八年级数学下册专题第14讲不等式及不等式组重点、考点知识、方法总结及练习
不等式组及应用知识点总结
不等式组及应用知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式的定义不等式是指数之间的大小关系，可以用大于号（>）、小于号（<）、大于或等于号（≥）、小于或等于号（≤）来表示。
2. 不等式的解不等式的解就是使得不等式成立的数的集合。
解不等式时，要注意不等号的方向，同时考虑是否存在特殊情况。
3. 不等式的性质不等式有传递性、反身性、对称性和加法性、乘法性等性质。
利用不等式的性质可以简化不等式的求解过程。
4. 不等式的转化在不等式的求解过程中，经常需要将不等式进行转化，可以通过加减法、乘除法、开方等方式进行不等式的转化。
5. 不等式的应用不等式在数学中有广泛的应用，如在代数、几何、概率统计等领域均有不等式的应用，特别是在最优化问题中，不等式更是起到了关键的作用。
二、一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的定义一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式组成的集合，求解时要求这些不等式同时成立。
2. 一元一次不等式组的解法求解一元一次不等式组时，可以通过图解法、代入法、联立法等方式进行求解。
其中图解法常用于初步研究不等式组的解的位置，而联立法则是最常用的求解方法。
3. 一元一次不等式组的应用一元一次不等式组在生活中有很多应用，例如在资源分配、经济决策、生产计划等方面都有一元一次不等式组的应用。
三、二元一次不等式组1. 二元一次不等式组的定义二元一次不等式组是由若干个二元一次不等式组成的集合，求解时要求这些不等式同时成立。
2. 二元一次不等式组的解法求解二元一次不等式组时，可以通过图解法、代入法、联立法等方式进行求解。
由于二元一次不等式组有两个未知数，因此其解的形式可能是一个不等式区域。
3. 二元一次不等式组的应用二元一次不等式组在几何中有着重要的应用，如求解平面区域的范围、集合的交并问题等都可以通过二元一次不等式组来描述和求解。
四、不等式的推广与应用1. 不等式的推广不等式的推广可以包括多元不等式、高次不等式、不等式组等。
八年级 不等式知识点
八年级不等式知识点在八年级数学中，不等式是一个非常重要的知识点。
学好不等式对于后续学习和生活中的应用都有着重要的意义。
本文将介绍八年级不等式的相关知识点及其应用。
一、不等式的定义不等式是描述两个数或多个数的大小关系的一种数学表达式，使用不等号 ">"、"<"、">="或"<="表示。
二、不等式的解及解法1.不等式的解：将一个不等式中的未知数确定一个范围，使得不等式成立的所有数的集合，称为不等式的解集。
2.不等式的解法：（1）直接图解法将不等式转化成一条直线，比较该直线和一条平行于x轴的直线的位置关系，来确定不等式解的范围。
（2）移项变形法通过移项或变形将不等式变为形如x≥a，x≤a，x>a或x<a的形式，再根据不等号的方向，确定解的范围。
（3）乘除变形法通过乘或除单边（或双边）保持不等式成立，使不等式变得更简单。
三、不等式的性质1.两边同加（或减）同一个数，不等式不变。
2.两边同乘（或除）同一个正数，不等式不变。
3.两边同乘（或除）同一个负数，不等式不变，但不等号方向要反转。
4.对于x > a, x < b，有x > (a + b) / 2。
四、一元一次不等式的应用不等式在现实世界中有着广泛应用。
以一元一次不等式举例，常见的应用有以下几种情况。
1.生活中的应用不等式可以帮助人们解决一系列实际问题，比如预算、购买商品折扣、求解面积和体积等。
2.经济学中的应用经济学中不等式有着广泛应用，如企业成本的控制、营销管理中的利润预测、经济增长方程的解等。
3.科学中的应用在科学研究中，不等式也有着广泛应用，如微生物生长数量的控制、化学反应动力学模型的建立、人口增长与资源限制的关系等。
五、结语通过本文的介绍，我们了解了八年级不等式的相关知识点及其应用。
学好不等式不仅可以帮助我们应对数学考试，更可以在日常生活和职业中应用数学知识，提高自身综合素质。
初中不等式知识点总结
初中不等式知识点总结不等式是数学中的重要概念，它描述了数之间的大小关系。
在初中阶段，学生会接触到一些基本的不等式概念和解法方法。
本文将详细介绍初中不等式的相关知识点，包括不等式的定义、常见不等式类型、不等式的性质、不等式的解法方法以及一些常用的不等式应用。
一、不等式的定义不等式是由不等号连接起来的两个数或算式构成的数学式子。
常见的不等号有小于号<、小于等于号≤、大于号>、大于等于号≥等。
例如：1. x > 3 表示x大于3。
2. y ≤ -2 表示y小于等于-2。
3. -4x + 5 > 2x - 7 表示-4x + 5大于2x - 7。
二、常见不等式类型在初中阶段，常见的不等式类型有一元一次不等式、一元二次不等式和绝对值不等式。
1. 一元一次不等式：一元一次不等式是一次函数的图像所对应的不等式。
其一般形式为ax + b > 0（或ax + b < 0），其中a和b是已知实数，且a ≠ 0。
例如：1. 2x - 3 > 5 是一个一元一次不等式。
2. -5y + 2 ≤ 3 是一个一元一次不等式。
2. 一元二次不等式：一元二次不等式是一个二次函数的图像所对应的不等式。
其一般形式为ax² + bx + c >0（或ax² + bx + c < 0），其中a、b和c是已知实数，且a ≠ 0。
例如：1. x² - 6x + 8 > 0 是一个一元二次不等式。
2. -2x² + 5x - 3 ≤ 0 是一个一元二次不等式。
3. 绝对值不等式：绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。
其一般形式为|ax + b| > c（或|ax + b| < c），其中a、b和c是已知实数，且a ≠ 0。
例如：1. |3x - 2| > 4 是一个绝对值不等式。
2. |2x + 1| ≤ 5 是一个绝对值不等式。
不等式知识点总结
不等式知识点总结不等式是数学中的一个重要概念，它在解决各种数学问题和实际生活中的优化问题中都有着广泛的应用。
下面我们来对不等式的相关知识点进行一个全面的总结。
一、不等式的定义用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个数或代数表达式的式子，叫做不等式。
例如：3x ＋ 2 ＞ 5 ，y 1 ≤ 4 等都是不等式。
二、不等式的基本性质1、对称性：如果 a ＞ b ，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b ，那么 b ＞ a 。
例如：若 5 ＞ 3 ，则 3 ＜ 5 。
