概率论基础
概率论基础：定义与原理
概率论基础：定义与原理概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性和统计规律性。
在现代科学和工程技术中有着广泛的应用。
概率论的基础是概率的定义和概率的基本原理。
本文将介绍概率论的基础知识，包括概率的定义、概率的性质、概率的基本原理等内容。
一、概率的定义概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
在数学上，概率可以用数值来表示，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的定义有多种形式，其中最常见的是古典概率和统计概率。
1. 古典概率古典概率是指在随机试验中，样本空间有限且每个基本事件发生的可能性相同的情况下，事件A发生的概率可以用如下公式表示：P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)表示事件A发生的基本事件数，n(S)表示样本空间中基本事件的总数。
2. 统计概率统计概率是指在实际观察中，通过频率来估计事件发生的概率。
当试验次数足够多时，事件A发生的频率将逼近其概率值。
统计概率是概率论中最基本的概念之一，也是实际应用中最常用的概率计算方法。
二、概率的性质概率具有一些基本性质，这些性质是概率论研究的基础，也是概率计算的重要依据。
1. 非负性对于任意事件A，其概率值满足P(A) ≥ 0。
2. 规范性对于样本空间S，其概率值为1，即P(S) = 1。
3. 可列可加性对于任意两个互不相容的事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 对立事件的性质对立事件是指事件A和其补事件A'，即A与A'互为对立事件。
对立事件的概率满足P(A) + P(A') = 1。
5. 事件的包含关系若事件A包含事件B，则P(A) ≥ P(B)。
三、概率的基本原理概率的基本原理包括加法法则和乘法法则，是概率计算的基础。
1. 加法法则加法法则是指对于任意两个事件A和B，它们的并事件的概率可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
概率论基础知识
对于连续型随机变量来说，它取任一指定实数值a的概率均为0，即P{X＝a}＝0。事实上0≤P{X＝a}≤P{a－△x＜X≤a}＝F(a)－F(a－△x).P{a＜X≤b}＝P{a≤X≤b}＝P{a＜X＜b}.
定理二：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
多个事件相互独立：一般，设A1，A2，…，An是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，…，An相互独立。
推论：①若事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的。
第一章 概率论的基本概念
一、事件运算常用定律（设A,B,C为事件）：
二、频率与概率
1.概率的公理化定义：
①非负性：对于每一个事件A，有P加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于AiAj＝∅，i≠j，i,j＝1,2,…，有P(A1∪A2∪…)＝P(A1)＋P(A2)＋….
P{X＞s＋t|X＞s}＝P{X＞t}
3.正态分布(高斯分布)[X～N(μ,σ2)]：
正态分布性质：
①曲线关于x＝μ对称，这表明对于任意h＞0有P{μ－h＜X≤μ}＝P{μ＜X≤μ＋h }.
②当x＝μ时取到最大值 ，x离μ越远，f(x)的值越小。
③在x＝μ±σ处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。
标准正态分布：μ＝0，σ＝1.其概率密度和分布函数分别用φ(x)，Φ(x)表示，即有：
②若n个事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则将A1，A2，…，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。
概率论的基础
概率论的基础1 预备知识在开始介绍概率论之前，我们需要先了解一些预备知识。
1.1 集合运算概率论中经常会涉及到集合运算，因此我们需要先了解集合运算的基本概念。
集合是由一些确定的对象组成的整体。
我们用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
