2019-2020学年福建省泉州一中九年级(上)月考数学试卷(10月份)(解析版)

2019-2020学年福建省泉州一中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共40分）1. 下列计算正确的是（）A.√2+√3=√5B.√2⋅√3=√6C.√24÷√3=4D.√(−3)2=−32. 一元二次方程x2−2x=0的解是( )A.x=2B.x1=2，x2=0C.x=0D.x1=2，x2=13. △ABC与△DEF的相似比为1:4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A.1:2B.1:3C.1:4D.1:164. 在Rt△ABC中，cos A=12，那么sin A的值是（）A.√22B.√32C.√33D.125. 如图，△ABC中，∠ABD＝∠C，若AB＝4，AD＝2，则CD边的长是（）A.2B.4C.6D.86. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对7. 如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝4，EF＝3，那么CD的长是（）A.12 B.9 C.6 D.168. 已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+1＝0无实数根，则a的取值范围是（）A.a<2B.a>2C.a<−2D.a<2且a≠19. 如图，在△ABC中，BC＝10，D、E分别为AB、AC的中点，连接BE、CD交于点O，OD＝3，OE＝4，则△ABC的面积为（）A.36B.48C.60D.7210. 如图，∠AOB＝90∘，且OA、OB分别与反比例函数y=4x(x>0)y=−3x(x<0)的图象交于A、B两点，则sin∠OAB的值是（）A.√32B.2√77C.√33D.√217二、填空题（本大题共6小题，共24分）如果式子√x−1有意义，则x的取值范围是________．已知关于x的方程x2−3x+m＝0的一个根是2，则它的另一个根是________，m的值是________．如图，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90∘，若AB ＝10，BC ＝16，则EF 的长为________．设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m ，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高为xm ，列方程，并化成一般形式是________．如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则∠BAC 的正切值是________．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45∘，AB ＝2√2，AD ＝AE ，∠DAE ＝90∘，CE =√5，则CD 的长为________．三、解答题（86分）计算：√(−3)2−(3√2)∘−4cos 30∘√3．解方程：x 2−6x −1＝0．如图，BE 是△ABC 的角平分线，延长BE 至点D ，使得BC ＝CD ．求证：△AEB ∽△CED ．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC 的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小，使变化后得到的新三角形与原三角形的位似比为1:2．请在平面直角坐标系中画出新三角形；（2）在△ABC 中有一个点P(2, 7)，则变换后P 的对应点的坐标为________．国庆期间，小明和爸爸妈妈去开元寺参观，对东西塔这对中国现存最高也是最大的石塔赞叹不已，也对石塔的高度产生了浓厚的兴趣．小明进行了以下的测量：他到与西塔距离26米的一栋大楼处，在楼底A 处测得塔顶B 的仰角为60∘，再到楼顶C 处测得塔顶B 的仰角为30∘．那么你能帮小明计算西塔BD 和大楼AC 的高度吗？某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件获利50元．为扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定降价（1）如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件．