图3，90ACB ∠=，90A ABC ∴∠+∠=，又CD AB ⊥，90DCB ABC ∴∠+∠=，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠=，FDE CDE ADC CDE ∴∠+∠=∠+∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴∽CDF ，DE AD DF DC∴=， A DCB ∠=∠，90ADC BDC ∠=∠=，ADC ∴∽CDB △，AD AC n DC BC m∴==， DE n DF m∴=． ()3由()2有，ADE ∽CDF ， 12DE AC DF BC ==， 12AD AE DE CD CF DF ∴===， 2CF AE ∴=，如图4图5图6，连接EF ．在Rt DEF △中，DE =DF =EF ∴= ①如图4，当E 在线段AC 上时，在Rt CEF 中，())222CF AE AC CE CE ==-=，EF =根据勾股定理得，222CE CF EF +=，)22[2]40CE CE ∴+=CE ∴=CE =舍) ②如图5，当E 在AC 延长线上时，在Rt CEF 中，())222CF AE AC CE CE ==+=，EF = 根据勾股定理得，222CE CF EF +=，)22[2]40CE CE ∴+=，CE ∴CE =-舍)，③如图6，当E 在CA 延长线上时，在Rt CEF 中，()(222CF AE CE AC CE ==-=，EF =根据勾股定理得，222CE CF EF +=，(22[2]40CE CE ∴+=，CE ∴=CE =，综上：CE =CE =【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE 是本题的难点．。
最新人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》检测(含答案解析)
一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别为,AB BC的中点，则三角形BEF与多边形EFCDA的面积之比为（）A．1∶4 B．1∶5 C．1∶7 D．1∶82．如图，在平行四边形ABCD中，:2:1AE BE=，F是AD的中点，射线EF与AC交于点G，与CD的延长线交于点P，则AGGC的值为（）．A．5:8B．3:8C．3:5D．2:53．如图，在ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①12DEBC=；②12SS=△DOE△COB；③AD OEAB OB=；④16ODEADCSS=△△．其中结论正确的是（）．A．①②B．①③C．①②③D．①③④4．如图，练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝6，则线段AC的长为（）A ．12B ．18C ．24D ．305．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使3OA OD =，3OB OC =），然后张开两脚，使A 、B 两个尖端分别在线段I 的两个端点上．若12AB cm =，则CD 的长是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm6．如图，在ABC 中，//DE BC ，6AD =，3DB =，4AE =，则AC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．67．下列条件中，不能判断△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A ．∠A =∠D ，∠B =∠F B ．BC ACEF DF=且∠B =∠D C ．AB BC ACDE EF DF== D ．AB ACDE DF=且∠A =∠D 8．已知a 3b 4=，则下列变形错误的是（ ） A ．34a b= B ．34a b = C ．4a=3b D ．43b a =9．如图在ABC 中，其中D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且31AD =，29DB =，30AE =，32EC =．若50A ∠=︒，则图中1∠、2∠、3∠、4∠的大小关系正确的是（ ）．A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．23∠∠=D ．14∠<∠10．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且51AB =+，则AP 的长为（ ）．A ．2B ．51-C ．2或51-D ．35-11．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为72,63︒︒，则另一个三角形的最小内角为（ ） A ．72︒B ．63︒C ．45︒D ．不能确定12．如图，11AOB 与22A OB 位似，位似中心为O 且11AOB 与22A OB 在原点O 的两侧，若11AOB 与22A OB 的周长之比为1：2，点1A 的坐标为()1,2-，则点1A 的对应点2A 的坐标为（ ）A ．()1,4-B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()2,1-二、填空题13．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点G ，则EDG BDG S S ∆∆：＝__________．14．如图，直线////AF BE CD ，直线AC 交BE 于B ，直线FD 交BE 于E ，2AB cm =，1BC cm =， 1.8EF cm =，求DE 的长为______cm ．15．如图所示，在△ABC 中DE ∥BC ，若2EFB EFD S S ∆∆=，则 DE:BC=______．16．