动力学蒙特卡罗模拟方法简介
蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟法
当科学家们使用计算机来试图预测复杂的趋势和事件时, 他们通常应用一类需要长串的随机数的复杂计算。
设计这种用来预测复杂趋势和事件的数字模型越来越依赖于一种称为蒙特卡罗模似的统计手段, 而这种模拟进一步又要取决于可靠的无穷尽的随机数目来源。
蒙特卡罗模拟因摩纳哥著名的赌场而得名。
它能够帮助人们从数学上表述物理、化学、工程、经济学以及环境动力学中一些非常复杂的相互作用。
数学家们称这种表述为“模式”, 而当一种模式足够精确时, 他能产生与实际操作中对同一条件相同的反应。
但蒙特卡罗模拟有一个危险的缺陷: 如果必须输入一个模式中的随机数并不像设想的那样是随机数, 而却构成一些微妙的非随机模式, 那么整个的模拟(及其预测结果)都可能是错的。
最近, 由美国佐治亚大学的费伦博格博士作出的一分报告证明了最普遍用以产生随机数串的计算机程序中有5个在用于一个简单的模拟磁性晶体中原子行为的数学模型时出现错误。
科学家们发现, 出现这些错误的根源在于这5个程序产生的数串其实并不随机, 它们实际上隐藏了一些相互关系和样式, 这一点只是在这种微小的非随机性歪曲了晶体模型的已知特性时才表露出来。
贝尔实验室的里德博士告诫人们记住伟大的诺伊曼的忠告:“任何人如果相信计算机能够产生出真正的随机的数序组都是疯子。
”蒙特卡罗方法（MC）蒙特卡罗（Monte Carlo）方法：蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。
传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
这也是我们采用该方法的原因。
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。
蒙特卡洛模拟法
蒙特卡洛模拟法目录编辑本段蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。
具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。
由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。
这个术语是二战时期美国物理学家Metropolis执行曼哈顿计划的过程中提出来的。
蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时，可以用计算机模拟的方法产生抽样结果，根据抽样计算统计量或者参数的值；随着模拟次数的增多，可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。
编辑本段蒙特卡洛模拟法的应用领域蒙特卡洛模拟法的应用领域主要有：1.直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统，得到某些参数或重要指标。
2.蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分，维数越高，积分效率越高。
3.MCMC:这是直接应用蒙特卡洛模拟方法的推广，该方法中随机数的产生是采用的马尔科夫链形式。
编辑本段蒙特卡洛模拟法的概念（也叫随机模拟法）当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用则可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值。
随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。
由于需要大量反复的计算，一般均用计算机来完成。
编辑本段蒙特卡洛模拟法求解步骤应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。
