衍生品定价的girsanov变换及鞅方法原理
如何进行金融衍生品的定价
如何进行金融衍生品的定价金融衍生品的定价是金融市场中的核心问题之一，它涉及到金融工具的确定价格，不只是对风险进行定价，同时也涵盖了市场流动性和其他市场因素的考虑。
本文将介绍如何进行金融衍生品的定价。
一、理论定价模型的介绍金融衍生品的定价主要基于理论定价模型，其中最著名的理论定价模型是Black-Scholes模型。
该模型是由Black和Scholes于1973年提出的，被广泛应用于期权的定价。
Black-Scholes模型基于几个关键因素，包括标的资产价格、期权执行价格、剩余期限、无风险利率和标的资产价格波动率等。
二、市场因素的考虑除了理论定价模型所需的基本参数外，金融衍生品的定价还需要考虑市场因素。
这些因素可能包括风险偏好程度、市场流动性、交易成本和市场预期等。
这些因素会对金融衍生品的价格产生影响，需要在定价模型中加以考虑。
三、隐含波动率的估计在金融衍生品的定价中，波动率是一个重要的参数，它反映了标的资产价格的波动程度。
然而，波动率无法直接观测到，需要通过一定的方法进行估计。
其中一种常用的方法是通过市场上相同或类似衍生品的交易价格来反推隐含波动率。
通过对市场上的交易数据进行分析，可以得出相应的隐含波动率估计结果，从而用于金融衍生品的定价。
四、模型的风险管理金融衍生品的定价中需要考虑风险的管理，主要有市场风险和对冲风险。
市场风险是指金融市场波动对金融衍生品价格的影响，而对冲风险是指持有金融衍生品的交易对手方无法履约的风险。
在定价模型中，需要对这些风险进行合理的管理，以保证持有人的权益。
五、实践中的定价方法在金融市场实践中，还存在许多不同的定价方法，如蒙特卡洛模拟、二叉树模型、离散时间模型等。
这些方法可以根据具体情况选择合适的方法进行定价。
同时，还需要根据市场的实际状况和特点进行调整，以使定价结果更加准确和可信。
六、风险管理的重要性在金融衍生品的定价过程中，风险管理起着重要的作用。
合理的风险管理可以降低交易风险，保护个别投资者和市场的稳定。
中证培训-金融衍生品高级研修班课堂笔记四
中证培训——“金融衍生品高级研修班”课堂笔记（四）衍生品定价模型、参数估计与风险管理2015年5月26日至5月31日，中国证券业协会在厦门举办了《金融衍生品高级研修班》。
由国务院学科评议组成员、厦门大学金融学国家重点学科学术带头人、厦门大学证券研究中心主任郑振龙教授和厦门大学金融工程研究中心主任陈蓉教授担任主讲，并邀请了三位业界专家——中证报价系统衍生品业务部高级经理肖华、华泰证券金融创新部副总经理李升东和招商证券衍生投资部期权做市业务负责人邓林进行交流。
来自全国51家证券公司及系统相关单位共计70名学员参加了培训。
培训班为期六天，课程内容包含5个模块：《期权基本原理与期权交易策略》、《奇异期权与结构型产品》、《金融衍生品与金融创新》、《衍生品定价模型、参数估计与风险管理》和《期权交易与做市商实务》。
本部分内容主要为衍生品定价模型、参数估计与风险管理：一、衍生品定价模型对于普通欧式期权，最常使用的就是Black-Scholes模型，而该模型有以下几个假设。
一是股票价格服从几何布朗运动，即dS Sdt Sdzμσ=+，二是允许卖空标的证券，三是假设没有交易费用和税收，所有证券都完全可分，四是衍生证券的有效期内标的证券没有现金收益支付，五是不存在无风险套利机会，六是假设证券交易是连续的，价格变动也是连续的，七是假设无风险利率为常数。
基于以上假设，BSM 偏微分方程的推导，具体如下。