2、传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b＜ c ，那么 a ＜ c 。
比如：已知 7 ＞ 5 ，5 ＞ 3 ，则 7 ＞ 3 ；若 2 ＜ 4 ，4 ＜ 6 ，则 2＜ 6 。
3、加法性质：如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c ；如果 a ＜ b ，那么 a ＋ c ＜ b ＋ c 。
例如：因为 8 ＞ 5 ，所以 8 ＋ 2 ＞ 5 ＋ 2 ，即 10 ＞ 7 。
4、乘法性质：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＞ 0 ，那么ac ＜ bc 。
如果 a ＞ b 且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＜ 0 ，那么ac ＞ bc 。
例如：若 3 ＞ 1 ，且 2 ＞ 0 ，则 3×2 ＞ 1×2 ，即 6 ＞ 2 ；若 3 ＞ 1 ，但－2 ＜ 0 ，则 3×（－2) ＜ 1×（－2) ，即－6 ＜－2 。
三、一元一次不等式1、定义：含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式。
例如：2x 5 ＞ 0 。
2、解法：去分母（若有分母）。
去括号。
移项：将含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边。
合并同类项。
系数化为 1 ：注意当系数为负数时，不等号方向要改变。
初中八年级数学《不等式与不等式组》知识点与练习
不等式与不等式组一、学习目标1.认识不等式与不等式组；2.解不等式；二、知识点讲解认识不等式与不等式组不等式定义一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”表示大小关系的式子，叫作不等式。
用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
其中，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域。
整式不等式定义整式不等式两边都是整式（即未知数不在分母上）。
一元一次不等式：含有一个未知数(即一元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。
如3-x>0同理，二元一次不等式：含有两个未知数(即二元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。
表示方法通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
性质①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；⑦如果x>y>0，x n>y n（n为正数)，x n<y n（n为负数）;特殊性质①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
总结当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
初中数学不等式及不等式组知识点
初中数学不等式及不等式组知识点一、不等式的基本概念和性质：1.不等式的定义：不等式是含有“大于”（>）、“小于”（<）、“大于等于”（≥）、“小于等于”（≤）等关系符号的数学表达式，用来表示两个数之间的大小关系。
2.不等式的解：对于一个不等式，使得该不等式成立的数值称为该不等式的解。
例如，对于不等式3x+2>10，当x>2时，不等式成立，所以x>2是不等式的解。
3.不等式的性质：a.相等的不等式，其解集相同。
例如，2x<10与2x≤9的解集相同，都是x<5b.不等式两边同时加减一个数，不等号方向不变。
例如，若a<b，则a+c<b+c，且a-c<b-c。
c. 不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，则不等号方向不变。
例如，若a<b且c>0，则ac<bc。
d. 不等式两边同时乘以（或除以）一个负数，则不等号方向改变。
例如，若a<b且c<0，则ac>bc。
e.在不等式两边同时开平方时，需注意正负号问题。
例如，对于不等式x^2<4，开平方后得到，x，<2，解集为x>-2且x<2二、一元不等式求解方法：1.由不等式的基本性质，可以得到一元不等式的求解方法：a.将不等式看作等式求解，确定不等式中的未知数的取值范围。
b.根据等式求解的结果，确定不等号的方向，确定不等式的解集。
三、一元一次不等式及一元一次不等式组：1. 一元一次不等式：形如ax+b>0（或<0）的不等式，其中a、b为已知实数，且a≠0。
一元一次不等式的解集是一个实数区间。
解法：将不等式化为等式ax+b=0，求得等式的解x0，然后根据不等号的方向，确定不等式的解集：当a>0时，如果0≤x0≤+∞，则解集为(x0,+∞)；如果x0<0，则解集为(-∞,+∞)；当a<0时，如果-∞≤x0≤0，则解集为(-∞,x0)；如果x0>0，则解集为(-∞,+∞)。
不等式知识点总结
不等式知识点总结一、不等式的基本概念。
1. 不等式的定义。
- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。
2. 不等式的解与解集。
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。
- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。
3. 解不等式。
- 求不等式解集的过程叫做解不等式。
例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。
例如5>3，那么3 < 5。
2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如7>5，5>3，那么7>3。
3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。
例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。
- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。
例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。
4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。
例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。
不等式讲义知识点详解+例题+习题(含详细答案)(最新整理)
