坐标系中的基本公式
两点之间的距离公式及中点坐标公式
数轴上两点的距离
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2
所以A,B两点的距离为 两点的距离为: 所以 两点的距离为 d(A,B)= X 2 – X 1
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式 两点的距离公式
如图：有序实数对 与点P对 如图：有序实数对（ x,y）与点 对 与点 这时（ 称为点P的坐标 应，这时 x,y）称为点 的坐标， 这时 称为点 的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点 的横坐 叫做点P的横坐 并记为 叫做点 叫做点P的纵坐标 标，y叫做点 的纵坐标。 叫做点 的纵坐标。
O
AD = (b − a) + c ,
AC = b + c ,
2 2 2
A(0 A(0,0)
B(a,0 B(a,0)
BD = (b − 2a) + c
2 2
2
AC + BD = 4a + 2b + 2c − 4ab,
2 2 2 2 2
= 2(2a + b + c − 2ab), 2 2 2 2 2 AB + AD = 2a + b + c − 2ab, 所以 AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2 ).
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X 证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建 立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A 性质可设点A，B，C，D的坐标为
(
)
A(0,0), B(a,0), C(b, c), D(b − a, c).
所以 AB
2
2
=a ,
2
平面直角坐标系中的基本公式
B1
x
M 2 0, y
因为M是线段AB的中点，所以点M1和点M2分别是A1B1和A2B2 的中点，即
A1M 1 M 1B1 , A2 M 2 M 2 B2 所以 x x1 x2 x, y y1 y2 y
即：
x x1 x2 , y y1 y22 Nhomakorabea2
例3 已知平行四边形ABCD的三个顶点 A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),求顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，
所以所以他们的坐标也相同，设点D的坐标为（x,y）,
则
x
2
2
3 2
5
1
y D（x，y）
y
2
2
0
2
2
1
C（5，2）
解的
x
y
0 4
A（-3，0）
所以点D的坐标为（0，4）
x B（2，-2）
练习1
y
A(-3,0)
O
D(x,y)
C(5,2) x
B(2,-2)
练习2
y
A(-3,0)
C(5,2)
o
D(x,y) x
B(2,-2)
例4 已知 平行四边形ABCD，
求证：AC 2 BD2 2 AB2 AD2
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立 直角坐标系xOy,依据平行四边形的性质可设点A,B,C,D 的坐标为A(0,0),B(a,0),C(b,c),D(b-a,c)
O
x
3）如果点O为坐标原点，点A在平面任意位置， 坐标为（x,y）怎样求OA的距离？
平面直角坐标系中的基本公式
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式课程学习目标目标重点：平面上两点间的距离公式和中点公式；目标难点：两点间距离公式的推导；［学法关键］1．领会从特殊到一般的过程来研究两点间的距离公式及中点坐标公式；2．距离公式的实质是将二维空间的长度计算问题转化为一维空间的长度计算问题。
研习点1. 两点间的距离公式1． 两点 A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2)间的距离公式表示为d (A ，B2． 当AB 平行于x 轴时，d (A ，B )=|x 2－x 1|；当AB 平行于y 轴时，d (A ，B )=|y 2－y 1|；当B 为原点时，d (A ，B求两点距离的步骤已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：（1）给两点的坐标赋值：(x 1，y 1)，(x 2，y 2).（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△x =x 2－x 1，△y =y 2－y 1.（3）计算d 22x y +.（4）给出两点的距离d .通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离研习点2. 坐标法坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法.用坐标法证题的步骤（1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）；（2）设出未知坐标；（3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论.研习点3. 中点坐标公式已知A (x 1，y 1),B (x 2，y 2)两点，M (x ，y )是线段AB 的中点，则有121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩（1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。
