第六章 鞅方法定价
第六章 鞅方法定价在上一章的二项树模型下，我们证明了，当完备市场中不成在套利机会时，市场存在唯一概率——等价鞅测度——可以 用来给期权和期货定价。
在这一章，我们先在二项树模型下详细解释等价鞅测度的含义。
接着，我们讨论一般结果。
我们将证明，这个结果在比二项树模型更复杂的经济系统中也成立。
在许多背景下，我们并不需要利用市场均衡来给衍生资产定价，而是利用套利定价原理来进行定价——如果证券市场不存在套利机会，则衍生证券的价格完全由别的长期证券的价格过程来决定。
在这个定价的过程中，我们通常把一个长期证券集的价格过程视为给定而来进行定价。
这样就自然产生一个问题：如何确定被我们视为给定的价格过程不存在套利机会？ 价格过程不存在套利机会的充分必要条件是，通过变换概率测度和对价格过程进行某种正规化之后，这些价格过程是鞅过程。
无套利和鞅过程之间的这种特殊关系也可以直接用来对衍生证券进行定价。
作为一个应用，我们将用这种方法来对期权进行定价，得到期权定价的一种新的方法。
1．二项树模型中的等价鞅测度在二项树模型中模型图1一期二项式生成过程这里∆-t S =股票在时间∆-t 的价格 q =股票价格上涨的概率 r f =一期的无风险利率u =股票价格上涨的乘子)11(>+>f r ud =股票价格下跌的乘子()011<<<+d r f在每一期末，股票价格或者以概率q 涨为∆-t uS ，或者以概率1-q 跌为∆-t dS 。
每期的无风险利率为r f 。
对r f 的限制为u r d f >+>1，这是无套利条件。
直观地可以看出，无论是1+>>r u d f （这时，无风险利率总比股票的风险回报率高）还是u d r f >>+1（这时，无风险利率总比股票的风险回报率低），都存在套利机会。
等价鞅测度的含义： 等价的含义：当实际的概率为正时，p 也为正。
条件期望直观解释：在某种条件下的期望值。
例子：用密度函数来刻画例子：在二项树下的条件期望鞅的含义：[]()[]∆-∆-∆-∆-=-++=+t t t ft t f S dS p puS r S E r 11111 ()()∆-∆-∆-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+i t f i t t f t i t r S r S E 11 []()[]∆-∆-=-++=+t dt u t ft t f c dc p pc r c E r 11111 ()()∆-∆-∆-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+i t f i t t f t i t r c r c E 11 即，()nt t f tr S 01=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+和()nt t ftr c 01=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+均是鞅过程。
等价鞅测度存在性： 定义p r d u df =+--()1，则11-=-+-p u r u df ()从p 的定义可以看出，无套利条件u r d f >+>1成立当且仅当p 大于0而小于1（即，p 是概率）。
等价鞅测度唯一性：上面定义的p r d u df =+--()1是使得下式成立（即股票和期权价格的折现值是鞅）的唯一概率。
[]()[]∆-∆-∆-∆-=-++=+t t t ft t f S dS p puS r S E r 11111（Martingales are associated with “fair” gambles because expected values always equal current values. In finance, this sense of fairness translates into prices and a pricing system with no arbitrage opportunities.） 性质：在一个二项树模型中，股票和无风险证券之间不存在套利机会的充分必要条件是存在唯一的等价鞅测度。
证明：例子：无套利验证例子：期货合约的无套利定价例子：不完备市场的等价鞅测度不唯一。