解题步骤如下：1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致2 .根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。
动力学蒙特卡罗的核心算法
动力学蒙特卡罗的核心算法
动力学蒙特卡罗方法（Dynamic Monte Carlo methods）是指在
蒙特卡罗模拟中结合了动力学系统和随机抽样的算法。
它是一种基于动力学方程演化的模拟方法，用于研究非平衡统计物理中的系统动力学行为。
核心算法如下：
1. 初始化系统状态：设定系统中的粒子初始位置、速度和相互作用等参数。
2. 根据系统的动力学方程演化：利用物理方程（如牛顿运动定律）和数值积分方法（如Euler方法或Verlet方法）模拟系统
的时间演化过程。
3. 更新系统的状态：根据演化后的系统状态，更新粒子位置、速度等信息。
4. 判断系统是否达到平衡：通过一定的判断准则（如能量是否达到平衡、系统参数是否稳定等），判断系统是否达到平衡状态。
5. 如果系统未达到平衡，返回第2步，继续进行动力学演化；如果系统已经达到平衡，进行下一步。
6. 统计物理量：根据达到平衡状态的系统状态，进行随机抽样，计算所关心的物理量（如能量、压力、密度等）。
动力学蒙特卡罗方法通过模拟系统的时间演化，使得系统在能量低的状态中进行搜索，从而获得系统在平衡态下的统计物理量。
它可以用于模拟复杂系统的统计行为，如液体的结构和运动等。
蒙特卡洛模拟方法
蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法（Monte Carlo simulation）是一种基于随机过程的数值计算方法，通过生成大量随机数来模拟实际问题的概率分布和确定性结果。
它的原理是通过随机抽样和统计分析来近似计算复杂问题的解，适用于各种领域的问题求解和决策分析。
蒙特卡洛模拟方法最早于20世纪40年代在核能研究中出现，命名源于摩纳哥的蒙特卡洛赌场，因为其运作原理与赌场的概率计算类似。
它的核心思想是通过大量的重复实验来模拟问题的解空间，并基于统计原理对结果进行分析。
蒙特卡洛模拟方法的应用领域广泛，包括金融、工程、物理、统计学、风险管理等。
在金融领域，蒙特卡洛模拟方法可以用于模拟股票价格的变动，估计期权的价格和价值-at-risk（风险价值），帮助投资者进行风险管理和资产配置。
在工程领域，蒙特卡洛模拟方法可以用于模拟不同参数对产品性能的影响，优化产品设计和工艺流程。
在物理学中，蒙特卡洛模拟方法可以用于模拟粒子运动轨迹，研究核反应和量子系统的行为。
在统计学中，蒙特卡洛模拟方法可以用于估计未知参数的分布和进行概率推断。
1.明确问题：首先需要明确问题的目标和约束条件。
例如，如果要求估计一个金融产品的价值，需要明确产品的特征和市场环境。
2.设定模型：根据问题的特性，建立模型。
模型可以是概率模型、物理模型、统计模型等，用于描述问题的随机性和确定性因素。
3. 生成随机数：根据问题的特点，选择适当的随机数生成方法。
常见的随机数生成方法包括伪随机数生成器、蒙特卡洛（Monte Carlo）方法、拉丁超立方（Latin Hypercube）采样等。
4.进行实验：根据模型和随机数生成方法，进行大量的实验。
每次实验都是一次独立的抽样过程，生成一个样本，用于计算问题的目标函数或约束条件。
5.统计分析：对实验结果进行统计分析，得到问题的解或概率分布。
常用的统计分析方法包括均值、方差、最大值、最小值、分位数等。
还可以进行敏感性分析，评估输入参数对结果的影响程度。
蒙特卡洛模拟法
第二章蒙特卡洛方法计算机模拟采用的方法来看，它大致可以分为两种类型:(1) 随机模拟方法或统计试验方法，又称蒙特卡洛(MonteCarlo)方法。
它是通过不断产生随机数序列来模拟过程。
自然界中有的过程本身就是随机的过程，物理现象中如粒子的衰变过程、粒子在介质中的输运过程...等。
