第九章_Black-Scholes模型的拓展(金融衍生品定价理论讲义)
期权定价模型：Black-Scholes期权定价模型 期货理论与实务 (金融期货) 教学课件
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
四、证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、
方差率为 2S2的伊藤过程来表示：
dSSdtSdz
两边同除以S得：
dSdtdz （6.6）
S
则： SS tS z （6.12）
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假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
d f( S fS ft1 2 S 2f22S2)d t S fS（d 6.z 13） f ( S fS ft 1 2 S 2f22 S 2 ) t S fS票遵循几何布朗运动， 其波动率为每年18%，预期收益率以连 续复利计为每年20%，其目前的市价为 100元，求一周后该股票价格变化值的概 率分布。
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五、伊藤引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函 数G将遵循如下过程： dG ( G xa G t1 2 2 xG 2b2)d t G xb（d6z.8）
由于 dSSdtSdz （6.9）
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循 如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22S2)d t G SSd (6.1z0)
i1
当0时，我们就可以得到极限的标准布
朗运动： dz dt
（6.3）
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BLACK-SCHOLES模型
BLACK-SCHOLES模型介绍BLACK-SCHOLES模型是金融学中一个重要的数学模型，用于定价欧式期权。
它由费希尔·布莱克（Fischer Black）和默顿·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年提出，1973年诺贝尔经济学奖授予了这个发现。
BLACK-SCHOLES模型是金融工程领域的重要里程碑，它为衍生证券的定价提供了一个强大而准确的工具。
原理与假设BLACK-SCHOLES模型的核心思想是基于偏微分方程构建的，通过对期权价格进行分析，得出隐含在期权价格中的一些参数，如股价、时间、利率等。
该模型建立在以下假设的基础上：1. 市场是完全有效的，不存在任何交易成本和税收，并且投资者可以自由买卖证券。
2. 市场不存在任何风险溢价，即投资者对风险是中立的。
3. 股票价格服从几何布朗运动，即股票价格变动符合随机游走的过程。
模型的计算公式BLACK-SCHOLES模型将期权定价问题转化为一个偏微分方程的求解问题。
模型的核心公式如下：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-rt) * N(d2)其中：- C表示期权的价格（call option）；- S_0表示标的资产的当前价格；- N表示标准正态分布的累积分布函数；- d1 = (ln(S_0/X) + (r + σ^2/2) * t) / (σ * sqrt(t))；- d2 = d1 - σ * sqrt(t)；- X表示期权的执行价格；- r表示无风险利率；- t表示期权的剩余时间（年）；- σ表示标的资产的波动率。
C代表认购期权的价格，而对于认沽期权，则用相应的公式进行计算。
模型的优缺点BLACK-SCHOLES模型是一个非常重要的工具，它在金融市场的衍生品定价中被广泛使用。
然而，该模型也存在一些局限性。
优点：1. 计算简单：BLACK-SCHOLES模型提供了一个相对简单的数学公式，可以通过计算机程序迅速计算出期权的合理价格。
金融衍生品定价模型总结归纳：
金融衍生品定价模型总结归纳：金融衍生产品是金融市场中的重要组成部分。
为了正确定价和评估这些衍生品，金融衍生品定价模型被广泛应用。
以下是对几种常见的金融衍生品定价模型的总结和归纳：1. Black-Scholes模型Black-Scholes模型是一种用于期权定价的重要模型。
它基于市场中的假设，包括无风险利率恒定、认购和认沽期权市场合理定价、标的资产价格遵循几何布朗运动等。
该模型可以解决欧式期权的定价问题，为投资者提供了参考。