常见的集合运算有：- 并集：将两个集合的元素合起来，得到包含这两个集合所有元素的新集合。
记作A∪B。
- 交集：只将两个集合中都有的元素取出来，得到一个新的集合。
记作A∩B。
- 补集：集合A的补集是指集合U中所有不在A中的元素的集合。
记作A'或者A^c。
- 差集：从集合A中减去集合B中的元素，得到一个新的集合。
记作A-B。
1.2 条件概率在概率论中，条件概率是指在已知一种事件发生的前提下，另一种事件发生的概率。
记作P(B|A)，表示在事件A发生的情况下，事件B发生的概率。
条件概率的计算公式为：$$P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
1.3 独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生不会互相影响。
也就是说，当事件A发生与否对事件B发生的概率没有任何影响时，我们称事件A和事件B是独立的。
如果事件A和事件B是独立的，那么有以下公式成立：$$P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)$$反之，如果有以上公式成立，那么我们可以认为事件A和事件B是独立的。
2 概率的定义概率是描述随机事件发生可能性的数值。
在概率论中，我们用P(E)表示事件E发生的概率。
2.1 古典概型如果所有的结果都是等可能的，那么我们可以使用古典概型来计算概率。
例如，掷硬币和掷骰子都是古典概型，因为每一个结果都是等可能的。
在古典概型中，如果一个事件E可以由n个元素构成，且所有的元素等可能，那么事件E发生的概率就是：$$P(E) = \frac{\text{符合事件E的结果个数}}{\text{总结果个数}} = \frac{n_E}{n}$$2.2 条件概率法则如果我们已知事件B发生，在B的基础上怎么计算事件A发生的概率呢？根据条件概率公式，我们有：$$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$这个公式被称为条件概率法则。
第六章 概率论基础知识
• 事实上，若事件A相对于事件B是独立的，即P(A｜B)=P(A),那么,当
P(A)>0时,有P(B｜A)= 独立的。
P( AB) P( A)
=
P( A) P( B) =P(B)即事件B相对于事件A也是 P( A)
• 若两事件A，B满足P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立。若四对事件
{A,B},{ A ,B},{A, B },{ A , B }中有一对是相互独立的,则另外三对 也是相互独立的。任意两个事件A、B，满足下列条件之一，就称为相 互独立的随机事件： ⑴P(A｜B)=P(A)且P(B)>0； ⑵P(B︱A)=P(B)且P(A)>0。 对任意两个相互独立的事件A、B,有 P(AB)=P(AB)=P(A｜B)P(B)=P(A)P(B)
P A 乙 P 乙
0.08 0.5714 0.14
• 4.随机事件的独立性
设A,B是两个事件,一般而言P(A)P(A｜B),这表示事件B的发生对事件 A的发生的概率有影响,只有当P(A)=P(A｜B)时才可以认为B的发生与 否对A的发生毫无影响,就称两事件是独立的.其直观意义也比较明确: 若无论事件B的发生与否,对事件A的概率都没有影响,那么,事件A对于 事件B是独立的。由于从“A相对于B独立”，推导出“B相对于A独 立”，所以，只要P(A｜B)= P(A)成立,我们就说,A与B是相互独立的。
表6-2 分布计算表
离散型随机变量
X的取值
－1
2
3
X的概率 1／6
1／2
1／3
2.离散随机变量的累积概率
P(X≤x)的概率，称为随机变量X(小于等于x)的累积概率，在例1中，随机 变量X≤2的累积概率为P(X≤2)=2／3。
概率论基础知识
§4 条件概率与乘法公式
一、条件概率： 事件B发生的条件下事件A发生的概率，定义为
P( AB ) P( B ) P( A | B ) 0, P( A | B )
(当 P( B ) 0 时). (当 P( B ) 0 时).
注: (1) 条件概率 P( A | B ) 实际上是在缩小的样本空间 B 上 求 A 发生的概率 : K P( A | B ) AB ; NB 而无条件概率P( A) 是在原样本空间 内求 A 发生的概率 : K P( A) A N
§5 事件的独立性
若一个事件发生的概率不受另一事件发生的影响，
则称这两个事件是相互独立的。或者说，若 P(B|A)=P(B)， 则称 A 与 B 相互独立。 注：事件A与 B 相互独立当且仅当 P(AB)=P(A) P(B).