若商场平均每天要赚2100元，则每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫应如何定价，能使商场获得最大利润，最大利润是多少？如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC ⊥BC 于点 C ．将△ABC 沿AC 翻折得到△AEC ，连结DE ．若AC ＝4，BC ＝3．（1）求AE 的长；（2）求sin∠ABD的值．四边形ABCD中，点E是AB的中点，F是AD边上的动点．连结DE、CF．（1）若四边形ABCD是矩形，AD＝12，CD＝10，如图(1)．①请直接写出AE的长度；②当DE⊥CF时，试求出CF长度．（2）如图(2)，若四边形ABCD是平行四边形，DE与CF相交于点P．探究：当∠B与∠EPC满足什么关系时，DE CF =ADCD成立？并证明你的结论．在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，且OA＝6，OB＝8，点D是AB的中点．（1）直接写出点D的坐标及AB的长；（2）若直角∠NDM绕点D旋转，射线DP分别交x轴、y轴于点P、N，射线DM交x轴于点M，连接MN．①当点P和点N分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴时，若△PDM∽△MON，求点N的坐标；②在直角∠NDM绕点D旋转的过程中，∠DMN的大小是否会发生变化？请说明理由．参考答案与试题解析2019-2020学年福建省泉州一中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共40分）1.【答案】B【考点】二次根式的混合运算【解析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．【解答】A、√2与√3不能合并，所以A选项错误；B、原式=√2×3=√6，所以B选项正确；C、原式=√24÷3=2√2，所以C选项正确；D、原式＝|−3|＝3，所以D选项错误．2.【答案】B【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】利用因式分解法解方程．【解答】解：x(x−2)=0，x=0或x−2=0，所以x1=0，x2=2．故选B．3.【答案】C【考点】相似三角形的性质【解析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．【解答】解：∵ △ABC与△DEF的相似比为1:4，∵ △ABC与△DEF的周长比为1:4.故选C.4.【答案】B【考点】同角三角函数的关系【解析】利用同角三角函数间的基本关系求出sin A的值即可．【解答】∵ Rt△ABC中，cos A=12，∵ sin A=√1−cos2A=√32，5.【答案】C【考点】相似三角形的性质与判定【解析】根据相似三角形的判定和性质，对应边成比例即可求解．【解答】∵ ∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∵ △ABD∽△ACB，∵ ADAB=ABAC，AC＝AD+DC，∵ 24=42+DC，∵ DC＝6．答：DC边的长为6．故选：C．6.【答案】A【考点】相似多边形的性质相似三角形的判定【解析】甲：根据题意得：AB // A′B′，AC // A′C′，BC // B′C′，即可证得∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；乙：根据题意得：AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则A′B′＝C′D′＝3+2＝5，A′D′＝B′C′＝5+2＝7，则可得ABA′B′≠ADA′D′，即新矩形与原矩形不相似．【解答】甲：根据题意得：AB // A′B′，AC // A′C′，BC // B′C′，∵ ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∵ △ABC∽△A′B′C′，∵ 甲说法正确；乙：∵ 根据题意得：AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则A′B′＝C′D′＝3+2＝5，A′D′＝B′C′＝5+2＝7，∵ ABA′B′=CDC′D′=35，ADA′D′=BCB′C′=57，∵ ABA′B′≠ADA′D′，∵ 新矩形与原矩形不相似．