衍生品定价的girsanov变换及鞅方法原理

衍生品定价的girsanov变换及鞅方法原理

下面是从一个论坛上转帖的，希望能对正在学习风险中性变换中Girsanov变换的同学有些帮助~~（其实我自己都云里雾里的）

你不要把girsanov变换看得那么神秘。我估计不少人现在对这个变换也是仅得其形未得其

实：让他们做题死套都能得高分，但没有几个明白其中原理。所以我一再强调，即使对于

数学，也要理解其物理含义。没有弄明白物理含义的数学，就等价于没有学懂。girsanov变换，本质上就是：

前提：给定一个随机变量，其对应一个分布函数A。

变换：现在让此随机变量增加一个漂移（注意，增加漂移后的随机变量不再是原来那个随

机变量，这应很好理解）。

计算：计算出新随机变量的分布函数B。

从分布函数A计算出分布函数B的过程，就是girsanov变换——因为girsanov 给出了以漂移

量为参数，直接从分布函数A计算出分布函数B的通式。

就这么简单。大家学过起码的概率论的同学，应该还记得怎么把任何一个正态分布转化为

标准正态分布，然后查标准正态表，计算出原正态分布下的各种数值的做法吧？那就是gi

rsanov变换，减掉一般正态分布的漂移量，使其期望值为零——呵呵弄个骇人的名字，就

是鞅。然后对方差处理为1。

简单说，就是把复杂难以计算的分布，转化为标准分布，根据标准分布计算出的数据，返

回去再计算原分布下的数据。

这么一个东西，显然是没有任何神奇在里面的。

准确地说，girsanov变换，应叫做：“随机运动平移的概率分布计算通式”。呵呵这个名

字一起，同学们的神秘感就会消失了吧？所以很多学问，与其说太深奥，不如说其名字起

得太悬乎，大家花在名字理解上的时间，比去推导还要多。

那么，期权定价的girsanov变换，导致的风险中性概率又是如何来的呢？凭借我上面的解

释，girsanov不能有那么神奇的力量，居然能脱离科学关系分析，纯粹通过数学变换，计

算出科学关系来——这简直就是神。

其实，期权定价的此变换之前，首先就确定一个科学内容的前提：均衡价格下，任何资产

任何时候，以无风险利率贴现到当前的值之期望值相等。

呵呵以学术性的术语说，就是：任何资产任何时候，以无风险利率贴现到当前的值是鞅。

只不过大家对前一种表述都能明白；后一种表述，就都不明白罢了。

按道理说，资产价格的实际漂移率显然不是无风险利率，而是此资产的风险收益率。那么

通过girsanov变换，是可以消掉此资产的风险收益率漂移项，把资产价格的随机运动转化

为标准维纳运动，根据标准维纳运动计算出的数据，返回去计算平移前风险分布下的数据

。

——这个办法理论上可以，但问题是算了半天，证券风险还是原来的风险，那对算期权半

点用处没有。所以这个办法搞不定。但诸位可以对girsanov变换的作用有进一步认识了。

所以，期权定价就要动用均衡价格下的风险－收益率等效用原理了。即，均衡价格下，任

何资产任何时候，以无风险收益率贴现的现值之期望相等——当然，此时无风险收益率对

应的风险为何，期权定价理论是没有说的了。

但期权理论隐含承认：只要可以无风险收益率贴现，则风险—偏好因素再不需要考虑——

这个结论也是预先假定的科学结论，而不是通过什么测度变换来证明的。

事实上，我以为，这个科学关系的认定，是首先根据ＢＳ公式，发现有这么一个无风险利

率代换及概率模样东西，然后霸王硬上弓对照提出科学关系——即西方经济学常干的，先

稀里糊涂计算出结论，然后把结论认作前提，返过去计算出种种关系。

这样，第二步：将资产未来价格的无风险贴现，通过微分展开，获得一个含漂移的随机运

动。（这个大家很好理解吧？明明资产的风险收益率高于无风险收益率，你却偏偏用无风

险收益率贴现，则随着时间变化，当前的贴现值当然要增长）。

第三步：可是科学关系要求：无风险折现的现值没有漂移。好了，girsanov用上了。即用

girsanov，把漂移值去掉（即为鞅），获得的新概率分布，不就可以保证科学关系成立了

么？

这个获得的新概率分布，就是所谓的风险中性概率。

特别地，大家看到，这里girsanov测度变换，不是对资产自身随机运动的变换。考虑无风

险贴现之科学关系时，把无风险收益率和资产自身随机运动通过贴现组合在一起，形成的

新随机运动，新随机运动中，必定出现风险收益率与无风险利率之差距而导致的漂移。gi

rsanov变换，则是消掉新随机运动中的漂移。

同样，这个概率模样的东西，也不是真正的概率。它只是科学关系的均衡价格之效用等价

限制下，计算出来的概率模样的东西。虽然它不是概率，但其数学形式与概率完全一样，

所以概率变换的内容仍然适用。

再次要说的是，它也根本不是资产价格随机运动的平移，即不是资产价格实际分布函数通

过girsanov变换来的。以学术语言说：新概率，不是资产价格实际概率测度的girsanov变

换。

它是资产价格随机运动，减去同样贴现值的无风险资产价格运动之差（其差为带漂移的随

机运动），通过girsanov变换而得到。

这种变换，已经不再是通过变换后的函数，计算变换前的函数值，而是，直接把变换后的

函数，作为满足科学关系的函数。

其变换后的函数，能够不通过变换前函数，就用于计算的条件，就是科学前提之许可：它

可以这么做。

换言之，如果没有科学理论的支持，则，任何计算，其girsanov变换，只是使得计算更简

单，但必须最后要回到变换前的函数，根据变换前后的变量关系，计算出原函数的各种数