设f 是依赖于股价的衍生证券，根据伊藤引理可得，222212f f f f df S S dt Sdz S t S S μσσ⎛⎫∂∂∂∂=+++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ，在中，f 的价值变化满足222212f f f f f S S t S z S t S S μσσ⎛⎫∂∂∂∂∆=++∆+∆ ⎪∂∂∂∂⎝⎭，由于假设了股票价格服从几何布朗运动，同时为了消除风险源，因此构建一个包括1单位衍生证券的空头和f S ∂∂单位标的证券的多头组合，令∏代表该组合的价值，则f f S S ∂∏=-+∂，该组合在后组合变化为ff S S ∂∆∏=-∆+∆∂，带入和服从的随机微分方程即可得222212f f S t t S σ⎛⎫∂∂∆∏=--∆ ⎪∂∂⎝⎭，由于消除了风险，组合价值应该获得无风险收益，即r t ∆∏=∏∆，因此可得222212f f f S t r f t t S S σ⎛⎫∂∂∂⎛⎫+∆=-∆ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭，化简就有222212f f f S rS rf t S S σ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭，这就是著名的BSM 微分方程，它适用于其价格取决于S 的所有衍生证券的定价。
金融衍生数学PPT课件
•
45
•
46
•
47
•
48
•
49
•
50
•
51
•
52
与Girsanov定理有关的讨论
•
53
•
54
2. 前面的例子中，μ与时间独立，而这里的Xt 则依赖于某个随机变量（只要这个随机数量在 t时刻是已知的）。这就是使Xt成为It适应的原 因。因此，我们可以对漂移项进行更为复杂的 变换。
59
•
60
•
61
•
62
•
63
•
64
•
65
•
66
产生等价概率的方法
与Girsanov定理所见到的一样，我们可以用一 种有趣的方法来由鞅产生概率。
例如，假设随机过程Zt只能取非负值，假设所 选择的随机过程Z具有如下性质：
在概率P下对所有的t有：
EP[Zt]=1
0≤Zt
我们将说明这样的Z对产生新概率非常有用。
3
作为“测度”的概率
•
4
•
5
•
6
ห้องสมุดไป่ตู้ •
7
•
8
•
9
-5
0
z
10
以μ=-5为中心的密度函数可以变换成另外 一种概率密度，密度的中心变为了 μ=0 第二种方法是改变分布的形状，一种方法 是增加或减少分布的方差，对原始随机变 量进行尺度变换。下图对这种情形进行了 说明。随机变量zt的方差由4变为了1.
82
感谢您的观看与聆听
本课件下载后可根据实际情况进行调整
83
67
•
68
•
69
•
基于Hull-White利率下O-U过程的复合期权定价
基于Hull-White利率下O-U过程的复合期权定价王向荣;薛瑶瑶【摘要】采用Hull White模型和指数O-U过程来刻画利率和股票价格的变化规律,考虑到标的资产价格和利率的随机性与均值回复性,利用鞅理论和Girsanov定理,研究了股票价格在随机利率下遵循指数OU过程的复合期权定价问题,得到了复合期权的定价公式.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(053)001【总页数】6页(P20-25)【关键词】复合期权;Hull-White利率;指数O-U过程;鞅定价;计价单位转换【作者】王向荣;薛瑶瑶【作者单位】山东科技大学数学与系统科学学院,山东青岛266590;山东科技大学金融工程研究所,山东青岛266590【正文语种】中文【中图分类】F830.9随着金融衍生品市场不断发展，复合期权作为一种新型期权成为期权定价研究领域内的热点问题之一.它是指以金融期权合约本身作为标的物的金融期权交易，通常以利率工具或外汇为基础.投资者常在波幅较高的时期内购买复合期权，以减轻因标准期权价格上升而带来的损失.因此，考虑不同模型下的复合期权定价问题具有十分重要的意义.近年来，复合期权的定价问题逐渐被众多学者关注.李翠香研究了随机利率下，股票价格遵循跳-扩散过程的复合期权定价问题，利用鞅方法得到欧式复合期权定价解析公式[1]；杨淑彩等借助保险精算法研究了常利率下股票价格遵循O-U过程的复合期权定价问题并得到其定价公式[2]；徐聪聪等利用保险精算和等价鞅测度下对复合期权进行定价，得到两种不同方法下的欧式复合期权定价公式[3]，进一步推广了Geske的结论.