鞅
鞅收敛定理
鞅收敛定理鞅收敛定理，在概率论领域中具有重要地位。
在许多概率论的定理和应用中，鞅的概念及其收敛都是十分重要的。
该定理表明，由一系列随机变量构成的鞅在一定条件下，能够收敛于一个确定的极限值。
鞅收敛定理是鞅理论中的核心定理之一，可以用于解决很多实际中的问题。
一、鞅的定义与性质鞅是一种非常重要的概率过程，它涉及到许多重要的概率定理和实际应用。
鞅的定义相对比较简单，如果一个随机过程M = {M_n}是一列随机变量的序列，并且满足以下三个条件：1）M_n是一个可测的随机变量；2）对于n≥0，E[M_n] < ∞；3）对于n≥0，E[M_n+1 | M_0,M_1,...,M_n] = M_n则我们称之为鞅。
上面的第一个条件保证了鞅可以被测量，第二个条件保证了内部的随机性，第三个条件保证了鞅的期望性质。
鞅有许多重要的性质：1）鞅是一种无偏的估计，即E[M_n] = E[M_0]，其中M_0是鞅的起始点，通常为0；2）鞅通常用来表示一种刻意的结构，以反映出随时间的增长或下降的模式；3）鞅满足马尔科夫性质，即在给定M_n的条件下，未来的发展只取决于M_n，而与之前的结果无关。
二、鞅的收敛与鞅收敛定理由于鞅是一个任意序列的条件期望，因此它可能会收敛到一个确定的极限值。
鞅收敛定理指出，当一个鞅满足Lim E[M_n] < ∞时，则它在一定的条件下可以收敛。
鞅收敛定理有两种形式，分别是条件收敛和几乎处处收敛。
条件收敛是指，在一定的概率空间中，鞅以一定的概率收敛于一个值。
而几乎处处收敛是指，在概率空间上几乎每次试验，鞅以概率1收敛于一个值。
在鞅的收敛过程中，我们需要关注以下两点：1）鞅序列的逐点有界性；2）鞅序列的逐点收敛性。
对于一系列的随机变量构成的鞅序列，若能满足上述两点条件，那么在某些条件下，鞅可以达到收敛。
其中最常见的条件就是马尔科夫条件。
马尔科夫条件是指，鞅的未来值仅仅取决于当前的值，而并不取决于它的过去值。
鞅理论
鞅定义
• 1、存在一概率空间{Ω,F ,P}，要求σ-代数F 是P-完备的，即对于任何A∈ F 且P(A) = 0， 对一切N ⊂ A都有N ∈ F 成立。 • 2、给定一个滤波（filter）。 • 3、如果对于任何n ≥ 0， Sn 的值被包含在 Fn 中，就称Sn 是Fn 可测的，或者使用梅 耶(Meyer)的术语，称Sn为Fn 适应的( Fn – adapted)。
• 一个随机变量的时间序列没有表现出任何 的趋势性(trend)，就可以称之为鞅； • 而如果它一直趋向上升，则称之为下鞅 (submartingale)；反之如果该过程总是在减 少，则称之为上鞅(supermartingale)。 • 实际上鞅是一种用条件数学期望定义的随 机运动形式，或者说是具有某种可以用条 件数学期望来进行特征描述的随机过程。
e rt ct
是否就是它在t时刻的“公平”市场价值， 就取决于在滤波Ft和测度P下是不是一个鞅。
ct e
r (T t )
E Max(ST K ,0) | Ft
P t
• 如果假设投资者是风险厌恶的，则对于任何 一种风险资产，一般要求： P r (T t ) Et e ST | Ft St
• t 是时间， Ft代表积累到t时刻的信息。停 时可以理解为某一随机事件第一次发生的 时刻。不妨假想我们对某些特定现象的发 生感兴趣：例如某个“黑色星期五”的出 现，我们对这些特定现象第一次出现的时 刻T (ω)给予特别的注视。很明显事件{ω,T (ω) ≤ t}的发生，当且仅当这一现象出现在t 时刻上或者t 时刻之前。应当是积累到那个 时刻的信息集的一部分。
第六章 鞅理论及其应用
第一节鞅的简单介绍
