高中物理-10.微元法处理速度关联问题
“关联速度”模型
“关联速度”模型模型建构：【模型】绳子（或杆）牵连物体，研究关联速度【特点】力学问题中经常出现牵连运动:“两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同方向运动且速度不同，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同” 。
这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿运动定律求解，大多可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析（标量运算）”也可以用“微元法（借助三角函数）”来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算）往往是求解这类问题的关键。
“绳子（杆）牵连物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。
由于两个物体相互关联，一般地我们都要按“运动效果”分解成：沿着绳子（或杆）的速度分量［改变绳子（或杆）速度的大小］和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量［改变绳子（或杆）速度的方向］。
模型典案：【典案1】如图1所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达图示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的上升速度大小为多少？（结果用v 和θ表示） 〖解析〗解法一：运动效果分解法物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v 1是相等的。
与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。
分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动。
将车速v 分解为沿绳方向的速度v 1和垂直绳子方向的速度v 2，如图2所示。
根据平行四边形定则可得v 1＝v cos θ。
所以，物体M 上升速度的大小为 v ’＝v cos θ。
【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。
物理意义很明显。
这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运动才能分解成沿绳子（或杆）——改变绳子速度大小的分量与垂直于绳子（或杆）——改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。
解法二：位移微元法如图3所示，假设端点A 水平向左匀速移动微小位移△s 至B ，此过程中左段绳子长度增大了△s 1（过A 向OB 作垂线AP ，因顶角很小，故OP ≈OA ），即物体上升了△s 1，显然，△s 1＝△s·cos θθcos 1ts t s ∆∆=∆∆ 由于△s 很小、△t 很小，由速度的定义ts v ∆∆=可得v 1＝v cos θ。
高中物理：渡河模型及关联速度问题
高中物理：渡河模型及关联速度问题在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的实际运动就是合运动。
合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际运动效果进行分解。
分运动与合运动的关系：（1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（）互不干扰。
（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。
（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。
小船渡河和关联速度问题等是运动的合成与分解的典型问题。
一、速度的分解要从实际情况出发当两个物体通过绳子连接在一起的时候，则这两个物体的速度就有关系，在类问题就叫做关联速度问题。
如物体的速度方向与绳子的取向不一致，就要分解。
解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，寻找速度关系。
例1、如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度拉水平面上的物体A，当绳与水平方向成θ角时，求物体A的速度。
图1分析：对物体A的运动进行分析，当物体A向左移动，θ将逐渐变大，逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体A却在做变速运动。
分解法：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。
物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。
绳长缩短的速度即等于；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。
这样就可以将按图示方向进行分解。
所以及实际上就是的两个分速度，如图1所示，由此可得。
微元法：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。
如何将“关联速度”问题讲得通俗易懂
以上教 学方 法 在教 学 实 践 中遇 到 很 大 的 困难 ， 大 部 分学 生 不能 理解 ： 为 什 么人 的运 动 是 合 运 动 ？人 在 水 平面 运 动 ， 为 什 么有 相对 于悬 点 的转 动 ？为 什 么 不
把 绳 子 的 运 动 分 解 为水 平 方 向 和竖 直 方 向 的 ２个 分
图４