当然蒙特卡洛方法也可以借助慨率模型来解决不直接具有随机性的确定性问题。
(2) 确定性模拟方法。
它是通过数值求解一个个的粒子运动方程来模拟整个系统的行为。
在统计物理中称为分子动力学（Molecular Dynamics）方法。
关于分子动力学方法我们将在第六章中介绍。
此外, 近年来还发展了神经元网络方法和原胞自动机方法。
从蒙特卡洛模拟的应用来看，该类型的应用可以分为三种形式：（1）直接蒙特卡洛模拟。
它采用随机数序列来模拟复杂随机过程的效应。
（2）蒙特卡洛积分。
这是利用随机数序列计算积分的方法。
积分维数越高，该方法的积分效率就越高。
（3）Metropolis蒙特卡洛模拟。
这种模拟是以所谓“马尔科夫”（Markov）鏈的形式产生系统的分布序列。
该方法可以使我们能够研究经典和量子多粒子系统的问题。
2．1蒙特卡洛方法的基础知识一、 基本思想对求解问题本身就具有概率和统计性的情况，例如中子在介质中的传播，核衰变过程等，我们可以使用直接蒙特卡洛模拟方法。
该方法是按照实际问题所遵循的概率统计规律，用电子计算机进行直接的抽样试验，然后计算其统计参数。
直接蒙特卡洛模拟法最充分体现出蒙特卡洛方法无可比拟的特殊性和优越性，因而在物理学的各种各样问题中得到广泛的应用。
该方法也就是通常所说的“计算机实验”。
蒙特卡洛方法也可以人为地构造出一个合适的概率模型，依照该模型进行大量的统计实验，使它的某些统计参量正好是待求问题的解。
这也就是所谓的间接蒙特卡洛方法。
下面我们举两个最简单的例子来说明间接蒙特卡洛方法应用的内涵。
巴夫昂(Buffon)投针实验。
该试验方案是：在平滑桌面上划一组相距为s 的平行线，向此桌面随意地投掷长度l s =的细针，那末从针与平行线相交的概率就可以得到π的数值。
动力学蒙特卡洛方法(KMC)及相关讨论
动力学蒙特卡洛方法(KMC)及相关讨论动态模拟在目前的计算科学中占据着非常重要的位置。
随着计算能力和第一原理算法的发展，复杂的动态参数（扩散势垒、缺陷相互作用能等）均可利用第一原理计算得出。
因此，部分复杂的体系动态变化，如表面形貌演化或辐射损伤中缺陷集团的聚合-分解演变等，已可以较为精确的予以研究。
KMC——动力学蒙特卡洛方法（kinetic Monte Carlo）原理简单，适应性强，因此在很多情况下都是研究人员的首选。
此外，KMC在复杂体系或复杂过程中的算法发展也非常活跃。
本文试图介绍KMC方法的基础理论和若干进展。
KMC方法基本原理在原子模拟领域内，分子动力学(molecular dynamics, MD)具有突出的优势。
它可以非常精确的描述体系演化的轨迹。
一般情况下MD的时间步长在飞秒(s)量级，因此足以追踪原子振动的具体变化。
但是这一优势同时限制了MD在大时间尺度模拟上的应用。
现有的计算条件足以支持MD到10 ns，运用特殊的算法可以达到10 s的尺度。
即便如此，很多动态过程，如表面生长或材料老化等，时间跨度均在s 以上，大大超出了MD的应用范围。
有什么方法可以克服这种局限呢？当体系处于稳定状态时，我们可以将其描述为处于维势能函数面的一个局域极小值（阱底）处。
有限温度下，虽然体系内的原子不停的进行热运动，但是绝大部分时间内原子都是在势能阱底附近振动。
偶然情况下体系会越过不同势阱间的势垒从而完成一次“演化”，这类小概率事件才是决定体系演化的重点。
因此，如果我们将关注点从“原子”升格到“体系”，同时将“原子运动轨迹”粗化为“体系组态跃迁”，那么模拟的时间跨度就将从原子振动的尺度提高到组态跃迁的尺度。
这是因为这种处理方法摈弃了与体系穿越势垒无关的微小振动，而只着眼于体系的组态变化。
因此，虽然不能描绘原子的运动轨迹，但是作为体系演化，其“组态轨迹”仍然是正确的。
此外，因为组态变化的时间间隔很长，体系完成的连续两次演化是独立的，无记忆的，所以这个过程是一种典型的马尔可夫过程(Markov process)，即体系从组态到组态，这一过程只与其跃迁速率有关。
计算材料学概述之蒙特卡洛方法详解课件
组合优化方法
针对组合优化问题，通过随机搜索和迭代优 化求解。