2. Vasicek模型Vasicek模型是用于利率期限结构建模的一种模型。
该模型假设利率是随机变动的，但随着时间的推移趋于均值回归。
它可以用来估计债券的价格、利率期限结构和利率敏感性等。
3. Cox-Ingersoll-Ross模型Cox-Ingersoll-Ross模型是另一种利率期限结构建模的模型。
与Vasicek模型类似，它也假设利率是随机变动的，并且时间趋于均值回归。
然而，Cox-Ingersoll-Ross模型相对于Vasicek模型更适用于描述利率变动的波动。
4. Black-Derman-Toy模型Black-Derman-Toy模型主要用于定价利率衍生品，如利率互换和利率期权。
该模型结合了随机利率和随机波动率，可以更准确地测量和定价利率的变动和风险。
这些金融衍生品定价模型在金融市场中起着重要作用，帮助投资者和决策者进行合理定价和误差控制。
然而，使用这些模型时需要谨慎，因为它们是基于某些假设和限制条件构建的，实际市场情况可能与模型假设有所不同。
总结：选择合适的金融衍生品定价模型是金融从业者的重要任务之一。
不同类型的衍生品需要使用不同的模型来定价。
了解和掌握这些模型的原理和应用，有助于更准确地评估和定价金融衍生品。
金融衍生品价格定价模型研究
金融衍生品价格定价模型研究金融衍生品是指那些其价值来源于某种基础资产的金融工具，如期货、期权、掉期等。
它们的价值与基础资产的价格密切相关，因此准确的价格定价模型对金融市场的参与者至关重要。
本文将探讨金融衍生品价格定价模型的研究，重点关注两种常用的模型：Black-Scholes模型和BINOMIAL模型。
Black-Scholes模型是金融衍生品定价中最为经典的模型之一。
它最初由Fischer Black和Myron Scholes于1973年提出，后期又得到了Robert C. Merton的完善。
该模型基于一些假设，包括市场效率性、无套利机会等，通过建立偏微分方程来推导期权的定价公式。
Black-Scholes模型的假设和推导过程相对简单，适用于欧式期权的定价。
然而，该模型的假设并不总是成立，市场中存在的实际情况与模型假设的差异可能导致定价误差。
BINOMIAL模型是另一种经典的金融衍生品定价模型。
它由Cox、Ross和Rubinstein于1979年提出，通过建立二项式树模型来近似金融资产的价格变动。
该模型的思想是将时间划分成许多小段，通过迭代计算每个时间段的价格变动，最终得到期权的定价。
相较于Black-Scholes模型，BINOMIAL模型更加灵活，可以处理更多复杂的金融衍生品，如美式期权等。
然而，该模型的计算量较大，需要较长的计算时间，且在划分时间段较多时可能出现计算不稳定的问题。
除了上述的两种模型，近年来还出现了许多基于数值方法和随机过程的定价模型。
例如蒙特卡洛模拟方法和风险中立估值方法等。
蒙特卡洛模拟方法通过产生大量的随机路径模拟未来资产价格，从而计算期权的预期收益。
风险中立估值方法假设市场参与者对风险的态度是中立的，通过构造一种等价无风险投资组合来推导期权的定价公式。
这些方法在解决特定问题和处理特定类型金融衍生品时具有一定的优势。
在实际应用中，金融衍生品的价格定价模型需要综合考虑市场的实际情况和不确定性因素。
金融工程中的衍生品定价模型资料
金融工程中的衍生品定价模型资料衍生品是金融市场中重要的金融工具，它们的价值来源于基础资产或指标的变化。
衍生品定价是金融工程中的一项核心任务，其准确性和有效性对于金融市场的稳定与健康发展至关重要。
在金融工程的研究与实践中，涌现出了许多衍生品定价模型，本文将介绍其中几种常见的模型及其资料。
一、调整后的黑-斯科尔定价模型（Black-Scholes-Merton Model）调整后的黑-斯科尔定价模型是对原始黑-斯科尔定价模型的改进和扩展。
它考虑了市场不完全性和风险溢价等因素，提高了模型的适用性。
在使用该模型进行衍生品定价时，需要的资料包括：标的资产价格、标的资产的波动率、无风险利率、期权到期时间以及期权行权价。
二、卡里-鲁宾斯坦定价模型（Cox-Ross-Rubinstein Model）卡里-鲁宾斯坦定价模型是一种在二叉树框架下进行衍生品定价的模型。
该模型将时间划分为离散的步长，通过构建二叉树推导出衍生品的定价公式。
使用该模型进行衍生品定价时，需要的资料包括：标的资产价格、标的资产的波动率、无风险利率、时间步长、期权到期时间以及期权行权价。
三、韦春华公式模型（Weng's Formula）韦春华公式模型是近年来提出的一种衍生品定价方法。
该模型适用于凸概率风险中性测度下的金融市场，可以快速、准确地计算欧式期权的理论价格。
使用该模型进行衍生品定价时，需要的资料包括：标的资产价格、标的资产的波动率、无风险利率、期权到期时间、期权行权价以及风险溢价。
