第七章常微分方程第二节一阶微分方程
第七章 常微分方程 第二节 一阶微分方程
2
两边积分， 两边积分，得
20112011-4-16 高 等 数 学 习 题 课 16
3u + 2 ∫ u(u2 +1) du = −3ln | x | +lnC，
2
3u2 + 2 2 u du = ∫ ( + 2 )du 由于 ∫ 2 u u +1 u(u +1) 1 2 ( = 2ln | u| + ln u +1) +C1 ， 2 C 2 2 故方程的通解为 u u +1 = ， 3 x
5
例2 求解方程 yd x + (x − 4x)d y = 0．
2
此方程为一个可分离变量的微分方程． 解 此方程为一个可分离变量的微分方程．分离 变量， 变量，得
dy dx = ， 2 y 4x − x
dx 1 1 1 = + d x， 2 4 x 4− x 4x − x
因
两边积分， 两边积分，得
第七章(1) 第七章
习题课
一阶微分方程的解法及应用
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 三、课外练习题
20112011-4-16
高 等 数 学 习 题 课
1
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 几个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 几个标准类型 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 关键: 关键 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 代换自变量 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换因变量 代换某组合式 代换某组合式
03考研 考研
第七章 微分方程
第七章 微分方程函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系可以对客观事物的规律进行研究。
但在多数情况下，无法直接找到要研究的问题所需的函数关系，却比较容易建立起该函数及其导数的关系式，即微分方程。
再通过解这种方程，就可得到该函数关系。
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。
目前已广泛的应用于自然科学、工程技术、人口科学、经济学、医学等各个领域,已成为应用数学知识解决实际问题的重要手段。
本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的解法。
第一节 微分方程的基本概念一 引例下面通过几个实例来说明微分方程的基本概念。
例1 一曲线y =y (x )通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 根据导数的几何意义知,x dxdy 2=. (1) 且y =y (x )满足下列条件:x =1时, y =2, (2) 把(1)式两端积分, 得⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数.把条件（2）代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程y =x 2+1. （4）例2 列车在水平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式4.022-=dts d . (5) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:t =0时, s =0, 20==dtds v . (6) 把(5)式两端积分一次, 得14.0C t dtds v +-==; (7) 再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (8) 这里C 1, C 2都是任意常数.把条件t =0，v =20代入(7)得20=C 1;把条件t =0，s =0代入(8)得0=C 2.把C 1, C 2的值代入(7)及(8)式得v =-0.4t +20, (9) s =-0.2t 2+20t . (10) 在(9)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020==t (s ). 再把t =50代入(10), 得到列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).上面的两个例子，尽管实际意义不相同，但解决问题的方法，都是归结为首先建立一个含有未知函数的导数的方程，然后通过所建立的方程，求出满足所给的附加条件的未知函数．这就是所谓的微分方程及其解微分方程。
常微分方程一阶常微分方程的解法和应用
常微分方程一阶常微分方程的解法和应用常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
一阶常微分方程是其中最基础的一类方程，本文将讨论一阶常微分方程的解法以及应用。
一、解法1. 可分离变量法可分离变量法适用于一阶常微分方程可以分离为两个只含有自变量和因变量的函数之积的情况。
具体步骤如下：（1）对方程两边进行化简，将自变量和因变量分离；（2）对两边分别求积分，得到两个方程；（3）将两个方程合并，并对其求解得到解。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于一阶常微分方程可以化为形如dy/dx=f(y/x)的方程。
具体步骤如下：（1）令y=vx，将原方程转化为v和x的方程；（2）对新方程进行求导，并将结果代入原方程中同样的位置，化简得到一个关于v和x的常微分方程；（3）求解新方程，得到v和x的关系；（4）将v和x的关系代入y=vx，得到解。
3. 线性方程法线性方程法适用于形如dy/dx+a(x)y=b(x)的方程。
具体步骤如下：（1）根据线性方程的特点，先求解对应的齐次线性方程；（2）利用待定系数法，设待求特解的形式，并代入原方程，确定待定系数；（3）将特解和齐次线性方程的通解相加，得到原方程的整体通解。
二、应用1. 自然增长和衰减模型在生物学领域中，许多生物种群的增长或衰减遵循一阶常微分方程。
例如，自然增长模型可以表示为dy/dt=k*y，其中y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。
通过求解这一方程，可以得到种群数量随时间的变化规律。
2. RC电路的充电和放电模型在电工学领域中，一阶常微分方程被广泛用于描述电容器和电阻器组成的RC电路中的充电和放电过程。
例如，对于一个充电电路，方程可以表示为dQ/dt=(V-Vc)/RC，其中Q表示电荷量，V为电压，Vc为电容器上的电压，R为电阻，C为电容。
通过求解这一方程，可以了解电容器上电压的变化。
7-2一阶微分方程习题答案
河海大学理学院《高等数学》
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x).