• 鞅这个术语早在20 世纪30 年代首先由 Ville(1939)引进，但是基本概念来自于法国 概率学家列维(Levy，1934)。但是真正把 鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布 (Doob)，他于1953 年的名著《随机过程》 一书中介绍了(包括上鞅分解问题在内的)他 对于鞅论的系统研究成果。它引起了一般 过程理论的研究，从此鞅成为现代概率和 随机过程的基础，而且在决策和控制模型 等方面有着重要应用，并得到快速发展。
商鞅变法的商鞅
商鞅变法的商鞅商鞅是战国时期卫国人，著名的政治家、思想家和改革家。
商鞅本是卫国国君的后裔，姓姬，公孙氏，所以又名卫鞅、公孙鞅，后商鞅在河西之战中立下战功，获封商于十五邑，号商君，所以又称商鞅。
下面是店铺搜集整理的商鞅变法的商鞅，希望对你有帮助。
商鞅变法的商鞅简介商鞅(约前390—前338)，卫国(今河南安阳)人，战国时期政治家，著名法家代表人物。
卫国国君的后裔，公孙氏，故称为卫鞅，又称公孙鞅，后封于商，后人称为商鞅。
商鞅年轻时好刑名之学，在魏相公叔痤门下任中庶子。
公叔痤临终前将其推荐给魏惠王，惠王不能用。
商鞅闻秦孝公下令求贤，发愤图强，乃离魏去秦。
后在秦孝公的支持下先后两次在经济、政治、文化教育方面进行了深刻的变法。
新法令推行几年后，秦国百姓家给人足，军队战斗力大大增强，国势蒸蒸日上。
孝公去世后，太子秦惠王继位。
商鞅在变法期间，因执法较严引起秦贵族的怨恨。
他们为报夙怨，告商鞅有谋反企图，派官吏逮捕他。
商鞅逃叛失败后，被带回都城遭惠王车裂，并灭其族。
著有《商君书》传世。
商鞅投奔秦国商鞅“少好刑名之学”，专研以法治国，受李悝、吴起等人的影响很大。
后为魏国宰相公叔痤家臣，公叔痤病重时对魏惠王说：“公孙鞅年少有奇才，可任用为相。
”又对惠王说“王既不用公孙鞅，必杀之，勿令出境。
”公叔痤死后，魏惠王对公叔痤嘱托不以为意，也就没有照做了。
战国时期，齐、楚、燕、韩、赵、魏、秦七国争雄。
秦国比较落后，秦孝公为了使秦国称霸，决心征召有才能的人。
他在求贤诏令中说：“谁能想出好办法使秦国强盛，就让他做高官，还封给他土地。
”商鞅听到这个消息后，决定到秦国去。
公孙鞅听说秦孝公下令国中求贤者，欲收复秦之失地，便携同李悝的《法经》到秦国去。
通过秦孝公宠臣景监，商鞅三见秦孝公，提出了帝道、王道、霸道三种君主之策。
只有霸道得到秦孝公的赞许，并成为秦国强盛的根基。
前359年任左庶长，开始变法，后升大良造。
商鞅变法结果商鞅虽然被害，但新法并未被废除。
商鞅简介
令既具，未布。恐民之不信己，乃立三丈之木于国都市南门，募民有能徙之北门者，予十金。民怪之，莫敢徙。复曰：“能徙者，予五十金。”有一人徙之，辄予五十金，以明不欺。卒下令。
译文：
商鞅变法的条令已准备就绪，还没公布，担心百姓不相信自己，于是在国都集市的南门竖起一根三丈高的木头，招募有能把这根木头搬到北门的人赏十两银子。百姓对此感到奇怪，不敢去搬。又说“能搬木头的人赏五十两银子”有一个人搬了木头，就给了他五十两银子，用来表明没有欺骗（百姓）。最后颁布了那法令。
商鞅“少好刑名之学”，专研以法治国，受李悝、吴起等人的影响很大。后为魏国宰相公叔痤家臣，公叔痤病重时对魏惠王说：“公孙鞅年少有奇才，可任用为相。”又对惠王说“王既不用公孙鞅，必杀之，勿令出境。”公叔痤死后，商鞅听说秦孝公雄才大略，便携同李悝的《法经》到秦国去。通过宦官景监三见孝公，商鞅畅谈变法治国之策，孝公大喜。前359年任左庶长，开始变法，后升大良造。
商鞅南门立木
在战国七雄中，秦国在政治、经济、文化各方面都比中原各诸侯国落后。贴邻的魏国就比秦国强，还从秦国夺去了河西一大片地方。
公元前361年，秦国的新君秦孝公即位。他下决心发奋图强，首先搜罗人才。他下了一道命令，说：“不论是秦国人或者外来的客人，谁要是能想办法使秦国富强起来的，就封他做官。”
秦国自从商鞅变法以后，农业生产增加了，军事力量也强大了。不久，秦国进攻魏国的西部，从河西打到河东，把魏国的都城安邑也打了下来。
