(完整word版)高中物理竞赛_话题18：关联速度问题

话题18：关联速度问题

一、刚体的力学性质:

讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．

如图所示，三角板从位置ABC 移动到位置A B C '''，可以认为整个板一方面做平动，使板上点B 移到点B '，另一方面又以点B '为轴转动，使点A 到达点A '、点C 到达点C '．由于前述刚体的力学性质所致，点A 、C 及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点B '为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速

度的矢量和．我们知道转动速度v r ω=，r 是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关．

根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）．结论一、

杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方

向的分速度．

再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论．结论二、

接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触

面切向的分速度在无相对滑动时相同．

相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线a 、b ，如图所示，设直线a 不动，当直线b 沿自身方向移动时，交点P 并不移动，而当直线b 沿直线a 的方向移

C A '

B '

C '

动时，交点P 便沿直线a 移动，因交点P 亦是直线b 上一点，故与直线b 具有相同的沿直线a 方向的平移速度．同理，若直线b 固定，直线a 移动，交点P 的移动速度与直线a 沿直线b 方向平动的速度相同．根据运动合成原理，当两直线a 、b 各自运动，交点P 的运动分别是两直线沿对方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下面的结论．

结论三、线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．

二、相关的速度

所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．

(一)、当绳（杆）端在做既不沿绳（杆）方向，又不垂直于绳（杆）方向的运动时，一般

要将绳（杆）端的运动分解为沿绳（杆）方向和垂直于绳（杆）方向二个分运动。

1、如图所示的情况，绳AB 拉着物体m 在水平面上运动，A 端以速度v 做匀速运动，问m

做什么运动？

有的同学会将绳的速度v 分解成竖直分速度sin v α和水平分速度cos v α，以为木块的速度cos u v α=()u v <．这是错误的。因为实际上木块并没有一个向上的分速度。应该将绳端B 实际上的水平速度B v 分解成沿绳方向的分速cos B v v α=P 和垂直于绳的分

速sin B v v α⊥=，v P 使绳子缩短，所以v v =P ，v ⊥使绳子围绕滑轮转动。因此

()cos B B v

v v v α

>，而且B v 随着α的增大而越来越大。 2、如图所示，杆AB 沿滑下，A 、B 二端的速度A v 和B v 也是二个相

关的速度。

将A v 分解成沿杆方向的分速1A v 和垂直于杆的分速2A v , 将B v 分解成沿杆方向的分速1B v 和垂直于杆的分速2B v . 由于杆的长度不会发生变化，所以

11A B v v =，

即cos sin A B v v αα=，即

tan A B v v α=

v 2

A A

B v

3、如图所示，半径为R 的半圆凸轮以等速0v 沿水平面

向右运动，带动从动杆AB 沿竖直方向上升，O 为凸轮圆心，P 为其顶点．求当AOP α∠=时，AB 杆的速度．

分析与解这是接触物系相关速度问题．由题可知，杆与凸轮在A 点接触，杆上A 点速度A v 是竖直向上的，轮上A 点的速度0v 是水平向右的，根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，如图所示，即

0cos sin A v v αα=，则

0tan A v v α=．

故AB 杆的速度为0tan v α

(二)、两杆交点的运动

两杆的交点同时参与了二杆的运动，而且相对每一根杆还有自己的运动，因而是一种比较复杂的运动。

1、图

)a （中的AC 、BD 两杆均以角速度ω绕A 、B 两固定轴在同一竖直面内转动，转动方向如图示。当0t =时，

60αβ==，试求t 时刻两棒交点M 点的速度和加速度。

本问题实质上也是关联速度的问题，但其关联的本质是两杆的角速度相同，所以0

+=120αβ不变，推知M 点的轨迹在正三角形M 外接圆上运动．由此可重点在几何模型上去探求解法。

当0t =时，ABM ?为等边三角形，因此AM BM l ==，它的外接圆半径l OM R 3

=，图()b 。二杆旋转过程中，α角增大的角度一直等于β角减小的角度，所以M 角的大小始终不变（等于

060），因此M 点既不能偏向圆内也不能偏向圆外，只能沿着圆周移

O αβM M 'A B

()

a αβ

M A

αO

P A

αO

A 0

v α

动，因为MOM '∠和MAM '∠是对着同一段圆弧()MM '的圆心角和圆周角，所以

2MOM MAM ''∠=∠，即M 以2ω的角速度绕O 点做匀速圆周运动，任意时刻t 的速度

大小恒为

(2)3

v R l ω==

向心加速度的大小恒为

(2)a R l ω==

2、如图，一平面内有二根细杆1l 和2l ，各自以垂直于

自己的速度1v 和2v 在该平面内运动，试求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每根杆的速率。