例9 某厂生产的100个零件中有5个次品，采用有放回抽样，求 抽出的第 1 件为正品且第 2 件是次品的概率，及第二次抽到次 品的概率。 解：设 A为第一次抽到的是正品；B为第二次抽到的是次品。
(6) 互不相容事件(互斥事件): 若A ∩ B= ，则称事件A与事件B 是互不相容的。互不相容事件不可能同时发生。 (7) 事件的差：属于事件A 但不属于事件B 的样本点构成的集 合, 称为事件A与事件B 的差，记为 A－B。事件A－B 发生当且 仅当事件A 发生但事件B不发生。 注：A B AB;
概率论基础知识
§1. 概率论中的基本概念
一、随机试验、样本空间和事件
1.随机试验：具有两个或两个以上可能的结果，但事先无法确定会出 现哪个结果的观察或试验。如投掷一枚硬币可能出现正面或反面；明 天的天气可能是阴、晴或雨；每天到达某一商店的顾客数；某商场的 月销售额；某时段到达一个电话交换机的呼叫次数，等等，观察或统 计这些现象的结果，就是在进行随机试验。 2. 样本与样本空间：随机试验可能产生的各个不同结果都称为样本， 由所有样本组成的集合称为该随机试验的样本空间，通常记为。 3. 随机事件（简称事件）：样本空间的任一个子集合都称为这个样本 空间上的一个随机事件。当随机事件中所含的任何一个样本出现时， 便称该事件发生了。 注: (1) 整个样本空间作为一个事件，称为必然事件。
概率论的基础知识
概论论的基础知识
6σ
目录
6s
第一部分 概率基础知识 第二部分 随机变量及其分布
概率基础知识
6s
事件
（一）随机现象
1、定义：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。
随机现象的特点：
⑴随机现象的结果至少有两个；
⑵至于哪一个出现，事先人们并不知道。
2、样本点（抽样单元）：随机现象中的每一个可能结果，称为一个样本点，又称为抽 样单元。
正态分布有两个参数和常记为n读作miu为分布的标准差随机变量及其分布常用连续分布正态分布09357随机变量及其分布常用连续分布正态分布2标准正态分布的一些运算公式随机变量及其分布常用连续分布正态分布随机变量及其分布常用连续分布正态分布2标准正态分布的分位数一般说来对任意介于0与1之间的实数标准正态分布n01的分位数是这样一个数它的左侧面积恰好为它的右侧面积恰好为1用概率的语言来说u的分位数u随机变量及其分布常用连续分布正态分布随机变量及其分布常用连续分布正态分布2正态分布的标准转化某产品的质量特性2008则最大值应为随机变量及其分布常用连续分布正态分布2正态分布的标准转化产品质量特性的不合格品率的计算1质量特性的分布在受控的情况下常为正态分布
3、样本空间：随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为 Ω （读Omega ）。
一切可能发生 认识一个随机现象首要就是能罗列出它的
的基本结果。
概率基础知识
事件
[例]
⑴一天内进某超市的顾客数: Ω ={0,1,2,······}
⑵一顾客在超市购买的商品数: Ω ={0,1,2,······}
性质8：假如两个事件A与B相互独立，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概 率P(A|B)等于事件A的(无条件)概率P(A)。
概率论的基础
概率论的基础概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的规律性和不确定性。
它在各个领域都有广泛的应用，例如统计学、金融学、物理学和生物学等。
本文将介绍概率论的基础概念和原理，以及它在现实生活中的应用。
一、随机事件和样本空间在概率论中，我们研究的对象是随机事件。
随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
样本空间是所有可能的结果组成的集合，每个结果称为一个样本点。
例如，投掷一个骰子，样本空间就是1到6的整数集合。
二、概率的定义和性质概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率具有以下性质：1. 非负性：对于任意事件A，有P(A)≥0。
2. 规范性：对于必然事件S，有P(S)=1。
3. 可列可加性：对于两个互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
三、条件概率和独立性条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
条件概率的计算使用了贝叶斯定理和乘法法则。
如果事件A和B的发生是相互独立的，那么P(A|B)=P(A)，即事件B的发生与事件A的发生无关。
四、概率分布和期望值概率分布描述了随机变量取值的可能性和相应的概率。
离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数表示，连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数表示。
期望值是随机变量的平均值，它是每个取值乘以对应的概率后的总和。
五、大数定律和中心极限定理大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会趋向于其概率。
中心极限定理指出，独立同分布的随机变量的和的分布在试验次数趋向于无穷时近似服从正态分布。
概率论在现实生活中有许多应用。
例如，在医学诊断中，我们可以根据症状和概率分布来推断患者是否患有某种疾病。
在金融学中，概率论可以用于风险评估和投资决策。
在运输和物流中，我们可以利用概率论来优化路线规划和资源分配。
概率论是一门重要的数学工具，它帮助我们理解和描述随机事件的发生规律和不确定性。
《概率论基础》课件
本课程将为您介绍概率论的基础知识，包括概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及在实际问题中的应用。
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连续概率分布
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1
排列组合
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条件概率树
2
掌握使用条件概率树解决复杂问题
的方法。
3
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了解贝叶斯定理在概率计算中的重 要性。
概率在实际问题中的应用
股票市场
了解如何使用概率计算股票 行情和投资决策。
概率的基本概念
1 随机事件
了解随机事件的定义和特征。
3 事件的概率
学习如何计算事件的概率。
2 样本空间
掌握样本空间的概念和表示方法。Βιβλιοθήκη 概率的性质互斥事件
研究互斥事件的特性和计算 方法。
独立事件
条件概率
探讨独立事件的概念和性质。
学习如何计算条件概率和应 用。
常见的概率模型
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应用 贝叶斯定理
修正后概率
21
贝叶斯定理公式 Bayes’ Theorem Formula
P(Bi | A)
=
P(A | Bi) P(Bi) P(A | B1) P(B1) + ... + P(A | Bk )P(Bk )
相同事件
P(Bi A) P(A)
所有的 Bi 都代 表同一个事件 ( 例如, B2)!
