欧式向上敲出看涨认购权证的鞅方法定价

欧式向上敲出看涨认购权证的鞅方法定价【摘要】在普通的认购权证上嵌入障碍期权的特点，便会得到一类新型的权证敲出( 敲入) 型认购权证本文以向上敲出看涨认购权证为例，先给出它的定义，根据该定义，以鞅定价方法推导出欧式向上敲出看涨认购权证的封闭解评价模型，为实践者提供理论上的参考价格。

关键词：敲出期权，几何布朗运动，鞅定价，Girsanov定理1、引言普通认购权证( 以下简称权证)其实是一种买权( 看涨期权),它赋予权证持有者在规定的期限内按交易双方约定的价格( 执行价格) 购买一定数量的标的资产的权利. 利用权证, 人们可以有效地回避风险, 也用来投机冒险. 但是权证的持有者只有当标的资产( 以下假定为股票) 到期时的价格高于其约定价格时, 才会行使权证所赋予的权利, 用规定的较低的执行价格去购买股票, 然后在市场上以较高的价格卖出, 赚取这两个价格之间的价差. 如果该股票到期时的价格低于权证的执行价格时, 则该权证毫无价值.障碍期权是一种路经依赖型期权, 它在初始时就确定两个价格水平, 其一为约定价格, 另一个是特定的障碍价格. 当标的资产的价格达到或越过障碍价格会发生什么情况取决于障碍期权的类型. 敲出型期权( K nock - ou t o pt ion s) 一开始与标准期权一样, 但当障碍价格水平被突破时就会消失; 敲入型期权( K nock - i n opt ion s) 是当价格达到障碍价格水平时就被激活.为了减少投资者的投资风险, 提高投资的收益率, 增加投资者购买认购权证的兴趣, 发行者有时将普通的权证带上障碍期权的特点, 创造出了一类新型的认购权证, 称之为敲出或敲入型认购权证. 如 19 93 年, 瑞士医药公司Roche 发行了 10 亿美元的七年期债券, 每一万美元债券附带 46 份欧式敲出认购权证. 实践表明, 在认购权证中嵌入障碍期权的特点, 减少了投资的风险,增加了权证的吸引力, 实际收益率也明显提高, 受到了市场的青睐.但障碍期权的嵌入给这类新型的认购权证的定价带来了一定的困难, 对于普通的认购权证, 已经有了解析形式的公式. 本文利用鞅方法给欧式向上敲出看涨认购权证进行了定价, 同时, 欧式向上敲出看跌认购权证等其它七种新型的认购权证也可以类似推出, 为实践中敲出或敲入型认购权证价格的合理确定提供理论上的参考.2、向上敲出看涨认购权证的定义向上敲出看涨认购权证是为适应市场需要而产生的一种新型认购权证,它有两个明显特 征: 第一,它带有普通认购权证所具有的买入期权的特点,在权证的有效期内, 若股票价格能按着预期增长,该权证的持有者在到期时拥有以约定的价格( 设为1k ) 购买既定数量股票的权利。

第二，权证还带有敲出买入期权, 不妨设该买权的约定价格为1k (1k <2k ) ,障碍价格为B (1k <B <2k ) , 这样在权证的有效期内, 若股价未能按预期增长,而且一直未突破过事先规定 的障碍价格B , 则该权证还相当于一份以1k 为执行价格的买权的价值.除非在权证的有效期 限内股价触及障碍价格B 而消除该买入期权. 当然大多数投资者会认为,如果股价达到B , 该股不可能下跌. 因此, 敲出期权的嵌入,使得当股票价格未能按预期增长的情况下, 为权证的持有者提供一定的保护作用.敲出看涨认购权证的到期现金流量( 或到期价值) 以公式表示如下:T V =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥<<≥≥-≥<-212121110,,K S B S K S B S K S B S K S K S B S K S T T T T 及或及若若若 其中：t S t S =)( 表示表示股票于t 时的价格, 210,max K B K S S t Tt <<=≤≤. 一旦敲出认购权证的到期现金流量决定后,其评价模型可根据鞅定价(M artin gle Pricing)的方法求解:在风险中立下,其价值是到期现金流量期望值的现值,并以无风险利率折现。

3、模型的假设及概率测度的计算基本假设: 1）世界是风险中性的，2）市场无风险利率r 与股票的价格波动率σ在权证有效期内为已知的常数，3）在风险中性下股价)(t S 遵循如下几何布朗运动:()T t dz t RS dt t rS t dS Q t ≤≤+=0)()()( （1） 其中：r 为股票期望瞬间报酬率，σ为股票期望瞬间报酬率的标准差，Q 为鞅测度（风险中性测度），随机过程{}T t Z Q t ≤≤0,是()Q F ,,Ω上的布朗运动。

