概率统计习题 7.1 演示文稿1
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02教学课件_7.1.2 全概率公式
P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8， (1)由全概率公式得：
3 P(A)＝i＝∑1P(Bi)P(A|Bi)
＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86， (2)由贝叶斯公式得 P(B1|A)＝P（B1P）（PA（）A|B1）＝0.20×.806.95≈0.220 9，
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)． 为求P(Ai)，设Hi＝{飞机被第i人击中}，i＝1，2，3， 则P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，故
P(A1)＝P(H1－H 2－H 3＋－H 1H2－H 3＋－H 1－H 2H3) ＝P(H1)P(－H 2)P(－H 3)＋P(－H 1)P(H2)P(－H 3)＋P(－H 1)P(－H 2)P(H3)＝0.36， P(A2)＝P(H1H2－H 3＋H1－H 2H3＋－H 1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(－H 3)＋P(H1)P(－H 2)P(H3)＋ P(－H 1)P(H2)P(H3)＝0.41，
提示 两者的最大不同是处理的对象不同，其中全概率公式用来计算复杂事件的 概率，而贝叶斯公式是用来计算简单条件下发生的复杂事件的概率，也就是说， 全概率公式是计算普通概率的，贝叶斯公式是用来计算条件概率的.
题型一 全概率公式 【例1】 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击， 三人击中的概率分别为0.4，0.5，
P(B2|A)＝P（B2P）（PA（）A|B2）＝0.30×.860.9≈0.314 0， P(B3|A)＝P（B3P）（PA（）A|B3）＝0.50×.860.8≈0.465 1， 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最 小．
概率统计第七章1-2
P(|U|>u1-α/2)=α
φ(x)
U检验
α/2
- u1-αΒιβλιοθήκη 2 u1-α/2接受域α/2
X
否定域
否定域
双侧统计检验
该检验用 u 检验统计量，故称为u 检验。
② H0:μ≤μ0(已知); H1:μ>μ0 （右侧检验） 1) 提出原假设和备择假设: H0:μ≤μ0; H1:μ>μ0, X 0 在H0下有 2) 对统计量: U / n X 0 X , / n / n X 0 X 对给定的α有 { u1 } { u1 } / n / n X 0 X 所以 P( u1 ) P( u1 ) / n / n 3) 故 拒绝条件为U> u1-α
c u u0.05 1.645
由
X 110 4/5
1.645
X 108.648
即区间( ,108.648 ) 为检验的拒绝域 称 X 的取值区间 (108.648,+) 为检验的接受域
四、作出判断
在有了明确的拒绝域后，根据样本观测值 我们可以做出判断： 当 x 108.684 或 u 1.645 时，则拒绝H 0 即接收 H1 ；
H 0 : p 4%
vs
H1 : p 4%
二、选择检验统计量 由样本对原假设进行判断总是通过一 个统计量完成的，该统计量称为检验统计 量。 找出在原假设 H 0 成立条件下,该统计量 所服从的分布。
三、选择显著性水平，给出拒绝域形式 小概率原理中,关于“小概率”的值通常根据实 际问题的要求而定,如取α =0.1,0.05,0.01等, α 为检验的显著性水平(检验水平). 根据所要求的显著性水平α ,描写小概率事件的 统计量的取值范围称为该原假设的拒绝域(否定 域),一般用W表示；一般将 W 称为接受域。 拒绝域的边界称为该假设检验的临界值.
