山西省长治市太行中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题

太行中学2018—2019学年第二学期期末考试高二数学试题（理）命题： 审题：一、选择题：（本大题共12个小题每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有项是符合题目要求的.）1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．16k ≥B ．16k >C ．8k ≥D ．8k >2.复数(6)|34|i i i -+-的实部与虚部之差为（ ）A ．-1B ．1C ．75-D ．753.已知cos 2cos()2παπα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．-4 B ．4C ．13-D ．134.已知||1a =r ，||b =r ，且()a a b ⊥-r r r，则向量a r 在b r 方向上的投影为（ ）A ．1B ．C ．12D ．5.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（ ） A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种6.当输入a 的值为16，b 的值为12时，执行如图所示的程序框图，则输出的a 的结果是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．67.已知函数2()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8.如图，在校长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥P QEF -的体积D ．QEF △的面积9.已知函数()cos sin 4f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()f x 满足（ ） A ．最小正周期为2T π=B．图象关于点,84π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭对称 C ．在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数D ．图象关于直线8x π=对称10.设锐角ABC △的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1c =，2A C =，则ABC △周长的取值范围为（ ） A．(0,2+B．(0,3+C．(2+ D．(2++11.已知函数()f x 满足对任意实数,m n ，都有()()()1f m n f m f n +=+-，设()()(0,1)1x x a g x f x a a a =+>≠+，(ln 2019)2018g =，1ln 2019g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2018B ．2017C ．-2016D ．-201512.已知函数e ,0()2e (1),0xx m mx x f x x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩，（e 为自然对数的底），若方程()()0f x f x -+=有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,)eB ．(,)e +∞C ．(0,2)eD ．(2,)e +∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知点(,)P x y 在不等式组20,10,220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是__________14.已知点Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ，则||y PQ +的最小值是__________.15.已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的正整数n 的最大值为__________. 16.已知函数()sin cos x f x x x =-，23,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值是__________ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S na a =+-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明4n T <. 18.如图（1），等腰梯形ABCD ，2AB =，6CD =，AD =E 、F 分别是CD 的两个三等分点。

若把等腰梯形沿虚线AF 、BE 折起，使得点C 和点D 重合，记为点P ，如图（2）.（1）求证：平面PEF ⊥平面ABEF ；（2）求平面PAE 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值.19.某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品。

图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表. 表1：设备改造后样本的频数分布表（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值；（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元。