分子动力学模拟中的蒙特卡洛方法
01
分子动力学模拟是一种基于物理 模型的模拟方法，通过蒙特卡洛 方法可以模拟分子间的相互作用 和运动轨迹。
02
蒙特卡洛方法在分子动力学模拟 中主要用于求解势能面和分子运 动轨迹，通过随机抽样和迭代优 化实现分子运动状态的模拟。
重要性
随着科技的发展，计算材料学已成为 材料科学研究中不可或缺的工具，有 助于加速新材料的发现和优化现有材 料的性能。
计算材料学的主要研究方法
分子动力学模拟
01
基于原子或分子的动力学行为，模拟材料的微观结构和动态性
质。
蒙特卡洛方法
02
通过随机抽样和概率统计方法研究材料的宏观性质和相变行为
。
密度泛函理论
蒙特卡洛方法可以与分子动力学模拟结合，实现更精确的原子尺 度模拟。
元胞自动机
蒙特卡洛方法可以与元胞自动机结合，模拟复杂系统的演化过程。
有限元分析
蒙特卡洛方法可以与有限元分析结合，实现更高效的数值计算。
蒙特卡洛方法在材料设计中的应用前景
新材料发现
蒙特卡洛方法可用于预测新材料性能，加速新材料发现和开发进 程。
总结词
通过蒙特卡洛方法模拟复合材料的界面行为，包括界面润湿性、粘附力和传质过程等。
详细描述
利用蒙特卡洛方法模拟复合材料的界面行为，分析不同组分间的相互作用和界面结构， 预测材料的界面润湿性、粘附力和传质过程等性能，为复合材料的制备和应用提供理论
依据和技术支持。
蒙特卡洛方法的发
05
展趋势与展望
蒙特卡洛方法的未来发展方向
计算统计量
根据模型和抽样结 果，计算所需的统 计量或系统参数。
动力学蒙特卡洛方法
动力学蒙特卡洛方法动力学蒙特卡洛方法（Dynamic Monte Carlo, DMC）是一种基于蒙特卡洛的随机模拟方法，用于研究物理系统的动力学行为。
下面提供十条与动力学蒙特卡洛方法相关的知识点，并展开详细描述。
1. DMC的基本思想：DMC方法是通过随机抽样和模拟粒子的运动轨迹来模拟物理系统的动力学行为的一种方法。
它采用基本的物理模型和蒙特卡洛方法来模拟实际系统的运动。
2. DMC的原理：DMC方法的基本原理是将物理系统视为一组相互作用的粒子，并通过模拟这些粒子与系统中其他粒子的相互作用来模拟系统的动力学行为。
3. DMC的模拟过程：DMC方法的模拟过程包括将系统分为若干步骤，每个步骤中，模拟粒子按随机分布移动，并与系统中的其他粒子相互作用。
4. DMC的应用：DMC方法广泛应用于物理化学、材料科学、生物医学、环境科学等领域。
它可以用来研究分子的构象和结构，材料的物理性质，生物分子的折叠和运动等等。
5. DMC的优点：与传统的分子动力学方法相比，DMC方法具有计算速度快，精度高，能够模拟大尺度物理系统等优点。
它还可以模拟非平衡态系统，对研究筛选具有重要作用。
6. DMC的缺点：尽管DMC方法在许多方面具有优点，但是它的计算复杂度仍然很高。
在处理非均匀系统和长时间模拟等问题上也存在困难。
7. DMC的改进：DMC方法的许多改进方法被提出，包括可扩展性，比例积分等。
这些改进方法使其更加适用于模拟复杂的物理系统。
8. DMC和机器学习的结合：DMC将经验势函数与机器学习相结合，可以提高其应用范围和精度。
机器学习方法可以学习并优化经验势函数，从而提高DMC方法的准确性和效率。
9. DMC的未来发展：未来的研究方向包括将DMC方法与非平衡态动力学相结合，研究固体材料的转变行为，开发高效的算法和软件工具等。
10. DMC在材料科学中的应用：DMC在材料科学中的应用涵盖了从材料的电子结构、晶体结构、缺陷形成和迁移、热传导等多个方面。
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式：
ˆ
ˆ
exp
H kBT
dxdp
exp
H kBT
dxdp
设体系的哈密顿量H=p2/2m+V(x),即可分解为动能和势能两部分，
又设粒子坐标x≤q时体系处于组态A，则有：
对δ函数的系综kA平B均可12通 2过kmBMTet1ro2 polxisMqC方A 法计算出来：计算