概率论与数理统计复习7章
( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 = 1 − α 即P 2 <σ2 < 2 χα 2 ( n − 1) χ1−α 2 ( n − 1) ( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 置信区间为： 2 , χα 2 ( n − 1) χ12−α 2 ( n − 1)
则有：E ( X v ) = µv (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k ) 其v阶样本矩是：Av = 1 ∑ X iv n i =1
n
估计的未知参数，假定总体X 的k阶原点矩E ( X k ) 存在，
µ θ , θ ,⋯ , θ = A k 1 1 1 2 µ2 θ1, θ 2 ,⋯ , θ k = A2 用样本矩作为总体矩的估计，即令： ⋮ µ θ , θ ,⋯ , θ = A k k k 1 2 ɵ ɵ ˆ 解此方程即得 (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k )的一个矩估计量 θ 1 , θ 2 ,⋯ , θ k
+∞
−∞
xf ( x ) dx = ∫ θ x θ dx =
1 0
令E ( X ) = X ⇒
θ +1
θ
ˆ = X ⇒θ =
( )
X 1− X
θ +1
2
θ
7.2极大似然估计法
极大似然估计法： 设总体X 的概率密度为f ( x,θ ) (或分布率p( x,θ )),θ = (θ1 ,θ 2 ,⋯ ,θ k ) 为 未知参数，θ ∈ Θ, Θ为参数空间，即θ的取值范围。设 ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) 是 样本 ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n )的一个观察值：
i =1 n
概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
高中试卷-专题7.1 条件概率与全概率公式(含答案)
专题7.1 条件概率与全概率公式姓名：班级：重点条件概率的公式及其应用。
难点全概率公式的应用。
例1-1．同时抛掷一个红骰子和一个蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为奇数”为事件A ，“两个骰子的点数之积为奇数”为事件B ，则=)|(A B P （ ）。
A 、61B 、41C 、31D 、21【答案】D 【解析】21)(=A P ，若A 、B 同时发生，则蓝色骰子向上点数为偶数，则412121)(=⨯=AB P ，∴21)()()|(==A P AB P A B P ，故选D 。
例1-2．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则=)|(A B P （ ）。
A 、31B 、74C 、32D 、43【答案】A【解析】由已知得73)(272324=+=C C C A P 、71)(2723==C C AB P ，则31)()()|(==A P AB P A B P ，故选A 。
例1-3．某市气象台统计，2022年3月1日该市市区下雨的概率为154，刮风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，设事件A 为下雨，事件B 为刮风，则=)|(B A P （ ）。
5B 、83C 、21D 、43【答案】D【解析】由题意可知154)(=A P 、152)(=B P 、101)(=AB P ，利用条件概率的计算公式可得：43)()()|(==B P AB P B A P ，故选D 。
例1-4．甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A 为“四名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选羽毛球”，则=)|(B A P （ ）。
A 、92B 、83C 、43D 、98【答案】A【解析】事件AB ：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，∴其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为33A ，事件B ：甲选羽毛球，∴其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为33，∴92434)()()|(43433===A B P AB P B A P ，故选A 。
《概率论与数理统计》7
未知参数 , ,, 的函数.分别令
12
k
L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
或令
i
ln L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
i
由此方程组可解得参数 i 的极大似然估计值 ˆi.
例5 设X~b(1,p), X1, X2 , …,Xn是来自X的一个样本,
求参数 p 的最大似然估计量.
解 E( X ) ，E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2
由矩估计法,
【注】
X
1
n
n i 1
X
2 i
2
2
ˆ X ,
ˆ
2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
对任何总体,总体均值与方差的矩估计量都不变．
➢常见分布的参数矩估计量
(1)若总体X~b(1, p), 则未知参数 p 的矩估计量为
7-1
第七章
参数估计
统计 推断
的 基本 问题
7-2
参数估 计问题
(第七章）
点估计 区间估 计
假设检 验问题 (第八章）
什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面概率特性的数量.
当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计.
例如，X ~N ( , 2),
若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出
k = k(A1, A2 , …, A k)
用i 作为i的估计量------矩估计量.
例1 设总体X服从[a，b]上的均匀分布，a，b未知，
X1, X2 , …,Xn为来自总体X的样本,试求a，b的 矩估计量．
解 E(X ) a b , D(X ) (b a)2
《概率统计习题》PPT课件
习 题 与 解 答 7。4
1. 有 人 对 3.1415926 的 小 数 点 后 800 位 数 字 中 数 字
0， 1 ， 2 ， ， 9 出 现 的 次 数 进 行 了 统 计 ， 结 果 如 下
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
次 数 74 92 83 79 80 73 77 75 76 91
6.13 1.53 0.31 0.06
100
编辑ppt
（ ni npi )2 / npi 0 .8 7 1 0 0.2801 0.0202 1.5982 0.1444 1.5358 0.06
2=3.7258
5
若取
0
.0
5，
查
表
知
，
2 1-
(
k
-
r
-
1
)
=
( 2 0.95
5
)
=
1
1
.
0
7
0
5
,
故 拒 绝 域 为 W={ 2 11.0705}.
水 平 为 0.05下 可 以 认 为 每 个 数 字 出 现 概 率 相 同 的 结 论 成 立 。
此 处 检 验 的 p值 为 p=P( 2(9) 50125),可 以 用 统 计 软 件 算 出 ，
譬 如 ， 可 在 Matlab中 使 用 如 下 命 令 1-chi2cdf(50125,9),给
检 验 问 题 。 此 处 总 体 取 值 杯 分 成 7类 ， 在 原 假 设 下 ， 每 类
出现的概率为
p i
i i!
e ,i
0 , 1,
, 5,
p6
i6
i i!
e .