常数变易法:
dx
把齐次通解中的常数变易为待定函数的方பைடு நூலகம்.
实质: 未知函数的变量代换. ( y Ce P( x)dx )
新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x),
作变换 y u( x)e P( x)dx
即
y
xu,
dy
u
x
du
,
x
代入原式
u
x du
f (u),
dx
dx
dx
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
河海大学理学院《高等数学》
du f (u) u .
当
dx f (u)
u
x
0时,
得
f
du (u)
u
ln C1x ,
即
x
Ce(u) ,（(u)
du ） f (u) u
定义定义二齐次方程二齐次方程河海大学理学院高等数学dxdu求解微分方程dx求解微分方程河海大学理学院高等数学经过适当的变量代换三可化为齐次或可分离变量的方程三可化为齐次或可分离变量的方程检查应取何值可使方程化为齐次dxdydxxydy河海大学理学院高等数学为齐次方程
一阶常微分方程的求解
河海大学理学院《高等数学》
y u( x)e P( x)dx u( x)[ P( x)]e P( x)dx ,
河海大学理学院《高等数学》
将y和y代入原方程得u( x)e P( x)dx Q( x),
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
《高等数学》 第七章
C
；
第三步，求积分的通解： G( y) F(x) C ．
其中 G( y) ， F (x) 分别是 1 ， f (x) 一个原函数． g ( y)
第二节 一阶微分方程
例 1 求微分方程 dy y sin x 0 的通解． dx
解 将方程分离变量，得到 dy sin xdx ， y
两边积分，即得
（*）
例如，以上六个方程中，（1）、（2）、（5）、（6）是一阶常微分方程，（3）是二阶
常微分方程，（4）是二阶偏微分方程．
定义 3 如果微分方程中含的未知函数及其所有导数都是一次多项式，则称该方
程为线性方程，否则称为非线性方程．
一般说来，n 阶线性方程具有如下形状：
a0(x) y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y (x) ．
第二节 一阶微分方程
例 3 求方程 dy y 1 的解． dx x 1
为方便起见，以后在解微分方程的过程中，如果积分后出现对数，理应都需作
类似下述的处理，其结果是一样的．以例 3 为例叙述如下：
分离变量后得
1 dy 1 dx ， y 1 x 1
两边积分得
ln | y 1| ln | x 1| ln C ，
再分离变量，得 du 1 dx ； f (u) u x
第三步，两端分别积分后得
du f (u) u
ln | x | C1
．
求出积分后，再用 y 代替 u ，便可得到方程关于 x 的通解． x
第二节 一阶微分方程
例 4 求微分方程 xy y(1 ln y ln x) 的通解．
解
将方程化为齐次方程的形式
dy dx
y x
1
高等数学第七章常微分方程
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高等数学
第七章 常微分方程
因此y=eλ1x是原方程的解。 函数y=C1eλ1x+C2eλ2x的一阶导数和二阶导数分别为 y′=C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x y″=C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x 代入原方程，则 (C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x)-(λ1+λ2)(C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x)+λ1λ2( C1eλ1x+eλ2x)≡0 说明y=C1eλ1x+C2eλ2x也是原方程的解。
微分方程的概念 一阶微分方程 可降阶的高阶微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程
第一节 微分方程的概念
一、 微分方程的基本概念
例1 已知一条曲线经过点(2，1)，且该曲线上任一点
P(x，y)处切线斜率为x，求该曲线的方程.