注：(1) The importance of this proportion to option pricing cannot be overstated. It takes an economic notion of no arbitrage opportunities and transforms it into a mathematical notion of a martingale. As a mathematical notion, theorems can be proven, formulas derived, and computations performed, which would be impossible using the economic notion alone. (2) 推广：利率衍生产品，利率是随机的，以商品为标的物的衍生产品，外汇衍生产品。
2．一般经济系统2.1 不确定性经济环境 我们考虑一个具有唯一易腐消费品的证券市场经济。
如果没有特别地强调，我们用{}F ,Ω表示不确定经济环境中具有有限状态的状态空间，用F ={}T t F t ,1,0:=表示信息结构，对任意T t F F t ⊆,。
和第一章一样，我们假设到时间T ，投资者就完全知道真实的状态且=0F {Ø,Ω}。
证券市场具有N +1种长期证券，以N j ,,1,0 =作为指标。
长期证券j 的特征由其红利过程(){}T t t x x j j ,,1,0: ==来刻画，这里()t x j 表示以消费品为单位，在时间t 支付的随机红利。
红利过程适应于F 。
为使得分析简化，我们不妨假设第0种长期证券直到时间T 才支付红利，在时间T ，不管哪个状态发生，支付的红利均为一个单位的消费品。
从这个假设我们可以看出，第0种证券事实上是一种T 期的面值为1的折现债券。
第0种证券在时间t 的价格以)(t B 表示，()1=T B ；而第j （1≥j ）种证券在时间t 的分红后价格以)(t S j 表示。
因为价格过程是分红后的价格，所以有()0=T S j 。
自然地，我们假设()t S j 和()t B 是关于t F 可测的。
因为在经济均衡中能够确定的只是证券的相对价格，所以不失一般性，我们假设长期证券的价格以唯一的消费品为单位，即消费品的价格为1。
经济中有I 个个体，以I i ,,2,1 =作为指标。
每个个体具有时间可加的效用函数，这些函数是单调增的、严格凹的、可微的。
我们假设()∞='0itu ，这个假设保证所有个体都选择严格正的消费。
我们假设个体的主观概率为{}Ω∈=ωω:ii P P ，并且任意不确定状态的概率大于0。
我们假设个体拥有的禀赋是长期证券，份额为()()(){}{}Nj i j ii100,0==θθα，()0i α表示个体i 在时间0拥有的第0种证券的份数。
()0i j θ表示个体i 在时间0拥有的第j 种证券的份数。
为了避免退化情形，我们假设对每个个体i 而言，()0i α≥0，()0i j θ≥0且存在某个j 使得()0ij θ>0。
定义1：一个交易策略θ是一个1+N 维过程()()(){}{}N j jt t t 1,==θθα,这里，()t α和()t j θ分别表示个体在时间t 的交易发生前，持有的从时间t -1到时间t 的第0种证券和第j 证券的份数。
一个交易过程一定是一个可料过程。
我们引入记号()()()()T N t t t θθθ,,1 =定义2：一个消费计划c 是一个适应于F 的过程：(){}T t t c c ,,1,0; ==，这里()t c 表示以唯一消费品为计量单位，个体在时间t 的随机消费。
定义3：一个交易策略{}θα,称为可行的，如果它是可料的且存在一个消费计划c 使得，对于任意t 有()()++t B t 1α()()t S t T 1+θ()()()()()t c t X t S t T-+=θ()()t B t α+， （2-1）这里()()()()TN t S t S t S ,,1 =， ()()()()TN t x t x t X ,,1 =。
我们用H 表示所有的可行的策略形成地集合。
注：1. 关系（2-1）是一种自然的预算约束：在t 期收入（包括证券组合的市场值和红利）用于消费和下一期的投资（购买下一期的证券组合）。
2. 因为()1=T B ，且对所有的j 而言，0)(=T S j ，所以（2-1）的左边为0，从而（2-1）变成()T α+()()()T c T X T T =θ即在期末，所有的财富都用于消费。
3. 在（1-24）中的消费计划c 称为是由交易策略),(θα融资的，以()θα,c 来表示。
我们用C 表示所有由可行交易策略融资的消费计划的集合。
4. 因为一个长期证券是由它在每个时间的红利来刻画地，所以我们可以把由可行交易策略融资地消费计划视为长期证券。
2.2 套利、状态价格和鞅 正如我们在前言中提到的一样，本章的主要目的之一在于，给定价格系统{}S B ,，如何确定其余衍生资产的价格。
因此，我们第一步就是验证这个价格系统是否具有某种意义上的“合理性”，以及为了满足这种合理性该价格系统应该满足的条件。