四、蒙特卡洛模拟方法（Monte Carlo Simulation Method）蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的衍生品定价方法。
通过生成大量的随机数路径，模拟标的资产价格的变化，并计算衍生品的预期收益。
使用该方法进行衍生品定价时，需要的资料包括：标的资产价格、标的资产的波动率、无风险利率、期权到期时间、期权行权价以及模拟路径的数量。
五、隐含波动率曲面在很多衍生品定价模型中，隐含波动率扮演着重要的角色。
金融市场的金融衍生品定价
金融市场的金融衍生品定价在金融市场中，金融衍生品定价是一个极其重要的问题。
金融衍生品是一种派生于金融资产的金融工具，其价值是通过衍生的方式来确定的。
金融衍生品的定价对于投资者来说至关重要，它决定了买方和卖方之间的合理定价水平，进而影响了交易的盈亏情况。
在本文中，我们将讨论金融市场的金融衍生品中常见的定价模型和方法。
一、期权定价模型1. Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种用来确定欧式期权价格的数学模型，该模型基于假设市场没有利率差异、没有交易费用以及标的资产的波动性是恒定的。
它使用了随机微分方程和偏微分方程来计算期权的价格。
在Black-Scholes模型中，期权的价格受到标的资产价格、行权价、到期时间、无风险利率和波动率等因素的影响。
2. Binomial期权定价模型Binomial期权定价模型是一种基于树状结构的离散时间模型，它将时间分割成许多小的时间步长，通过建立价格的二叉树来计算期权价格。
在该模型中，假设资产价格在每个时间步长内只有两种可能的变动，即上涨和下跌，通过反复计算资产价格的期望值，可以逐步回溯到期权的价格。
3. 蒙特卡洛期权定价模型蒙特卡洛期权定价模型是一种基于随机模拟的方法，它模拟了许多次的价格路径，通过计算价格路径的平均值来估计期权的价格。
在该模型中，通过生成服从特定分布的随机数，每一个随机数代表一个价格路径，通过模拟大量价格路径求解期望值，可以得到期权的定价结果。
二、期货和远期合约定价方法1. 无套利定价原理无套利定价原理是期货和远期合约定价的基础。
该原理的核心思想是如果市场上存在无风险套利机会，那么合约定价就不是合理的。
因此，通过排除套利机会，可以得到一个合理的定价模型。
无套利定价原理在期货和远期合约的定价中起到了非常重要的作用。
2. 同时持有标的资产和期货合约在股票市场中，投资者可以同时持有标的资产和相应的期货合约来进行套利。
BLACK-SCHOLES期权定价模型
BLACK-SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(MyronScholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
BLACK-SCHOLES期权定价模型- 简介斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
BLACK-SCHOLES期权定价模型- 其假设条件(一)B-S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布；（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
Black-Scholes期权定价模型的拓展
虑交易费用、 各种税费、 股票红利在自适应条件下, 复合泊松跳跃－扩散模型欧式看涨期权定价方程 为:
V(τ ) =
N (τ ) i = N (0) − R( t )dt R( t )dt f 2 /2 e ∫0 p ( S0e (τ ) e ∫0 N (d 2 ) − KN (d1 )),
τ τ
期权定价和投资组合问题一直是金融资产风 险管理的核心问题 . 期权作为一种重要的金融衍 生产品, 它的定价很早就受到人们的极大关注, 因 为其定价过程与股票价格有着很大的联系. 1900 年 Louis Bachelier 首次提出股票价格变化过程可以 用 Brown 运动来描述, 这项开创性工作为金融资 产定价带来了数学革命; 1961 年 Case Sprend 用几 何 布 朗运 动构 建 股票 价格 模 型 , 改进 了 纯粹 由 Brown 运动描述股票市场的构建方式; 杰出的经济 学家 Paul Samuelson 对前人的工作进行了改进[2], 但是仍然没有得到风险中性的期权定价表达式 ; 当代金融领域最著名的学者 Black Fisher、Myron Scholes 和 Merton R C 在 20 世纪 70 年代通力合作, 推导出了直至今日最著名的 Black-Scholes 期权定价 方程
Q(t ) − βλ t 是补偿泊松过程 , 它表示股票价格在股
东持有过程中, 股票价格发生的变化, 这和一国国 内和国际的政治、经济、金融环境有关. 以上各变