解 设所求曲线方程为y=y(x).由导数的概念及几何意义
F(x，f(x)，f′(x)，…，f(n)(x))≡0 则称y=f(x)为微分方程 (7-1-1) 在区间I上的解。
第一节 微分方程的概念
例2 验证函数y=eλ1x和y=C1eλ1x+C2eλ2x均为方程 y″-(λ1+λ2)y′+λ1λ2y=0的解。
解 y=eλ1x的一阶导数和二阶导数分别为 y′=λ1eλ1x， y″=λ12eλ1x 将y，y′，y″代入原方程中，则 λ12eλ1x-(λ1+λ2)λ1eλ1x+λ1λ2eλ1x≡0
dx
第二节 一阶微分方程PPT优秀
y e [ p(x)dx e p(x)dxQ(x)dx C]
常数变易法求解一阶线性非齐次 微分方程的步骤:
1.将方程化成一阶线性非齐次微分方程的标准形式; 2.写出方程中的P(x)与Q(x);
3.计算积分 y eP(x)dx
4.计算积分 Q(x)eP(x)dxdx
5.由公式写出通解
例 求微分方程 dy y x2 的通解 dx x
分
离
变
量
得
1 u 1 u2
du
1 x
dx,两
边
积
分
得
通
解
为
a rc ta n u 1 ln (1 u 2 ) ln x C 2
回代u y可得原方程的通解为 x
2 arctan y ln( x 2 y 2 ) C x
代 入 初 始 条 件 求 得 C 0,因 此 所 求 曲 线 方 程 为
N(y) 例 求微分方程
的通解
写出方程中的P(x)与Q(x);
(2) 两边积分 计算积分可得原方程的通解为
dy N(y)
M(x)dx
若G'(y) 1 ,F'(x) M(x),则可得通解 N(y)
G(y)=F(x)+C
例1 求方程 y'lnxy2lnx 的通解
解 原方程可化为 dy (1 y2)lnx
＝
C1x
1 2
x3,
C2x
1 2
x3
x0 ,x 0
即 y Cx 1 x3 2
例 求方程(1 x2)d y(1 2 xyx2)d x满足
初始条件 y |x0 1 的一个特解
解 原方程可化为
dy dx
2x 1 x2
第七章 一阶线性偏微分方程 常微分方程课件 高教社ppt 王高雄教材配套课件
第七章一阶线性偏微分方程§7.1 首次积分和求解常微分方程组基本概念(,,)ni 1n i 1i u X x x 0x =∂=∂∑(,,)(,,)ni1n1ni 1iuX x x Z x x x =∂=∂∑(,,,)(,,,)ni 1n 1n i 1i uY x x u Z x x u x =∂=∂∑例丨例1解x yu uc0u cu0 x y∂∂+=+=∂∂即例2例2 解(,,)(,,)x y y x u g x y u u g x y u 0-=(,)()()(,)xy x y y x x y u y y x u x x y y u xyu u u v u v u v u g g u u g g u u g u g 0v v x y ∂==-=-⋅--⋅=-⋅=∂(,(,,))((,,))u g x y u 0u g x y u ϕΦ==或特征方程定义•齐次线性偏微分方程特征方程•拟线性偏微分方程特征方程(,,)ni1n i 1iu X x x 0x =∂=∂∑(,,,)(,,,)ni 1n 1n i 1iu Y x x u Z x x u x =∂=∂∑d d d n1212nx x x X X X ===d d d d n 1212n x x x uY Y Y Z====首次积分定义首次积分d (,,,),(),,,6d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1nx===（）首次积分彼此独立彼此独立(,,)(,,)n 1111n 1n n 1nny y D D y y y y ψψψψψψ∂∂∂∂=∂∂∂∂n 1111n 11nn x x x x ϕϕϕϕ--∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系d (,)d yf x y 8x=（）d (,)d y f x y 0x y x x yψψψψ∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂(,)u u f x y 09x y∂∂+=∂∂（）d d (,)d d u u u y u uf x y 0x x y x x y ∂∂∂∂=+=+=∂∂∂∂定理1定理112n 12nf f f 010x y y y ψψψψ∂∂∂∂++++=∂∂∂∂（）d (,,,),(),,,d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1n 6x===（）证(,,,)0001n x y y G∈()(,,,)i i 0y x i 12n ϕ==(,(),,())1n x x x const ψϕϕ=d(,(),,())d 1n x x x 0x ψϕϕ=(,,,)(,,,)(,,,)n00000001n i 01n 01n i 1i x y y f x y y x y y 0x y ψψ=∂∂+=∂∂∑(,,,)0001n x y y G ∈12n 12nf f f 010x y y y ψψψψ∂∂∂∂++++=∂∂∂∂（）(),,,d(,(),,())d i i 1n 12n y x 12n i 12nx x x f f f 0xxy y y ϕψψψψψϕϕ==⎛⎫∂∂∂∂=++++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭(,(),,())1n