1. 有 人 对 3.1415926 的 小 数 点 后 800 位 数 字 中 数 字
0， 1 ， 2 ， ， 9 出 现 的 次 数 进 行 了 统 计 ， 结 果 如 下
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
次 数 74 92 83 79 80 73 77 75 76 91
6.13 1.53 0.31 0.06
100
编辑ppt
（ ni npi )2 / npi 0 .8 7 1 0 0.2801 0.0202 1.5982 0.1444 1.5358 0.06
2=3.7258
5
若取
0
.0
5，
查
表
知
，
2 1-
(
k
-
r
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1
)
=
( 2 0.95
5
)
=
1
1
.
0
7
0
5
,
故 拒 绝 域 为 W={ 2 11.0705}.
水 平 为 0.05下 可 以 认 为 每 个 数 字 出 现 概 率 相 同 的 结 论 成 立 。
此 处 检 验 的 p值 为 p=P( 2(9) 50125),可 以 用 统 计 软 件 算 出 ，
譬 如 ， 可 在 Matlab中 使 用 如 下 命 令 1-chi2cdf(50125,9),给
检 验 问 题 。 此 处 总 体 取 值 杯 分 成 7类 ， 在 原 假 设 下 ， 每 类
出现的概率为
p i
i i!
e ,i
0 , 1,
, 5,
p6
i6
i i!
e .
高中数学新人教A版选择性必修第三册 第七章 7.1.1 条件概率 7.1.2 全概率公式 课件
P(A)
为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
2.概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,假设P(A)>0,那么
P(AB)=P(A)P(B|A).我们称该式为概率的乘法公式.
名师点析对于条件概率需注意的问题
(1)利用条件概率公式求P(B|A)时一定要注意P(A)>0.
(2)事件B在“事件A已发生〞这个附加条件下发生的概率与没有
孩子呢.〞在回家的路上妈妈告诉达娜:“这个家庭有两个孩子,只
知道有一个是女孩,另一个不太清楚.〞于是达娜在想,另一个孩子
也是女孩的可能性有多大呢?是50%的概率吗?你能帮达娜分析一
下吗?
激趣诱思
知识点拨
一、条件概率
1.定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=P(AB)
这个附加条件发生的概率一般是不相同的.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)P(B|A)与P(AB)有何区别?
(2)假设事件A,B互斥,那么P(B|A)是多少?
提示:(1)P(B|A)的值是事件AB发生相对于事件A发生的概率的大小;
而P(AB)是事件AB发生相对于原来的总空间而言,一般
P(B|A)≠P(AB).
P(AB )
P(B|A)=
答案:C
P(A)
=
1
10
4
15
3
= .
8
激趣诱思
知识点拨
二、条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.
设P(A)>0,那么
(1)P(Ω|A)=1;
(2)如果B和C是两个互斥事件,那么P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
2.概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,假设P(A)>0,那么
P(AB)=P(A)P(B|A).我们称该式为概率的乘法公式.
名师点析对于条件概率需注意的问题
(1)利用条件概率公式求P(B|A)时一定要注意P(A)>0.
(2)事件B在“事件A已发生〞这个附加条件下发生的概率与没有
孩子呢.〞在回家的路上妈妈告诉达娜:“这个家庭有两个孩子,只
知道有一个是女孩,另一个不太清楚.〞于是达娜在想,另一个孩子
也是女孩的可能性有多大呢?是50%的概率吗?你能帮达娜分析一
下吗?
激趣诱思
知识点拨
一、条件概率
1.定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=P(AB)
这个附加条件发生的概率一般是不相同的.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)P(B|A)与P(AB)有何区别?
(2)假设事件A,B互斥,那么P(B|A)是多少?
提示:(1)P(B|A)的值是事件AB发生相对于事件A发生的概率的大小;
而P(AB)是事件AB发生相对于原来的总空间而言,一般
P(B|A)≠P(AB).
P(AB )
P(B|A)=
答案:C
P(A)
=
1
10
4
15
3
= .
8
激趣诱思
知识点拨
二、条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.
设P(A)>0,那么
(1)P(Ω|A)=1;
(2)如果B和C是两个互斥事件,那么P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
概率论与数理统计课后习题答案 第七章
习题 7.2 1. 证明样本均值 是总体均值
证:
的相合估计
由定理
知 是 的相合估计
2. 证明样本的 k 阶矩
是总体 阶矩
证:
的相合估计量
3. 设总体 (1)
(2)
是
的相合估计
为其样品 试证下述三个估计量
(3)
都是 的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证:
都是 的无偏估计
故 的方差最小.