− R( t ) dt + e− ∫ R( t )dtδ S ⋅ X ( t ) dt + e ∫ σ ( t )δ (t ) S( t ) dW (t ) (t )
均高度和平均频率. 证明
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欧式期权的 Deta
远期合约的 Deta 交易成本
5.2 Theta Theta is not the same type of hedge parameter as delta. There is uncertainty about the future stock price, but there is no uncertainty bout the passage of time. It makes sense to hedge against changes in the price of the underlying asset, but it does not make any sense to hedge against the effect of the passage of time on an option portfolio. 5.3 Gamma 如果 Gamma 值很小，则 deta 值变化慢，为了保证证券组合 deta 中性所要求的调整 频率相对要低。但是，如果 Gamma 的绝对值很大，则 deta 值对标的物价格变化的敏感度 就很高，为了保证证券组合 deta 中性所要求的调整频率相对要高。如下图。Gamma 值度量 曲率。
为了理解 Black-Scholes 模型，我们必须了解当定价公式中的参数发生变化时，衍 生证券的价格如何变化。 Black-Scholes 衍生证券定价公式依赖的参数有：标的证券的价格，到期日，标的证 券的价格的波幅，利率。所有的这些参数都随着时间变化而变化，因此我们应该了解衍生 证券的价格对这些参数变化的敏感度，这些敏感度代表持有衍生证券的不同风险。作为证 券管理者，我们的目的就是，通过不同证券之间敏感度的不同，通过构造证券组合来消除 或者减少敏感度的大小，把这些风险控制在允许的范围之内。我们用不同的希腊字母来表 示这些敏感度。我们先求出这些希腊字母的大小，再讨论如何利用它们来控制风险。 当标的物不支付红利时，定价公式为： 看涨期权 看跌期权 这里
2 T
N ¢( d 1 ) > 0
+ rKe - rT N ( - d 2 )
Ss T N ¢(d 1 ) > 0
Ss T N ¢(d 1 ) > 0
KTe - rT N ( d 2 ) ³ 0
- KTe - rT N ( - d 2 ) £ 0
例子：
当标的物以年红利率 q 支付连续红利时，定价公式： 看涨期权 看跌期权 这里
而衍生证券的价格为
f = e - rT [ pf u + (1 - p ) f d ]
例子：
2．股指期权
例子：考虑以 S&P 500 为标的物的欧式股指期权，2 个月到期。指标现在的值为 930，执行 价格为 900，无风险利率为每年 8% ，指标的波幅为每年 205。在第一个月的红利收益率为 每月 0.2%，在第二个月的红利收益率为每月 0.3%。
5.1 Deta hedging 例子：
)2 +
注：1）Deta neutral：A position with a deta of zero is referred to as being deta neutral. 2 ） Rebalancing: Because deta changes, the investor’s position remains deta hedged (or deta neutral) for only a relatively short period of time. The hedge has to be adjusted periodically. This is known as rebalancing. 例子：Dynamic hedging scheme
1．支付连续红利的股票 比较以年红利率 q 支付连续红利的股票 A 和别的方面相同的但不支付红利的股票 B。两
种股票应该提供相同的总回报率（红利加上资本利得）。连续红利的支付使得股票 A 的价 格的增长率比股票 B 的价格的增长率减少量 q 。如果到时间 T 时，股票 A 的价格从时间 0 的 S 0 涨到 S T ，则股票 B 的价格将从 S 0 涨到 S T e
GT
。这时，新证券组
合不是 deta 中性的，需要调整标的资产的头寸来使得新证券组合变为 deta 中性。
¶c D= ¶S ¶ 2c G= 2 ¶S ¶c Q= ¶t V = ¶c ¶s ¶c r = ¶r
1 ³ N (d1 ) ³ 0
1 Ss T N ¢( d 1 ) > 0
0 ³ N (-d1 ) ³ -1