其实在商鞅树木立威之前，吴起也采用过同样的手段。在吴起人西河郡长官时，把一根木头立在城南，规定谁能推到木头就封他做长大夫的官。结果真有人这样做了，做的人也被封了官了。商鞅的做法流传下来而吴起的则没有。
商鞅变法
商鞅从公元前356年至前350年，大规模地推行过两次变法。商鞅第一次变法在公元前356年，而不是公元前359年，杨宽《战国史》185页有这样一段说明：“《史记秦本纪》说：秦孝公三年‘卫鞅说孝公变法修刑……孝公善之。甘龙、杜挚等弗然，相与争之，卒用鞅法，百姓苦之。居三年，百姓便之，乃拜为左庶长。’据此，秦孝公三年已‘用鞅法’，六年因‘百姓便之’，提升卫鞅为左庶长。但是《史记商君列传》说：孝公‘以卫鞅为左庶长，卒定变法之令’。据此则下令变法，应在秦孝公六年（公元前356年）卫鞅任左庶长之后。两说相较，当以后说为是。《战国策秦策》一说：‘商君治秦，法令至行……孝公行之十八年，疾且不起，欲传商君，辞不受。’《韩非子和氏篇》又说：商君之法，‘孝公行之，主以尊安，国以富强，八年而薨，商君车裂于秦。’王先谦《集解》认为‘八’上脱‘十’字，是对的。从秦孝公六年（即公元前356年）卫鞅‘为左庶长，卒定变法之令’以后，到二十四年孝公去世，首尾19年，以整年来计，正是18年。”据此，商鞅第一次变法应在公元前356年。
随机过程的鞅与鞅收敛定理
随机过程的鞅与鞅收敛定理在概率论与数理统计中，鞅（Martingale）是一类非常重要的随机过程。
它具有很多优秀的性质和应用，并且相关的鞅收敛定理也是概率论研究的热点之一。
一、鞅的定义和性质鞅是一种随机过程，具有无偏性和零相对增殖的特点。
对于一个随机过程X(t)，如果满足以下条件，即可称为鞅：1. 期望有限：E[|X(t)|] < ∞，对于所有的t；2. 可测性：对于任意的s < t，X(t)是关于{X(s), X(s+1), … , X(t-1)}可测的；3. 无偏性：对于任意的s < t，E[X(t) | X(s), X(s+1), … , X(s-1)] =X(s)；4. 零相对增殖：对于任意的s < t，E[X(t) - X(s) | X(s), X(s+1), … ,X(s-1)] = 0。
鞅的定义保证了它在每个时刻的期望都是已知的，且在未来的增量不可被预测。
鞅是许多重要的随机过程的核心组成部分，如布朗运动、泊松过程等。
二、鞅的应用鞅在概率论和数理统计中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 金融市场：鞅在金融领域中有着重要的应用，特别是在期权定价、投资组合管理、风险评估等方面。
其中最著名的例子就是黑-斯科尔斯模型，该模型中的股价就可以看作是一个连续时间的鞅。
2. 数理统计：鞅是统计推断和假设检验的基础之一，它在最大似然估计、贝叶斯估计等方法中发挥着重要的作用。
鞅收敛定理也为统计学家提供了一种判断估计量的一致性的方法。
3. 随机优化：鞅是随机优化中的一个重要工具，可以用来描述随机系统的动态变化过程，并为优化问题的求解提供有效的方法。
例如，在随机最优控制中，鞅可以用来建立随机系统的动态规划方程。
三、鞅收敛定理鞅收敛定理是鞅理论中的重要结果，它研究了鞅序列的收敛性质。
其中最经典的是鞅收敛定理的两种形式：鞅收敛定理一和鞅收敛定理二。
1. 鞅收敛定理一：如果{X_n, n ≥ 1}是对于某个概率空间（Ω, F, P）中的鞅序列，并且满足以下条件：(a) X_n以概率1收敛于一个随机变量X：P(lim n→∞ [X_n = X]) = 1；(b) 存在一个函数g(·)使得E[|X_n - X|] ≤ g(n)，对于所有的n；(c) 存在一个随机变量Y，使得E[|Y|] < ∞，并且E[|X_n - X|] ≤E[|Y|]，对于所有的n；那么，X_n以期望收敛于X，即lim n→∞ [E(X_n)]=E(X)。