因为对合理性的要求越弱，这种合理性的应用也就越强，所以我们下面给出价格系统为了具有某种合理性应该满足的条件，并使得这个条件尽可能地弱。
从最理想的角度出发，这个价格系统具有的合理性也应该是一个均衡价格系统应该具有的。
因为经济中的个体具有非满足性，所以要使得一个价格系统是均衡的，这个价格系统就不能存在套利机会。
因此我们把这个均衡价格系统具有的性质作为价格系统{}S B ,必须满足的合理性。
下面给出目前经济环境中套利机会的严格定义。
定义3：一个套利机会指的是由某个可行交易策略),(θα融资的消费计划()θα,c ，满足下列条件：1．()θα,c是非负的，且至少存在某个时间t ，使得()()t cθα,>0的概率严格为正。
2．()()+00B α()()000≤S T θ 直观上来说，一个套利机会就是不花钱就能进行消费。
一个价格系统如果具有套利机会就不可能是一个均衡的价格系统，因为每个非满足的个体都会利用这种套利机会，从而市场不可能是出清的。
在本节剩下的内容里，我们任固定某个个体的主观概率iP ，所有的计算都在这个概率之下得到的，为了记号简单，我们简记iP 为P 。
当证券市场不存在套利机会时，任意一种长期证券的价格过程和它的积累红利，如果以第0种证券为单位，具有如下的性质：在任意时间t ，它们在将来任意时间的和的条件期望等于它们在时间t 的和。
第6章第4节 常用的国际定价方法
第六章定价策略1成本导向定价法2需求导向定价法3竞争导向定价法国际定价策略41、成本加成定价法（1）公式为：Ｐ＝Ｃ（１＋Ｒ）即单位产品售价＝单位产品成本×（1＋成本加成率）1、成本加成定价法例子：➢某企业生产某种产品10000件，单位可变成本为20元，固定总成本为200000元，预期利润率为15％。
➢可计算如下：固定总成本200000元单位固定成本200000／10000=20元／件单位可变成本20元／件单位总成本20+20＝40元预期利润率15％产品售价＝40+40X15％＝46(元／件)1、成本加成定价法（2）优点:不确定性比较少，简单易行。
如果同行业中所有企业都采取这种方法，则价格和加成也大致相似，价格竞争也会因此降至最低程度。
对买方和卖方都比较公平。
（3）缺点:忽视了市场供求关系的变化及影响产品销售的其他因素对产品价格的影响。
2、目标利润定价法：亦称为投资收益率定价法，根据企业总成本和计划的总销售量，加上按投资收益率制定的目标利润作为销售价额的定价方法。
（1）公式为：P=(C+I)/QC：总成本，I：目标总利润，Q：总销量（估计）3、边际贡献定价法：仅计算可变成本，不计算固定成本，在变动成本的基础上加上预期的边际贡献构成产品的价格。
（1）边际贡献：指销售总收入扣除总变动成本后，用于补偿固定成本和取得盈利的那部分收入。
（2）销售总收入=总变动成本+边际贡献（3）单位产品价格=单位产品变动成本+单位产品边际贡献第四节常用的国际定价方法需求导向定价法：需求导向定价法是一种以市场需求强度及消费者感受为主要依据的定价方法。
包括：反向定价法/认知价值定价法/差别定价法第二节常用的定价方法➢1.反向定价法：企业根据消费者能够接受的最终销售价格，计算自己从事经营的成本和利润后，逆向推算出产品的批发价和零售价。
第二节常用的定价方法➢1.反向定价法：➢例子➢消费者对某牌号电视机可接受价格为2500元，电视机零售商的经营毛利20％，批发商的批发毛利5％。
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
因此，z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方差为 N Δ t =T，标准差 。 T
若变量x 遵循普通布朗运动：dx adt bdz 其中：1、a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 2、a为漂移率（Drift Rate），是指单位时间内变量 z均值的变化值。 3、b2为方差率（Variance Rate），是指单位时间的方差。 普通布朗运动的离差形式为 x at b t ，显然，Δx也 2 具有正态分布特征，其均值为 at ，标准差为 b t，方差为 b t
1965年，法玛（Fama）提出了著名的效 率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用 可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新 的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格 能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从 一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新 信息相应的价格变动是相互独立的