1
-
-
SN ¢(d 1 )s 2 T
- rKe - rT N ( d 2 ) < 0
Ss T SN ¢(d 1 )s
Gamma 中性 标的物自身或者远期合约的 Gamma 值为 0，所以不能用来改变证券组合的 Gamma 值。为了调整证券组合的 Gamma 值，我们利用的衍生证券的价格不能是标的资产的线性 函数。 假设 deta 中性的证券组合的 Gamma 值为 G ，一个交易的期权的 Gamma 值为 GT ， 则为了使得证券组合是 Gamma 中性的，需要买入期权的份数是 - G
欧式股指期权、外汇期权和期货期权都是这种条件下的特例。 对股指期权
对外汇期权
对期货期权
Derivative
Call option
Put option
¶c ¶S ¶ 2c G= 2 ¶S ¶c Q= ¶t D=
e
1
- qT
N (d1 )
e
- qT
[ N (d1 ) - 1]
e - qT N ¢(d 1 )
qT
，或者股票 B 的价格将从 S 0 e
- qT
涨到
S T 。以上的分析说明，在下面两种情况下，股票在时间 T 的价格具有相同的分布： （1）股票从价格 S 0 开始，以年红利率 q 支付连续红利；
（付红利。
- qT
两者的等价性导致了一个简单的结果。当我们给以年红利率 q 支付连续红利的股票为标 的物的欧式期权定价时，我们只需要把股票价格从 S 0 减为 S 0 e 的股票不支付红利的期权定价。 利用 S 0 e
¶P ¶P ¶P 1 ¶ 2P 1 ¶ 2P 2 ( ) ( ds + dS + ds + dt + dS ¶S ¶s ¶t 2 ¶S 2 2 ¶s 2 1 2 = DdS + Vds + Qdt + G ( dS ) + 2 在忽略高阶项的前提下，控制风险的目的就是使得 D 、 V 和 G 充分小。 dP =
Ss T
e - qT N ¢(d 1 )
1 Ss T
-
SN ¢(d 1 )s e - qT
2 T - rT - rKe N ( d 2 )
+ qSN (d 1 )e - qT
- qSN (-d 1 )e - qT 2 T + rKe - rT N ( - d 2 ) Ss T N ¢(d 1 )e - qT
3．外汇期权
为了给外汇期权定价，我们定义现货汇率为 S （以国内货币度量的一单位外汇的 值）。假设 S 服从几何布朗运动。在等价鞅测度下，这个过程服从
dS = (r - r f ) Sdt + s Sdz
这里 r 是国内的无风险利率， r f 是外汇所在国的无风险利率。
4．期货期权
5．希腊字母
c0 = S 0 N (d1 ) - Ke - rT N (d 2 ) p 0 = Ke - rT N (-d 2 ) - S 0 N (-d1 )
lnæ ç d1 = è
S0
ö+r T f K÷ ø
s T
1 + s T 2
d 2 = d1 - s T 。
Derivative
Call option
Put option
c0 = S 0 e - qT N (d1 ) - Ke - rT N (d 2 ) p 0 = Ke - rT N (-d 2 ) - S 0 e - qT N (-d1 )
lnæ ç d1 = è
S0
ö + (r - q )T f K÷ ø
s T
1 + s T 2
d 2 = d1 - s T 。
第九章 Black-Scholes 模型的拓展
在这一章，我们研究股指期权、外汇期权和期货期权的定价问题。作为第一步，我 们先研究标的股票支付连续红利的期权定价问题。由于股指、外汇和期货类似于支付连续 红利的股票，所以以支付连续红利股票为标的物的期权的定价结果可以应用到以这些证券 为标的物的期权的定价。
- qT
N ( -d 1 )
lnæ ç d1 = è
S0
ö + (r - q )T f K÷ ø
s T
1 + s T 2
d 2 = d1 - s T 。
等价鞅测度定价 利用上一章的方法，我们可以得到任何以年红利率 q 支付连续红利的股票为标的物 的衍生证券价格满足的微分方程。这个方程也不依赖于个体的风险偏好。因此等价鞅测度 定价方法也成立。实际上，我们可以严格证明，当标的物支付红利时，无套利和存在等价 鞅测度也是等价的，只不过这时应该是价格和累计红利和的折现值是鞅，即在等价鞅测度 下，股票的总回报率为 r 。因为红利提供的回报率是 q ，所以股票价格的期望增长率是 r - q 。在等价鞅测度下，股票价格服从的方程为 （3） 为了任何以年红利率 q 支付连续红利的股票为标的物的衍生证券定价，我们只需要把股票 的期望增长率设为 r - q ，计算期望终端支付值的折现值。
dS = (r - q ) Sdt + s Sdz
二项树模型 考虑如下的二项树模型。股票的总回报率为 r 。因为红利提供的回报率是 q ，所以 股票价格的期望增长率是 r - q 。