如图，在正方形ABCD 中，15AB =，点,E F 分别为AB ，DC 上的点，将正方形沿EF 折叠，使点A 落在A '处，点D 落在D 处，FD '交BC 于点G ，A D ''交BC 于点H ，若10DF =，203CG =，则BH 的长为___________．17．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，EC ＝2BE ，连接AE 交BD 于点F ，若△BFE 的面积为2，则△AFD 的面积为_____．18．如图，ED 为△ABC 的中位线，点G 是AD 和CE 的交点，过点G 作GF ∥BC 交AC 于点F ，如果GF ＝4，那么线段BC 的长是________．19．若()0a b a c b ck k c b a+++===≠， 则k 的值为______． 20．若233a b c==，且233a b c ++=，则a b c -+=__________． 三、解答题21．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是CD 中点，点P 在射线AB 上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F ．（1）求证：PAF AED △∽△；（2）连接PE ，若存在点P 使PEF 与AED 相似，直接写出PA 的长____．22．如图，在等边ABC ∆中，点D 是边AC 上一动点（不与点,A C 重合），连接BD ，作AH BD ⊥于点H ，将线段AH 绕点A 逆时针旋转60︒至线段AE ，连接CE （1）①补全图形；②判断线段BH 与线段CE 的数量关系，并证明； （2）已知4AB =，点M 在边AB 上，且1BM =，作直线HE ．①是否存在一个定点P ，使得对于任意的点D ，点P 总在直线HE 上，若存在，请指出点P 的位置，若不存在，请说明理由； ②直接写出点M 到直线HE 的距离的最大值．23．如图，在ABC ∆中，AD 平分,BAC E ∠是AD 上一点，且BE BD =． （1）求证：ABE ACD ∆~∆； （2）若E 是线段AD 的中点，求BDCD的值．．24．如图，已知点O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为（3，－1），（2，1）．（1）以O 点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的△OB ꞌC ꞌ；（2）若△OBC 内部一点M 的坐标为（a ，b ），则点M 对应点M ′的坐标是 ； （3）求出变化后△OB ꞌC ꞌ的面积 ．25．阅读下面材料 （问题情境）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①．在△ABC 中，若AB =8，AC =6，求BC 边上的中线AD 取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE =AD ，请根据小明方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC ≌△EDB 的理由是（ ） A ．SSS B ．SAS C ．AAS D ．HL （2）由三角形三边的关系可求得AD 长的取值范围是（ ）A ．6＜AD ＜8B ．6≤AD ≤8C ．1＜AD ＜7 D ．1≤AD ≤7 （解后感悟）解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到一个三角形中． （灵活运用）如图②，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE =EF 若EF =4，EC =3，求线段BF 的长．26．如图，在ABC 中，D 为BC 上一点，BAD C ∠=∠．（1）求证：C ABD BA ∽△△． （2）若6,3AB BD ==，求CD 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C【分析】连接AC ，根据中位线定理得//EF AC ，12EF AC =，即可由BEF BAC ，根据相似比求出面积比，设BEFS k =，则4BACSk =，再用k 表示出多边形EFCDA 的面积，即可求出结果． 【详解】解：如图，连接AC ，∵E 、F 分别是AB 和BC 的中点， ∴//EF AC ，12EF AC =， ∴BEFBAC ，∴221124BEF BAC S EF SAC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设BEFSk =，则4BACSk =， ∴3AEFC BACBEFS S Sk =-=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴4ACDBACSSk ==，∴7EFCDA AEFC ACDS S S k =+=，∴::71:7BEFEFCDA SS k k ==．故选：C ． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方的性质．2．D解析：D 【分析】证明AFE △≌△()DFP AAS ，推出=AE DP ，由:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =，推出3AB CD k ==，5PC k =，由//AE BC ，可得AG AEGC CP=的值． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴//AB PC ，AB CD =，∴AEF P ∠=∠，∵AFE DFP ∠=∠，AF DF =， ∴AFE △≌△()DFP AAS ， ∴=AE DP ，∵:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =， ∴3AB CD k ==，5PC k =， ∵//AE BC ，∴2255AG AE k GC CP k ===， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用已知条件证明三角形全等、利用参数解决问题，属于中考常考题型．