示． 也 就是 说 ， 绳子 的转 动不 会 改 变 物块 的 速度 ， 只有
圈 １
沿 绳 方 向收绳 子时 物块 才会 上升 ．
Hale Waihona Puke ２ “ 关 联 速度 ” 教 学现 状 不 少教 师 是 按 照 运 动 的合 成 与 分 解 的思 想 教 学 的． 人 的运 动 是 合 运 动 ， 将 该 运 动 按 照 其 效 果 分解 为 沿 绳方 向 的运 动和 绕悬 点 的 转 动 ， 物块 上 升 的速 度 与 人 的速 度沿 绳 方 向的分 量 大 小相 等 ， 从 而得 出物 块 的
动， 双手 收绳 子 而使 物体 上 升 ， 则 物 块 上 升 的 速 度 与
人 收绳 子 的速 度 相 等 ；
假 如人 以滑 轮 为悬 点 ， 保 持 悬 点 到 人 手 之 间 的绳 长不 变 ， 在 竖 直 平 不 会 上 升， 如 图 ４ 所
面 内转 动 绳 子 ， 则 物 块
上 各点 的运 动情 况 （ 线速度） 就
扣锕将 “ 羡 联运麇 ０ ； 喾 ≥ 娘 辍 ”
问 题讲得渔 俺 懂
毒
◇ 湖北 魏 文超
不 同了， 离 悬 点 越 远 的点 线 速 度 越 大．
以上 ２个 实 例 告 诉 我 们 ，
同一 绳子 上各 点 的速度 不一 定
速度关联类问题求解速度的合成与分解
精心整理速度关联类问题求解·速度的合成与分解 编辑杨国兴运动物体间速度关联关系，往往是有些高考命题的切入点.而寻找这种关系则是考生普遍感觉的难点1.为α和β2.●案例探究［例1］★★★如图5-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？命题意图：考查分析综合及推理能力，B 级要求.错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图5-4所示分解，从而得出错解v 物=v 1=v cos θ.解: 设经长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度.由图可知：BC =cos BD图图图图①由速度的定义：物体移动的速度为v物=tBCt s ∆=∆∆1 ②人拉绳子的速度v =tBDt s ∆=∆∆2 ③由①②③解之：v 物=θcos v系v ⊥=点转动人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以v 物=θcos v图5-7［例2］（★★★★★）一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）.B B A .因为1和绕O 点转动的线速度v 2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v 2=v sin θ.设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ. 令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v 2/a =v sin 2θ/h .故A 的线速度v A =ωL =vL sin 2θ/h .图●锦囊妙计一、分运动与合运动的关系 1.一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v 分、s 分）互不干扰，即：独立性.2.合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性.3.1.2.终不变3.4.度关系●歼灭难点训练 一、选择题1.（★★★）如图5-8所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D.BC 段水平，当以速度v 0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度v .2.（★★★★★）如图5-9所示，均匀直杆上连着两个小球A 、B ，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度和加速度大小.. S 为平行放置.SO 是垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S ′在屏上移动图图图的瞬时速度v 为多大？5.（★★★★★）一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图5-12所示.绳的P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在AC.设A 速度为绳Q 6.劈B （1（2与地面作用中机械能的损失忽略不计）参考答案： ［难点］ 1.v B =0cos cos v βα2.略 ［歼灭难点训练］ 1.v =αcos 10+v2.v A =v B tan α;a A =a B tan α3.（1）由图可知，随m 2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m 2在C 点受力恰好平衡，因此m 2从B 到C 是加速过程，以后将做减速运动，所以m 2的最大速度即出现在图示位置.对m 1、m 2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.ΔE 增=ΔE 减，即22B °应有： ∠m 2速度E 减′m 2下滑平面镜绕O 逆时针转过30°时，则：∠SOS ′=60°，OS ′=L /cos60°.选取光点S ′为连结点，因为光点S ′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v ；光点S ′又在反射光线OS ′上，它参与沿光线OS ′的运动.速度v 1和绕O 点转动，线速度v 2；因此将这个合速度图5′—图沿光线OS ′及垂直于光线OS ′的两个方向分解，由速度矢量分解图5′—1可得： v 1=v sin60°,v 2=v cos60° 又由圆周运动知识可得：当线OS ′绕O 转动角速度为2ω. 则：v 2=2ωL /cos60°vc os60°=2ωL /cos60°,v =8ωL . 5.以物体为研究对象，开始时其动能E k1=0.随着车的加速运动，重物上升，同时速度也不断增加.当车子运动到B 点v Q E k2=21拉力T h =W G 即W T =416.当A 和为零，所以系统机械能守恒.mg （h -r ）=2mv A 2+2mv B 2①由图中几何知识知：h =cot30°·r =3r ②A 、B 的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图5′—3所示。