商鞅【古代诗人简介】
商鞅【古代诗人简介】商鞅（约前395年—前338年），卫国（今河南濮阳）人，汉族。
战国时期政治家，思想家，著名法家代表人物。
卫国国君的后裔，公孙氏，故称为卫鞅，又称公孙鞅，后封于商，后人称之商鞅。
应秦孝公求贤令入秦，说服秦孝公变法图强。
孝公死后，被贵族诬害，车裂而死。
在位执政十九年，秦国大治，史称商鞅变法。
投奔秦国商鞅“少好刑名之学”，专研以法治国，受李悝、等人的影响很大。
后为魏国宰相公叔痤家臣，公叔痤病重时对魏惠王说：“公孙鞅年少有奇才，可任用为相。
”又对惠王说“王既不用公孙鞅，必杀之，勿令出境。
”公叔痤死后，魏惠王对公叔痤嘱托不以为意，也就没有照做了。
公孙鞅听说秦孝公下令国中求贤者，欲收复秦之失地，便携同李悝的《法经》到秦国去。
通过秦孝公宠臣景监，商鞅三见秦孝公，提出了帝道、王道、霸道三种君主之策。
只有霸道得到秦孝公的赞许，并成为秦国强盛的根基。
前359年任左庶长，开始变法，后升大良造。
酝酿变法公元前359年，正当商鞅辅佐秦孝公酝酿变法时，旧贵族代表甘龙、杜挚起来反对变法。
他们认为利不百不变法，功不十不易器。
“法古无过，循礼无邪。
”商鞅针锋相对地指出：“前世不同教，何古之法？帝王不相复，何礼之循？”“治世不一道，便国不法古。
汤、武之王也，不循古而兴；殷夏之灭也，不易礼而亡。
然则反古者未必可非，循礼者未足多是也。
”从而主张“当时而立法，因事而制礼”(《商君书·更法篇》《史记·商君列传》)。
这是以历史进化的思想驳斥了旧贵族所谓“法古”“循礼”的复古主张，为实行变法作了舆论准备。
实行变法周显王十三年（前356年）和十九年（前350年）先后两次实行变法，变法内容为“废井田、开阡陌，实行郡县制，奖励耕织和战斗，实行连坐之法”。
这时太子犯法，商鞅曰：“法之不行，自上犯之。
”，刑其太傅公子虔与老师公孙贾。
秦孝公十六年（公元前346年），太傅公子虔复犯法，商鞅施以割鼻之刑。
变法日久，秦民大悦。
商鞅解说
历史评价——司马迁的评价
太史公曰：商君，其天资刻薄人也。迹其欲干孝公以帝王 术，挟持浮说，非其质矣。且所因由嬖臣，及得用，刑公 子虔，欺魏将卬，不师赵良之言，亦足发明商君之少恩矣。 余尝读商君开塞耕战乢，与其人行事相类。卒受恶名於秦， 有以也夫！ 卫鞅入秦，景监是因。王道不用，霸术见亲。政必改革， 礼岂因循。既欺魏将，亦怨秦人。如何作法，逆旅不宾 。
纪念商鞅
商鞅广场之商鞅雕塑 商洛市最大的广场——商 鞅广场，坐落于广场中心 的大型主题性城市雕塑 “商鞅”也成为该市的标 志性雕塑。 广场中心的商鞅雕塑高9 米，“商鞅”左手持简， 身佩宝剑，刚毅果决，庄 严威峻，雕塑背后是一堵 总长33.8米的浮雕文化墙， 主要讲述商鞅变法前后的 历史风云。
谢谢！
商鞅解说
商鞅一生
商鞅（？－公元前338年），战国时代政治家、改革家、思想家，法家 代表人物，卫国（今河南安阳市内黄梁庄镇一带）人，卫国国君的后裔， 姬姓公孙氏，敀又称卫鞅、公孙鞅（先秦时期男子称氏不称姓，敀当称 为公孙鞅，不叫姬鞅）。 后因在河西之战中立功获封于商十五邑，号为商君，敀称之为商鞅。 商鞅通过变法改革将秦国改造成富裕强大之国，史称商鞅变法。 政治上，商鞅改革了秦国户籍、军功爵位、土地制度、行政区划、税收、 度量衡以及民风民俗，幵制定了严酷的法律；经济上商鞅主张重农抑商、 奖励耕织；军事上商鞅作为统帄率领秦军收复了河西。公元前338年获 罪车裂而死。
酝酿变法
公元前359年，正当商鞅辅佐秦孝公酝酿变法时，旧贵族代表甘龙、 杜挚起来反对变法。他们认为利不百不变法，功不十不易器。“法 古无过，循礼无邪。” 商鞅 商鞅针锋相对地指出：“前世不同教，何古之法？帝王不相复，何 礼之循？”“治世不一道，便国不法古。汤、武之王也，不循古而 兴；殷夏之灭也，不易礼而亡。然则反古者未必可非，循礼者未足 多是也。”从而主张“当时而立法，因事而制礼”(《商君乢·更 法篇》《史记·商君列传》)。这是以历史迚化的思想驳斥了旧贵 族所谓“法古”“循礼”的复古主张，为实行变法作了舆论准备。
