金融衍生产品的定价综述
金融衍生品的定价与交易策略
金融衍生品的定价与交易策略在金融市场中，衍生品是一种非常重要的金融工具，它们在帮助投资者进行风险管理、投资组合多样化和获利等方面发挥着重要作用。
本文将讨论金融衍生品的定价与交易策略，以帮助读者更好地理解衍生品的本质和操作方法。
一、金融衍生品的基本概念衍生品是一种金融合约，它的价值源自于另一个金融资产，比如股票、债券、商品或指数等。
衍生品的价值是通过衍生品合约中的基础资产来决定的。
常见的金融衍生品有期货合约、期权合约和掉期合约等。
二、金融衍生品的定价原理金融衍生品的定价是根据风险中性定价原理进行的。
该原理认为，金融市场中的每一种风险都可以通过投资组合来完全抵消。
因此，在这种风险中性的框架下，衍生品的价值应该等于其基础资产的预期价值，即所谓的无套利原则。
在定价过程中，除了考虑基础资产的预期价值之外，还需要考虑一些其他因素，比如利率、股息率、波动率和剩余到期时间等。
这些因素对衍生品的定价具有重要影响，需要进行充分的分析和计算。
三、金融衍生品的交易策略根据金融衍生品的定价原理，投资者可以通过精确的定价来选择合适的交易策略。
以下是一些常用的交易策略：1. 资产套利策略：利用不同市场上的价格差异进行套利交易。
投资者可以同时买入低价的衍生品并卖出高价的衍生品，以获得价格差额的利润。
2. 保值策略：投资者可以通过购买适当数量的期权合约或期货合约来保护现有的投资组合免受市场波动的影响。
这样可以在市场下跌时获得一定程度的保护。
3. 交易策略：投资者可以根据对市场走势的判断，选择适当的期权合约或期货合约进行交易。
比如，如果预计某个基础资产的价格会上涨，投资者可以选择购买期权合约或期货合约来获取利润。
4. 套期保值策略：投资者在拥有实体资产时，可以通过买入或卖出衍生品合约来锁定未来的价格，以避免价格波动带来的损失。
总结：金融衍生品的定价与交易策略是投资者进行有效风险管理的重要工具。
通过对衍生品的正确定价，投资者可以选择合适的交易策略，以实现投资组合的多样化和获利的目标。
金融衍生产品定价研究
金融衍生产品定价研究金融衍生产品是金融市场中的一种特殊金融工具，它们的价值是由其他金融工具的价格所衍生而来的。
这些金融工具可以是股票、债券、商品等。
金融衍生产品的定价是金融衍生交易的基础，也是重要的研究领域。
本文将探讨金融衍生产品定价的相关问题。
一、金融衍生产品的基本概念金融衍生产品是一种金融合约，它的价值是由其他金融工具的价格所衍生而来的。
这些金融工具可以是股票、债券、商品等。
金融衍生产品通常具有以下特点：1. 杠杆效应强：金融衍生产品的价值通常比下层资产（基础资产）的价值大得多，因此可以通过相对较小的投资获得更大的收益。
2. 高度标准化：金融衍生产品的合约条款通常是标准化的，可以在交易所定期交易。
3. 高度风险：金融衍生产品的价格波动幅度大，风险较高。
二、金融衍生产品定价的基本原理金融衍生产品的定价是基于下层资产（基础资产）的价格进行的。
通常情况下，金融衍生产品的价格变化与下层资产的价格变化呈现强烈的相关性。
因此，金融衍生产品的价格变化通常可以通过下层资产价格变化的模型来预测。
在定价过程中，需要运用一些数学模型和财务理论。
其中，最常用的是期权定价模型、风险中性定价理论等。
期权定价模型是衍生于期权的财务理论和计算机模拟技术，可以用来衡量期权价格的公正价值。
而风险中性定价理论则是一种理论框架，用于解决金融市场上可能出现的不能被解释的价格差异。
三、期权定价模型期权是金融衍生产品中的一种，它的价值依赖于下层资产价格的变化。
期权定价模型是一种计算期权价格的数学模型，主要有布莱克-舒尔茨模型、考克斯-鲁宾斯坦模型和贝莱斯模型等。