∵ 乙说法正确．7.【答案】A【考点】相似三角形的性质与判定【解析】根据相似三角形的判定和性质两次相似，然后找中间量等量代换即可求解．【解答】AB、CD、EF都与BD垂直，∵ AB // CD // EF，∵ AB // CD，∵ ∠C＝∠ABE，∠CDE＝∠A，∵ △ABE∽△DCE，∵ BEEC =ABCD，AB＝4，∵ BE⋅CD＝4EC∵ EF // CD，∵ △BEF∽△BCD，∵ BEBC =EFCD，EF＝3，∵ BE⋅CD＝3BC＝3(BE+EC)，∵ 4EC＝3BE+3EC，∵ EC＝3BE，∵ BC＝4BE，1 4=3CD，∵ CD＝12．答：CD的长为12．故选：A．8.【答案】B【考点】根的判别式【解析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】∵ 关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+1＝0无实数根，∵ {a−1≠0∵=(−2)2−4(a−1)<0，解得：a>2．9.【答案】D【考点】三角形的重心勾股定理的逆定理相似三角形的性质与判定【解析】根据相似三角形的判定证明△DOE与△BOC相似，再利用勾股定理的逆定理得出△BOC是直角三角形，进而得出面积即可．【解答】∵ D、E分别为AB、AC的中点，∵ DE // BC，∵ △DOE∽△BOC，∵ OEOB=ODOC=DEBC，∵ OB＝8，OD＝6，∵ BC＝10，∵ △BOC是直角三角形，∵ △BOC的面积是24，∵ △BEC的面积是36，△BDE的面积是18，∵ △ABC的面积是72，10.【答案】D【考点】反比例函数图象上点的坐标特征解直角三角形【解析】根据反比例函数的几何意义，可求出△AOM，△BON的面积，由于∠AOB＝90∘，可证出△AOM∽△BON，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而求出相似比，即直角三角形AOB两条直角边的比，可求出斜边，进而求sin∠OAB【解答】过点A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，∵ 点A在反比例函数y=−3x(x<0)的图象上，∵ S△AOM=12×4＝2，∵ 点B在反比例函数y=4x(x>0)的图象上，∵ S△BON=12×3=32，∵ ∠AOB＝90∘∵ △BON∽△AOM，∵ (BOAO )2=S△BONS△AOM=34，∵ OBOA =√32，在Rt△AOB中，设OA＝2m，则OB=√3m，∵ AB=√OA2+OB2=√7，∵ sin∠OAB=OBAB =√37=√217，二、填空题（本大题共6小题，共24分）【答案】x≥1【考点】二次根式有意义的条件【解析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．【解答】由题意得，x−1≥0，解得，x≥1，【答案】1,2【考点】根与系数的关系【解析】设方程的另一个根为n，根据两根之和等于−ba，即可得出2+n＝3，解之可得出n的值，再根据两根之积等于ca即可得出m＝2n＝2，此题得解．【解答】设方程的另一个根为n，则有2+n＝3，解得：n＝1，∵ m＝2n＝2．【答案】3【考点】直角三角形斜边上的中线三角形中位线定理【解析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长【解答】∵ ∠AFB＝90∘，D为AB的中点，∵ DF=12AB＝5，∵ DE为△ABC的中位线，∵ DE=12BC＝8，∵ EF＝DE−DF＝3，【答案】x2−6x+4=0【考点】黄金分割【解析】设雕像的上部高xm，则下部长为(2−x)m，然后根据题意列出方程即可．【解答】解：由题意得：x2−x=2−x2，整理得：x2−6x+4=0，故答案为：x2−6x+4=0.【答案】2【考点】解直角三角形【解析】连接BD，则∠ADB＝90∘，由勾股定理得出BD=√22+22=2√2，AD=√12+12=√2，由锐角三角函数定义即可得出答案．【解答】如图所示，连接BD，则∠ADB＝90∘，BD=√22+22=2√2，AD=√12+12=√2，∵ tan∠BAC=BDAD=√2√2=2；【答案】5【考点】相似三角形的性质与判定等腰直角三角形【解析】在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，证明△ADB∽△DEF，求出DF＝4，证明△CEF∽△CDE，由比例线段可求出CF＝1，则CD可求出．