3．D解析：D 【分析】先判断DE 为ABC 的中位线，则根据三角形中位线性质得到//DE BC ，12DE BC =，于是可对①进行判断；证明DOE △∽COB △，利用相似比得到12OE DE OD OB BC OC ===，14DOE COB S S =△△，则可对②进行判断；加上12AD AB =，则可对③进行判断；利用三角形面积公式得到13ODE DCE S S =△△，12DCE ADC S S =△△，则可对④进行判断． 【详解】解：∵BE 、CD 为ABC 的中线， ∴DE 为ABC 的中位线， ∴//DE BC ，12DE BC =，所以①正确； ∵//DE BC ， ∴DOE △∽COB △，∴12OE DE OD OB BC OC ===，214DOE COB S DE S CB ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，所以②错误； ∵12AD AB =， ∴AD OEAB OB=，所以③正确；∵:1:2OD OC =，∴13ODE DCE S S =△△， ∵AE CE =，∴12DCE ADC S S =△△， ∴16ODE ADC S S =△△，所以④正确． 故选D ． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质和判定定理．4．C解析：C 【分析】根据已知图形构造相似三角形，进而得出△ABD ∽△ACE ，即可求出AC 的长． 【详解】 解：如图所示：过点A 作平行线的垂线，交点分别为D ，E ，可得： △ABD ∽△ACE ， 则AB ADAC AE=， 即628AC =， 解得：AC=24， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABD ∽△ACE 是解题关键．5．B解析：B 【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解. 【详解】∵OA =3OD ，OB =3OC ， ∴3OA OBOD OC==， ∵AD 与BC 相交于点O ， ∴∠AOB =∠DOC ， ∴△AOB ∽△DOC ， ∴3AB OADC OD==， ∵12AB cm =∴CD=12433AB ==cm, 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.6．D解析：D 【分析】根据平行线分线段成比例求出EC ，即可解答． 【详解】 解：∵DE ∥BC ，∴AD AEDB EC =，即643EC =， 解得：EC=2，∴AC=AE+EC=4+2=6； 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理．7．B解析：B 【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：A 、A D ∠=∠，B F ∠=∠，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DFE ∽△△，故此选项不合题意；B 、BC ACEF DF=，且B D ∠=∠，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；C 、AB BC AC DE EF DF==，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；D 、AB AC DE DF=且A D ∠=∠，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 8．A解析：A【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【详解】 解：由34a b =得，4a=3b ， A 、由等式性质可得：ab=12，原变形错误，故这个选项符合题意；B 、由等式性质得到4a=3b ，原变形正确，故这个选项不符合题意；C 、由等式性质可得：4a=3b ，原变形正确，故这个选项不符合题意；D 、由等式性质可得：4a=3b ，原变形正确，故这个选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查比例的性质．熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据31AD =，30AE =，可得21∠<∠；根据题意，通过计算AB 和CD ，可得12AD AE AC AB ，即证明ADE ACB ∽，即可得到各个角度的大小关系． 【详解】∵31AD =，30AE =∴21∠<∠∵31AD =，29DB =，30AE =，32EC =∴60AB AD BD =+=，62AC AE EC =+= ∴12ADAE AC AB∵50A ∠=︒∴ADE ACB ∽∴14∠=∠，23∠∠=∴13∠>∠，24∠<∠故选：C ．【点睛】 本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．10．C解析：C【分析】若点P 是靠近点B 的黄金分割点，则AP AB =，然后代入数据计算即可；若点P 是靠近点A 的黄金分割点，先求出BP ，再利用线段的和差即可求出AP ．【详解】解：若P 是靠近点B 的黄金分割点，则)12AP AB ===；若P 是靠近点A 的黄金分割点，则)12BP AB ===，∴121AP AB BP =-=-=；故选：C ．【点睛】是解题的关键． 11．C解析：C【分析】根据相似三角形的性质、三角形的内角和定理可得出另一个三角形的三个内角度数，由此即可得．【详解】由相似三角形的性质得：另一个三角形的两个内角分别为72,63︒︒，则另一个三角形的第三个内角为180726345︒-︒-︒=︒，因此，另一个三角形的最小内角为45︒，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．12．