1、弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对 预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析 获得超过平均收益率的收益。 2、半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可 获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信 息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证 券。 3、强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能 获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕 信息”）对挑选证券都没有用处。 根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场大体符合弱式效 率市场假说。
普通布朗运动
1、显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程， 其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为 a。第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这种 噪音是由维纳过程的 b倍给出的。 b T
欧式向上敲出看涨认购权证的鞅方法定价
欧式向上敲出看涨认购权证的鞅方法定价【摘要】在普通的认购权证上嵌入障碍期权的特点，便会得到一类新型的权证敲出( 敲入) 型认购权证本文以向上敲出看涨认购权证为例，先给出它的定义，根据该定义，以鞅定价方法推导出欧式向上敲出看涨认购权证的封闭解评价模型，为实践者提供理论上的参考价格。
关键词：敲出期权，几何布朗运动，鞅定价，Girsanov定理1、引言普通认购权证( 以下简称权证)其实是一种买权( 看涨期权),它赋予权证持有者在规定的期限内按交易双方约定的价格( 执行价格) 购买一定数量的标的资产的权利. 利用权证, 人们可以有效地回避风险, 也用来投机冒险. 但是权证的持有者只有当标的资产( 以下假定为股票) 到期时的价格高于其约定价格时, 才会行使权证所赋予的权利, 用规定的较低的执行价格去购买股票, 然后在市场上以较高的价格卖出, 赚取这两个价格之间的价差. 如果该股票到期时的价格低于权证的执行价格时, 则该权证毫无价值.障碍期权是一种路经依赖型期权, 它在初始时就确定两个价格水平, 其一为约定价格, 另一个是特定的障碍价格. 当标的资产的价格达到或越过障碍价格会发生什么情况取决于障碍期权的类型. 敲出型期权( K nock - ou t o pt ion s) 一开始与标准期权一样, 但当障碍价格水平被突破时就会消失; 敲入型期权( K nock - i n opt ion s) 是当价格达到障碍价格水平时就被激活.为了减少投资者的投资风险, 提高投资的收益率, 增加投资者购买认购权证的兴趣, 发行者有时将普通的权证带上障碍期权的特点, 创造出了一类新型的认购权证, 称之为敲出或敲入型认购权证. 如 19 93 年, 瑞士医药公司Roche 发行了 10 亿美元的七年期债券, 每一万美元债券附带 46 份欧式敲出认购权证. 实践表明, 在认购权证中嵌入障碍期权的特点, 减少了投资的风险,增加了权证的吸引力, 实际收益率也明显提高, 受到了市场的青睐.但障碍期权的嵌入给这类新型的认购权证的定价带来了一定的困难, 对于普通的认购权证, 已经有了解析形式的公式. 本文利用鞅方法给欧式向上敲出看涨认购权证进行了定价, 同时, 欧式向上敲出看跌认购权证等其它七种新型的认购权证也可以类似推出, 为实践中敲出或敲入型认购权证价格的合理确定提供理论上的参考.2、向上敲出看涨认购权证的定义向上敲出看涨认购权证是为适应市场需要而产生的一种新型认购权证,它有两个明显特 征: 第一,它带有普通认购权证所具有的买入期权的特点,在权证的有效期内, 若股票价格能按着预期增长,该权证的持有者在到期时拥有以约定的价格( 设为1k ) 购买既定数量股票的权利。
