衡水中学2019-2020学年高三上学期二调考试数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1.若3cos 5x =-，且2x ππ<<，则tan sin x x +的值是( ) A. 3215-B. 815-C. 815D.3215【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinx ，tanx 的值，即可得解．【详解】由题意，知3cosx 5=-，且πx π2<<，所以4sinx 5==，则sinx 4tanx cosx 3==-， 448tanx sinx 3515∴+=-+=-．故选：B ．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 2.设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小. 【详解】由于300.20.2<<，22log 0.3log 10<=，331log 2log 2>=， 则323log 0.30.2log 2<<，即c a b >>.故选：D.【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属基础题.3.已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（ ） A. 43- B.2332 C.34D. 38-【答案】A 【解析】 【分析】利用周期性和奇函数的性质可得，()()()222log 12log 1244log 12f f f =-=--，再根据指数运算和对数运算即可求得结果.【详解】由题意()(4)f x f x =+，故函数()f x 是周期为4的函数， 由23log 124<<，则21log 1240-<-<，即204log 121<-<， 又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()2244log 12222log 1224log 12log 1244log 12223f f f -=-=--=-=-=-，故选：A.【点睛】本题主要考查对数函数，奇函数，周期函数，以及抽象函数的性质，综合性较强，属中档题. 4.已知圆22:4O x y +=与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动3π弧长达到点N ，以x 轴的正半轴为始边，ON 为终边的角即为α，则sin α=（ ） A.3B.12C .D.【答案】D 【解析】 【分析】画图分析，根据弧长公式求出旋转的角的弧度数，则可求出α的值，从而得到结果. 【详解】由题意得M (0,2)，并画出图象如图所示.由点M 沿圆O 顺时针运动3π弧长到达点N ，则旋转的角的弧度数为326ππ=，即以ON 为终边的角3πα=，所以3sin α=. 故选：D .【点睛】本题考查三角函数的定义和弧长公式，注意仔细审题，认真计算，属基础题.5.函数(),,00,2s ()()in x xe ef x x xππ-+=∈-的图象大致为( )A.B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除B ，再根据()0,x π∈时()f x 的符号可排除D ，再根据x π→时，()+f x →∞可排除C ，从而得到正确的选项.【详解】函数的定义域关于原点对称，且()()()2sin x xe ef x f x x -+-==--， 故()f x 为奇函数，其图像关于原点对称，所以排除B. 又当()0x π∈，时，sin 0,0xxx e e->+>，所以()0f x >，故排除D.又当x π→时，()+f x →∞，故排除C ， 综上，选A.【点睛】本题为图像题，考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围． 6.如图是函数sin()0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，将该图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得图象关于直线4x π=对称，则m 的最小值为（ ）A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质求出()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据右移得到函数()sin 223g x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用对称轴的性质，得到m 的表达式，从而求得m 的最小值. 【详解】令()sin()f x y x ωϕ==+，由三角函数图象知，566T πππ=+=，所以2ππω=，所以2ω=.因为函数()f x 过点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭，且02πϕ<<，则206πϕ-⨯+=，即3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将该函数图象向右平移m 个单位后，所得图象的解析式是()sin 223g x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 因为函数()g x 的图象关于直线4x π=对称，所以22()432m k k Z ππππ⨯+-=+∈，解得()62k m k Z ππ=-∈，又m >0，所以m 的最小值为6π.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题的关键在于根据图象正确求出函数解析式，并熟练掌握正弦函数的性质，属中档题. 7.已知函数()()xxf x x e e-=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ).A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为()()()()xx x x f x x e e x e e f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，0x >时，()1x x f x x e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在()0,∞+上递增，所以函数()f x 在R 上为单调增函数， 对于任意实数a 和b ，若0a b +>，则()(),a b f a f b >-∴>-， 函数()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，()()0f a f b ∴+>，充分性成立；若()()0f a f b +>，则()()()f a f b f b >-=-， 函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，0a b ∴+>，必要性成立，∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>”，是“()()0f a f b +>”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 8.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 1cos 2cos 2cos sin 2βαβαα+=+，则tan 24παβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（ ） A. －1 B. 1C.3D. 3-【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式和三角函数的商数关系对1cos 22cos sin 2ααα++进行化简变形，从而可得tan tan 42παβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,424παπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，结合正切函数的单调性，则42παβ=-，代入所求表达式从而可求得结果.【详解】2sin 1cos 22cos cos 2cos sin 22cos 2sin cos βααβααααα+==++ 222cos sin cossin1tancos 22222tan 1sin 42sin cos 1tan sin cos 22222ααααααπααααααα---⎛⎫=====- ⎪+⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭， 故tan tan 42παβ⎛⎫=-⎪⎝⎭，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,424παπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，42παβ∴=-，故22πβα=-，则3tan 2tan 144ππαβ⎛⎫⎛⎫++==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查二倍角公式，三角函数的商数关系和正切函数的性质，综合性强，要求一定的计算化简能力，属中档题.9.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ） ①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点； ③把函数()f x 的图像向右平移2π个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内都是增函数. A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】求出函数f (x )的导函数g (x )，再分别判断f (x )、g (x )的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题即可一一做出判断，从而得到答案.