（2）若已知点P (x ，y )，则点P 关于点M (x 0，y 0)对称的点坐标为P ’(2x 0－x ，2y 0－y ).（3）利用中点坐标可以求得△ABC （A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)）的重心坐标为12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩题型1. 公式的基本应用例1.求下列两点的距离及线段中点的坐标，（1）A (－1，－2)，B (－3，－4)；（2）C (－2，1)，D (5，2).解：（1）设AB 的中点为M (x ，y )，得线段AB 的中点坐标为M (－2，－3)， AB 两点的距离d (A ，B=。
人教版中职数学(基础模块)下册8.1《坐标系中的基本公式》ppt课件1
2
即 A，B 的中点坐标为 1 ．
已知点 A（－6），B（－1），C（2），D（4.5）， E（7），求：
（1）|AB|，|AC|，|BD|，|DE|； （2）A，B 的中点坐标；B，E 的中点坐标．
1．数轴上点的坐标． 2．数轴上两点间的距离公式． 3．数轴上两点的中点公式．
观察数轴，完成下列题目：
PB O
A
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
（1）点 P 与 －3.5 对应，则点 P 的坐标是 ，记作 ； （2）点 A 的坐标是 ，记作 ； （3）点 B 的坐标是 ，记作 ； （4）点 O 的坐标是 ，记作 ．
C A DB
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
（1）图中点 A 的坐标是 ，点 B 的坐标是 ， 点 C 的坐标是 ，点 D 的坐标是 ；
（2）点 A 与 B 之间的距离 |AB|＝ ；点 C 与 A 之 的距离 |CA|＝ ；点 B 与 C 之间的距离 |BC|＝ ．
（3）你能找出数轴上两点间距离与两个点的坐 标之间的关系吗？是怎样的？
距离公式
A(x1)
B(x2)
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
一般地，在数轴上，如果 A(x1)，B(x2)， 则这两点的距离公式为
|AB|＝|x2－x1|．
在以上例子中，我们遇到的数轴都是水平放置的，
如果数轴不是水平放置的 ( 如图所示 ) ，数轴上的距离
公式成立吗？
x
B4 3
2
1
0
A
－1 －2
数轴上的中点公式
A(x1)
2.1.1-2平面直角坐标系中的基本公式
在一条高速公路上距离出发点的一个以
千米为单位的数就可以确定车的位置，请 问在一个电影院里如何确定你的位置？飞 行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如 何报告他的位置？
一维直线
数轴
二维平面
平面直角坐标系
三维空间
空间直角坐标系
第 二 章 用数字或其符号来
平 确定一个点或一个
面 解 析
物体位置的方法叫 坐标方法。相关的
知识点二 位移向量
议一议:如何用数表示数轴上的位移?
如数轴上的一点A沿着轴的正向或负向移到另一点B, 则说点在数轴上作了一次位移,点不动,则说作了零位移. 位移是一个既有大小又有方向的量,通常称为向量.
从点A到点B的向量,记为 AB ,读作“向量AB”，A 为向量的起点，B为向量的终点，线段AB的长度叫做向 量 AB 的长度，也叫做向量的模，记作 AB ，数轴上 同向且等长的向量叫做相等向量，起点和终点重合的向 量叫零向量，零向量没有确定的方向.
几 符号和数称为点的
何 坐标。
初
步
2.1平面直角坐标系 中的基本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
知识点1 数轴上的向量 知识点2 数轴上的向量的运算
知识点一 数轴上点的坐标
1.什么叫做数轴?在数轴上，点P与实数x的对应法则
是什么呢？
P
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 给出了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴， 或者说在这条直线上建立了直线坐标系.
例1．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标.