布莱克-舒尔茨模型是由费雪布莱克和默顿-舒尔茨于1973年提出的，它基于布莱克-曼托-霍尔定理，假设了市场为无风险的，并将股票价格视为几何布朗运动。
该模型假设期权的价格变化与下层资产的价格变化成对数正态分布，且可以通过对股票价格和市场利率的观察来计算期权价格。
考克斯-鲁宾斯坦模型是由Myron Scholes和Fischer Black于1973年提出的，它基于布莱克-舒尔茨模型，考虑了市场不完全信息和不对称性的问题，并假设股票价格服从几何布朗运动，可以通过对市场利率和股票的波动率的观察来计算期权价格。
金融衍生品定价原理
金融衍生品定价原理
金融衍生品是指基于金融资产的派生性、非实际所有权的金融工具，包括衍生证券及衍生合同。
衍生品定价原理主要是指衍生品价格本质上受基础财产和期权理论影响。
衍生品价格变化以及衍生品本身获取利润的关键，是建立在衍生品价格关系的理论基础之上的。
衍生品市场价格的关键在于投资者对已有金融资产具有的不确定性及投资者对衍生品的预期与对金融资产的感受。
金融资产应获得实际物理所有权，但衍生品价格主要由投资者期望贴价确定。
此外，衍生品定价原理还受到衍生品收益及衍生品收益概率组合的影响。
预测衍生品价格，必须把握基础财产价格变化以及期权价格当前以及未来所有权变化走势才能进行有效衍生品定价。
衍生品定价原理还涉及到其它一些部分，如衍生品风险和定价调整等，并由衍生品风险管理策略等方式的改善来解决这些问题。
衍生品定价模型除了受市场买卖双方的预期和行为，也受到衍生品市场深度的影响，衍生品的非线性变动大都是由深度变化所决定的。
总之，衍生品定价原理是衍生物价格影响因素的关键，它包括衍生品收益和期权定价理论，衍生品收益概率组合和衍生品风险定价，以及衍生品市场深度和衍生品价格变动。
只有把握衍生品定价原理，才能有效地预测衍生品价格变动，实现衍生品期望收益。
金融衍生品的定价模型
金融衍生品的定价模型金融衍生品是指以金融资产作为基础，在其上建立的衍生品。
例如，以股票作为交易对象的期权、期货等，以外汇、债券、原油等作为交易对象的期权、期货等。
衍生品的特点是其价值来源于基础资产，但其本身并不具有实体资产的属性，只是一种合约。
由于其特殊性，其定价也相对较为复杂。
为此，金融市场中诞生了一系列的定价模型，帮助我们进行衍生品的估价。
1.风险中性定价模型风险中性定价模型是衍生品定价的基本方法。
它的基本思想是，在假定金融市场的所有参与者都是风险中性的情况下，衍生品的价格应当等于其未来的风险中性预期收益。
这一模型采用了最简单的条件，即市场风险中性假设，同时考虑了市场效率和鞅理论的原则。
2.布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯模型是最为经典的期权定价模型之一。
该模型假设市场中不考虑利率的波动，市场处于一种均衡状态，且进入期权行权期前，期权是被“对冲”的。
由此可知，该模型适用于欧式看涨期权和看跌期权。
该模型的基本思路是，将期权和一份能够产生与期权所代表的收益相等的组合进行套期保值。
将组合价格排除风险因素后，求出所需套期保值策略所需要的期权价格。
布莱克-斯科尔斯模型具有非常高的实用价值，而且易于理解、实现。
3.卡方分布模型卡方分布模型即期权定价的CRR模型，是在波动性随时间变化的假设下，根据离散时间将期权的未来价格随机演变的模型。
该模型的基本思路是，通过二项式模型，在分期的基础上对股票价格进行随机演化。
卡方分布模型是期权定价的基本模型之一。
其优点是模型简单，对于欧式期权和美式期权，其价格可以在迭代过程当中不断修正，最后以委托宗硬性算法获得期权价格，充分反映市场的景气水平。
4.蒙特卡洛模型蒙特卡洛模型是通过电脑算法模拟大量实验来确定期权的价格。
其基本思路是，通过对随机过程的模拟，以及这些随机过程所能产生的股票价格和收益的模拟，来使得期权定价成为可能。