参考图，经过时间t ?之后，1l 移动到了1l '的位置，

2l 移动到了2l '的位置，1l '和2l 的原位置交于O '点，1l '和2l '交于O ''点。

1sin v t

OO θ?'=

2sin v t

O O θ?'''=

在OO O '''?中：

2cos OO OO O O OO O O ?''''''''''=+-?

因为?角和θ角互补，所以

cos cos ?θ=-

OO ''= 因此两杆交点相对于纸平面的速度

0OO v t ''=

=? 不难看出，经过t ?时间后，原交点在1l 上的位置移动到了A 位置，因此交点相对1l 的位移就是AO ''，交点相对1l 的速度就是：

()

AO O O v t

''''+'=?

21(cot )sin v t

v t t

θθ???+

cos sin v v θθ

用同样的方法可以求出交点相对2l 的速度

cos sin v v v θθ

+'=

因为t ?可以取得无限小，因此上述讨论与12,v v 是否为常量无关。如果12,v v 是变量，上述表达式仍然可以表达二杆交点某一时刻的瞬时速度。

3、如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之

比为321：：，顶点3A 以速度v 沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点2B 的速度.

分析与解:顶点2B 作为21B A 杆上的一点，其速度是沿21B A 杆方向的速度1v 及垂直于21

B A 杆方向速度1

v '的合成；同时作为杆22B A 上的一点，其速度又是沿22B A 杆方向的速度2v 及垂直于22B A 杆方向的速度2v '的合成．由于两杆互成直角的特定条件，由图显见，21

v v '=，12

v v '=．故顶点2B 的速度可通过1v 、2v 速度的矢量和求得，而根据杆的约束的特征，得

112A v =

，222

A v =，于是可得

2B v ==

由几何关系可知 123010203::::3:5:6A A A v v v A A A A A A ==

A 2

则

12A v v =

， 256

A v v =，由此求得217

B v v =

．上述解析，我们是选取了速度为沿杆方向的某一点为基点来考察顶点2B 的速度的．当然我们也可以选取其他合适的点为基点来分析．如图O 所示，若以1A 、2A 点为基点，则2B 点作为21B A 杆上的点，其速度是与1A 点相同的平动速度1A v 和

对1A 点的转动速度1n v 之合成，同时2B 点作为22B A 杆上的点，其速度是与2A 点相同的平动速度2A v 和对2A 点的转动速度2n v 之合成，再注意到题给的几何条件，从矢量三角形中由余弦定理得 211112

2cos135B A n A n v v v v v =+- 而由矢量图可知

1212

()2

n A A v v v =

-，代入前式可得217

B v v =

．两解殊途同归．

4、如图所示，水平直杆AB 在圆心为O 、半径为r 的固定圆

圈上以匀速u 竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环M 的速度，设OM 与竖直方向的夹角为?．

分析与解当小环从圆圈顶点滑过圆心角为?的一段弧时，据交叉点速度相关特征，将杆的速度u 沿杆方向与圆圈切线方向分解，则M 的速度为

sin u

v ?

． 1

A 2

A A v 2

A v 1

v 2

A v 2

B v 2

n v 1

n v 2

B M

乙

5、

如图所示，直角曲杆OBC 绕O 轴在如图所示的平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆OA 滑动．已知10OB cm =，曲杆的角速度0.5/rad s ω=，求0

60?=时，小环M 的速度．

分析与解

本题首先应该求出交叉点M 作为杆BC 上一点的速度v ，而后根据交叉点

速度相关特征，求出该速度沿OA 方向的分量即为小环速度．

由于刚性曲杆OBC 以O 为轴转动，故其上与OA 直杆交叉点的速度方向垂直于转动半径OM 、大小是

10/v OM cm s ω=?=．

将其沿MA 、MB 方向分解成两个分速度，如图所示，即得小环M 的速度为

tan 103/M MA v v v cm s ?==?=．

6、

如图所示，一个半径为R 的轴环1O 立在水平面上，另一个同样的轴环2O 以速度v 从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点A 的速度A v 与两环中心之距离

d 之间的关系．轴环很薄且第二个轴环紧邻第一个轴环.