高考物理微元法解决物理试题常见题型及答题技巧及练习题
高考物理微元法解决物理试题常见题型及答题技巧及练习题一、微元法解决物理试题1．如图所示，长为l 均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上，由于某一微小扰动使铁链向一侧滑动，则铁链完全离开滑轮时速度大小为（ ）A 2glB glC 2gl D 12gl 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】铁链从开始到刚脱离滑轮的过程中，链条重心下降的高度为244l l l H =-= 链条下落过程，由机械能守恒定律，得：2142l mg mv ⋅= 解得：2gl v =2gl A 项与题意不相符； gl B 项与题意不相符； 2gl与分析相符，故C 项与题意相符； D.12gl D 项与题意不相符．2．如图所示，有一条长为2m L =的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30，另一半长度竖直下垂在空中，链条由静止释放后开始滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为（g 取210m /s ）（ ）A ．2.5m /sB ．52m /s 2C 5m /sD ．35m /s 2【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】设链条的质量为2m ，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为1132sin 302024248p k L L E E E mg mg mgL =+=-⨯⨯︒-⨯⨯+=-链条全部滑出后，动能为2122k E mv '=⨯重力势能为22p LE mg '=-⨯由机械能守恒定律可得k p E E E ''=+即238mgL mv mgL -=- 解得52m /2v s =故B 正确，ACD 错误。
故选B 。
3．如图所示，水龙头开口处A 的直径d 1＝1cm ，A 离地面B 的高度h ＝75cm ，当水龙头打开时，从A 处流出的水流速度v 1＝1m/s ，在空中形成一完整的水流束，则该水流束在地面B 处的截面直径d 2约为(g 取10m/s 2)( )A ．0.5cmB ．1cmC ．2cmD ．应大于2cm ，但无法计算 【答案】A 【解析】 【详解】设水在水龙头出口处速度大小为v 1，水流到B 处的速度v 2，则由22212v v gh -=得24m/s v =设极短时间为△t ，在水龙头出口处流出的水的体积为2111π()2dV v t =∆⋅水流B 处的体积为2222π()2d V v t =∆⋅ 由12V V =得20.5cm d =故A 正确。
高三物理一轮复习中的问题式教学法——以“关联速度问题”为例
高三物理一轮复习中的问题式教学法——以“关联速度问题”为例高三物理一轮复习一般经过三个阶段，每个阶段各有侧重点。
一轮复习是以章节按顺序进行复习的，是扫除知识障碍的过程。
复习过程中，由于内容繁琐，各种概念、知识、规律和方法全都杂乱的装在学生的大脑中，学生难免会觉得力不从心。
以问题为线索的情景式教学方法不仅能让学生学习起来倍感轻松，而且能在较短的时间内让学生掌握好课程内容。
本文将以“关联速度问题”为例进行展开。
一.以问题为线索梳理基础知识教师提出问题，学生回忆并作答，前期主要是学生自己在构建思维导图，遇到重要问题的时候，可以以例题的形式加以补充。
比如可以设置如下问题：高中物理中几个基本的运动物理量是什么？哪些是矢量，哪些是标量?矢量的运算遵循什么规则？运动的合成和分解是什么？合运动和分运动有什么关系？【例题】在一光滑水平面内建立平面直角坐标系,一物体从t=0时刻起,由坐标原点O(0,0)开始运动,其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图象分别如图1、图2所示,下列说法中正确的是( )A.前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动B.后2 s内物体继续做匀加速直线运动,但加速度沿y轴方向C.4 s末物体坐标为(4 m,4 m)D.4 s末物体坐标为(6 m,2 m)这一例题是在复习了运动的合成和分解的基本知识的基础上提出的，可以让学生思考：x和y两个方向上物体各做什么运动？这段时间内速度如何变化？如何求物体的合加速度合速度、合位移？这一例题不仅对本节课内容进行了巩固，而且对图像信息的读取进行了一定地复习。
不是教师通篇地讲，而是学生自己思考讨论得来的结果，增加了课堂的趣味性。
二.以问题为线索掌握基本模型例题设置可由浅入深，使学生在不知不觉中逐步提升，从而学会解决问题的能力。
比如连接体中经常会出现的绳模型和杆模型，由此产生的关联速度问题又会经常被嵌入到机械能守恒和多过程的问题中，所以我们有必要对此类问题进行探讨。
【例题】如图所示,将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端,轻绳的另一端绕过光滑的定滑轮系一质量为m的小环,小环套在竖直固定的光滑直杆上,光滑定滑轮与直杆的距离为d。
速度关联类问题求解