与其他定价模型相比，蒙特卡洛模型几乎可以应用于任何期权。
金融衍生品定价理论研究
金融衍生品定价理论研究金融衍生品是指与金融资产相关，其价值衍生于基础资产的一种金融工具。
衍生品在金融领域中得到广泛的应用，如股票期权、期货、利率互换等等。
金融衍生品的定价理论研究是金融学中的一个重要课题。
本文将分别从定价原理、风险中性定价、真实世界定价、随机漫步理论、蒙特卡罗模拟等角度来讨论金融衍生品定价理论研究的相关问题。
一、定价原理定价原理是衡量衍生品价格的核心理论，它从基本面、市场需求、供给等因素出发，在市场中反映出该衍生品在未来的潜在价值和价格水平。
对于衍生品定价原理的发展，传统的定价理论是围绕风险溢价的概念展开的。
在这种理论情境下，由于金融衍生品所做的承诺均来自于风险资产，因此决定了其价格与基础资产的风险溢价之差。
当然，这种价格差异的差异会受到投资者情感和市场条件之类的因素影响。
在传统的定价理论体系中，黑-斯科尔斯-默顿（BSM）定价模型和里昂-斯克伦尼克-官格林(BSOG)定价模型是主要的二元结构选择。
BSM定价模型中，通过对风险溢价因素、基础资产、行权价格、持有期限和无风险利率的影响进行考量，来达到对衍生品实现的宏观预测。
当然，BSOG定价模型是在BSM模型基础上进一步解释的。
二、风险中性定价风险中性定价是金融衍生品定价的重要理论基础，其讲解的核心思想是，在完美的竞争环境下，投资者对风险的态度是中性的。
因此，价格只反映了所做承诺的预期收益率。
这种定价方法的本质是剥离了衍生品的风险因素，因此在该定价方式下，衍生品的价格只反映了所做承诺的预期收益率。
三、真实世界定价在实际交易中，投资者考虑的不仅仅是风险因素，还会对做出选择综合考虑政策影响、货币政策等多种因素。
在实践中，这种因素是难以被纳入完整的定价模型的。
这就是为什么成熟市场的实际交易价格往往无法与理论定价完全吻合的原因。
四、随机漫步理论随机漫步理论认为，市场价格的变化是由市场信息集体决定的。
在这种理论情境下，预测市场行情将是非常困难的。
金融市场的金融衍生品定价研究毕业论文
金融市场的金融衍生品定价研究毕业论文金融市场的金融衍生品定价研究摘要：本研究旨在探讨金融市场中金融衍生品的定价方法。
首先介绍了金融衍生品的概念和分类，然后对不同类型的衍生品定价模型进行了综述和比较，包括期权定价模型、期货定价模型和利率衍生品定价模型。
接着提出了基于风险中性定价原理的Black-Scholes模型和基于连续时间随机过程的定价模型，并详细分析了这两个模型的特点和应用。
最后，探讨了金融衍生品定价中存在的问题和挑战，并提出了未来研究的方向。
关键词：金融衍生品、定价模型、Black-Scholes模型、风险中性定价原理、连续时间随机过程引言：随着金融市场的发展和金融创新的不断推进，金融衍生品作为重要的风险管理工具和投资工具在市场中发挥着重要的作用。
然而，金融衍生品的定价一直是金融研究的热门话题之一。
准确的定价是金融衍生品交易的基础，也对金融市场的稳定运行和风险控制具有重要意义。
因此，对金融衍生品的定价方法进行研究是十分必要的。
1. 金融衍生品的概述1.1 金融衍生品的定义金融衍生品是指那些以金融资产为基础，并通过金融合同进行交易的金融产品。
它们的价值来源于基础资产的变动，而不是直接拥有基础资产。
金融衍生品主要包括期权、期货、互换和其他衍生品。
1.2 金融衍生品的分类根据交易方式和衍生品的特性，金融衍生品可分为两类：一是非标准化衍生品，即交易双方可以根据自己的需求约定合同条款和交易规则；二是标准化衍生品，即交易双方之间的合同条款和交易规则是固定、统一的。
2. 金融衍生品定价模型2.1 期权定价模型期权是金融衍生品中常见的一种，其定价模型较为成熟。
