中考数学冲刺难点突破 图形折叠问题 专题四 图形折叠中的直角三角形存在性问题(含答案及解析)

中考数学冲刺难点突破 图形折叠问题专题四 图形折叠中的直角三角形存在性问题（原卷）【精典讲解】1、如图例3-1，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，△B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE △BC 交AB 边于点E ，将△B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为图例3-1图例3-2图例3-32、如图例4-1，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把△B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为 ．图例4-1 图例4-2图例4-33、如图例5-1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，1BC =，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ∆为直角三角形，则BM 的长为 ．图例5-1图例5-2图例5-34、如图例6-1，在△MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A’BC与△ABC关于BC所在直线对称. D、E分别为AC、BC的中点，连接DE并延长交A’B所在直线于点F，连接A’E. 当△A’EF为直角三角形时，AB的长为.图例6-1图例6-2图例6-3【针对训练】1、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把△B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )A．3B．32C．2或3D．3或322、如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则ADDF的值为A．1113B．1315C．1517D．17193、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点，Q是CD上一动点，将△CEQ沿直线EQ折叠后，点C落在点P处，连接PA．点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，当PA的长度最小时，CQ的长为（）A．3B．3C．32D．34、如图，矩形ABCD中，3AB=，4BC=，点E是BC边上一点，连接AE，把矩形沿AE折叠，使点B落在点B'处．当CEB'∆为直角三角形时，BE的长为____________．5、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD 上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E，A′，C三点在一条直线上时，DF的长为_____．6、如图，在菱形ABCD中，△DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE△AB 交直线AD于点E，将△A沿PE折叠，点A落在F处，连接DF，CF，当△CDF为直角三角形时，线段AP的长为__________．中考数学冲刺难点突破图形折叠问题专题四图形折叠中的直角三角形存在性问题（答案及解析）【精典讲解】1、如图例3-1，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△B=30°，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE△BC交AB边于点E，将△B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为图例3-1 图例3-2图例3-32、如图例4-1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把△B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．图例4-1 图例4-2 图例4-33、如图例5-1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，1BC =，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ∆为直角三角形，则BM 的长为 ．图例5-1图例5-2图例5-34、如图例6-1，在△MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A’BC与△ABC关于BC所在直线对称. D、E分别为AC、BC的中点，连接DE并延长交A’B所在直线于点F，连接A’E. 当△A’EF为直角三角形时，AB的长为.图例6-1图例6-2图例6-3【针对训练】1、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把△B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )A．3B．32C．2或3D．3或32当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：△当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得△AB′E=△B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到△EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即△B沿AE折叠，使点B 落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．△当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：△当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，△AC=22=5，43△△B沿AE折叠，使点B落在点B′处，△△AB′E=△B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到△EB′C=90°，△点A、B′、C共线，即△B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，△EB=EB′，AB=AB′=3，△CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，△EB′2+CB′2=CE2，△x2+22=（4-x）2，解得x=32，△BE=32；△当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，△BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故选D．【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．2、如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则ADDF的值为A．1113B．1315C．1517D．1719故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF的长度是解题的关键．3、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点，Q是CD上一动点，将△CEQ沿直线EQ折叠后，点C落在点P处，连接PA．点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，当PA的长度最小时，CQ的长为（）A．3B．3C．32D．3A【解析】试题解析：如图所示：在Rt△ABE中，AE=．△BC=3，BE=，△EC=3-．由翻折的性质可知：PE=CE=3-．△AP+PE≥AE，△AP≥AE-PE．△当点A、P、E一条直线上时，AP有最小值．△AP=AE-PE=2-（3-）=3-3．故选A．考点：翻折变换（折叠问题）．BC=，点E是BC边上一点，连接AE，把矩形沿4、如图，矩形ABCD中，3AB=，4∆为直角三角形时，BE的长为____________．AE折叠，使点B落在点B'处．当CEB'△BE B E '=，90B AB E ︒'∠=∠=，△四边形ABEB '是正方形，△3BE AB ==．综上所述，当CEB '∆为直角三角形时，BE 的长为32或3．故答案是：32或3. 【点睛】考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．5、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝E 是AB 边上一点，AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A ′，当点E ，A ′，C 三点在一条直线上时，DF 的长为_____．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE的等腰三角形，属于中考常考题型．6、如图，在菱形ABCD中，△DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE△AB 交直线AD于点E，将△A沿PE折叠，点A落在F处，连接DF，CF，当△CDF为直角三角形时，线段AP的长为__________．2或22+【解析】【分析】分两种情形讨论：△如图1，当DF△AB时，△CDF是直角三角形；△如图2，当CF△AB时，△DCF是直角三角形，分别求出即可．【详解】分两种情况讨论：△如图1，当DF△AB时，△CDF是直角三角形．△在菱形ABCD中，AB=4，△CD=AD=AB=4．在Rt△ADF中，△AD=4，△DAB=45，DF=AF=22，△AP12=AF2=．△如图2，当CF△AB时，△DCF是直角三角形．在Rt△CBF中，△△CFB=90°，△CBF=△A=45°，BC=4，△BF=CF=22，△AF=4+22，△AP。