速度关联类问题求解·速度的合成与分解运动物体间速度关联关系，往往是有些高考命题的切入点.而寻找这种关系则是考生普遍感觉的难点●难点磁场1.如图4-1所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？2.如图4-2所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？●案例探究［例1］如图4-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？命题意图：考查分析综合及推理能力，B 级要求.错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图4-4所示分解，从而得出错解v 物=v 1=v cos θ.解题方法与技巧：解法一:应用微元法设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图4-5所示.过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度.由图可知：BC =①由速度的定义：物体移动的速度为v 物=②人拉绳子的速度v =③由①②③解之：v 物=解法二:应用合运动与分运动的关系绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图4-6所示进行分解.其中:v =v 物cos θ，使绳子收缩.v ⊥=v 物sin θ,使绳子绕定滑轮上的A 点转动.θcos BDtBCt s ∆=∆∆1t BDt s ∆=∆∆2θcos v 图4-1图4-2图4-3图4-4图4-5图4-6所以v 物=解法三：应用能量转化及守恒定律由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功.人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以v 物=图4-7［例2］一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图4-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）.命题意图：考查综合分析及推理能力.B 级要求.错解分析：①不能恰当选取连结点B 来分析，题目无法切入.②无法判断B 点参与的分运动方向.解题方法与技巧：选取物与棒接触点B 为连结点.（不直接选A 点，因为A 点与物块速度的v 的关系不明显）.因为B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B 点的合速度（实际速度）也就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v 2=v sin θ.设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ.令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v 2/a =v sin 2θ/h .故A 的线速度v A =ωL =vL sin 2θ/h .●锦囊妙计一、分运动与合运动的关系1.一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v 分、s 分）互不干扰，即：独立性.2.合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性.3.合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性.二、处理速度分解的思路1.选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）.2.确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变.3.确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向.4.作出速度分解的示意图，寻找速度关系.●歼灭难点训练θcos v θcos v一、选择题1.如图4-8所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D.BC 段水平，当以速度v 0拉绳子自由端时，A v .沿水平面前进，求：当跨过B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度2.如图4-9所示，均匀直杆上连着两个小球A 、B ，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度和加速度大小.图4-9 图4-103.一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m 1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接.已知定滑轮到杆的距离为m.物体m 2由静止从AB 连线为水平位置开始下滑1 m 时，m 1、m 2恰受力平衡如图4-10所示.试求：（1）m 2在下滑过程中的最大速度.（2）m 2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.4.如图4-11所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO 是垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点 S ′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？5.一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图4-12所示.绳的P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H .提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A 经B 驶向C.设A 到B 的距离也为H ，车过B 点时的速度为v B .求在车由A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功.6.如图4-13所示，斜劈B 的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r 的球A 放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中（1）斜劈的最大速度.（2）球触地后弹起的最大高度。