粒子落在[q-w,q+w]范围内的次数相对于Metropolis行走总次数
可以对跃迁进行局域化处理。每条跃迁途径只与其近邻的体 系环境有关，这样可以极大地减少跃迁途径的数目，从而简 化计算。
2、无拒绝方 法
直接法、第一反应法、次级反应
法等。
2.1 直接法
效率高，最常用
每一步需要产生两个在(0,1]上平均分布的随机数r1和r2，分别 用于选定跃迁途径和确定模拟的前进时间。设体系处于态i， 将每条跃迁途径j想象成长度与跃迁速率kij成正比的线段。将 这些线段首尾相连。如果r1ktot落在线段jk中，这个线段所代 表的跃迁途径jk就被选中，体系移动到态jk，同时体系时间 根据时间步长方程前进。
kˆ
(1)设共有M条反应途径，选择反应速率最大值kmax，设为 。
生成在[0,M)区间内均匀分布的随机数r；
(2)设j=INT(r)+1;
• 每一步只需要生成一
(3)如果j-r＜kkˆij/
个随机数；
,则体系跃迁至新态j，否则保持在组态i；
(4)模拟时间前进t
1 ktot
Inr
；
• 对反应速率相差太大， 尤其是只有一个低势
，
于是：
kij
kBT h
exp
Eij
kBT
exp Sivjib kB
简谐近似下的过渡态理论认为体系在稳态附近的振动可以用谐
振子表示，故可视为经典谐振子体系。则体系在态i和鞍点处的
配分函数Z0和Zsad为：
Z 0
kBT h
3N
3N i1
1
i0j
Z sad
kBT h
3N 13N 1 1
sad
i1 ij
结合玻尔兹曼公S式 kBInZ
可得：
3N
kij
i0j
i1
3N 1
sad ij
exp
Eij kBT
i1
可通过原子模拟（MD算 法或DFT方法）解析求 出kij。
前置因子设为常数。 （金属：约1012Hz）
目录
1 KMC的基本原理
2 指数分布与KMC的时间步长
3 跃迁速率的计算
(5)重复上述过程。
生成M个随机数，则利用这种方法 需要一个高质量的伪随机数发生器，
M较大时尤为重要。
2.3 次级反应法
假设体系的一次跃迁并不会导致处于新态的体系对于其他跃 迁途径的取舍（比如充满可以发生M种化学反应的分子，第一 种反应发生并不会造成别的反应物的变化），这样体系还可以 选择{δtij}中的次小值δtij2nd，从而跃迁到态j2nd，模拟时间前进 δtij2nd-δtij2nd。如果此次跃迁还可以满足上述假设，再重复此过程。 理想情况下，平均每一步KMC模拟只需要生成一个随机数，因 此能大大提高效率并加大时间跨度。
(5)重复上述过程。
垒途径的体系来讲，
效率很低。
实际模拟中，δt需满足：
(1)小于δtmin，以保证所 有的迁移途径发生的 概率都小于1；
(2)对于kij最大的途径， 接受率大致为50%， 以保证体系演化的效 率不会过低。
3.2 恒定步长法（CTSM） 前进时间是给定的参数 理想情况下，其效率与选择路径法相同，每一步只需要产生两个随 机数 算法：
算法：
(1)设共有M条反应途径，生成M个随机数r1,r2,…,rM;（效率）
(2)计算出每条路径的预计发生时间； (3)找出{δtij}的最小值δtijmin；
较选择路径法更自然，但效率更低 通常KMC模拟需要107步来达到较
(4)体系移动到态jmin，同时模拟时间前进δ好tijm的in；统计性质，如果每一步都需要
率：
Pstay
1
ktot
K
K 2
k
故：当τ区域∞时，体系不发生跃迁的概率为：
由此即Pst可ay 得 到 单lim位1时间kto内t K体系跃K迁2的概k 率expp(t)。k由tot之前的推导过
程可知，体系的跃迁概率是一个随时间积累的物理量，因此p(t)
对时间积分到某一时p刻tt'必 1然 P等stay于t1-tPstay(t')，
• 偶然情况下，体系会越过不同势阱间的势垒而完成一次“演
化”（决定体系演化的重点）
• 关注点：原子
体系
• 原子运动轨迹粗粒
化
体系组态跃模迁拟的时间跨 度