不等式讲义最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )．(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R ).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －c |＋|x －b |≥a .3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.问题探究：不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则≥，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b 2ab 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则≥，当且仅当a ＝b ＝c 时，a ＋b ＋c 33abc 等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则≥，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．a 1＋a 2＋…＋a nn n a 1a 2…a n 4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则()()≥(i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝n ∑i ＝1a 2i n ∑i ＝1b 2i n ∑i ＝1a 1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( )(2)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )(3)|ax ＋b |≤c (c >0)的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )(4)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为Ø.( )(5)若实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√2．不等式|2x －1|－x <1的解集是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |0<x <1}D ．{x |1<x <3}[解析] 解法一：x ＝1时，满足不等关系，排除C 、D 、B ，故选A.解法二：令f (x )＝Error!则f (x )<1的解集为{x |0<x <2}．[答案] A3．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |>2B ．|a ＋b |＋|a －b |<2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不能比较大小[解析] |a ＋b |＋|a －b |≤|2a |<2.[答案] B4．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则＋＋的最大值为( )a b c A ．1 B ． 2C. D ．23[解析] (＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤ (12＋12＋12)(a ＋b ＋c )a b c a b c ＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝时，等号成立．13∴(＋＋)2≤3.a b c ＋＋的最大值为.故应选C.a b c 3[答案] C5．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 利用数轴及不等式的几何意义可得x 到a 与到1的距离和小于3，所以a 的取值范围为－2≤a ≤4.[答案] －2≤a ≤4考点一 含绝对值的不等式的解法解|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为Error!，则a ＝________.[解题指导] 切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析] (1)当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.(2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－<x <，与已知条件不符；1a 5a当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，<x <－，又不等式的解集为Error!，故a ＝－3.5a 1a[答案] (1)A (2)－3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．对点训练已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－3时，f (x )＝Error!当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|x －a |＋|x －b |>c 或|x －a |＋|x －b |<c 的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性．|x －a |＋|x －b |的几何意义是数轴上表示x 的点与点a 和点b 的距离之和，应注意x 的系数为1.(1)(2014·重庆卷)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋a ＋2对任意实数x 恒成立，12则实数a 的取值范围是________．(2)不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．[解题指导] 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题．[解析] (1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋a ＋2≤3，解得≤a ≤.12－1174－1＋174即实数a 的取值范围是.[－1－174，－1＋174](2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于PA －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y＝Error!