大?(附
)
解: (1) 的置信度为 的置信区间为
(2) 的置信度为 故区间长度为
的置信区间为
解得
四、某大学从来自 A,B 两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生,测其身高(单位:厘米)后,算的
.假设两市新生身高分别服从正态分布:
,
其中 未知 试求
的置信度为 0.95 的置信区间.(附:
解:
.从该车床加工的零件中随机抽取
4 个,测得长度分别为:12.6,13.4,12.8,13.2.
试求: (1)样本方差 ;(2)总体方差 的置信度为 95%的置信区间.
(附:
解: (1)
(2) 置信度 的置信区间为
三、设总体
抽取样本
为样本均值
(1) 已知
求 的置信度为 的置信区间
(2) 已知
问 要使 的置信度为 的置信区间长度不超过 ,样本容量 n 至少应取多
施磷肥的
620 570 650 600 630 580 570 600 600 580
设不施磷肥亩产和施磷肥亩产均服从正态分布,其方差相同.试对施磷肥平均亩产与不施磷肥平均
亩产之差作区间估计(
).
解:
查表知
概率统计-习题及答案(7)
7.2 问题相当于要检验H0：3.25。n5，X3.252，S*0.013038。
TX0n3.252 3.2550.3430。
S*0.013038
对0.05，查t分布表可得t1(n 1) t0.975(4)2.7764。
因为T0.3430 2.7764，接受H0：3.25。
7.3 问题相当于要检验H0：20。
n
25，S*2
404.77，S2n 1S*2388.58，n
2nS225388.58
24.286。
2
0
202
对
0.05，查
2
分布表可得
22(n 1)
2
02.025(24) 12.401,
122(n
2
1)02.975(24)39.364，
因为12.401
224.286 39.364
， 接受
H0：20。
S*11(m/s)，求
2和
的水平为 95% 的置信区间。
7.15 设总体～N(
2
1,12)，～N(2,
2
22)，其中
1，2都未知， 但已知1
2，
(X1,X2, , Xm)，(Y1, Y2, ,Yn)分别是， 的样本，两个样本相互独立，请根
据 6.7 节的定理 6.8 ，推导出一个在本题条件下，求1 2的水平为1的置信区间 的公式。
7.16设用原料A和原料B生产的两种电子管的使用寿命(单位：小时)分别为～22
N(1,12)和～N(2,22)，其中1，2都未知，但已知1 2。现对这两种 电子管的使用寿命进行测试，测得结果如下：
原料A
1460，1550，1640， 1600，1620，1660，1740，1820
TX0n3.252 3.2550.3430。
S*0.013038
对0.05，查t分布表可得t1(n 1) t0.975(4)2.7764。
因为T0.3430 2.7764，接受H0：3.25。
7.3 问题相当于要检验H0：20。
n
25，S*2
404.77，S2n 1S*2388.58，n
2nS225388.58
24.286。
2
0
202
对
0.05，查
2
分布表可得
22(n 1)
2
02.025(24) 12.401,
122(n
2
1)02.975(24)39.364，
因为12.401
224.286 39.364
， 接受
H0：20。
S*11(m/s)，求
2和
的水平为 95% 的置信区间。
7.15 设总体～N(
2
1,12)，～N(2,
2
22)，其中
1，2都未知， 但已知1
2，
(X1,X2, , Xm)，(Y1, Y2, ,Yn)分别是， 的样本，两个样本相互独立，请根
据 6.7 节的定理 6.8 ，推导出一个在本题条件下，求1 2的水平为1的置信区间 的公式。
7.16设用原料A和原料B生产的两种电子管的使用寿命(单位：小时)分别为～22
N(1,12)和～N(2,22)，其中1，2都未知，但已知1 2。现对这两种 电子管的使用寿命进行测试，测得结果如下：
原料A
1460，1550，1640， 1600，1620，1660，1740，1820
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P( x 0.6 | H 0 ) P(10 x 6 | H 0 )
1 k 4 10 k ( )( ) ( ) 5 5 k 5 1 k 4 5 10 0.0328 5 ( ) ( ) 5 5 0.0328 0.0264 0.0064,
10 k 10
习题与题解7.1
1.解(1)由定义知, 犯第一类错误的概率为
a p ( x 2.6 | H 0 ) P ( X 2 1/ 20 2.6 2 1/ 20 } 1 (2.68) 0.0037,
这是因为在H 0 成立下, x N (2,1/ 20).而犯第二类错误的概率为
注:从这个例子可以看出,要使得 与 都趋于0, 必须n 才可实现,这一结论在一般场合仍成立, 即要使得 与同时很小, 必须样本量n很大.由于 样本量n 很大在实际中常常是不可行的,故一般 情况下人们不应要求 与同时很小.