鞅定价方法
鞅定价方法嘿，朋友！今天咱来聊聊鞅定价方法。
你知道吗，这鞅定价方法就像是一把神奇的钥匙，能打开金融世界里那神秘莫测的大门。
想象一下，金融市场就像一个巨大的迷宫，各种资产价格起起伏伏，让人眼花缭乱。
而鞅定价方法呢，就像是我们在迷宫里的指南针，帮我们找到正确的方向。
它可不是随随便便就出现的哦！那可是金融学者们经过无数次的思考和探索才发现的宝贝。
它基于一种很特别的理念，就好像是在告诉我们，市场里的价格变化虽然看似杂乱无章，但其实背后有着一定的规律可循。
比如说股票价格吧，它一会儿涨，一会儿跌，让人摸不着头脑。
但用鞅定价方法去分析，嘿，你就能发现一些有意思的东西。
它能让我们更清楚地看到价格波动的本质，就像给我们戴上了一副特殊的眼镜，让我们能看清那些隐藏起来的细节。
而且啊，这鞅定价方法可实用了呢！它能帮助投资者做出更明智的决策。
就好比你要去一个陌生的地方，有了一张详细的地图，是不是心里就更有底啦？鞅定价方法就是这样一张金融市场的“地图”。
你说，要是没有它，我们在金融的海洋里不就像没头苍蝇一样乱撞吗？那得损失多少机会，又得吃多少亏呀！所以说，鞅定价方法真的是太重要啦。
它能让我们对金融产品的价值有更准确的判断，不至于被那些表面的波动所迷惑。
这就像是一个聪明的侦探，能透过层层迷雾，找到事情的真相。
咱再想想，要是没有这样的方法，那些金融专家们怎么能在复杂的市场中如鱼得水呢？他们肯定是靠着这些厉害的工具呀！总之呢，鞅定价方法就是金融领域里的一颗璀璨明星，照亮了我们在金融世界里前行的道路。
它让我们能更好地理解市场，更好地把握机会。
你可别小瞧了它哟，说不定哪天它就能帮你在金融市场里大赚一笔呢！所以呀，一定要好好了解它，掌握它，让它为你所用。
怎么样，是不是觉得鞅定价方法很神奇呀？是不是也想赶紧去研究研究呢？哈哈！。
【干货】关于等价鞅、反等价鞅、剀利公式、赌徒输光定理
【干货】关于等价鞅、反等价鞅、剀利公式、赌徒输光定理我很早就觊觎股市期市和汇市了，但是自己手里一直没有钱。
到了澳大利亚后有了奖学金，于是终于可以自己自由的玩这个东西了。
我选择了外汇保证金。
本来这个东西，打算在赚到钱之前不写什么东西的。
但是近的一系列醍醐灌顶的感觉让我觉得还是有必要记录一下最近的心理活动。
去年7月份入市以来，现在已经半年过去了，我总共亏损了2000美元。
不过相对于我得到的东西，我觉得这已经是相当值得的一个投入产出比了。
这半年来，我一直采用迷你帐户操作，爆仓四次。
在这个过程中，我经历了各种剧烈的心理变动，贪婪，恐惧，不确定。
自己的人性的各种丑陋的一面被暴露的淋漓尽致。
我同时也成了一个疯狂的技术研究者。
我疯狂的搜集各种资料，研究各种交易系统，指标，等等等等。
我先后尝试了均线，RSI，woodies CCI系统，KDJ和布林线相结合的短线抓震荡的系统，日本蜡烛图技术。
等等等等，也自己尝试写了很多自动交易程序，测试各种策略。
也求助过各种付费服务。
当然，结果，就像各个汇市老手所说的一样，必然是亏钱。
在交易了四五个月之后，我开始逐渐的真正开始理解“资金管理”的含义。
以前我一直用mini帐户，等于是毫无资金管理可言，而且我所做的事情，正象很多汇市老手描述的一样：“我认为我比别人聪明，因此我听不进老手的建议，我觉得我能找到一套完美的系统，然后使用他盈利，因此我使用极高的杠杆，过度交易，别人说我疯了，但是我自己一点也不这样认为，因为我觉得我比别人聪明”。
于是，我一点也没能逃过预言，越来越大的亏损接踵而至。
前几个星期里，我经历了第四次250美元涨到1200美元，然后直接亏到0。
四次了。
长期的亏损让我已经对亏钱麻木，心理承受能力也大大的增强了。
我开始反思自己的做法。
当我意识到我永远不可能寻找到一种完美的方法来预测市场的时候，“资金管理”的概念便开始真正的被我开始理解了。
于是我开始疯狂的搜索根资金管理和交易哲学的有关的东西。
鞅理论
鞅定义
• 1、存在一概率空间{Ω,F ,P}，要求σ-代数F 是P-完备的，即对于任何A∈ F 且P(A) = 0， 对一切N ⊂ A都有N ∈ F 成立。 • 2、给定一个滤波（filter）。 • 3、如果对于任何n ≥ 0， Sn 的值被包含在 Fn 中，就称Sn 是Fn 可测的，或者使用梅 耶(Meyer)的术语，称Sn为Fn 适应的( Fn – adapted)。
• 一个随机变量的时间序列没有表现出任何 的趋势性(trend)，就可以称之为鞅； • 而如果它一直趋向上升，则称之为下鞅 (submartingale)；反之如果该过程总是在减 少，则称之为上鞅(supermartingale)。 • 实际上鞅是一种用条件数学期望定义的随 机运动形式，或者说是具有某种可以用条 件数学期望来进行特征描述的随机过程。