根据表1的效据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望.20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为 （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，试判断||||PM PN ⋅是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.21.已知函数21()4ln 22f x x a x x =---，其中a 为实数. （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，求证：()()126ln f x f x a +<-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>.M 为曲线1C 上的动点，点P 在射线OM 上，且满足||||20OM OP ⋅=.（Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为56π的直线l 与1C 相交于,A B 两点，求||||DA DB ⋅的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数1()||()3f x x a a =-∈R . （1）当2a =时，解不等式1()13x f x -+≥； （2）设不等式1()3x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围. 高二数学期末答案（理科）BBCDB CABDC DD13.[-1,2] 14. 2 15. 6 16. 43π-17.（1）当1n =时，111221S a a =+-，即11a =， 当2n ≥时，221n n n S na a =+-①，1112(1)21n n n S n a a ---=-+- ②①-②，得112(1)22n n n n n a na n a a a --=--+-，即1(1)n n na n a -=+，所以11n n a an n-=+， 且1122a =， 所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列， 112n a n =+即()*12n n a n N +=∀∈. （2）由（1）得12n n a +=，所以22144114(1)(1)1na n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪+++⎝⎭， 所以22224444234(1)n T L n =+++++， 4444122334(1)L n n <++++⨯⨯⨯+， 111111*********L n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14141n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭.18.（1）E 、F 是CD 的两个三等分点，易知，ABEF 是正方形，故BE EF ⊥， 又BE PE ⊥，且 PEI EF E =，∴BF ⊥面PEF 又BF ⊂面ABEF ，∴平面PEF ⊥平面ABEF .（2）过P 作PO EF ⊥于O ，过O 作BE 的平行线交AB 于G ，则PO ⊥面ABEF ， 又PO ，EF ，OG 所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，则(2,1,0)A -，(2,1,0)B ，(0,1,0)F -，P∴(2,0,0)AF =-u u u r，FP =u u u r ，(0,2,0)AB =u u u r，(2,1,PA =-u u u r ， 设平面PAF 的法向量为()1111,,n x y z =u r，则1100n AF n FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，∴111200x y -=⎧⎪⎨=⎪⎩，1(0,n =u r ， 设平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =u u r，则2200n AB n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r，∴22222020y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，2n =u u r ，1212cos n n n n θ⋅===⋅u r u u ru r u u r ∴平面PAE 与平面PAB所成锐二面角的余弦值7.19.解：（1）根据图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下417.51622.54027.51232.51837.51042.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 100 2.541516204025123018351040=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 3020=.样本的质量指标平均值为302030.2100=. 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2.（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为12，13，16故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为12，13，16. 随机变量X 的取值为：240，300，360，420，480.111(240)6636P X ==⨯=，12111(300)369P X C ==⨯⨯=，1211115(360)263318P X C ==⨯⨯+⨯=，12111(420)233P X C ==⨯⨯=，111(480)224P X ==⨯=，所以随机变量X 的分布列为：所以11511()2403003604204804003691834E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.（1）设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的离心率为2知，b c =，a =，∴椭圆C 的方程可设为222212x y b b+=.易求得A ，∴点在椭圆上，∴222212b b +=，解得2263a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y +=. （2）当过点P 且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x =由①知，M，N，OM =u u u u r，ON =u u u r，0OM ON ⋅=u u u u r u u u r r ，∴OM ON ⊥.当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，=()2221m k =+.联立直线和椭圆的方程得222()6x kx m ++=，∴()222124260k x kmx m +++-=，得()()2221222122(4)4122604212621km k m km x x k m x x k ⎧∆=-+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩.∵()11,OM x y =u u u u r ，()22,ON x y =u u u r，∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u r u u u r()()()22222121222264112121m kmkx x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()()()()2222222222222126421322663660212121k m k m m k k k mk k k k +--+++----====+++， ∴OM ON ⊥.综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，都有OM ON ⊥.在Rt OMN △中，由OMP △与NOP △相似得，2||||||2OP PM PN =⋅=为定值. 21（1）24()4a x x a f x x x x '-+=--=-，函数()y f x =的定义域为(0,)+∞， 1.若1640a -≤，即4a ≥，则()0f x '≤，此时()f x 的单调减区间为(0,)+∞；2.若1640a ->，04a <<，则()0f x '=的两根为2±此时()f x的单调减区间为(0,2，(2)++∞，单调减区间为(22+.3. 0a ≤，此时()f x的单调增区间为(0,2+，单区间为(2)+∞.（3）（2）知，当04a <<时，函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且124x x +=，12x x a =. 因为()()2212111222114ln 24ln 222f x f x x a x x x a x x +=---+--- ()()()()222121212114aln 416aln 4244aln 22x x x x x x a a a a =+--+-=----=+- 要证()()126ln f x f x a +<-，只需证ln ln 20a a a a --+>.构造函数()ln ln 2g x x x x x =--+，则11()1ln 1ln g x x x x x'=+--=-， ()g x '在(0,4)上单调递增，又(1)10g '=-<，1(2)ln 202g '=->，且()g x '在定义域上不间断， 由零点存在定里，可知()0g x '=在(1,2)上唯一实根0x ，且001ln x x =. 则()g x 在()00,x 上递减，()0,4x 上递增，所以()g x 的最小值为()0g x .因为()00000000011ln ln 2123g x x x x x x x x x ⎛⎫=--+=--+=-+ ⎪⎝⎭，当0(1,2)x ∈，00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()00g x >，所以()0()0g x g x ≥>恒成立. 所以ln ln 20a a a a --+>，所以()()126ln f x f x a +<-，得证.22（1）设P 的极坐标为(,)(0)ρθρ>，M 的极坐标为()()11,0ρθρ>， 由题设知||OP ρ=，1||4cos OM ρθ==.所以4cos 20ρθ=，即2C 的极坐标方程cos 5(0)ρθρ=>，所以2C 的直角坐标方程为5x =.（Ⅱ）交点(5,0)D ，所以直线l的参数方程为5212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），曲线1C 的直角坐标方程2240(0)x y x x +-=≠，代入得：250t -+=，70∆=>，设方程两根为12,t t ，则12,t t 分别是,A B 对应的参数，所以12||||||5DA DB t t ⋅==.23.选修4-5：不等式选讲23（1）当2a =时，原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥. ①当13x ≤时，原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ②当123x <<时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ⑧当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得32x ≥，所以2x ≥.综上所述，当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥.（2）不等式1||()3x f x x -+≤可化为|31|||3x x a x -+-≤， 依题意不等式|31|||3x x a x -+-≤在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦成立， 所以31||3x x a x -+-≤，即||1x a -≤，即11a x a -≤≤+， 所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤， 故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。