要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．[答案] (1) (2)(－∞，－3)[－1－174，－1＋174]解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.对点训练(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.(1)若当g(x)≤5时，恒有f(x)≤6，求a的最大值；(2)若当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．[解] (1)g(x)≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；f(x)≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.依题意有，a－3≤－2，a≤1.故a的最大值为1.(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，当且仅当(2x－a)(2x－1)≤0时等号成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)．考点三 不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则＋>＋；a b c d (2)＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d [解题指导] 切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明] (1)因为(＋)2＝a ＋b ＋2，(＋)2＝c ＋d ＋2，a b ab c d cd 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(＋)2>(＋)2.a b c d ＋>＋.a b c d (2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得＋>＋.a b c d ＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a b c d a b c d a ＋b ＋>c ＋d ＋2.ab cd 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |.＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．对点训练(2014·新课标全国卷Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤；13(2)＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a[证明] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤.13(2)因为＋b ≥2a ，＋c ≥2b ，＋a ≥2c ，a 2b b 2c c 2a故＋＋＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，a 2b b 2c c 2a即＋＋≥a ＋b ＋c .a 2b b 2c c 2a所以＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a———————方法规律总结————————[方法技巧]1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．[易错点睛]1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．课时跟踪训练(七十)一、填空题1．不等式|2x －1|<3的解集为__________．[解析] |2x －1|<3⇔－3<2x －1<3⇔－1<x <2.[答案] (－1,2)2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝__________.[解析] ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.[答案] 23．不等式|2x ＋1|＋|x －1|<2的解集为________．[解析] 当x ≤－时，原不等式等价为－(2x ＋1)－(x －1)<2，即－3x <2，x >－12，此时－<x ≤－.当－<x <1时，原不等式等价为(2x ＋1)－(x －1)<2，即x <0，23231212此时－<x <0.当x ≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x －1)<2，即3x <2，x <，此1223时不等式无解，综上，原不等式的解为－<x <0，即原不等式的解集为.23(－23，0)[答案] (－23，0)4．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k <1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k <1.[答案] (－∞，1)5．(2015·西安统考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．[解析] |x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8.[答案] (－∞，8]6．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝__________.[解析] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.[答案] －6或47．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是__________．[解析] ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝Error!∴f (x )≥3.要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解，∴|a |≥3，即a ≤－3或a ≥3.[答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x 的不等式|x －a |＋1－x >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．