e rt ct
是否就是它在t时刻的“公平”市场价值， 就取决于在滤波Ft和测度P下是不是一个鞅。
ct e
r (T t )
E Max(ST K ,0) | Ft
P t
• 如果假设投资者是风险厌恶的，则对于任何 一种风险资产，一般要求： P r (T t ) Et e ST | Ft St
• t 是时间， Ft代表积累到t时刻的信息。停 时可以理解为某一随机事件第一次发生的 时刻。不妨假想我们对某些特定现象的发 生感兴趣：例如某个“黑色星期五”的出 现，我们对这些特定现象第一次出现的时 刻T (ω)给予特别的注视。很明显事件{ω,T (ω) ≤ t}的发生，当且仅当这一现象出现在t 时刻上或者t 时刻之前。应当是积累到那个 时刻的信息集的一部分。
第六章 鞅理论及其应用
第一节鞅的简单介绍
• 鞅这个术语早在20 世纪30 年代首先由 Ville(1939)引进，但是基本概念来自于法国 概率学家列维(Levy，1934)。但是真正把 鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布 (Doob)，他于1953 年的名著《随机过程》 一书中介绍了(包括上鞅分解问题在内的)他 对于鞅论的系统研究成果。它引起了一般 过程理论的研究，从此鞅成为现代概率和 随机过程的基础，而且在决策和控制模型 等方面有着重要应用，并得到快速发展。
《金融衍生品》课件_第06章_远期与期货的定价
第二节 期货和远期定价公式
• 一、无套利定价方法 • 二、无收益资产远期合约的定价 • 三、支付已知现金收益资产远期合约的定价 • 四、支付已知收益率资产远期合约的定价
第二节 期货和远期定价公式
• 一、无套利定价方法
• 复制无套利定价法的基本思路为：构建两种投资组合，让 其终值相等，则其现值一定相等；否则就存在套利机会， 套利者可以卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投 资组合，并持有到期末，赚取无风险收益。
一、短期国库券期货合约（Treasury Bill Futures）
（二）短期国库券以及短期国库券期货的报价
• （1）短期国库券报价
（2）短期国库券期货报价
（三）基本点
• IMM 13周国库券期货的最小变动价位和每日波动 限价用则用“基本点”来表示。
• 所谓“基本点”（Basic Point），是指1个百分点 的百分之一。表6－2中最小变动价位栏里的0.01 点所代表的最小变动价位就为1个基本点，即年收 益率变动的最小幅度为0.01%。
• 最后，融资融券交易机制的存在为市场参与者提供了一 种兼具投资与保值双重功能的投资形式。
• 但是，从另一方面看，融资融券交易机制也有扰乱市场的 负面作用，融资融券交易行为在通过保证金交易方式降低 交易成本的同时也创造出了虚拟的供应和需求，这会可能 会导致市场信号的失真 。
三、远期和期货鞅定价分析
• 但是，在对消费型资产期货进行定价时，由于大部分的资产是 用于消费而非投资，持有者并不愿意Байду номын сангаас出资产而持有期货，也 就是说，期现套利只在一个方向上有效。因此，我们并不能得 到消费型资产期货的准确定价，只能得到它的上限。
• 在后续内容中，如无特殊说明，资产指的是投资型资产。
第六章 鞅方法定价(金融衍生品定价理论讲义)
第六章 鞅方法定价在上一章的二项树模型下，我们证明了，当完备市场中不成在套利机会时，市场存在唯一概率——等价鞅测度——可以 用来给期权和期货定价。
在这一章，我们先在二项树模型下详细解释等价鞅测度的含义。
接着，我们讨论一般结果。
我们将证明，这个结果在比二项树模型更复杂的经济系统中也成立。
在许多背景下，我们并不需要利用市场均衡来给衍生资产定价，而是利用套利定价原理来进行定价——如果证券市场不存在套利机会，则衍生证券的价格完全由别的长期证券的价格过程来决定。
在这个定价的过程中，我们通常把一个长期证券集的价格过程视为给定而来进行定价。
这样就自然产生一个问题：如何确定被我们视为给定的价格过程不存在套利机会？ 价格过程不存在套利机会的充分必要条件是，通过变换概率测度和对价格过程进行某种正规化之后，这些价格过程是鞅过程。
无套利和鞅过程之间的这种特殊关系也可以直接用来对衍生证券进行定价。
作为一个应用，我们将用这种方法来对期权进行定价，得到期权定价的一种新的方法。
1．二项树模型中的等价鞅测度在二项树模型中模型图1一期二项式生成过程这里∆-t S =股票在时间∆-t 的价格 q =股票价格上涨的概率 r f =一期的无风险利率u =股票价格上涨的乘子)11(>+>fr ud =股票价格下跌的乘子()011<<<+d r f在每一期末，股票价格或者以概率q 涨为∆-t uS ，或者以概率1-q 跌为∆-t dS 。