解：因为平行四边形的 两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同。
设D点的坐标为(x，y)，
直角坐标系中的基本公式
直角坐标系中的基本公式
一、坐标极限
在直角坐标系中，每个坐标轴的极限均为正无穷大、负无穷大，若设坐标轴为x轴和y轴，则有：
x→±∞，y→±∞
二、坐标点
坐标系中的任意一点通过其与坐标轴的交点定义出来，若该点与坐标轴上的点非常接近，则坐标系中的任意一点可以用坐标点(x,y)表示，其中x和y分别表示该点到x轴和y轴的距离，正数表示向右向上距离，负数表示向左向下距离。
三、坐标轴
在直角坐标系中，一般有两个相互垂直的坐标轴，一般称为x轴和y 轴，x轴垂直于y轴，x轴向右为正方向，y轴向上为正方向，称为坐标轴正方向。
四、坐标原点
在直角坐标系中，由x轴和y轴交点定义的点称为坐标原点，符号为O，x轴上该点的坐标为(0,0)，即x=0，y=0。
五、坐标轴上的点
在直角坐标系中，任何一点，其到坐标轴的距离均为常数，若该点在x轴上的坐标为a，在y轴上的坐标为b，则该点的坐标可表示为(a,0)（在x轴上）或(0,b)（在y轴上），其中a和b均为实数。
六、基本公式
1、点到坐标轴的距离
设点P(x,y)与x轴和y轴的距离为a和b，则有：a=，x，b=，y
2、点到坐标原点的距离。
直角坐标系的8大公式
直角坐标系的8大公式直角坐标系是数学中常用的坐标系之一，广泛应用于几何、物理和工程等领域。
在直角坐标系中，我们通过坐标对点进行唯一标识和定位。
本文将介绍直角坐标系中的8大公式，这些公式在解决几何和代数问题时非常有用。
一、坐标距离公式在直角坐标系中，我们可以通过两点的坐标计算它们之间的距离。
假设点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，那么点A和点B之间的距离可以由以下公式求得：d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)这个公式被称为坐标距离公式，可以通过计算两点之间的直线距离来确定它们之间的距离。
二、中点公式在直角坐标系中，我们可以通过两点的坐标计算它们的中点坐标。
假设点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，那么这两点的中点坐标可以由以下公式求得：M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)这个公式被称为中点公式，可以通过计算两点坐标的平均值来确定它们的中点坐标。
三、斜率公式在直角坐标系中，我们可以通过两点的坐标计算它们之间的斜率。
假设点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，那么这两点之间的斜率可以由以下公式求得：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)这个公式被称为斜率公式，可以用于计算两点之间直线的斜率。
斜率表示直线的倾斜程度。
四、线性方程公式在直角坐标系中，我们可以通过直线的斜率和一点的坐标来确定直线的方程。
假设直线的斜率为m，一点的坐标为(x₁, y₁)，那么直线的方程可以由以下公式给出：y - y₁ = m(x - x₁)这个公式被称为线性方程公式，可以用于描述直线在直角坐标系中的方程。
五、平行线公式在直角坐标系中，我们可以通过两条平行线的斜率来确定它们之间的关系。
假设平行线L₁的斜率为m₁，平行线L₂的斜率为m₂，那么这两条平行线之间的关系可以由以下公式给出：m₁ = m₂这个公式表示两条平行线的斜率相等。
平面直角坐标系中的基本公式
练习题：
1． 如果一条线段的长是5个单位，它的一 个端点是A(2，1)，另一个端点B的横坐标 是－1，则端点B的纵坐标是（ C ） （A）－3 （B）5
（C）－3或5 （D）－1或3
2．设A(1，2)，在x轴上求一点B，使得
|AB|=5，则B点的坐标是（ D ）
（A）(2，0)或(0，0) （B）( 1 21，0) （C）( 1 21 ，0) （D）( 1 21 ，0)或( 1 21 ，0)
已知平面上任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，
如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
注意：P1P2
所在直线不与坐标轴平行且不在坐标轴上
y y2
P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
y1 P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
O
x1
x2
x
| PQ 1 || x2 x1 |
｛ ｛
三、数学思想方法：
｛
1.特殊到一般 2.方程与化归的思想 3.坐标法（几何与代数的转化）
D
C
A
B