[解析] 若x －1<0，则a ∈R ；若x －1≥0，则(x －a )2>(x －1)2对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，即(a －1)[(a ＋1)－2x ]>0对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，所以Error!(舍去)或Error!对任意的x ∈[1，＋∞]恒成立，解得a <1.综上，a <1.[答案] (－∞，1)9．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则＋＋的最小值为__________．2a 2b 2c[解析] ∵(a ＋b ＋c )(2a ＋2b ＋2c )＝[()2＋()2＋()2]a b c [(2a )2＋(2b )2＋(2c )2]≥2＝18，(a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c )∴＋＋≥2，∴＋＋的最小值为2.2a 2b 2c 2a 2b 2c[答案] 210．(2014·陕西卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．[解析] 由柯西不等式，得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(am ＋bn )2，即5(m 2＋n 2)≥25，∴m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立．∴的最小值为.m 2＋n 25[答案] 511．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |)≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时等号成立，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.[答案] 312．若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取4a值范围是________．[解析] 只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋即可．由于||x ＋1|4a－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋即4a可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，4a将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≥0，则有a ≤－4或－1≤a <0.综上可知，4a实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[答案] (－∞，－4]∪[－1,0)二、解答题13．已知不等式2|x －3|＋|x －4|<2a .(1)若a ＝1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，不等式即为2|x －3|＋|x －4|<2，若x ≥4，则3x －10<2，x <4，∴舍去；若3<x <4，则x －2<2，∴3<x <4；若x ≤3，则10－3x <2，∴<x ≤3.83综上，不等式的解集为Error!.(2)设f (x )＝2|x －3|＋|x －4|，则f (x )＝Error!作出函数f (x )的图象，如图所示．由图象可知，f (x )≥1，∴2a >1，a >，即a 的取值范围为.12(12，＋∞)14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得<x <1；23当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为Error!.(2)由题设可得，f (x )＝Error!所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为(a ＋1)2.(2a －13，0)23由题设得(a ＋1)2>6，故a >2.23所以a 的取值范围为(2，＋∞)．15．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝Error!作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式f (x )≥3的解集为Error!.(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a <1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为1－a ；若a >1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求a 2＋b 2＋c 2的最小值．1419[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥(14a 2＋19b 2＋c 2)2＝(a ＋b ＋c )2＝16，(a 2×2＋b 3×3＋c ×1)即a 2＋b 2＋c 2≥.141987当且仅当＝＝，12a 213b 3c 1即a ＝，b ＝，c ＝时等号成立．8718727故a 2＋b 2＋c 2的最小值为.141987。
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（2）解丌等式：
x
2
3
≥
2x 3
5
，并写出它的正整数解．
【答案】略
【解析】解：（1）去分母得：14x+15＞﹣x，
移项得：14x+x＞﹣15，
合并同类项得：15x＞﹣15，
8
系数化为 1 得：x＞﹣1， 把丌等式的解集在数轴上表示如下：
． （2）解：去分母得：3（x﹣3）≥2（2x﹣5）， 去括号得：3x﹣9≥4x﹣10， 移项得：3x﹣4x≥﹣10+9， 合并同类项得：﹣x≥﹣1， 系数化为 1 得：x≤1， 把丌等式的解集在数轴上表示为：
（5）
3 x
3≤3x
，
x
处于分母位置，次数丌是
1，丌是一元一次丌等式；
（6）x+2＜0，只含一个未知数，且未知数的次数是 1，是一元一次丌等式.
【方法总结】
1
一元一次丌等式必须满足的条件： （1）只含有一个未知数（2）未知数最高次数是 1（3）用丌等号连接的式子.
2.已知 （m+4）x|m|﹣3+6＞0 是关于 x 的一元一次丌等式，则 m=_____． 【答案】4 【解析】解：根据题意|m|﹣3=1 且 m+4≠0. 解得 m=±4 且 m≠﹣4. 所以 m=4.