分析与解轴环2O 速度为v ，将此速度沿轴环1O 、2O 的交叉点A 处的切线方向分解成1v 、2v 两个分量，如图，由线状相交物系交叉点相关速度规律可知，交叉点A 的速度即为沿对方速度分量1v ．注意到图中显示的几何关系便可得

2sin 2

4()2

A v v

v d R d

R θ=

--.

三、关联速度问题是运动的合成和分解的一个基本模型

关联的本质是转动和平动的关联，分析时既要考虑运动的独立性原理，又要考虑物体

MB v ?

v v

O 2

O d

O 2

v 2

v θ

实际的运动轨迹，还要考虑连绳的长度，建立好正确的几何模型对解题至关重要。

1、如图所示，杆AB 的A 端以速度v 做匀速运动，在杆

运动时恒与一静止的半圆周相切，半圆周的半径为R ，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点C 的速度．

分析与解考察切点C 的情况．由于半圆静止，杆上点C 速度的法向分量为零，故点C 速度必沿杆的方向．以点C 为基点，将杆上点A 速度v 分解成沿杆方向分量1v 和垂直于杆方向分量2v （如图所示），则1v 是点A 与点C 相同

的沿杆方向平动速度，2v 是点A 对点C 的转动速度，故可求得点C 的速度为

1cos C v v v θ==?，又

2sin v v AC θω=?=?

由题给几何关系知，A 点对C 点的转动半径为 cot AC R θ=?

代入前式中即可解得 2sin cos v R θωθ

=．

2、如图所示，物体A 置于水平面上，物体A 上固定有

动滑轮B ,D 为定滑轮，一根轻绳绕过滑轮D 、B 后固定在C 点，BC 段水平．当以速度v 拉绳头时，物体A 沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物体A 运动的速度是多大?

分析与解首先根据绳约束特点，任何时刻绳BD 段上各点有与绳端D 相同的沿绳

BD 段方向的分速度v ，再看绳的这个速度与物体A 移动速度的关系：设物体A 右移速度

为x v ，则相对于物体A (或动滑轮B 的轴心)，绳上B 点的速度为x v ，即

BA x v v =，

A C

R v

v 2

v θ

B C

方向沿绳BD 方向；而根据运动合成法则，在沿绳BD 方向上，绳上B 点速度是相对于参照系A (或动滑轮B 的轴心)的速度x v 与参照系A 对静止参照系速度cos x v α的合成，即

cos BA x v v v α=+,

由上述两方面可得 1cos x v

v α

+．

3、如图所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A 上，

以恒定的速度v 拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线轴中心O 的运动速度0v ．设线轴的外径为R ，内径为r ，线轴沿水平面做无滑动的滚动．

分析与解当线轴以恒定的速度v 拉绳时，线轴沿顺时针方向运动．从绳端速度v 到轴心速度0v ，是通过绳、轴相切接触相关的．考察切点B 的速度：本题中绳与线轴间无滑动，故绳上B 点与轴上B 点速度完全相同，即无论沿切点法向或切向，两者均有相同的分速度．图是轴上B 点与绳上B 点速度矢量图：轴上B 点具有与轴心相同的平动速度0v 及对轴心的转动速度r ω（ω为轴的角速度），那么沿切向轴上B 点的速度为

0sin r v ωα-；而绳上B 点速度的切向分量正是沿绳方向、大小为速度v ，于是有关系式，

即

0sin r v v ωα-=．

又由于线轴沿水平地面做纯滚动，故与水平地面相切点C 的速度为零，则轴心速度为

0v R ω=，

由以上两式可解得

0sin Rv

v r R α

O α

A v

B ααv

r ω

v τ

v 0

若绳拉线轴使线轴逆时针转动，0sin Rv

v r R α

+．

4、如图所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线

端A 点速度为v ，方向水平．以铰链固定于点B 的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为r 和R ．试确定木板的角速度ω与角α的关系．

分析与解

设木板与线轴相切于C 点，则板上C 点与线轴上C 点有相同的法向速度

n v ，而板上C 点的这个法向速度正是C 点关于B

轴的转动速度，如图所示，即

cot

n v BC R α

ωω=?=?