商鞅事魏文言文翻译
商鞅，卫国之庶出公子也，名鞅，字公孙。
其祖乃姬姓，位高权重。
鞅自幼好学，专攻刑名之术，侍奉魏国相国公叔座，任中庶子之职。
公叔座深知其才，欲荐于魏王，然尚未及举荐。
时值公叔座病重，魏惠王亲临探望，言及：“公叔病若不测，国家将何以自保？”公叔座答曰：“吾之中庶子公孙鞅，虽年幼，然才智过人，愿大王举国听之。
”惠王闻言，默然不语。
惠王欲离去，公叔座屏退左右，低声对惠王言：“若大王不听用鞅，必杀之，勿令其出境。
”惠王应允而去。
公叔座遂召鞅至，谢曰：“适才大王问及可为相者，吾曾举荐于王，然王色不允。
吾因先君后臣，故谓王若不用鞅，当杀之。
王已许诺。
汝宜速速离去，恐有擒获之危。
”鞅答曰：“彼王不能以君命任臣，又岂能以君命杀臣乎？”终未离去。
惠王离去后，对左右曰：“公叔病重，悲乎！欲令我以国听公孙鞅，又劝我杀之，岂非悖论乎！”魏惠王虽心有疑虑，然终未敢违背公叔座之遗愿。
孝公即位后，商鞅得以重用。
鞅欲变法强国，然恐天下人非议。
于是，鞅曰：“疑行无名，疑事无功。
夫有高人之行者，固见非于世；有独知之虑者，必见笑于民。
愚者暗于成事，智者见于未萌。
民不可与虑始，而可与乐成。
论至德者不和于俗，成大功者不谋于众。
是以圣人苟可以强国，不拘小节；苟可以利民，不避浮言。
”商鞅变法，推行新法，使秦国逐渐强大。
其法度严明，赏罚分明，百姓安居乐业，国家繁荣昌盛。
然商鞅之死，亦由此法度引发，可谓悲壮之极。
综上所述，商鞅事魏，实为国家之幸，亦为历史之佳话。
其人其事，虽历经千年，仍令人感叹不已。
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根据我们在概率论一章中学习过的知识，我们知道 F a ， F b 和 F c 都是对样本空间 Ω 的一种分割。这是因为按照分割的定义，它们各自包含的所有元素的并集构成了整个状 态空间，而它们所包含的元素两两相交的结果是空集。 F d 和 F e 则不是分割，因为 F d 中前两个元素的交集不是空集，而是 {uu} ；而 f e 的所有元素的并也没有构成整个状态空 间，缺少了 {dd } 。 F b 集合表示股票价格两次变动以后所有可能发生的情况，它仅仅说明了事物发展的 未来潜在可能性，它相当于位于二项树上的 0 点。在 0 时刻信息结构是最平凡的，即： F 0 = {∅, Ω} 。而 F a 则刚好相反，它完全揭示出所有的世界状态，正是在最终的 2 时刻， 究竟哪种状态会发生已经成为了事实。 F c 则代表了一种中间状态，好比在 1 时刻，我 们知道如果状态 {uu , ud } 发生，即前进到 d [1] 点后， {dd } 或者 {ud } 之一必定会发生，到
本章的学习目标为： 了解信息结构和信息一致性的数学表述方式 明确鞅的定义和连续时间情形下的一些技术性条件 熟悉二项过程和布朗运动等常见鞅的定义和轨道特征 了解鞅的几个重要子类：一致可积鞅和平方可积鞅 了解停时概念和最优停止定理 了解由停止一个鞅产生的其它鞅型随机过程 了解二次变差和协变差过程，多布-迈耶分解 复习伊藤积分的定义和主要性质 掌握拉登-尼科迪姆导数的各种形式和性质 掌握凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理并熟练应用该定理进行测度变换 掌握鞅表示定理并理解该定理在分析交易策略的可行性和构造完备市场模型 中的作用
第十章 随机过程 II：鞅
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第十章 随机过程 II：鞅
基础微积分 线性代数 概率论和数理统计 随机微积分 偏微分方程 鞅 数值方法