2.设x,..., x是来自0 1总体b(1, p)的样本, 考虑如下检验问题
H 0 : p 0.2
vs
H1 : p 0.4,
取拒绝域为W {x 0.5}, 求该检验犯两类错误的概率.
2 1 4 =P(x 0.5|H 0 )=P(10x 5|H 0 )= (10 )( ) k ( )10 k 0.0328. k 5 5 k=5 2 k 3 10k P( x 0.5 | H1 ) P(10 x 5 | H1 ) ( )( ) ( ) 0.6331. 5 5 k 0
=P(x,2.6|H1 )=P(
=1-(1.79)=0.0367
x-3 1/20
<
2.6-3 1/20
)=(-1.79)
这是因为在H1成立下, x N (3,1/ 20). (2)若使犯第二类错误的概率满足
=P(x<2.6|H 1 ) P (
x 3 1/ n
2.6 3 1/ n
H0 : 3
vs
H1 : 3,
拒绝域取为W {x( n ) 2.5}, 求检验犯第一类错误的最大值 , 若要使得该取 值 不超过0.05,n 至少应取多大?
解均匀分布U (0, )的最大次序统计量x( n )的密度函数为
f n ( x)
{
nx
n 在 6.5出犯第二类错误的概率为
x 6.5 2 0.48) 0.5 (0.96) (2.96) (0.96) (2.96) 1 0.83. P(| x 6 |) 0.98 | 6.5) P(2 1.48
.设总体为均匀分布U (0, ), x1 ,..., xN 是样本, 考虑检验问题
解
1 在H 0 为真的条件下, x (6, ),因而由 4 P(|x-6| c| =6)=0.05, 得 P( x-6 c )=1- (2c)=0.025 0.5 0.5
也就是(2c) 0.975,2c 1.96, 所以当c 0.98时, 检验的显著性水平为0.05.
10 k 4 10
解x1 ,...,x10 b(1, p)则10 x b(10, p), 于是犯两类错误的概率分别为
讨论:这里 =0.0328已经很小了，但 0.6331却很大, 在样本量n=10 为W={x0.6} 则这时检验犯两类错误的概率分别为
固定下,若要使 更下则回导致 更大,为说明这一点,我们试着将拒绝域改变
5.在假设检验问题中, 若检验结果是接受原假设,则检验可能犯哪一类错 误?若检验结果是拒绝原假设,则又可能犯哪一类错误? 解 若检验结果是接受原假设,可能有两种情况:其一是原假设为真, 此时检验是真确的,未犯错误,其二是原假设不真,此时检验结果错了,这种 错误是接受了不真的原假设,为第二类错误,鼓此检验可能犯第二类错误.
这一现象在一般场合也是对的,即在样本量n固定下, 减小 必导致增大 ,减小 也必导致增大 .
3.设x1 ,..., x16是来自正态分布总体N( ,4)的样本,考虑检验问题 H0: =6 vs H1: 6, 拒绝域取为W={|x-6| c},是求c使得检验的显著性水平为0.05,并求该检 验在 =6.5处犯第二类错误的概率.
其他,
是的严减函数,故其最大值在 =3处达到,即 2.5 n =(3)=( ), 3
因而检验犯第一类错误的概率为 x n 1 2.5 ( ) P( xn 2.5 | H 0 ) n n dx ( ) n ,
若要使得 (3) 0.05, 则要求nln(2.5 / 3) ln0.05, 这给出n 16.43, 即n至 少为17.
) 0.01
即1 (
0.4
1/ n 取34, 才能使检验犯第一类错误的概率 0.01.
) 0.01, 或(0.4 n ) 2.23,由此给出n 33.93, 因而n最小应
(3) 在样本量为n时,检验犯第一类错误的概率为 x 2 2.6 2 =P(x 2.6|H 0 ) P( ) 1 (0.6 n ), 1/ n 1/ n 当n 时, (0.6 n ) 1,即 0. 检验犯第二类错误的概率为 x 2 2.6 3 P( x 2.6 | H1 ) P( ) (0.4 n ) 1 (0.4 n ) 1/ n 1/ n 当n 时, (0.4 n ) 1,即 0.
P ( x 0.6 | H1 ) P (10 x 6 | H1 ) 2 k 3 10 k ( )( ) ( ) 5 5 k 0 2 5 3 5 10 0.6331 (5 )( ) ( ) 5 5 0.6331 0.2007 0.8338.
10 k 5