x x x constψϕϕ=d (,,,),(),,,d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1n 6x===（）§7.3 利用首次积分求解常微分方程组定理2d(,,,),,,dii1nyf x y y i1n11x==（）(,,,),,,i1n ix y y c i1n12ψ==（），证(,,,)(,,,)12n 12n 0y y y ψψψ∂≠∂(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 12ψ==（）(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 13ϕ==（）(,(,,,),,(,,,)),,,j 11n n 1n j x x c c x c c c j 12n ψϕϕ==d (,,,)(,,,),,,d n i j 1n j 1n i 1ix x 0j 12nxy xϕψϕϕψϕϕ=∂∂+⋅==∂∂∑,,,,j j j1n 1nf f 0j 12n 14x y y ψψψ∂∂∂+++==∂∂∂（）(,,,),,,nj ii 1n d f x 0j 12ny dxψϕϕϕ∂⎡⎤-==⎢⎥∂⎣⎦∑(,,,)(,,,)(,,,),,,nj 1n i 1n j 1n i 1i x f x x 0j 12n x y ψϕϕϕϕψϕϕ=∂∂+⋅==∂∂∑d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 12ψ==（）(,,,)(,,,)12n 12n 0y y y ψψψ∂≠∂d (,,,),,,d ii 1n f x j 12nx ϕϕϕ==(,,,),,,,i i 1n y x c c i 12nϕ==(,,,,),,,,i i 01n y x x y y i 12nϕ==(,,,)(,,,)i i 01n c x y y i 12n ψ==(,,,)(,,,)i i 1n y x c c i 12n ϕ==(,,,,)(,,,)(,,,)i 001n i i 01n x x y y y x c c i 12n ϕϕ===(,,,)(,,,,),,,,i 1n i 01n x c c x x y y i 12n ϕϕ==(,,,,)(,,,)i i 01n y x x y y i 12n ϕ==(,,,)(,,,)i i i 01n c c x y y i 12n ψ===，d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）求首次积分方法(,)(,,)x c y x c 00c cϕψ∂∂≠≠∂∂或d d d d n12012ny y y x g g g g ====(,,)i 0i g g f i 1n ==,,,01nμμμ,d d d d 0011n n 011n n g g g 0x y y μμμμμμϕ+++=+++=d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）例1 求解方程组d d d d 222222y2xy x x y z z 2xz x x y z ⎧=⎪--⎪⎨⎪=⎪--⎩d d d 222x y zx y z 2xy 2xz==--d d y z yz=1y c z=d d d d ()222x x y y z z yx x y z 2xy++=++2222x y zc y++=12222yc z x y z c y ⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩例2 求方程组的通积分d d d x y z xz yz xy==,,012g xz g yz g xy===,,012y x 2z μμμ===-001122g g g 0μμμ++=()2012dx dy dz d xy z μμμ++=-21xy z c -=2xc y=212xy z c x cy ⎧-=⎪⎨=⎪⎩。
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2020/4/16
高等数学习题课
5
例2 求解方程 ydx(x24x)dy0．
解 此方程为一个可分离变量的微分方程．分离
变量，得
dy y
dx 4x x2
，
因
dx 4xx2
11 1 dx， 4x 4x
两边积分，得
ln |y|1(l|n x|ln |4x|)ln C， 4
即得原方程的通解
y4(4x)Cx．
2020/4/16
高等数学习题课
14
(1)0yx x2y
提示: 令 u x2yx, 即 y2xuu2,则
d y 2u2 x d u 2 u d u
dx
dx dx
原方程化为 2u2(xu)duu dx
dx 2 x 2 du u
xeu2du 2eu 2duduC
u12
2u2duC
2u2 3
C u2
用线性方程通解公式求解 .
2020/4/16
高等数学习题课
4
(4) y 63xx32y3x2yy32 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u y x
*方法 2 化为微分形式 ( 6 x 3 3 x y 2 ) d x ( 3 x 2 y 2 y 3 ) d y 0
P6xyQ
y
x
故这是一个全微分方程 (下册内容).