现在再来考察线轴上C 点的速度：它应是C 点对轴心O 的转动速度Cn v 和与轴心相同的平动

速度0v 的矢量和，而Cn v 是沿C 点切向的，则C 点法向速度n v 应是

0sin n v v α=．

又由于线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有

0v v

R r R

=+．

将0sin n v v α=、0v v R r R =+两式代入cot 2

n v R α

ω=?式中，得

1cos ()R r v

ω-=

+．

5、

线轴置于斜面上，斜面与水平面的夹角为α。线的自由端固定住（如图）．线绳为垂直线时的瞬间线轴的旋转角速度等于ω，线轴的半径为

R ．求在这瞬间的：

1（）

、线轴轴心的速度； 2（）

、线轴与斜面相切点的速度．分析和解：本题中由于线绳不能伸长，所以垂直线最下面的点和与其相接触的线轴上的A 点的速度A v 相同，A v 的方向是水平方向．线轴的运动由两个运动合成：平行于斜面的直线运动，其速度为0v ；绕轴心的顺时针转动，其角速度等于ω。

v O

v α

n v 0v Cn

v C

在题中情况下, A 点的速度（图a ）等于

0A v v v '=+u u r u u r u r

不难看出，v R ω'=，且A v v '⊥，由此可得

0sin R

v ωα=

同理可以求出线轴与斜面相切C 点的速度（图b )

0C v v v ''=+u u r u u r u u r

其速度在斜面方向的投影为

0C v v R ω=-

将0sin R

v ωα=代人0C v v R ω=-得

1sin sin C R

υωα

-= 6、轮子在直线轨道上作纯滚动，轮子边缘点的运动

轨道曲线称为滚轮线．设轮子半径为R ，轮子边缘点

P 对应的滚轮线如图所示，试求此滚轮线在最高点曲

率半径1ρ和在最低点曲率半径2ρ.

解为计算1ρ、2ρ，可将轮子的滚动设计为最简单的匀速纯滚动，并将轮心相对直线轨道的匀速度记为0v ．

P 点相对直线轨道的运动速度等于P 点相对轮心运动速度与轮心相对直线轨道运动速度之和，在最高点这一速度大小应为102v v = 在最低点这一速度大小则降为 00v =。

P 点相对直线轨道的加速度等于P 点相对轮心的加速度a '，与轮心相对直线轨道的加速度之和，后者为零，故有 a a '=

a '即为匀速圆周运动的向心加速度，方向随时变化，大小恒为20

v a a R '== ,

P 在最高点和在最低点的a 显然全部用作向心加速度，因此同有20

v a R

心

v ''

v C

v ()

据算式2

=v a ρ心，可得

11=4v R a ρ=心

2=0v a ρ=心

7、一块小木块P 放在很粗糙的水平面上，被一根绳拉

着滑动，绳的另一端Q 以速度0v 在轨道中运动，绳长l ，绳与轨道的夹角是θ（如图）．求此时P 的速度和加速度．

解：由于水平面很粗糙，不沿绳方向的速度很快就被摩擦力消耗，因此P 的速度一定沿绳的方向，那么P 的速度0cos v v θ=

现取Q 为参考系，因为Q 无加速度，所以P 在Q 系中的加速度等于P 在地面系中的加速度。

p t n a a a =+u u r u r u u r

在Q 系中，P 有一个垂直于PQ 的速度10sin v v θ=。

220

1sin n v v a l l

θ==

[][]0001sin sin()sin sin cos cos sin sin t v v v v a t t t t t

θθθθθθθθθθ?????=

==+?-=?+?-?????