颜色
红色 黑色
2
2
24 24
26 26
总计 4 48 52
P(A牌 且 黑色) = P(A牌) P(黑色| A牌) = (4/52) (2/4) = 2/52 = 1/26
20
贝叶斯定理 Bayes’ Theorem
1. 可以根据新的信 息 修正旧的概率
2. 条件概率的应用 3. 互斥事件
先前的概率
情景：
3间车库，其中有一间有车。门关着，但 主持人知道哪一间车库有车。
1、主持人请你挑选一间有车的车库。 2、当你选定后，主持人打开一间空车库。
然后，问你是否要改变你的选择。
3、此时改变你的选择是否会增大选中有车 的车库的机率？
26
选1号库 p =1/3
改变 不变
P(改变/选1)= 0 P(不变/选1)=1
事件
Bi B1 B2
先前 条件 概率 概率
联合 概率
P(Bi) P(A|Bi) P(Bi A)
修正后 概率
P(Bi |A)
.5 X .4 = .20 .20/.25 = .8
.5
.1
.05 .05/.25 = .2
1.0
P(A) = 0.25 1.0
偿还
拖欠
P(大学) 25
思考题 Thinking Challenge
3.所有事件之和为 1
0
不可能
8
简单事件的概率 Probability of Simple Event
P(事件) =
X T
X = 使某结果发 生的事件数量
检查了100个 零件，两个 有缺陷!
T = 可能事件的 总数
9
用列联表确定联合事件 Using Contingency Table
事件
A1 A2 总计
1
事件的特征 Event Properties
1. 互斥
不能在同一时间发生的两个结果 一个人不能同时既是男的又 是女的
2. 完备
样本空间中的一个结果必然发生 男的或者女的
?1984-1994 T/Maker Co.
2
特殊事件 Special Events
1. 空事件Null Event
1张牌既是梅花Q又是方块Q
2 / 52 26 / 52
2 26
16
树形图表示条件概率
条件事件: 有14支蓝笔和6支红笔，从这20 支选出两支钢笔，不可替换.
红 P(红|红) = 5/19 P(红) = 6/20 红
蓝 P(蓝|红) = 14/19
不独立!
红 P(红|蓝) = 6/19 蓝
P(蓝) = 14/20
蓝 P(蓝|蓝) = 13/19 17
P(偿还 大学)
=
P(大学)
40 200 4
=
= = 80%
50 200 5
23
贝叶斯定理示例: 树形图题解
背景: 偿还贷款的概率是 50%. 还款的人中大学毕业 生占40%, 欠款的人中大学毕业生占10%.