表的就是 x<4 .
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
（4）
x>
1
1 2
画好数轴，找到表示
1
1 2
的点，画一个空心圆圈（表示丌包括
1
1 2
这个点），则
1
1 2
的右
侧部分代表的就是
x>
1
1 2
.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
【方法总结】
用数轴表示丌等式的解集，关键是掌握：“＞”空心圆圈向右画折线，“≥”实心圆点向右画折 线，“＜”空心圆圈向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【解答】解：∵丌等式组
∴m﹣1≥1， 解得 m≥2． 故答案为：m≥2．
没有解，
知识点 4 一元一次不等式的解法
1.解一元一次丌等式的依据是：丌等式的基本性质 1 和丌等式的基本性质 2；
2.解一元一次丌等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.
【典例】
1.（1）解丌等式 x+ ＞﹣ ，并把解集在数轴上表示出来．
2．（2018•利辛县一模）解丌等式并把解集在数轴上表示出来 ＜x﹣
【解答】解：去分母得：2（2x﹣3）＜6x﹣3， 去括号得：4x﹣6＜6x﹣3， 移项合并得：﹣2x＜3， 解得：x＞﹣ ， 表示在数轴上，如图所示：
知识点 5 一元一次不等式组
求丌等式组解集的过程叫做解丌等式组.
【典例】
1.解下列一元一次丌等式组，并把解集在数轴上表示出来．
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
所以丌等式组的解集为：x＞2．
【方法总结】
1.解丌等式组的方法：先分别求出两个丌等式的解集，再把它们的解集都表示在数轴上，并 找到解集的公共部分作为丌等式的解集. 2.取丌等式组的解集时还可以采用非数轴法，即“同大取大，同小取小，大小小大中间找， 大大小小解丌了”.
当 c=0 时，ac=bc，故②错误；
③∵a＞b＞0，
∴ab>0.
根据丌等式的基本性质
2，在丌等式两边同时除以
ab
得，
1 b
>
1 a
，即
1 a
<
1 b
．故③正确；
④∵b>0，
根据丌等式的基本性质 1，在丌等式两边都乘以 b 得，
ab b2 ，即 b2＜ab，故④错误．
3
综上所述，正确的丌等式是①③，共 2 个． 【方法总结】 在利用丌等式的基本性质 2 迚行变形时，当丌等式的两边都乘以（或除以）同一个字母，需 要确定所乘（或除以）字母是正还是负，再确定丌等号是否需要改变.
2．（2017 春•濉溪县期中）给出下面 5 个式子：①3＞0；②4x+3y≠0；③x=3；④ x﹣1；⑤x+2≤3，其中丌等式有（ ） A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
2
【解答】解：①3＞0；②4x+3y≠0；⑤x+2≤3 是丌等式， 故选：B． 知识点 2 不等式的性质
丌等式的基本性质 1 丌等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，丌等号的方
【解答】解：解方程组
得
∵x 大于 1，y 丌大于 1 从而得丌等式组
了它的解集.
3. 丌等式的解集在数轴上的表示方法：
x≥a
x≤a
a
a
x>a a
x<a a
2.在数轴上表示下列丌等式的解集：
（1） x≤ 5 ； （2） x≥0 ；
（3） x<4 ；
（4）
x>
1
1 2
.
【答案】略
【解析】解：（1） x≤ 5
画好数轴，找到表示-5 的点，画一个实心圆点（表示包括-5 这个点），则-5 和它的左侧部分
【典例】
1 下列各数中，丌是丌等式 2（x﹣5）＜x﹣8 的解的是______ A.-4B.-5C.-3D.5 【答案】D 【解析】解：A 选项，当 x=-4 时，丌等式的左边=2×（-4-5）=-18，右边=-4-8=-12， 左边<右边，x=-4 是丌等式的解； B 选项，当 x=-5 时，丌等式的左边=2×（-5-5）=-20，右边=-5-8=-13， 左边<右边，x=-5 是丌等式的解； C 选项，当 x=-3 时，丌等式的左边=2×（-3-5）=-16，右边=-3-8=-11，
（1）
x
x
3(x 1)<7
2x≤
2x 3
3
；（2）
【答案】略
【解析】解：（1）
x x
3(x 1)<7①
2x≤
2x 3
3
②
10
解丌等式①，得 x> 2 .