“关联速度”模型-关联速度的三种模型
“关联速度”模型模型建构：【模型】绳子（或杆）牵连物体，研究关联速度【特点】力学问题中经常出现牵连运动:“两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同方向运动且速度不同，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同” 。
这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿运动定律求解，大多可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析（标量运算）”也可以用“微元法（借助三角函数）”来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算）往往是求解这类问题的关键。
“绳子（杆）牵连物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。
由于两个物体相互关联，一般地我们都要按“运动效果”分解成：沿着绳子（或杆）的速度分量［改变绳子（或杆）速度的大小］和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量［改变绳子（或杆）速度的方向］。
模型典案：【典案1】如图1所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达图示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的上升速度大小为多少？（结果用v 和θ表示） 〖解析〗解法一：运动效果分解法物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v 1是相等的。
与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。
分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动。
将车速v 分解为沿绳方向的速度v 1和垂直绳子方向的速度v 2，如图2所示。
根据平行四边形定则可得v 1＝v cos θ。
所以，物体M 上升速度的大小为 v ’＝v cos θ。
【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。
物理意义很明显。
这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运动才能分解成沿绳子（或杆）——改变绳子速度大小的分量与垂直于绳子（或杆）——改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。
解法二：位移微元法如图3所示，假设端点A 水平向左匀速移动微小位移△s 至B ，此过程中左段绳子长度增大了△s 1（过A 向OB 作垂线AP ，因顶角很小，故OP ≈OA ），即物体上升了△s 1，显然，△s 1＝△s·cos θθcos 1ts t s ∆∆=∆∆ 由于△s 很小、△t 很小，由速度的定义ts v ∆∆=可得v 1＝v cos θ。
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微元法处理关联速度类问题
因高中教材不讲授相对运动，关联速度也较少进行理论分析，因此，当学生遇到稍微复杂点儿的关联速度类试题时，普遍感觉理解和分析的困难，即便教师着意补充了前两个方面的内容，很多学生还是觉得难以想象。
其实，所有这类问题，全部可以用微元法——用几何图示的方法——直观的展现和计算，这对绝大部分学生来说，就比相对运动、关联速度的思路容易理解得多。
【例1】如图1所示，当小车A 以恒定的速度v 向左运动时，对于B 物体，下列说法正确的是( )
A ．匀加速上升
B ．B 物体受到的拉力大于B 物体受到的重力
C ．匀速上升
D ．B 物体受到的拉力等于B 物体受到的重力
[解析]本题是很常规的绳连接问题，将A 车的速度沿绳、垂直绳分解，用沿绳方向分速度相等即可轻松解决。
下面以微元法来解本题。
设A 车在极短时间Δt 内向左运动一小段距离x A ，则B 的位移与A 的位移关系如图所示，由几何关系，有：
cos B A x x θ= 两边除以Δt ，得 cos B A v v θ=
在此基础上，易得B 答案正确。
【例2】如图所示，细绳一端固定在天花板上的O 点，另一端穿过一张CD 光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD 光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v 匀速移动，移动过程中，CD 光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为（ ） A ．v sin θ B ．v cos θ C ．v tan θ D ．v cot θ
[解析]本题按常规思路，需要用到相对运动和运动的分解合成，对很多学生来说这是有一定理解困难的。