【解答】在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，∵ AD＝AE，∠DAE＝90∘，∵ DE=√2AD=√2AE，∵ ∠ABC＝45∘，∠ADE＝45∘，且∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∵ ∠BAD＝∠EDC，∵ ∠BDA＝∠DEF，∵ △ADB∽△DEF，∵ DFAB =DEAD=√2，∵ AB=2√2，∵ DF＝4，又∵ ∠CDE+∠C＝45∘，∵ ∠CEF＝∠CDE，∵ △CEF∽△CDE，∵ CECF =DCCE，又∵ DF=4,CE=√5，∵ √5CF =√5，∵ CF＝1或CF＝5（舍去），∵ CD＝CF+4＝5．三、解答题（86分）【答案】原式＝3−1−4×√32+2√3=2．【考点】特殊角的三角函数值二次根式的混合运算分母有理化【解析】原式利用二次根式性质，零指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可求出值．【解答】原式＝3−1−4×√32+2√3=2．【答案】x2−6x−1＝0，移项得：x2−6x＝1，配方得：x2−6x+9＝10，即(x−3)2＝10，开方得：x−3＝±√10，则x1＝3+√10，x2＝3−√10．【考点】解一元二次方程-配方法【解析】将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】x2−6x−1＝0，移项得：x2−6x＝1，配方得：x2−6x+9＝10，即(x−3)2＝10，开方得：x−3＝±√10，则x1＝3+√10，x2＝3−√10．【答案】证明：∵ BE是△ABC的角平分线，∵ ∠ABE＝∠CBE．∵ BC＝CD，∵ ∠CDE＝∠CBE＝∠ABE．又∵ ∠AEB＝∠CED，∵ △AEB∽△CED．【考点】相似三角形的判定【解析】根据角平分线的性质结合等腰三角形的性质可得出∠CDE＝∠ABE，结合对顶角相等，即可证出△AEB∽△CED．【解答】证明：∵ BE是△ABC的角平分线，∵ ∠ABE＝∠CBE．∵ BC＝CD，∵ ∠CDE＝∠CBE＝∠ABE．又∵ ∠AEB＝∠CED，∵ △AEB∽△CED．【答案】(1, 3.5)或(−1, −3.5)【考点】作图-位似变换【解析】（1）利用将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC的位似比为1:2，得出对应点坐标都除以2得出各点位置即可得出图象；（2）根据对应点坐标都除以2解答即可．【解答】如图所示：在△ABC 中有一个点P(2, 7)，则变换后P 的对应点的坐标为(1, 3.5)，(−1, −3.5)， 故答案为：(1, 3.5)或(−1, −3.5)． 【答案】西塔BD 的高度为26√3米，大楼AC 的高度为52√33米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【解析】作CE ⊥BD 于E ，根据正切的定义求出BD ，根据正切的定义求出BE ，计算求出DE ，得到AC 的长． 【解答】作CE ⊥BD 于E ，则四边形ACED 为矩形， ∵ CE ＝AD ＝26，AC ＝DE ， 在Rt △BAD 中，tan ∠BAD =BD AD，则BD ＝AD ⋅tan ∠BAD ＝26√3， 在Rt △BCE 中，tan ∠BCE =BE CE，则BE ＝CE ⋅tan ∠BCE =26√33， ∵ AC ＝DE ＝BD −BE =52√33， 【答案】衬衫应降价20元每件衬衫降价17.5元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为2112.5元【考点】二次函数的应用 一元二次方程的应用【解析】（1）利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． （2）根据题意列出二次函数求得最大值即可． 【解答】设衬衫降价x 元，则多卖2x 件，依题意得：(50−x)(30+2x)＝2100， 解得：x 1＝15，x 2＝20． 当x ＝15时，30+2x ＝60； 当x ＝20时，30+2x ＝70， ∵ 为了尽量减少库存， ∵ x ＝20．答：衬衫应降价20元．设商场平均每天赢利y 元，则 y ＝(50−x)(30+2x) ＝−2x 2+70x +1500＝−2(x −17.5)2+2112.5．∵ 当x ＝17.5时，y 取最大值，最大值为2112.5．