P(学|还) = .4
P(还) = .5 还
欠
P(欠) = .5
P(非|还) = .6 P(学|欠) = .1
4 26 2 28 52 52 52 52
13
条件概率 Conditional Probability
1. 一个事件发生的条件下，另一个事件发 生的概率。
2. 修正原始样本空间来记录新的信息
– 排除某些结果
3. P(A | B) = P(A 且 B) P(B)
14
用维恩图表示条件概率
黑色
假定出现黑色，排 除所有其他结果
事件
B1
B2
总计
P(A1 B1) P(A1 B2) P(A1)
P(A2 B1) P(A2 B2) P(A2)
P(B1)
PProbability
边际 (简单) 概率
Marginal (Simple)
Probability
10
列联表联合事件的例子
联合事件: 抽一张牌. 注意种类、颜色
P(A 或 B) = P(A B) = P(A) + P(B)
12
加法法则示例 Addition Rule Example
复合事件: 抽一张牌. 注意种类, 颜色
类型 A牌 非A牌 总计
颜色
红
黑
2
2
24 24
26 26
总计 4 48 52
P(A牌 或者 黑色) = P(A牌) + P(黑色) - P(A牌 黑色)
事件可能性Event Possibilities
<20 女
20
<20 男
S = {F,<20; F, 20;
20
M,<20; M, 20} 7
概率是什么？ What is Probability?
1. 事件发生的可能性的 数字度量
1
必然
简单事件
联合事件
复合事件
.5
2.取值在 0 和 1 之间
A牌
S
事件 (A牌 且 黑色)
黑色 (S)
15
用列联表表示条件概率
条件事件: 抽一张牌. 注意种类, 颜色
类型 A牌 非A牌 总计
颜色
红色 黑色
2
2
24 24
26 26
总计 4 48 52
修正后 的样本 空间
P(Ac牌e |
B黑la色ck)
=
PP(A(Ace牌AN且D黑Bla色ck)) P(B黑la色ck)
= (1/3)(1) + (1/3)(0) + (1/3)(0) = 1/3 P(改变）＝P(选1)P(改变/选1)
+P(选2)P(改变/选2) + P(选3)P(改变/选3) = (1/3)(0) + (1/3)(1) + (1/3)(1) = 2/3
28
P =1/3 选2号库
改变 不变
P(改变/选2)=1 P(不变/选2)= 0
P =1/3
选3号库
改变 不变
P(改变/选3)=1 P(不变/选3)= 0
注：令P(选中) = p, 假定: 车在1号库, 其他情况可类推
27
概率计算
P(不变）＝P(选1)P(不变/选1) +P(选2)P(不变/选2) + P(选3)P(不变/选3)
P(非 |欠) = .9
学 P(还 学) = P(学|还)*P(还) = (.4)(.5) = .20
P(学) = P(学|还)P(还) +
非
P(学|欠)P(欠)
学
= (.4)(.5) + (.1)(.5) = .25
P(还|学) = P(还 学)
P(学)
非
= .2/.25 = 80%
24
贝叶斯定理示例: 表格题解
统计独立性 Statistical Independence
1. 事件的发生 不会影响到另一事件发生的概率
掷一个硬币两次
2. 不蕴含因果关系 3. 测试条件
P(A | B) = P(A) P(A 且 B) = P(A) P(B)
18
乘法法则 Multiplication Rule
1. 学会求出事件的交的联合概率
类型 A牌 非A牌 总计
颜色
红
黑
总计
2/52 2/52 4/52
24/52 24/52 48/52
26/52 26/52 52/52
P(A牌)
P(红牌)
P(红A)
11
复合概率、加法法则 Addition Rule
1. 学会求出事件的并的复合概率 2. P(A 或 B) = P(A B)
= P(A) + P(B) - P(A B) 3. 对于互斥事件:
?1984-1994 T/Maker Co.
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贝叶斯定理的示例: 列联表题解
场景: 假定偿还贷款的可能性是50%。 大学毕业生 的情况记录如下:
新的信息
教育程度 大学
非大学
总计
贷款状态 偿还 未偿还 总计 40 10 50 60 90 150 100 100 200
原来的概率
修正后 的概率
P(偿还 | 大学)
称为联合事件
2. P(A 且 B) = P(A B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)
3. 对于独立事件: P(A 且 B) = P(A B) = P(A)P(B)
19
乘法法则示例 Multiplication Rule Example
条件事件: 抽一张牌. 注意种类、颜色
类型 A牌 非A牌 总计
事件和样本空间 Events and Sample Spaces
1.简单事件 Simple Event
结果只具有一个特征
2.联合事件 Joint Event
两个事件同时发生
3. 复合事件 Compound Event
一件事发生或者另一件事发生
4. 样本空间: Sample Space
全体事件结果的集合
空事件
2. 事件的补Complement of Event