Black-Scholes模型是最早应用于期权定价的模型之一，它基于风险中性定价原理和连续时间几何布朗运动假设，通过建立偏微分方程来计算期权的价格。
此外，Binomial模型和Monte Carlo模拟方法也是常用的期权定价模型。
2.2 期货定价模型期货是金融衍生品中另一种常见的类型。
金融衍生品的类型及定价方法
金融衍生品的类型及定价方法随着金融市场的不断发展，金融衍生品也日益广泛地应用于投资和风险管理中。
金融衍生品是一种金融工具，它的价值是基于其他资产的价值而来的。
本文将介绍金融衍生品的基本概念、分类以及定价方法。
一、基本概念金融衍生品（Financial Derivative）是一种金融工具，它是在一个或多个基础资产的基础上建立的合约。
基础资产可以是货币、股票、股指、债券、商品、房地产或其他金融资产。
金融衍生品的价值源于基础资产的价格变化。
金融衍生品的目的是为了进行风险管理，例如对冲或避险。
投资者可以通过购买或出售这些合约来实现投资或风险管理的目的。
二、分类金融衍生品可以分为以下几类：1. 期权（Option）期权是一种约定，授予其购买方在特定时间和价格内购买或出售资产的权利，而出售方则相应地承担义务。
购买期权的投资者必须支付权利金。
期权分为看涨期权（Call Option）和看跌期权（Put Option），分别授予其购买方在特定时间和价格内购买或出售的权利。
2. 期货（Futures）期货是一种以标准化合约的形式交易的衍生品。
它规定了特定商品或资产在未来某个时间以特定价格交易的条件。
买方和卖方必须在到期日履行合同。
期货的优势在于可以提供标准化的合约，使得交易更加方便和透明。
3. 交易所交易基金（Exchange Traded Fund，ETF）交易所交易基金是一种投资基金，它可以在证券交易所上市交易。
ETF通常跟踪某个指数或资产组合，提供一种低成本、易于交易的投资选项。
4. 掉期（Swap）掉期是两个当事人间的协议。
它规定交换未来某个时间段的支付现金流，这些现金流通常基于两种不同的利率。
掉期也可以用来对冲或调整投资组合的风险。
三、定价方法金融衍生品的定价是非常复杂的。
大多数衍生品都是非线性的，这意味着其价值与基础资产价格的变化不是呈比例变化的。
以下介绍几种常见的定价方法：1. Black-Scholes模型Black-Scholes模型是用于期权定价的一种数学模型。
快速理解金融衍生品定价
快速理解金融衍生品定价近年来，金融衍生品市场发展迅速，创新层出不穷，其中的定价模型也越来越复杂，需要较高的数学和金融知识才能深入理解。
本文旨在通过简单的例子和概念，帮助读者快速理解金融衍生品定价原理。
一、什么是金融衍生品？金融衍生品可以理解为一种金融工具，其价格或价值来源于其他资产的价格或价值。
比如，期货合约是一种金融衍生品，其价格源于所期货的标的资产价格；期权也是一种金融衍生品，其价值来源于所期权标的资产的价格波动。
二、金融衍生品的定价原理1. 市场模型在金融衍生品定价中，最常用的模型是Black-Scholes模型。
该模型假定市场上的证券价格服从随机游走模型，即证券价格会随着时间的推移，呈现出随机波动的趋势。
基于这一假设，该模型可以计算出一个期权的“理论价格”，即在市场假设和标的资产价格波动情况下，期权的合理定价。
2. “无套利”原理金融衍生品的定价还涉及到“无套利”原理，即一个证券的价格应该与同样的收益风险级别的其他证券价格相等。
如果两个证券价格不等，意味着市场上存在可以赚取风险无偿收益的机会，从而会引起套利操作，推动证券价格回归均衡状态。
3. 合理风险溢价金融衍生品定价也要考虑到资产价格波动带来的风险溢价问题。
通常认为，投资者风险厌恶，对于相同风险级别的证券，其投资收益期望值越高，投资者要求的风险溢价也就越高。