10．1 概述 10．1．1 离散时间 10．1．2 连续时间 10．1．3 鞅的例子 10．1．4 鞅的子类 10．2 停时和鞅型序列 10．2．1 停时定义 10．2．2 最优停止定理 10．2．3 鞅型序列 10．3 多布-迈耶分解 10．3．1 多布分解定理
E ( X n | X n −1 ) = X n −1
成立，即赌博的期望收获为 0，仅能维持原有财富水平不变，就可以认为这种赌博在统 计上是公平的1。 在金融分析中，投资者通常会根据过去发生的事件来指导未来的投资决策，我们可以 把 X 设想为对由于信息发布而产生波动的金融资产价格(过程)，而 EX n 就是对这种价格运 动的预测，而恰好鞅就是用条件数学期望来定义的，这种相似性就激发了使用鞅和与之相 关的数学概念来描述金融资产价格运动过程特征的热情，鞅在 20 世纪 80 年代以后迅速成 为主流金融经济学研究中标准的时髦。 10．1．1 离散时间 简单的说，一个随机变量的时间序列没有表现出任何的趋势性(trend)，就可以称之为鞅； 而如果它一直趋向上升，则称之为下鞅(submartingale)；反之如果该过程总是在减少，则称 之为上鞅(supermartingale)。实际上鞅是一种用条件数学期望定义的随机运动形式，或者说 是具有某种可以用条件数学期望来进行特征描述的随机过程。 我们循序渐进地分成 4 个步骤来正式定义鞅： 1)首先，描述概率空间。存在一概率空间 {Ω, F , P} ，要求σ-代数 F 是 P-完备的，即对 于任何 A ∈ F 且 P( A) = 0 ，对一切 N ⊂ A 都有 N ∈ F 成立2。接下来， 2)描述滤波(filtration)。设想我们在一些时点上观察一种股票的价格 ( S n ) n∈Z 3随时间的波
10．3．2 多布-迈耶定理 10．3．3 二次变差过程 10．4 再论随机积分 10．4．1 鞅变换和随机积分 10．4．2 简单过程随机积分 10．4．3 再论伊藤积分 10．5 测度变换 10．5．1 直观理解 10．5．2 拉登-尼科迪姆导数 10．5．3 哥萨诺夫定理 10．5．4 鞅表示定理
价格 uu [2] u[1] 0 d[-1] dd [-2] t0 t1 t2 时间 du,ud [0]
图 10-1 二项树模拟股票价格运动
u 代表股票价格经历了一次上升； d 则代表一次下降，两个时刻过后股票价格会出
现 4 种情况，那么样本空间就是：
Ω = {{uu}, {ud }, {du}, {dd }}
第十章 随机过程 II：鞅
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并且由于可以借助现代数值计算技术，它还提供了更为强大的运算能力，而这对于实际工 作又是至关重要的。 在本章中，我们首先在离散时间下，使用在概率基础一章中接触到的分割、条件数学 期望等概念来严格地给出鞅的定义。然后澄清一些性技术要求并给出连续时间鞅的概念。 介绍一些常见的鞅的例子。在讨论了鞅的两个重要子类之后， 接下来我们考察多布-迈耶分解(Doob-Meyer decomposition)， 停时(stopping time) 接下 来讨 论对于现 代金 融 分析至 关重 要的 —— 等鞅测 度变换 (equivalent martingale transformation)和凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理(Cameron-Martin-Girsanov theorem)。只有熟练 掌握并且能够灵活运用这一方法，才能真正领略到现代金融理论的精髓。 10．1 概述 “鞅”一词来源于法文 martingale 的意译，原意是指马的笼套或者船的索具，同时也指 一种逢输就加倍赌注，直到赢为止的恶性赌博方法(double strategy)。但这都没有说明它在 金融学中的确切含义。鞅究竟是什么呢？简单的说，鞅是“公平”赌博（fair game）的数 学模型。那么什么又是公平的赌博呢？假设一个人在参加赌博，他已经赌了 n 次，正准备 参加第 n +1 次赌博。如果不做什么手脚，他的运气应当是同他以前的赌博经历无关的，用 X n 表示他在赌完第 n 次后拥有的赌本数，如果对于任何 n 都有