【详解】()sin cos 4f x x x x x x π⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ()sin +cos ++224g x x x x x x π⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ①， ()4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两函数的值域相同，都是[，故①正确；②，若0x 是函数()f x 的极值点，则042x k πππ-=+，k Z ∈，解得034x k ππ=+，k Z ∈，()03044g x k πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，0x ∴也是函数()g x 的零点，故②正确；③，把函数()f x 的图象向右平移2π个单位，得sin cos cos sin ()222f x x x x x g x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故③错误；④，,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,042x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 是单调增函数，0,42x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()g x 也是单调增函数，故④正确.综上所述，以上结论中错误的个数是1. 故选：B.【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，熟练掌握公式和正弦函数的性质是解本题的关键，属中档题. 10.已知函数()cos f x x =，若存在实数12,,,n x x x ，满足1204n x x x π≤<<<≤，且()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，2n ≥，n *∈N ，则n 的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的有界性可得，对任意x i ，x j (i ，j =1，2，3，…，n )，都有()()max min ()()2i jf x f x f x f x --=，要使n 取得最小值，尽可能多让x i （i =1，2，3，…，n ）取得最高点和最低点，然后作图可得满足条件的最小n 值．【详解】∵()cos f x x =对任意x i ，x j (i ，j =1，2，3，…，n )， 都有()()max min ()()2i jf x f x f x f x --=，要使n 取得最小值，尽可能多让x i (i =1，2，3，…，n )取得最高点和最低点， 考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x n ≤4π，()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，按下图取值即可满足条件，则n 的最小值为5. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数与数列的综合，考查了余弦函数的图象与性质，审清题意，画出图象是解决本题的关键，属中档题.11.设函数11,(,2)(){1(2),[2,)2x x f x f x x --∈-∞=-∈+∞，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】 C 【解析】 试题分析：，转化为如图，画出函数和的图像，当时，有一个交点， 当时，，，此时，是函数的一个零点， ，，满足，所以在有两个交点，同理，所以在有两个交点， ，所以在内没有交点，当时，恒有，所以两个函数没有交点所以，共有6个．考点：1．分段函数；2．函数的零点．3数形结合求函数零点个数． 12.已知0>ω，2πϕ≤，在函数()sin()f x x ωϕ=+，()cos()g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当(,)64x ππ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是（ ） A. (,)63ππB. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. (,)32ππD. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】令F （x ）＝()sin x ωϕ+﹣()cos x ωϕ+＝0求出零点，利用相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π得ω值，然后根据当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，f(x)>0恒成立即可得到ϕ的取值范围. 【详解】由题意，函数()()sin f x x ωϕ=+，()()cos g x x ωϕ=+的图象中相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π． 令F （x ）＝()sin x ωϕ+﹣()cos x ωϕ+＝0sin （4x πωϕ+-）＝0，即4x πωϕ+-＝k π，k ∈Z ．当k ＝0时，可得一个零点x 1＝4πω-∅当k ＝1时，可得二个零点x 2＝54πω-∅, ω＞0， 那么|x 1﹣x 2|＝|544|2ππππωωω-∅-∅-==，可得ω2=,则()()sin 2f x x ϕ=+， 又当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方， 当f(x)>0时2k π2x φ2k ππ,<+<+解得k πx k π222ϕπϕ-<<+-,只需26224k k ϕπππϕππ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩即2k π2,32k ππϕπ+≤≤+又2πϕ≤，则当k=0时，ϕ的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D ．【点睛】本题考查三角函数图像的性质，考查恒成立问题，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题）13.已知曲线3y x x =-在点()00,x y 处的切线平行于直线220x y --=，则0x =______. 【答案】－1 【解析】 【分析】求出函数的导数，代入x 0求得切线的斜率，再由两直线平行的条件可得到关于x 0的方程，解方程即可得到所求值，注意检验.【详解】3y x x =-的导数为231y x '=-，即在点()00,x y 处的切线斜率为2031k x =-，由切线平行于直线220x y --=，则2k =，即20312x -=，解得01x =或1-.若01x =，则切点为(1,0)，满足直线220x y --=，不合题意. 若01x =-，则切点为(1,0)-，不满足直线220x y --=，符合题意. 故答案为：1-.【点睛】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线平行的问题，属基础题.14.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________．【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．15.如图，阴影部分是由曲线22y x =和223x y +=及x 轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为______.【答案】328π-【解析】 【分析】首先求出曲线的交点，然后求直线3y x =与22y x =围成的面积1S ，利用扇形的面积公式，求得扇形AOB 的面积2S ，则阴影部分的面积为21S S S =-，计算即可求得结果.【详解】曲线22y x =和圆223x y +=的在第一象限的交点为33,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 则直线OA 的方程为：3y x =， 如图，则直线OA 与抛物线22y x =所围成的面积()3322231032332333322324388S x x dx x x ⎛⎫=-=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎰，又扇形AOB 圆心角为3πα=，则扇形AOB 的面积221132232S r ππα==⨯⨯=， 所以阴影部分的面积2132S S S π=-=. 故答案为：328π-. 【点睛】本题考查了利用定积分求阴影部分的面积，关键是利用定积分正确表示对应的面积，属中档题. 16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________. 【答案】34【解析】 【分析】由()1cos cos 2A C B --=，可得1cos cos 4A C =，由,,a b c 成等比数列，结合正弦定理 可得2sin sin sinB AC =，两式相减，可求得3B π=，从而得ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ，ACD S ∆ ()2a =-，利用基本不等式可得结果. 【详解】()cos cos A C B -- ()()1cos cos 2A C A C =-++=， 1cos cos 4A C ∴=，① 又,,a b c 成等比数列，2b ac ∴=，由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，② ①-②得21sin cos cos sin sin 4B AC A C -=- ()cos cos A C B =+=-，21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==， 由()1cos cos 2A C B --=，得()1cos cos 12A C B -=+=，0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD ∆=⋅()()122224a a a a =-⨯=- ()224a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立。