B解析：B【分析】根据位似变换的概念得到△A 1OB 1∽△A 2OB 2，△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：∵△A 1OB 1与△A 2OB 2位似，∴△A 1OB 1∽△A 2OB 2，∵△A 1OB 1与△A 2OB 2的周长之比为1：2，∴△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，∵A 1的坐标为（-1，2），△A 1OB 1与△A 2OB 2在原点O 的两侧，∴点A 1的对应点A 2的坐标为（2，-4），故选：B ．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．二、填空题13．1：2【分析】设△ABC 的面积为1ΔEDG 的面积为xΔBDG 的面积为y 则由题意可得关于xy 的二元一次方程组解方程组得到xy 的值后可得问题解答【详解】解：设△ABC 的面积为1ΔEDG 的面积为xΔBDG解析：1：2【分析】设△ABC 的面积为1，ΔEDG 的面积为x ，ΔBDG 的面积为y ，则由题意可得关于x 、y 的二元一次方程组，解方程组得到x 、y 的值后可得问题解答．【详解】解：设△ABC 的面积为1，ΔEDG 的面积为x ，ΔBDG 的面积为y ，∵DE 为三角形ABE 的中位线，∴三角形DEB 的面积为三角形ABE 面积的一半或者三角形ABC 面积的四分之一， ∴x+y=14， 又由题意可得：△DGE ∽△CGB ， ∴214DGE CGB S DE S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 即()111442CBD GBD x S S y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∴ 1184x y =-，所以有：141184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解之得： 11216x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1112126EDG BDG S S x y ===：：：：， 故答案为1：2．【点睛】本题考查三角形中线、中位线的应用和相似三角形的判定及性质，熟练掌握“三角形中线把三角形分成面积相等的两部分”和相似三角形的判定及性质是解题关键 ．14．09【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可【详解】解：∵∴即：∴DE=09cm 故答案为：09【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理熟练运用定理是解答此题的关键解析：0.9【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵////AF BE CD ， ∴AB EF BC DE= 即：2 1.8=1DE∴DE=0.9cm故答案为：0.9【点睛】 此题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用定理是解答此题的关键15．1:2【分析】由可得DF ：FB=1:2又由DE ∥BC 可得△DFE 和△BFC 相似确定DE:BC 【详解】解：设为1则为2∵∴DF ：FB=1:2又∵DE ∥BC ∴△DFE ∽△BFC ∴DE:BC=DF:FB=解析：1:2【分析】由2EFB EFD S S ∆∆=，可得DF ：FB=1:2，又由DE ∥BC ，可得△DFE 和△BFC 相似，确定DE:BC.【详解】解：设EFD S ∆为1，则EFB S ∆为2，∵2EFB EFD S S ∆∆=，∴DF ：FB=1:2，又∵DE ∥BC ，∴△DFE ∽△BFC ，∴DE:BC=DF:FB=1：2故答案为1:2【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于根据面积比确定边长的比. 16．【分析】根据正方形的性质得到AB=AD=DC=BC=15∠A=∠D=∠C=∠B=90°根据折叠的性质得到∠D=∠D´=90°DF=DF´=10根据勾股定理可得FC 的长从而得到D´G 根据相似三角形的判 解析：254【分析】根据正方形的性质得到AB=AD=DC=BC=15，∠A=∠D=∠C=∠B=90°，根据折叠的性质得到∠D=∠D´=90°，DF=DF´=10，根据勾股定理可得FC 的长，从而得到D´G ，根据相似三角形的判定得到△HGD´∽△FGC ，从而得到HG GD FG GC '=，可得HG 的长，由BH=BC-HG-CG 即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD=DC=BC=15，∠A=∠D=∠C=∠B=90°，由折叠的性质，得∠D=∠D´=90°，DF=DF´=10，在Rt △FCG 中，FC=DC-DF=15-10=5，CG=203，∴253==， ∴D´G=D´F-FG=10-253=53， ∵∠D´=∠C=90°，∠HGD´=∠FGC ，∴△HGD´∽△FGC ， ∴HG GD FG GC'=，∴HG=255·253320123FG GDGC=='⨯，∴BH=BC-HG-CG=15-2512-203=254．故答案为254．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质及正方形的性质．证得△HGD´和△FGC相似是解题的关键．17．18【分析】根据平行四边形的性质可得BC∥AD进而可判定△ADF∽△EBF 然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△AFD的面积【详解】解：∵ABCD是平行四边形∴AD∥BCAD＝BC∴△A解析：18【分析】根据平行四边形的性质可得BC∥AD，进而可判定△ADF∽△EBF，然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△AFD的面积．【详解】解：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△ADF∽△EBF，∵EC＝2BE，∴BC＝3BE，即AD＝3BE，∴S△AFD＝9S△EFB＝18．