三、衍生品定价实例：期权假设一家公司的股票当前价格为50美元，而某个投资者认为该公司股票价格将在未来3个月内上涨，他可以购买一个名为“看涨期权（call option）”的金融衍生品。
通过购买期权，该投资者可以获得一种权利，在未来3个月内以固定价格购买单位股票（假设是55美元）。
那么，该期权的价格是多少呢？首先应该确定市场上股票价格的随机波动程度，以及期权到期时的时间价值。
如果标的资产价格波动幅度小、价格趋于稳定，那么期权的价格也会相应偏低；反之，如果标的资产价格波动较大，那么期权的价格也会较高。
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金融衍生产品定价模型综述蒲实（重庆大学数学与统计学院2008级统计2班）一．摘要衍生证券已经有很长的历史。
期权和期货是所有衍生证券里在交易所交易最活跃的衍生证券。
十七世纪晚期，在荷兰的Amsterdam 股票交易所，就已经有了期权这种形式的证券交易。
1973年建立的Chicago Board Options Exchange (CBOE) 大大带动了期权的交易。
19世纪出现有组织的期货市场。
期权定价理论是最成熟也是最重要的衍生证券定价理论。
最早的期权定价理论可以追溯到1900年Bachelier (1900) 的博士论文，Bachelier 的主要贡献在于：发展了连续时间游走过程。
受Louis Bachelier 工作的启发，Kiyoshi Itô在二十世纪四、五十年代作出了随机分析方面奠基性的工作，这套理论随即成为金融学最本质的数学工具，也带来了衍生证券定价理论革命性的飞跃。
但是，风险中性定价的概念直到Black-Scholes （1973）和Merton （1973）才得以突破。
他们的工作使随机分析和经济学达到了最优美的结合，也给金融实际操作带来了最具有影响力的冲击。
由于许多权益都可以被视为偶发性权益（例如债务，股权，保险等），所以在他们以后，期权定价的技巧被广泛的应用到许多金融领域和非金融领域，包括各种衍生证券定价、公司投资决策等。
我们可以把这些研究大致分为：复杂衍生证券的定价（例如MBS ，奇异期权等）；数值计算（例如美式期权定价，亚式期权）；拓展模型来解释Black-Scholes 模型不能解释的现象（例如Volatility smile ）；交易约束和交易成本对衍生证券套期保值和定价的影响。
二．关键词金融衍生产品，维纳过程(wiener Processes) ，Ito(伊藤)引理，随机过程，布朗运功，套期保值，鞅过程。
三．正文1． 二项树模型该模型由Sharpe （1978）提出， Cox, Ross and Rubinstein （1979）对它进行了拓展，将二项分布用于描述股价运动，从此二叉树模型被广泛运用于衍生品的定价，成为构造离散时间价格运动的基本模型。
定义如下：0S =标的资产现在的价格；q =标的资产上涨的概率；r f =无风险利率；u =标的资产上涨的幅度；d =标的资产下跌的幅度；f =衍生证券现在的价格；u c =当标的资产价格为uS 时衍生物的价格；d c =当标的资产价格为dS 时衍生物的价格 对r f 的限制为u r d f >+>1 我们构造无风险套期保值证券组合：以价格S 0买一份股票，买m 份以股票为标的物的衍生证券（m 称为套期保值比率）。
如果这个套期保值证券组合在每种状态下的到期支付都相等，则这个证券组合是无风险的。