答：每件衬衫降价17.5元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为2112.5元． 【答案】∵ AC ⊥BC ，AC ＝4，BC ＝3，∵ Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=√42+32=5，由折叠可得，AE ＝AB ＝5；如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，过D 作DG ⊥AB 于G ， ∵ 12BC ×AC =12AB ×CF ， ∵ CF =BC×AC AB=125，∵ AB // CD ，CF ⊥AB ，DG ⊥AB ， ∵ DG ＝CF =125，∵ BE ＝2BC ＝2×3＝6，DE ＝AC ＝4，∵ 在Rt △BDE 中，BD =√BE 2+DE 2=√62+42=2√13， ∵ 在Rt △BDG 中，sin ∠ABD =DGBD =1252√13=665√13．【考点】解直角三角形翻折变换（折叠问题）平行四边形的性质【解析】（1）依据勾股定理即可得到AB的长，再根据折叠的性质即可得出AE的长；（2）过C作CF⊥AB于F，过D作DG⊥AB于G，依据面积法即可得到CF的长，进而得到DG的长，再根据勾股定理得到BD的长，即可得出sin∠ABD的值．【解答】∵ AC⊥BC，AC＝4，BC＝3，∵ Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√42+32=5，由折叠可得，AE＝AB＝5；如图，过C作CF⊥AB于F，过D作DG⊥AB于G，∵ 12BC×AC=12AB×CF，∵ CF=BC×ACAB=125，∵ AB // CD，CF⊥AB，DG⊥AB，∵ DG＝CF=125，∵ BE＝2BC＝2×3＝6，DE＝AC＝4，∵ 在Rt△BDE中，BD=√BE2+DE2=√62+42=2√13，∵ 在Rt△BDG中，sin∠ABD=DGBD=1252√13=665√13．【答案】①∵ 四边形ABCD是矩形，∵ AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠ADC＝90∘．∵ AD＝12，CD＝10，∵ BC＝12，AB＝10．∵ 点E是AB的中点，∵ AE=12AB＝5．②∵ DE⊥CF，∵ ∠DPC＝∠DPF＝90∘，∵ ∠DFC+∠DCF＝90∘，∠DFC+∠FDP＝90∘，∵ ∠DCF＝∠FDP．∵ ∠A＝∠ADC，∵ △CFD∽△DEA，∵ CDAD=CFED．在Rt△AED中，由勾股定理，得ED＝13．∵ 1012=CF13，∵ CF=656．答：CF的长度为656；当∠B+∠EPC＝180∘时，DECF=ADCD成立．证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∵ ∠B＝∠ADC，AD // BC，∵ ∠B+∠A＝180∘，∵ ∠B+∠EPC＝180∘，∵ ∠A＝∠EPC＝∠FPD，∵ ∠FDP＝∠EDA，∵ △DFP∽△DEA，∵ DEAD=DFDP，∵ ∠B＝∠ADC，∠B+∠EPC＝180∘，∠EPC+∠DPC＝180∘，∵ ∠CPD＝∠CDF，∵ ∠PCD＝∠DCF，∵ △CPD∽△CDF，∵ DFDP=CFCD，∵ DEAD=CFCD∵ DECF=ADCD，即当∠B+∠EPC＝180∘时，DECF=ADCD成立．【考点】四边形综合题【解析】（1）①根据矩形的性质和中点的定义就可以得出AE的值；②根据勾股定理就可以求出ED的值，再由△CFD∽△DEA，由相似三角形的性质就可以求出结论；（2）当∠B+∠EPC＝180∘时，DECF =ADCD成立，证△DFP∽△DEA，得出DEAD=DFDP，证△CPD∽△CDF，得出DF DP =CFCD，即可得出答案．【解答】①∵ 四边形ABCD是矩形，∵ AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠ADC＝90∘．∵ AD＝12，CD＝10，∵ BC＝12，AB＝10．∵ 点E是AB的中点，∵ AE=12AB＝5．②∵ DE⊥CF，∵ ∠DPC＝∠DPF＝90∘，∵ ∠DFC+∠DCF＝90∘，∠DFC+∠FDP＝90∘，∵ ∠DCF＝∠FDP．∵ ∠A＝∠ADC，∵ △CFD∽△DEA，∵ CDAD =CFED．在Rt△AED中，由勾股定理，得ED＝13．∵ 1012=CF13，∵ CF=656．答：CF的长度为656；当∠B+∠EPC＝180∘时，DE CF =ADCD成立．