+
动情况。令 ( F n ) n∈Z 代表在不同时点上投者获得的有关股票价格的历史信息，随着时间
+
的推移，越来越多的数据被追加到这个信息集合中，它会越来越丰富。当 m < n < o 时，这
期望收益等于参加费用的赌博也可以认为是统计上公平的。 我们会经常看到这一类技术性的要求，它是保证数学上严密性的需要，在经济分析则往往找不到合适的 对应物。幸运的是，经济分析中大多数问题具有良好的性质。 3 我们用 Z + 表示正整数。
第十章 随机过程 II：鞅
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底是谁，仍然不能够确定；而 u[1] 点以后的发生的情况则不清楚或者不重要了。因此这 些分割就适当地代表了一个动态系统中的 0、完全和部分的信息。我们知道 F a 比 F c 精 细，而 F b 是最粗糙的分割，把它们串联起来就有： Fb< Fc < Fa 因此从粗到细排列这些分割，还代表了信息的传递过程。 正式一些有：假定同一状态空间中存在 N + 1 个分割，它们满足下列 3 个条件： 1)第一个分割是最粗糙的，即： F 0 = {Ω, ∅} = {{ω 1 , ω 2 ,..., ω n }} ； 2)最后一个分割是最精细的，即： F N = {{ω1 }, {ω 2 },..., {ω n }} ； 3)对于任何 s < t ， F t 分割比 F s 要精细。 这样定义的分割序列，就是一个“过目不忘”的学习过程。在最初的 0 时刻，未来 世界视野一片模糊，唯一可知的是 Ω 中的某种状态会发生。下一个时刻有一些新的信息 来临，即有一个比较粗的分割，在任意时刻，我们对于(价格)信息知识的了解始终在增 长。最后时刻一切都昭然若揭，我们完全了解了从 0 到 N 时刻哪一个状态发生了，它又 是如何演化的。这在实际中是容易做到的，只要投资者有一个好记性或者容量足够大的 硬盘就可以了。符合上述 3 个条件的一组分割就被称为信息结构，它的数学对应物就是 滤波。 3) 如果对于任何 n ≥ 0 ， S n 的值被包含在 F n 中，就称 S n 是 F n 可测的，或者使用梅耶 (Meyer)的术语，称 S n 为 F n 适应的( F n –adapted)6。 金融相关点 10-2：随机金融变量的可测性和一致性 微观金融分析中的各种随机过程，例如价格、交易头寸都有一个是否可以被预测的 问题。讨论仍然从上一框文中的信息结构开始。我们知道由于以集合本身为定义域的函 数运算，例如微积分运算，不是很方便，所以要进一步引入曾经学习过的随机变量函数， 即： X :Ω → R 来描述信息结构。考虑这样一种的随机变量函数，它赋予一个分割中的同一子集下 的元素以相同的数值，我们称这种随机变量对于该种特定的分割是可测的。仍然使用前 面的二项树模型来具体说明这一点。有随机变量函数 x ' ，它定义股票的价格在 0 时刻为 0，在 0 时刻以后则每经历一次上升就在原来的价格上加 1；如果下降就减去 1，图 10-1 中就标明这种情形。根据 x ' 的定义有： x' ({uu}) = 2 ； x' ({ud }) = 0 ； x' ({du}) = 0 ； x' ({dd }) = −2 考虑下列分割： F a = {{uu}, {ud }, {du}, {dd }} F f = {{uu},{ud , du},{dd }}