故答案为：18．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．18．12【分析】先判断点G为△ABC的重心得到AG=2GD再证明△AGF∽△ADC 然后利用相似比求出CD的长从而得到BC的长【详解】解：∵ED为△ABC的中位线∴DE//ACDE=ADCE为△ABC的中解析：12．【分析】先判断点G为△ABC的重心得到AG=2GD，再证明△AGF∽△ADC，然后利用相似比求出CD 的长，从而得到BC的长．【详解】解：∵ED为△ABC的中位线，∴DE//AC ，DE=12AC ，AD 、CE 为△ABC 的中线， ∴△DEG ∽△ACG ∴12DG DE AG AC == ∴AG=2GD ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ADC ， ∴23GF AG CD AD ==， ∴CD=32GF=32×4=6， ∴BC=2CD=12．故答案为12．【点睛】 本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了三角形中位线和相似三角形的判定与性质．19．或2【分析】根据等式的性质可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ）根据因式分解可得a+b+c=0或k=2根据分式的性质可得答案【详解】解：由得b+c=ak①a+c=bk②a+b=ck③①+②+③得2（解析：1-或2【分析】根据等式的性质，可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），根据因式分解，可得a+b+c=0或k=2，根据分式的性质，可得答案．【详解】 解：由()0a b a c b c k k c b a+++===≠,得 b+c=ak ①，a+c=bk ②，a+b=ck ③，①+②+③，得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），移项，得2（a+b+c ）-k （a+b+c ）=0，因式分解，得（a+b+c ）（2-k ）=0a+b+c=0或k=2，当0a b c ++=时，a b c +=-， 1a b c k c c+-===-， ∴1k =-或2．故答案为：1-或2．【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出2（a+b+c ）=k （a+b+c ）是解题关键，又利用了分式的性质．20．66【分析】设a=2kb=3kc=3k 代入求出k 值进而求得abc 然后代入所求代数式中求解即可【详解】解：由可设a=2kb=3kc=3k 代入得：4k+3k+3k=33解得：k=33∴a=66b=c=9解析：6.6【分析】设a=2k ，b=3k ，c=3k ，代入233a b c ++=，求出k 值，进而求得a 、b 、c ，然后代入所求代数式中求解即可．【详解】 解：由233a b c ==可设a=2k ，b=3k ，c=3k ， 代入233a b c ++=得：4k+3k+3k=33，解得：k=3.3，∴a=6.6，b=c=9.9， ∴a b c -+=a =6.6，故答案为：6.6．【点睛】本题考查了比例的性质、代数式求值，熟练掌握比例的性质，巧妙设参是解答的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）2或5【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．（2）分两种情形：当PA=PB=2时，易知PE ∥AD ，此时∠DAE=∠PEF ，∠D=∠PFE=90°，可得△PEF ∽△EAD ．当∠AED=∠PEF ，∠D=∠PFE 时，△ADE ∽△PFE ，分别求解即可．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中，90D ∠=︒，//CD AB ，∴DEA PAE ∠=∠．∵PF AE ⊥，∴D AFP ∠=∠．∴PAF AED △∽△．（2）当PA=PB=2时，∵DE=EC ，AP=PB ，∴PE ∥AD ，此时∠DAE=∠PEF ，∠D=∠PFE=90°，可得△PEF ∽△EAD ．当∠AED=∠PEF ，∠D=∠PFE 时，△ADE ∽△PFE ，∵CD ∥AB ，∴∠AED=∠EAP=∠AEP，∴PA=PE，∵PF⊥AE，∴AF=FE，∵AD=4，DE=EC=2，∠D=90°，∴2222AE DE AD，2425=+=+=∴5AF=，∵△PAF∽△AED，∴PA AF=，AE DE∴5=，25∴PA=5，综上所述，满足条件的PA的值为2或5．故答案为：2或5．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．=，证明见解析；（2）①存在，点P是边BC的中22．（1）①见解析；②BH CE点；②3【分析】（1）①按要求画出图形即可；②根据全等三角形对应边相等来回答；（2）①点P为直线HE与BC的交点；②通过△BPM∽△BAP问题可解；【详解】（1）①如图；=②BH CE∆≅∆即可证明ABH ACE（2）①存在点P是边BC的中点，理由：设直线HE 与边BC 交于点P可由60ACB AEP ︒∠=∠=得点,,,A E C P 共圆，因为90AEC ︒∠=，所以90APC ︒∠=，即P 是BC 的中点．②如图， 当MP ⊥HE 时，MP 最大，理由：4,2,1AB BP BM ===， BM BP BP AB ∴=， B B ∠∠=，∴△BPM ∽△BAP ，∴∠BMP=∠BPA=90︒ ，2222213BP BP BP ∴=-=-=【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，旋转，相似三角形的判定和性质，勾股定理和圆的有关知识知识，综合性较强．23．（1）见解析；（2）12 【分析】（1）根据三角形相似的判定定理，即可得证；（2）根据△ABE ∽△ACD ，可得：AE BE AD CD =，再由等量代换即可求解. 