由（1），结合∧o It 定理，有：)0(,)2/()(ln 2T t dZ dt r t S d Q t ≤≤+-=σσ （2） 进而求得在测度Q 下，股票价格的动态过程为：])2/exp[()(2Q t Z t r S t S ∆+-=σσ （3）其中：S 为起初股价，Q Q t Q t Z Z Z 0-=∆且),0(~t N Z Q Q t ∆，),0(t N Q 为在中性测度Q 下，均值为0，方差为t 的正态分布。

)(∙Q E 在Q 测度下的数学期望得：)0(,)()()()(2T t dZ t S dt t S r t dS R t ≤≤++=σσ （4） )0(,)2/()(ln 2T t dZ dt r t S d R t ≤≤++=σσ （5） 在测度R 下，股票价格的动态过程为：])2/exp[()(2R t Z t r S t S ∆++=σσ （6）其中，R R t R z Z Z 0-=∆且),0(~t N Z T R t ∆，),0(t N R 为在中性测度R 下，均值为0，方差为t 的正态分布。

4、欧式向上敲出看涨认购权证的定价:Martingle P r ici n g根据欧式向上敲出看涨认购权证的定义，它在现在（0时刻）的价格V 为： ])[(])[(},{2},{111K s B s T Q rT K s B s T Q rT T T I K S E e I K S E e V ≥≥-≥<--+-= （7） 令（7）式的第一，二大项分别为1V 和2V ，则 ][][},{1},{111K s B s Q rT K sB s T Q rT T T I E e K I S E e V ≥<-<<--= （8）先求（8）式的第二期望值： ][},{1K s B s Q T I E <<=),()(1K S B S P B S P T Q Q <<-< =)ln ln ,ln (ln )ln (ln1SB S S S K S S P S B S S P T Q Q <<-<得：（8）式的第二期望值为： )())2(()()(223)21(32d N T T r d N B S d N r ------σσσ+)ln2()(2)21(2T S B d N B S r σσ--- (9) 再求（8）式的第一期望值：][},{1K s B s T Q T I S E ≥<=]])2/exp[([},{21K s B s Q t Q T I Z t r S E ≥<∆+-σσ =]))2/[exp((},{21K s B s Q T Q rT T I Z T E Se ≥<∆+-σσ =][},{1K s B s R rT T I E Se ≥< 上式期望值的计算与1V 第二期望值的计算相同，期望值为：)())2(()()(223)21(32d N T T r d N B S d N r -----+σσσ+)ln2()(2)21(2T S Bd N B S r σσ--+ （10）其中：TT r k S d σσ)2(ln 212++=，T T r B S d σσ)2(ln 23++= 把（9）（10）式代入（8）式得1V =)}ln2()()())2(()()({2)21(223)21(322T S Bd N B S d N T T r d N B S d N S r r σσσσσ-+--+---+-+- -)ln2()()())2(()()({2)21(223)21(3122T S Bd N B S d N T T r d N B S d Ne K r r rT σσσσσ--+---------} 再来看（7）式的第二大项2V ，由于 ][][},{2},{222K s B s Q rT K sB s T Q rT T T I E e K I S E e V ≥≥-≥≥--= （11） 先求（11）式的第二期望值： ][},{2K s B s Q T I E ≥≥ = ()2,K s B s P T Q ≥≥ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥≥S B S S S K S S P T Q ln ln ,ln ln 2 = 1-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-⎪⎭⎫ ⎝⎛<S B S S P S K S S P Q T Qln ln ln ln 2+ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<S B S S S K S S P T Q ln ln ,ln ln 2 解得，上式的值为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--T S B d B S T T r d N B S d N rr σσσσσln 2)()2()()(4)21(23)21(322 （12） 其中：T T r B S d σσ)2(ln 23-+=，TT r k S d σσ)2(ln 224-+=再求（11）式的第一期望值：[]},{2K s B s T Q T I S E ≥≥= []},{22))2/exp((K s B s Q T Q n T I Z t E Se ≥≥∆+-σσ = []},{2K s B s R n T I E Se ≥≥该式的期望值与2V 的第二期望值的计算相同，值为： ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-T S B d N B S T T r d N B S d N r r σσσσσln 2)()2()()('4)21(2'3)21('322 其中： T T r B S d σσ)2(ln 2'3++=，TT r k S d σσ)2(ln 22'4++= （13） 把（12）（13）式代入（11）式得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---+--=+-+-)ln 2()())2(()()('4)21(2'3)21('3222T S B d N B S T T r d N B S d N S V r r σσσσσ ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+---T S B d N B S T T r d N B S d N e K r r rT σσσσσln 2)())2(()()(4)21(23)21(3222由（7）式及1V 和2V 的值，最后得到该欧式敲出看涨认购权证的现值V 为： 21V V V +=1V 和2V 上面均已求出，代入即可。