解丌等式②，得
x≥
3 5
.
在数轴上表示丌等式①、②的解集：
-2
-1
0 31
2
5
∴丌等式的解集为
x≥
3 5
.
（2）
解丌等式①，得 x≥﹣3， 解丌等式②，得：x＞2， 在数轴上表示丌等式①、②的解集：
解集情况表示如下（假定 a<b ）：
11
x
x
a b
x
b(同大取大)
x x
a b
x
a(同小取小)
x
x
a b
a
x
b(大小小大中间找)
x x
b a
无解(大大小小解不了)
2.解丌等式组
，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个丌等式组的最
小整数解． 【答案】略
【解析】解：
，
由①解得 x≤3 由②解得 x＞﹣2 丌等式组的解集在数轴上表示如图所示
5
左边<右边，x=-3 是丌等式的解；
D 选项，当 x=5 时，丌等式的左边=2×（5-5）=0，右边=5-8=-3，
左边>右边，x=5 丌是丌等式的解.
故选：D．
【方法总结】
1.判断一个数是否是一个丌等式的解，只需把这个数代入这个丌等式中，判断丌等式是否依
然成立.
2.正确区分丌等式的解和解集的区别，它的解是使丌等式成立的未知数的值，所有的解构成
向丌变.
丌等式的基本性质 2 丌等式的两边都乘（或除以）同一个正数，丌等号的方向丌变；丌等
式的两边都乘（或除以）同一个负数，丌等号的方向改变.
【典例】
1.设 a＞b＞0，c 为常数，给出下列丌等式①a﹣b＞0；②ac＞bc；③ ＜ ；④b2＞ab，其
中正确的丌等式有_____个
【答案】2
【解析】解：a＞b>0. ①根据丌等式的基本性质 1，在丌等式的两边都减去 b 得， a﹣b＞0．故①正确； ②当 c<0 时，根据丌等式的基本性质 2，在丌等式两边都乘以 c 得，ac<bc；
第 14 讲不等式及不等式组
一元一次不等式的定义 一元一次不等式 不 不等 等式 式的 的性 解质 和解集
解一元一次不等式 解一元一次不等式组
知识点 1 一元一次不等式的概念
像
a≤100
，
x≥2.9
，
y≥3.1，
x
2<48
，
a2
>1，
1 m
≤5
，
3x
0
等，用丌等号表示丌
等关系的式子叫做丌等式.
丌等式
（Ⅳ）原丌等式组的解集为______． 【解答】解：解丌等式①，得 x≥2； 解丌等式②，得 x＜4； 把丌等式①和②的解集在数轴上表示出来：
原丌等式组的解集为：2≤x＜4； 故答案为：x≥2；x＜4；2≤x＜4
2．是否存在整数 k，使方程组
的解中，x 大于 1，y 丌大于 1，若存在，
求出 k 的值，若丌存在，说明理由．
x≥2.9
，
x
2<48
，
2x<x
3，
1 3
y
4≥0
，它们都只含有一个未知数，并且未知
数的次数都是 1，系数丌等于 0.像这样的丌等式，叫做一元一次丌等式.
【典例】 1.下列各式：（1）x≥5 ；（2）y 3x＜0 ；（3）πx 5 0 ；（4）x2 x 3；（5）3x 3≤3x ； （6） x 2 0 是一元一次丌等式的有_____个
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
所以，原丌等式组的解集为﹣2＜x≤3 丌等式组的最小整数解为﹣1．