【详解】（1）∵BE=BD ，∴∠BED=∠BDE ，∴∠AEB=180°－∠BED=180°－∠BDE=∠ADC ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAE=∠CAD ，∴△ABE ∽△ACD ；（2）∵△ABE ∽△ACD ， ∴AE BE AD CD =， ∵E 是线段AD 的中点，1=2AE BE AD CD = ∵BE=BD ，∴1=2BD CD 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键.24．（1）见解析；（2）（－2a ，－2b ）；（3）10【分析】（1）把B 、C 的横纵坐标都乘以-2得到B′、C′的坐标，然后描点即可；（2）利用（1）中对应点的关系求解；（3）先计算△OBC 的面积，然后利用相似的性质把△OBC 的面积乘以4得到△OB ꞌC ꞌ的面积．【详解】（1）如下图，△OB ꞌC ꞌ为所作；（2）点M 对应点M ′的坐标为（－2a ，－2b ）；（3）''11144(23212131)10222OB C OCB S S ∆∆==⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=． 【点睛】本题考查了作图、位似变换，熟练应用以原点为位似中心的两位似图形对应点的坐标的关系确定变换后对应点的坐标，然后描点得到变换后的图形．25．(1)B ；（2）C ；应用：7．【分析】(1)由已知AD 是△ABC 的中线，和作图延长AD 到点E ，使DE =AD ，CD=BD, ∠ADC=∠EDB, AD=DE 得到△ADC ≌△EDB (SAS) 即可，(2) 由△ADC ≌△EDB ，则BE=AC=6，AE=2AD ，AB=8，在ΔABE 中，AB-BE<AE<AB+BE ，即则2<2AD<14即可，【灵活运用】延长AD 到G ，使DG=AD ，连接BG ，由（1）知△ADC ≌△GDB ，BG=AC=AE+EC=7 ∠G=∠DAC 可以判定BG ∥AC ，由∠BFG=∠AFE ，得ΔGBF ∽ΔAEF ，由性质BG BF AE EF=． 【详解】(1)由已知AD 是△ABC 的中线，和作图延长AD 到点E ，使DE =AD ，CD=BD, ∠ADC=∠EDB, AD=DE 得到△ADC ≌△EDB (SAS)故选择：B ，(2) 由△ADC ≌△EDB ，则BE=AC=6，AE=2AD ，AB=8，在ΔABE 中，AB-BE<AE<AB+BE ，即AB-BE=8-6=2，AB+BE=14，则2<2AD<14，1<AD<7故选择：C ，灵活运用延长AD 到G ，使DG=AD ，连接BG ，由（1）知△ADC ≌△GDB ，BG=AC=AE+EC=7，∠G=∠DAC ，BG ∥AC ，∠BFG=∠AFE ，ΔGBF ∽ΔAEF ，BG BF AE EF=， 744BF =， BF=7．【点睛】本题考查中线加倍问题，由中线加倍，利用SAS 推出三角形全等，把问题转化为三角形中的问题，用三角形的三边关系，确定取值范围，由△ADC ≌△GDB ，∠G=∠DAC 可以判定BG ∥AC ，由∠BFG=∠AFE ，得ΔGBF ∽ΔAEF ，用相似三角形的性质解决问题． 26．（1）证明见解析．（2）9．【分析】(1)根据两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；(2)根据C ABD BA ∽△△求得BC=12，根据DC=BC-BD 即可求出答案．【详解】（1）如图所示：,BAD C B B ∠=∠∠=∠，∴C ABD BA ∽△△．（2）ABD CBA ∽，AB BD BC AB ∴=，即636BC =， 解得：12BC =，1239DC BC BD ∴=-=-=．【点睛】 此题考查相似三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．。
人教版九年级数学下册第27章《相似》单元检测及答案(2021新)
12.【答案】∵BC= AC，∴ ，∵AD∥BE∥CF，∴ ，∵DE=4，∴EF=2．故答案为：2．
13.【答案】因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，
因为S△ABC：S△DEF=2：9=（2：3）2，
所以△ABC与△DEF的相似比为2：3，
（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
第27章《相似》单元测试卷解析
一、选择题
1.【答案】∵2x=5y，∴ ．故选B．
2.【答案】设 =k，
则a=2k，b=3k，c=4k，
D、∠A=∠E且 不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；
故选：C．
4.【答案】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，
∵BE=CE，∴AB=2BE，
又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN
∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+ DM2=1，解得DM= ；
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，CP:CA=CQ:CB，即(20-4t)：20=2t：15，解得t=3秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，CP:CB=CQ:CA，即(20-4t)：15=2t：20，解得t= 秒．
因此t=3秒或t= 秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
②DM与BE是对应边时，DM= DN，∴DM2+DN2=MN2=1，
即DM2+4DM2=1，解得DM= ．∴DM为 或 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．