因为θ?很小，所以cos 1θ?=，sin θθ?=?，因此22

0cos sin cos t v v a v l l

θθθ?==

因此2

0sin p v a l

θ=

8、如图所示，物体A 质量为m ，吊索拖着A 沿光滑竖直

杆上升，吊索通过滑轮B 与卷扬机相连，收吊索的速度为

0v ，滑轮B 到竖直杆的距离为0l ，B 滑轮在水平杆上向右

以速度v 运动。求左边吊索恰好竖直，AB 绳与水平方向成

θ角时，吊索中的张力是多少？

解法一、这是一个比较复杂的运动，将此运动看成两个运动的合成：一个是B 滑轮不动，卷扬机以速度0v 收吊索；另一个是AB 段吊索长度不变，B 滑块以v 向右运动。第一个运动使A 滑块得到了一个速度0

1sin v v θ

第二个运动使A 滑块得到另一个速度2cot v v θ

=-?

A 的真实速度012cos sin A v v v v v θ

-=+=

将A 的速度分解成沿吊索方向的分量A v P 和垂直吊索方向的分量A v ⊥'

0cos cos sin A v v v θ

θθ

⊥-'=

B 速度的垂直于吊索的分量sin B v v θ⊥=

所以A 相对于B 垂直于吊索方向的速度

0cos sin A B A v v v v v θ

⊥⊥⊥-'=-=

A 物体的向心加速度2200

cos /cos A A v v a l l θ

θ⊥⊥=

= 分析A 的受力情况可知sin cos T mg N ma θθ--=

cos T N θ=

联立，即可求得T

解法二、以滑轮B 为参照物，A 物体速度可看成水平方向的速度v 和竖直方向的速度v '的合成，卷扬机虽然也有向左的速度v ，但不影响吊索的速度，所以物体A 沿吊索方向的速度亦为0v .即

0cos sin v v v θθ'=+得0cos sin v v v θ

-'=

A 速度垂直吊索的分量sin cos A v v v θθ⊥'=-0cos sin v v θ

以下同解法一。

四、物理学中特殊的曲线运动

物理学中特殊的曲线运动主要有两类，即圆周运动和抛体运动，其中抛体运动轨迹的曲率半径是随时变化的，所以在考虑抛体运动时，如果要计算向心加速度，则必须通过有关运动的计算得出曲率半径才能求解。

1、以速度v r

、与水平方向成α角抛出石块，石块沿某一轨道飞行．如果蚊子以大小恒定的

速率0v 沿同一轨道飞行．问蚊子飞到最大高度一半处具有多大加速度？空气阻力不计．分析和解：蚊子的运动实际上是匀速率曲线运动．它的加速度就是它运动到不同位置时的向心加速度．关键在于求出最大高度一半处时的曲率半径R ．我们可以根据轨道方程，求出曲率半径R ．现在我们根据石块的运动来求曲率半径．石块的运动为斜上抛运动，它到

达的最大高度为220sin 2v H g

设在

H 处，速度与水平方向成θ角．运动速度关系为 cos x v v α=，

y v =故有tan y x

v v θ=

由以上四式得tan tan θα=

将加速度g 分解为法向和切向方向得 cos n a g θ=

根据向心加速度公式， 22

2cos x n v v a R R θ

== 得3

2222

031(1sin )cos 2cos cos v v R g g ααθα

-== 蚊子以0v 的恒定速率沿石块的轨迹运动，蚊子在

H 粤处曲率半径仍为石块运动到此的曲率半径R ，但切向加速度为0，法向加速度20

n v a R

'=，蚊子的加速度等于该处的法向加速度．

20322

cos 1(1sin )2

v a a g R

α'===-

即为蚊子飞到最大高度一半处具有的加速度．

2、用几何方法确定曲线的曲率半径。在同一平面上

有两质点C 和D 。质点D 沿AB 方向以恒速u 运动，质点C 以不变速率v 追逐D 运动(v u >)

。某一时刻

到达图所示位置，C 、D 相距为L ，CD AB ⊥。设C 追逐D 的过程中，速度v 始终指向质点D 。我们来确定图示位置质点C 运动的曲率半径。解：我们假设经过很短时间t ?，质点D 达D '，

DD u t '=?;

质点C 达C '， ?CC

v t '=?。 CD 切于质点C 运动轨道的C 点，C D ''切于C '点。过C 点作CD 垂线，过C '点作C D ''垂

线交于O 点，CO C O ρ'==即为所求之曲率半径。由图中得 DCD CCC ''∠=∠ 所以有关系

?''DD CC L ρ

= 得到

?''

v t v

L L L u t u DD ρ?===?