Hale Waihona Puke 证明：以A为原点，AB为x轴 建立直角坐标系。
则四个顶点坐标分别为 A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)
y
D (b,c)
C (a+b,c)
第一步:建立坐标系，用 坐标表示有关的量。
2 2 2 2
翻译成几何关系。
x
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。
例5.求函数y= x2 1 x2 4x 的最小值 . 8
解：函数的解析式可化为
x2 1 x2 4 x 8
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
），求：
（1）|AB|；
（2）A，B两点的中点坐标．
解：（1）|AB|＝|5－（－3）|＝8；
（2）设点M（x）是A，B两点的中点，则
－3＋5
x＝2＝1．
即A，B的中点坐标为1．
练习二
四、作业：
第一课时
一、导入：
1．数轴
－4－3－2－10 1 2 3 4x
2．数轴上的点与实数是对应的．
二、新课：
1.数轴上点的坐标
P
－4－3－2－10 1 2 3 4x
在数轴上，如果点P与x对应，则称点P的坐标为x，记作P（x）．
练习一
观察数轴，完成下列题目：
P BOA
• •••
－4－3－2－10 1 2 3 4x
|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2．
探究二 求两点之间的距离的计算步骤：
S1给两点的坐标赋值
x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？
S2计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即
dx＝x2－x1，dy＝y2－y1；
已知点A（－6），B（－1），C（2），D（4.5），E（7），求：
（1）|AB|，|AC|，|BD|，|DE|；
（2）A，B的中点坐标，B，E的中点坐标．
三、小结：
1．数轴上点的坐标．
2．数轴上两点间的距离公式．
3．数轴上两点的中点公式．
、导入：
1．一般地，如果A(x1)，B(x2)，则这两点的距离为
（2）点A与B之间的距离|AB|=，点C与A之间的距离|CA|=，
点B与C之间的距离|BC|=；
（3）你能找出数轴上两点间距离与两个点坐标之间的关系吗？ 一般地，如果A（x1），B（x2），则这两点的距离公式为
|AB|=|x2－x1|．
探究二 在以上例子中，我们遇到的数轴都是水平放置的，如果数轴不是水平 放置的（如下图所示），数轴上的距离公式成立吗？
|AB|＝|x2－x1|．
2．一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2)的中点坐标x满足关系式
x1＋x2
x＝2．
二、新课：
1.距离公式
探究一
如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
y
B2
B
A
C
A2C
A1
OB1x
过A，B分别向x轴、y轴作垂线AA1，AA2和BB1，BB2，垂足分别为A1，A2，B1，B2，其中直线BB1和AA2相交于点C．两点的距离公式
（1）点P与－3.5对应，则点P的坐标是，记作
（2）点A的坐标是 ，记作 ；
（3）点B的坐标是 ，记作 ；
（4）点O的坐标是 ，记作 ．
2.数轴上的距离公式
探究一
如图，填空：
C A D B
• • • •
－4－3－2－10 1 2 3 4x
（1）图中点A的坐标是，B的坐标是，C的坐标是，点D的坐标是；
坐标系中的基本公式
29 31、2
理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，会表示数轴上某一点的 坐标．掌握数轴上的距离公式和中点公式，并能用这两个公式解决有 关问题，了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程． 掌握平面直角坐标系中的距离公式和中点公式
重点：
1、数轴上的距离公式、中点公式．
2、平面直角坐标系中的距离公式、中点公式．
1
0
－1
A•－2
试求两个图中点A与B之间的距离．
3.数轴上的中点公式
探究三
根C据 下A图 回D答问题：
• • •
－3－2－10 1 2x
1）点A（－1），C（－3）的中点坐标是多少？中点坐标与A，C两点的 坐标有怎样的关系？
2）点A（－1），D（1）的中点坐标是多少？中点坐标与A，D两点的坐 标有怎样的关系？
难点：
1、距离公式与中点公式的应用．
自习为主，教师概括
第一课时 一、导入：1、数轴2、
第二课时 一、导入：
1、
2、
二、新课：
1、
2、
探究一
探究二
3、数轴上的中点公式
探究三
4、应用
例、
练习二
二、新课：
1、
探究一 探究二 例1、 练习一、
2、中点公式： 探究三 例2、 练习二、 练习三、
三、小结：
三、小结：