每期的无风险利率为r f 。
对r f 的限制为u r d f >+>1，这是无套利条件。
直观地可以看出，无论是1+>>r u d f （这时，无风险利率总比股票的风险回报率高）还是u d r f >>+1（这时，无风险利率总比股票的风险回报率低），都存在套利机会。
等价鞅测度的含义： 等价的含义：当实际的概率为正时，p 也为正。
条件期望直观解释：在某种条件下的期望值。
鞅方法在股指期权定价中的应用
ｒ－
（ （（ ） （ （（ ）
）
１２ Ｑ σ ｔ＋σ ΔＷｔ － Ｘ ＝ ２
） ） ） ）
０
Ｑ ， 随机过程 Ｗｔ ｓ ａ ｎ ｏ ｖ 定理得 ： ０ ≤ｔ ≤ Ｔ 是 Ω， Ｆ，
（
） （
）， 由 引 理 ２ 通 过 解 其 中 ， Ｚ ～ Ｎ（ ０， １ １２ ） Ｓ ｅ ｘ Ｔ －ｔ Ｔ －ｔ Ｚ － Ｘ ＝ ０， ＋σ 槡 ｐ ｒ－ σ （ ０ ２
［］ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ１ 模型出 发 利 用 等 价 鞅 测 度 定 理 得 到 了 股
股票 ， 它们分别满足
Ｐ ， （ ） ｄ Ｓ Ｓ ｄ ｔ＋σ Ｓ ｄ Ｗｔ ０ ≤ｔ ≤ Ｔ） １ （ ｔ ＝μ ｔ ｔ
１ － （ ） Ｂ Ｂ ｄ ｔ ０ ≤ｔ ≤ Ｔ） ． ２ （ ｔ ｄ ｔ ＝ｒ 其中 ： Ｓ ｔ 时刻的价格 ； Ｂ ｔ 代表股票在 ｔ 代表债券 ； μ 表示股票的期望收益率 ； ｒ 为无风险 σ 表示波动率 ；
（ ∫
ｔ
ｒ－μ Ｐ １ ｄ Ｗｓ － ０ ２ σ
∫（
ｔ
０
ｒ－μ ｄ ｓ ＝ σ
２
））
２
ｒ－μ Ｐ １ ｒ－μ ｅ ｘ ｔ． ΔＷｔ － ｐ ２ σ σ
ｄ Ｑ， １ Ｐ 令Ｚ 因为 Ｅ ｅ ｘ ｐ ｔ ＝ ｄ Ｐ ２
ｔ
２
（
１ 模型与公式
１． １ 模型的基本假设 ） 市场为有效的无摩擦市场 ， 有两种资产 ： 一种 １ 是无风险资产 ， 称 为 债 券， 另 一 种 是 风 险 资 产， 称为
［ （ ） 文章编号 ］ １ ０ ０ ３－４ ６ ８ ４ ２ ０ １ １ ０ ５ ０ ０ ９ ６ ０ ３ － －
鞅方法在股指期权定价中的应用
《应用随机过程》-课程教学大纲
《应用随机过程》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：16055502课程名称：应用随机过程英文名称：Applied Stochastic Processes课程类别：专业课学时：32学分： 2适用对象:财经类专业本科生考核方式：考试先修课程：微积分、线性代数、概率论二、课程简介中文简介紧抓课程改革核心环节，不断提升教学质量，将“课程思政”作为融合德育与智育的融合主渠道，是逐步实现“立德树人”的综合教育理念的前进方向。
《应用随机过程》是面向经济统计专业三年级学生开设的一门必修课，随机过程通常被视为概率论的动态部分，即研究的是随机现象的动态特征，着重对随时间和空间变化的随机现象提出各种不同的模型并研究其内在的性质与相互联系。
具有较强的理论性。
该学科在社会科学、自然科学、经济和管理等各个领域中都有广泛的应用，培养学生的科学精神，探索自然和人类的奥秘。
英文简介The course Applied Stochastic Processes is one of the compulsory courses for the junior undergraduates majoring in Economic Statistics,which is usually viewed as the dynamic part of probability theories. It focuses on the dynamic feature of stochastic phenomena and emphasizes modeling the stochastic phenomena varying with time and space .Moreover,it explores the inner property and relationship among various models and it is quite theoretical and widely used in social science,natural science,Economic and management science etc.三、课程性质与教学目的本课程是经济统计专业一门应用性很强的专业课。