变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式
P315 题7
2020/4/16
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2
例1 求下列方程的通解
(1) yy12ey3x 0;
(3)
y
1 2x
y2
;
(2)xyx2y2y; (4) y 63xx32y3x2yy32.
提示: (1) 因 ey3xey3ex, 故为分离变量方程:
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第七章(1)
一阶微分方程的解法及应用
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 三、课外练习题
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1
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 几个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤
2. 一阶非标准类型方程求解
由于 u3(u u22 2 1)du (u 2u2u1)du
2ln|u|1 2lnu(21)C1，
故方程的通解为 u2
u2
1
C x3
，
即
y2 x2 y2 C．
2020/4/16
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17
*解法2 方程变形为
dx 2 x3yx1， dy y 此方程为贝努利方程，此时令 z x2 , 则有
将u
y x
代入，有
sin
y
C
，
xx
由初始条件 y x2 3 ，得C1, 即原方程的解为
sin y 1 ， xx
即满足初始条件的解为
y xarcsin1 ． x
2020/4/16
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8
例4 求微分方程 (y43x2)dyxd yx0的通解．
解 原方程变形为
dx 3 xy3x1， dy y
2020/4/16
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6
例3
求解方程
xyxtanyy0， x
y
x2
3
．
解 原方程变形后为齐次方程
y y tan y ．
x
x
作变换 u y ，则有
x
uxduutanu，
dx
移项，得
cous du1dx，
sinu
x
2020/4/16
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7
两边积分，得
ln |siu |n ln |x| ln C ，
即
d(x2) 6(x2) 2y3，
dy y
此是关于函数 x2 f (y) 的一阶线性非齐次线性微
分方程，由求解公式得
2020/4/16
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9
x2e6 ydy 2y3e6 ydydyC
y62
y13dyCy4C6y．
2求下列方程的通解:
( 1 ) x y y y ( lx n ly n ) (2)y3x2y26x3
故原方程通解 (x2y)3x33xyC 2
2020/4/16
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15
例6
求解微分方程
y
xy2 2x2 y 3y3
．
解法1 此方程为齐次方程，作代换 yux，
则有
uxddux3u2u2，
分离变量，得
u3(uu2221)du
3dx， x
两边积分，得
2020/4/16
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16
u3(u u22 21)du3ln|x|lnC，
2020/4/16
高等数学习题课
13
( 2 ) x y lx n y a x ( lx n 1 )
提示: 这是一阶线性方程 , 其中
P(x) 1 , Q(x)a(1 1 )
xlnx
lnx
(3)dy y dx 2(lnyx)
提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程 dx2x2lny dy y y
y2ey3dyexdx
通解
1ey3 ex C 3
2020/4/16
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3
(2)xyx2y2y
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
x0时, y
1 y2y
xx
xu 1u2
x0时，y 1 y2y
xx
xu 1u2
(3)
y
1 2x
y2
调换自变量与因变量的地位 , 化为 dx2xy2, dy
2xy2y
P315 题7
提示: (1) 原方程化为 (x y ) y l( n x y )
令u=xy,得
du ulnu dx x
(分离变量方程)
2020/4/16
高等数学习题课
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(2)y3x2y26x3 2xy2y
化方程为 dy3(x1)2y2 dx 2y(x1) 令 t = x – 1 , 则 dydydt dy dx dt dx dt dy 3t2 y2 (齐次方程) dt 2ty 令y=ut
可分离变量方程求解
2020/4/16
高等数学习题课
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练习题: P353 题1，2，3(1), (2), (3), (5), (10)
P353 题2 求以 (xC)2y21为通解的微分方程. 提示: 2 (( xx C C )) 2 2 yy 2y 1 0 消去 C 得 y2(y21)1
P353 题3 求下列微分方程的通解: (1)xyy2xy 提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : u2 u
dz 4 z 6y， dy y 故方程的通解为 zy2Cy4， 代回原变量，得 x2y2Cy4．
2020/4/16
高等数学习题课
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例7 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
内满足以下条件: f ( x ) g ( x ) g ( x , ) f ( x ) 且 f , ( 0 ) 0 , f(x)g(x)2ex.