得到：uS mc dS mc u d 00-=-解得衍生证券的份数：m S u d c c u d=--0() 因为套期保值证券组合是无风险的，它的终端支付应该等于它的现价乘以1+r f 即：()()100+-=-r S mc uS mc f u 从这个式子得出衍生证券的价格：()[]()c S r u mc m r f u f =+-++011把套期保值比率m 代入得：c c rd u d c u r u d r u f d f f =+--⎛⎝ ⎫⎭⎪+-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥+()()()111 设p r du d f =+--()1则11-=-+-p u r u d f ()从而，我们得到：[]c pc p c r u d f=+-+()11 这里定义的p 总是大于0而小于1，具有概率的性质，我们称之为套期保值概率。
从p 的定义可以看出，无套利条件u r d f >+>1成立当且仅当p 大于0而小于1（即，p 是概率），所以，在金融学里，我们又把p 称为等价鞅测度。
这儿所说的正是金融学的一个重要定理：无套利等价于存在等价鞅测度。
我们也可从另外一个角度来解释p 的意义：p 是当市场达到均衡时，风险中性者所认为的q 值，即，股票价格上涨的概率。
作为风险中性者，投资者仅仅需要投资在风险股票上的回报率为无风险利率，因此，我们有：()()11000+=+-r S quS q dS f 从中解出q 值， 得到：q r d u df =+--()1所以，对一个风险中性者来说，p =q ，而衍生证券的价格可以解释为，在一个风险中性环境中，衍生证券的期望终端支付的折现值。
在求得衍生证券价格的过程中，有两点是至关重要的，一是套期保值证券组合的存在性；二是无风险的套期保值证券组合的的回报率为无风险利率。
无套利定价原理很容易推广到多期二项树股票价格过程。
Cox, Ross and Rubinstein （1979）证明，当二项树模型中每期的时间趋于0时，股票价格依分布收敛于对数状态扩散过程，而期权价格公式收敛于Black-Scholes-Merton 定价公式。
2． Black-Scholes-Merton 模型Black and Scholes (1973) 和Merton (1973) 利用随机分析这种强有力的方法，第一次对期权定价问题提出了严格的解。
标的股票的价格)(t S 服从如下的随机微分方程)()()(t dw dt t S t dS σμ+= x S =)0( ,μ为常数，称为漂移项，可以视为股票的瞬时期望回报率，σ为常数，称为扩散项，可以视为股票的瞬时标准差，(){}0≥t t w 为标准布朗运动， x 为常数。
无风险债券的价格)(t B 服从如下的方程dt t rB t dB )()(=（)0(B 、r 为常数） 对于给定的欧式看涨期权，由于它的到期日支付是标的股票的函数，我们假设期权的价格为标的股票价格的函数()t t S C c t ),(= 这里，我们并不知道函数()C ⋅的具体形式，只知道它在()[)00,,+∞⨯T 是两次连续可微的。
对函数()C ⋅利用Itô引理，我们得到())()(),()(t dw t S t t S C dt t dc x Y t σμ+=,t T < 这里，()()()()2221)(),(),()(),(t S t t S C t t S C t S t t S C t xx t x Y σμμ++= 下面，我们利用套期保值的思想，希望通过股票和债券构造证券组合来模拟欧式看涨期权的价格。
假设自融资交易策略()a b ,=(){}T t b a t t ≤≤0:,满足此要求，这里，a t 表示在时间t 购买的股票份数，b t 表示在时间t 购买的债券的份数，则t t t c t B b t S a =+)()(,[]t T ∈0, 我们得到)()(t dB b t dS a dc t t t +=())()()()(t dw t S a dt r t B b t S a t t t σμ++=通过比较)(t dw 与dt 的系数，我们来确定满足要求的自融资交易策略。