• 组态变化的时间间隔很长，完成的连续两次演化是独 立的、无记忆的，因此其为一种Markov过程，即体系 从组态i到组态j这一过程只与其跃迁速率kij有关。
目录
1 KMC的基本原理 2 指数分布与KMC的时间步长 3 跃迁速率的计算 4 KMC的实现算法
目录
1
KMC的基本原 理
2 指数分布与KMC的时间步长
3 跃迁速率的计算
4 KMC的实现算法
分子动力学在原子模拟领域具有突出的优势。其可以 精确描述体系演化的轨迹。分子动力学的时间步长通常在 飞秒数量级，这足以追踪原子振动的具体变化。
• 精确知道kij，便可构造一个随机过程，使得体系按照正 确的轨迹演化（“正确”是指某条给定演化轨迹出现的 概率与MD模拟结果完全一致）
• 这种通过随机过程研究体系演化的方法即为KMC方法。
目录
1 KMC的基本原理
2
指数分布与KMC的时间 步长
3 跃迁速率的计算
4 KMC的实现算法
体系在势能面上无记忆地随机行走，因此其在任意单位时间内找
的比例fB。则：
k AB
1 2
2kBT m
1
2
fB
扩展到三维情况f
Rf
A
2、简谐近似下的过渡态理论
根据过渡态理论，跃迁速率为：
kij
kBT h
exp
Fij
kBT
其表中 示跃F迁ij i→Eji中sjad体系TS在ivjib鞍点E和i 态TiS处i 的自E由ij能之T差Si。vjib
算法：
(1)计算体系处于组态i时的各条路径跃迁速率kij，以及总跃迁速 率ktot；
(2)选择随机数r1；jk 1
jk
kij r1ktot kij
(3)寻找途径jk，满j足1
j1
t
；
1
(4)体系移动到态jk，同时模拟时间前进ktot
Inr2
；
(5)重复上述步骤。
2.2 第一反应法
对处于稳态i的体系，其每条跃迁途径j均可给出一个指数分布的“发 生时间”δtij，即从当前算起i→j第一发生的时间。然后从{δtij}中选出 最小值，体系跃迁到相应的组态jmin，模拟时间相应地前进δtijmin。
即
，于是有：
pt ktot exp ktott
其中ktot是体系处于组态i时所用可能的跃迁途径的速率kij之和。
因此，对于单位时间内体系进行某一个具体的跃迁途径kij的概
率则可定义为： pij t kij exp kijt
即单位时间内体系的跃迁概率呈指数分布，这说明KMC的时间
步长δt也呈指数分布，因此需要产生一个按指数分布的随机数
序列：
通过一个在区间(0,1r]上 1平均Ps分tay布kt的ot随t 机数序列r转化得
由于1-r和r的分布相t 同 ，k1tot从In而1有r
1 ktot
Inr
目录
1 KMC的基本原理
2 指数分布与KMC的时间步长
3
跃迁速率的计 算
4 KMC的实现算法
1、过渡态理论
跃迁速率决定了KMC模拟的精度甚至准确性。为避开通过原子 轨迹来确定kij的做法，一般采用过渡态理论进行计算。 过渡态理论中，体系的跃迁速率取决于体系在鞍点处的行为， 而平衡态（势阱）处的状态对其影响很小，可以忽略。如果大 量相同的体系组成正则系综，则在平衡状态下体系在单位时间 内越过某个垂直于i→j跃迁途径的纵截面的流量即为kij。
但这也限制了其在大时间尺度模拟上的应用（现有计 算条件可支持时间步长达到10ns，运用特殊算法可达到 10μs，但很多动态过程的时间跨度在秒数量级以上）
• 体系处于稳定状态时，可将其描述为处于3N维势能函数面
的一个局域最小值（势阱底）处。
• 有限温度下，虽然体系内的原子不停进行热运动，但绝大
部分时间内都是在势阱底附近振动。
4
KMC的实现 算法
1、点阵映射
点阵映射
KMC在固体物理领域的应用中，常利用点阵映射将原子与格 点联系起来，从而将跃迁（事件）具象化为原子 格点关 系的变化。
与实际情况不完全一致，但很多情况下都可以简化建模工作 量，且是非常合理的近似。很多情况下体系中的原子虽然对 理想格点有一定偏离，但并不太大（约0.01a0），因此这种 映射是有效的。
应用范围集中于研究复杂化学环境下的反应过程。
3、试探-接受/拒绝方法
效率低于无拒绝方法，但其形式更接近 蒙托卡罗方法，且可方便地引入恒定步