证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∵ ∠B＝∠ADC，AD // BC，∵ ∠B+∠A＝180∘，∵ ∠B+∠EPC＝180∘，∵ ∠A＝∠EPC＝∠FPD，∵ ∠FDP＝∠EDA，∵ △DFP∽△DEA，∵ DEAD =DFDP，∵ ∠B＝∠ADC，∠B+∠EPC＝180∘，∠EPC+∠DPC＝180∘，∵ ∠CPD＝∠CDF，∵ ∠PCD＝∠DCF，∵ △CPD∽△CDF，∵ DFDP =CFCD，∵ DEAD=CFCD∵ DECF=ADCD，即当∠B+∠EPC＝180∘时，DECF=ADCD成立．【答案】∵ OA＝6，OB＝8，点D是AB的中点，∵ 点D的坐标为(3, 4)，AB=√62+82=10；①如图，过点D作DC⊥y轴于C，作DE⊥x轴于E，则CD＝3＝OE，DE＝4＝CO，∠DCN＝∠DEM＝90∘，设ON＝x，则CN＝4−x，∵ ∠CDE＝∠PDM＝90∘，∵ ∠CDN＝∠EDM，∵ △CDN∽△EDM，∵ CDED=CNEM，即34=4−xEM，∵ EM=43(4−x)，∵ CD // PO，∵ △CDN∽△OPN，∵ CDOP=CNON，即3OP=4−xx，∵ OP=3x4−x，∵ △PDM∽△MON，∵ ∠NPO＝∠NMO，∵ PN＝MN，∵ NO⊥PM，∵ PO＝MO，即3x4−x=3+43(4−x)，解得x1＝10（舍去），x2=52，∵ ON=52，∵ 点N的坐标为(0, 52)；②在直角∠NDM绕点D旋转的过程中，∠DMN的大小不会发生变化．理由：由①可得，△CDN∽△EDM，word 版 初中数学11 / 11∵CDED=DN DM，即34=DN DM，又∵ OA ＝6，OB ＝8， ∵ OAOB =34， ∵DN DM =OA OB，即DN AO=DM OB，又∵ ∠AOB ＝∠NDM ＝90∘， ∵ △AOB ∽△NDM ， ∵ ∠DMN ＝∠OBA ， ∵ ∠OBA 大小不变，∵ ∠DMN 的大小不会发生变化．【考点】等腰三角形的性质 相似三角形综合题 相似三角形的判定 勾股定理 【解析】（1）根据OA ＝6，OB ＝8，点D 是AB 的中点，可得点D 的坐标为(3, 4)，根据勾股定理可得AB =√62+82=10；（2）①先过点D 作DC ⊥y 轴于C ，作DE ⊥x 轴于E ，则得出CD ＝3＝OE ，DE ＝4＝CO ，∠DCN ＝∠DEM ＝90∘，再设ON ＝x ，则CN ＝4−x ，判定△CDN ∽△EDM ，得出EM =43(4−x)，判定△CDN ∽△OPN ，得出OP =3x4−x ，再根据PO ＝MO ，得出关于x 的方程3x4−x =3+43(4−x)，求得x 的值即可得到点N 的坐标； ②先根据△CDN ∽△EDM ，得到34=DNDM ，再根据OA ＝6，OB ＝8，得到OAOB =34，最后根据DNAO =DM OB，∠AOB ＝∠NDM ＝90∘，判定△AOB ∽△NDM ，根据相似三角形的对应角相等，可得∠DMN ＝∠OBA ，进而得到∠DMN 的大小不会发生变化． 【解答】∵ OA ＝6，OB ＝8，点D 是AB 的中点，∵ 点D 的坐标为(3, 4)，AB =√62+82=10；①如图，过点D 作DC ⊥y 轴于C ，作DE ⊥x 轴于E ，则 CD ＝3＝OE ，DE ＝4＝CO ，∠DCN ＝∠DEM ＝90∘， 设ON ＝x ，则CN ＝4−x ， ∵ ∠CDE ＝∠PDM ＝90∘， ∵ ∠CDN ＝∠EDM ， ∵ △CDN ∽△EDM ，∵CDED=CN EM ，即34=4−x EM，∵ EM =43(4−x)， ∵ CD // PO ，∵ △CDN ∽△OPN ， ∵CD OP=CN ON，即3OP=4−x x，∵ OP =3x4−x ， ∵ △PDM ∽△MON ， ∵ ∠NPO ＝∠NMO ， ∵ PN ＝MN ， ∵ NO ⊥PM ， ∵ PO ＝MO ，即3x4−x =3+43(4−x)，解得x 1＝10（舍去），x 2=52， ∵ ON =52，∵ 点N 的坐标为(0, 52)；②在直角∠NDM 绕点D 旋转的过程中，∠DMN 的大小不会发生变化． 理由：由①可得，△CDN ∽△EDM ， ∵ CDED =DNDM ，即34=DN DM ， 又∵ OA ＝6，OB ＝8， ∵ OAOB =34， ∵ DNDM =OAOB ，即DNAO =DM OB，又∵ ∠AOB ＝∠NDM ＝90∘， ∵ △AOB ∽△NDM ， ∵ ∠DMN ＝∠OBA ， ∵ ∠OBA 大小不变，∵ ∠DMN 的大小不会发生变化．。