首先，我们比较)(t dw 的系数，得到()t t S C a x t ),(=。
我们得到()()t t S C t B b t S t t S C t x ),()()(),(=+从而 ()()[])(),(),()(1t S t t S C t t S C t B b x t -=其次，我们比较dt 的系数，得到，对于t T <有 ()()()t t S C t rS t t S C t t S rC x t ),()(),(),(++-()0),()(2221=+t t S C t S xx σ为了成立，只需()C ⋅满足如下的偏微分方程()()()()-+++=rC x t C x t rxC x t x C x t t x xx ,,,,12220σ ()()[)x t T ,,,∈∞⨯00，由欧式期权的到期日支付得边界条件()()C x T x K ,=-+，()x ∈∞0, 利用Feynman-Kac 公式，通过解带边界条件(1.2.8)的偏微分方程(1.2.7)，我们得到Black-Scholes 期权定价公式c xN d Ke N d rT 012=--()()这里()d x K r T T T f 112=++ln σσ d d T 21=-σ具体的解过程由Smith (1976) 和Malliaris (1983) 给出。
Smith 非常系统的给出了期权定价方法的应用，Malliaris 说明了随机分析的本质作用。
Duffie (1996) 给出了Black-Scholes-Merton 定价公式的数学基础以及金融解释，同时还给出了期权定价的金融学解释。
上面给出的欧式期权的定价方法的基本假设是市场无套利机会，同时应满足如下假设：股票价格服从常波幅的扩散过程；市场连续交易；常无风险利率；市场无摩擦。
在上述假设下，期权定价这样原始的问题被刻画成金融思想和数学推导的完美结合。
3．衍生证券的一般定价方法直到1976年，利用复合的证券组合一直是期权定价的基础。
Cox and Ross (1976) 引入风险中性定价的概念，他们利用无风险利率代替股票价格过程的漂移项。
在他们工作的基础上，Harrison and Kreps (1979)， Harrison and Pliska (1981) 建立了系统的风险中性定价的理论框架以及与无套利的联系。
无套利等价于存在等价概率测度，在等价概率测度下，期权和证券的价格以无风险利率折现后，是一个鞅过程。
这是动态资产定价的基础。
根据资产定价的基本定理，对随机过程(){}0,≥t t S 而言，存在等价鞅测度本质上等价于无套利机会。
换一种说法，如果资产的折现价格(){}0,≥t t S 不存在套利机会，则资产定价定理说明原有的概率测度可以用一个新的概率测度代替，在新概率测度下，资产的折现价格过程是一个鞅过程。
早期的风险中性定价工作是以货币市场帐户作为计量单位的。
事实上，计量单位的选取有很大的灵活性。
Geman, El Karoui and Rochet (1995) 证明可以选取不同的计量单位。
对于每一个计量单位，都有一个概率与其相对应，从而有不同的定价模型。
纯折现债券的价格，不同到期日的远期合约都可以用来作为计量单位。
计量单位的选取的灵活性产生了许多利率衍生证券的定价模型。
4．随机波幅模型Wiggins (1987) 推广了Black-Scholes-Merton 期权定价模型。
假设（1.2.1）中的瞬时波幅服从一个扩散过程()()σσγσβσdz dt d +=这里σz 是一个标准布朗运动，它和布朗运动w 的相关系数为ρ。