若是采用微元法，则问题却变得简单而直接。
设光盘在极短时间Δt 内向右运动一小段位移x ，由几何关系易知，小球水平位移也为x ，竖直位移为 sin y x θ=
两边除以时间Δt ，得小球上升的速度（竖直速度）为 sin y v v θ= 小球的位移为
2221sin x x y x θ'=+=+
两边除以Δt ，得小球的速度为
21sin v v θ'=+
【例3】如图3所示，顶角θ＝60°、光滑V 字形轨道AOB 固定在竖直平面内，且AO 竖直．一水平杆与轨道交于M 、N 两点，已知杆自由下落且始终保持水平，经时间t 速度由6 m/s 增大到14 m/s(杆未触地)，则在0.5t 时，触点N 沿倾斜轨道运动的速度大小为(g 取10 m/s 2)( )
A ．10 m/s
B ．17 m/s
C ．20 m/s
D ．28 m/s
x A
x B x
θ
θ y
θ
θ y x ’
x
[解析]本题按常规思路，需要用到相对运动和运动的分解合成，对很多学生来说这是有一定理解困难的。
若是采用微元法，则问题却变得简单而直接。
杆做自由落体运动，0.5t 时刻，其竖直下落的速度为
010m/s 2
t
v v v +=
= 设杆在极短时间Δt 内竖直下落位移为x ，则由几何关系，有触点N 沿倾斜轨道运动的位移为
/cos N x x θ=
两边除以Δt ，得
/cos 20m/s N v v θ==
【例4】如图所示为竖直黑板，下边为黑板的水平槽，现有一三角板ABC ，∠C =30º．三角板上A 处固定一大小不计的滑轮，现让三角板竖直紧靠黑板，BC 边与黑板的水平槽重合，将一细线一端固定在黑板上与A 等高的Q 点，另一端系一粉笔头（可视为质点）．粉笔头最初与C 重合，且细线绷紧。
现用一水平向左的力推动三角板向左移动，保证粉笔头紧靠黑板的同时，紧靠三角板的AC 边，当三角板向左移动的过程中，粉笔头会在黑板上留下一条印迹，关于此印迹，以下说法正确的是：（）
A ．若匀速推动三角板，印迹为一条直线
B ．若匀加速推动三角板，印迹为一条曲线
C ．若变加速推动三角板，印迹为一条曲线
D ．无论如何推动三角板，印迹均为直线，且印迹与AC 边成75º角
[解析]教学实践表明，用相对运动固然简洁明快，但是很多学生无法理解老师究竟在讲什么，而如果采用微元法讲解本题，学生普遍觉得好理解。
如右图所示，设三角板在极短时间Δt 内向左运动位移为x ，则粉笔头沿斜面上升的距离也为x ，粉笔头对地的位移为
Δx ，则由几何关系易知，无论如何向左推动三角板，印迹
均为直线，且印迹与AC 边成75º角。
【例5】在一大型超市小偷被保安发现，小偷一以不变速度v 1沿着直线AB 逃跑，保安以不变的速率v 2追击，其运动方向始终对准小偷．某时刻小偷在F 处，保安在D 处，FD ⊥AB （如图），试求此时保安的加速度的大小．(弧可以看成圆周运动的一部分)
[解析]要解决这个问题，高中阶段几乎只能用微元法。
经过一段极短的时间Δt ，保安和小偷各运动一段路程后，两者的位置如图所示，则有
11Δx v t =，22Δx v t =
且12x x L θρ
==
联立，得保安轨迹半径为：21
v
L v ρ=
则此时保安的加速度的大小为：22
12
v
v v a L
ρ
=
=
【例6】如图所示，将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端
N x N
x
θ x θ x
Δx x ρ θ
x 1
θ x 2
v 2
系一质量为m 的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d . 现将小环从与定滑轮等高的A 处由静止释放，B 处在A 处正下方距离为d 处，则下列说法正确的是
A ．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B ．小环在B
C ．小环下降速度最大时，轻绳中的张力一定等于2mg
D ．小环从A 处开始能够下降的最大高度为
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d [解析]本题B 、D 选项学生基本上都能应付，笔者在此着重分析A 、C 选项。
按常规思路，我们需要根据机械能守恒定律和牛顿定律，算出小环、重物速度随时间变化的函数，然后对时间求导。
但是，若用微元法，则更简单直接。
（1）A 选项：
设小环经过一段极短的时间t 下落一小段距离y ，小环的速度增加为v 1，此时重物上升的速度为v 2，则有： 2
1tan 2
y gt d θ=
=，21sin sin v v gt θθ== 而sin tan θθ=，则有：2232122gt
g t v gt d d == 则重物上升的加速度为：22
22v g t a t d
== 当取t →0时，易知a =0. 则绳中张力等于2mg .
（2）C 选项：
当小环速度最大时，小环加速度为零，经过一段极短的时间Δt ，小环的速度和重物的速度关系及其变化如图所示，由图极易看出，重
物速度v 2的大小增大了，即重物具有竖直向上的加速度，则绳中张力大于2mg .
更细致的分析如下：
将v 1垂直于绳方向分速度v τ的变化量Δv τ分解为Δv τ1、Δv n1，v 1沿绳方向分速度v n 的变化量Δv n 分解为Δv τ2、Δv n2，由于小环的加速度为0，必有：
Δv τ＝－Δv n
则有： Δv τ1＝－Δv τ2，Δv n1＝－Δv n2
其中，Δv n1产生的加速度大小为：
2223ττττn111n1ΔΔ(cos )cos ΔΔ/cos v v v v v v v a t t l l d d
θθθ
θ⋅⋅======
方向由小环指向滑轮，即为向心加速度。
Δv n2产生的加速度大小为：
23n2n11n2n1ΔΔcos ΔΔv v v a a t t d
θ
-===-=-
其中负号表示该加速度沿绳向左下方。
故此时重物上升的加速度为：23
1n2cos ||v a a d
θ==，可知绳中张力大于2mg .
v
v 2
v τ v 2n1。