在现实的金融市场中，利率在较短时间内往往表现出一定随机性，从长远看，利率的变化有向其均衡水平靠拢的趋势，资产的价格也常在上升一定高度后有下降的趋势，这种均值回复行为在金融市场是十分普遍的.因此，本文建立在金融市场完备无套利的基础上，考虑了利率和股票价格的随机性及均值回复特征，分别用Hull-White模型和指数O-U过程来对利率和股票价格变化规律进行刻画.利用计价单位转换的方法进行测度变换进而研究Hull-White利率[4]模型下，股票价格遵循指数O-U过程的复合期权定价问题，并得到了其定价公式，拓展了已有文献的结论.1 模型建立1.1 资产价格模型假定标的资产股票价格遵循指数O-U过程，即满足：dS(t)=S(t)μ(t)-αlnS(t)+σ1(t)S(t)dW(t)， S(0)=S0，(1)其中，μ(t)、σ1(t)分别为股票的期望收益率和波动率，二者皆为时间t的确定性函数；α为常数，W(t)为定义在完备概率空间(Ω，F，Ftt≥0，P)上的一维标准Brown运动，Ftt≥0连续、单调递增；记1.2 利率模型在风险中性概率测度Q下，假定利率服从Hull-White模型，即利率r(t)满足如下随机微分方程：dr(t)=θ(t)-ar(t)dt+σ2(t)dW2(t)，(2)其中，θ(t)、σ2(t)为时间t的确定性函数，分别表示利率的长期均衡水平和波动率，当θ(t)为常数时，上式即为Vasicek模型；a为常数， W2(t)为定义在概率测度Q 下的一维标准Brown运动，且与W1(t)的相关系数为ρ.故存在与W1(t)独立的Brown运动W*(t)，使得：(3)2 模型求解引理1[6] 假设股票价格过程满足指数O-U过程(1)，令若则存在唯一等价的测度Q，满足：(4)使得在Q下为鞅，令W1(t)=W(t)+θ(s)ds，则由Girsanov定理知，在Q下W1(t)为Brown运动，且由Ito公式知：S(t)=(5)引理2 若随机利率服从Hull-White模型，即满足(2)式，则有(6)r(s)ds=ζ(s，T)r(0)+θ(s)ζ(s，T)ds+σ2(s)ζ(s，T)dW2(s)，(7)其中，ζ(s，T)=e-a(u-s)ds.证明根据(2)式可得：d(eatr(t))=eat(θ(t)dt+σ2(s)dW2(t))，上式两边积分，进一步整理得：对等式两边进行积分有：r(s)ds=r(0)e-asds+令m(s，T)=e-a(u-s)ds，则r(s)ds=m(s,T)r(0)+θ(s)m(s,T)ds+σ2(s)m(s，T)dW2(s).引理3[7] 若股票价格S(t)遵循指数O-U过程即满足(1)式，则有：(8)证明零息票债券在t时刻的价格为P(t，T),其中T为零息票债券的到期日，且P(T，T)=1.由鞅理论知，当利率满足(2)式时，P(t，T)=exp-m(s，T)r(0)-且满足随机微分方程dP(t，T)=P(t，T)r(t)dt-σ2(s)m(s，T)dW2(t).由Ito公式得P(t，T)=P(0，T)expr(s)ds-由(5)式有=故引理4[8] 设则对任意实数a、b、c、d、k有(9)E[eXIX≥k1，Y≥k2]=(10)其中,N(·)为标准正态分布的分布函数，复合期权是一种期权的期权，给予持有者在某一约定日期(t=T1)以约定价格买入(卖出)一份在日后t=T2(T2>T1)到期实施敲定价格为K的看涨(看跌)的权利.因此复合期权有两个执行价格和两个到期日.由于受到两个到期日的影响，一个是复合期权的到期日，另一个是标的期权到期日[9].复合期权有4种类型：1) 在t=T1时刻购买看涨期权的期权，记为CC；2) 在t=T1时刻购买看跌期权的期权，记为CP；3) 在t=T1时刻出售看涨期权的期权，记为PC；4) 在t=T1时刻出售看跌期权的期权，记为PP.定理1 在随机利率下股票价格服从O-U过程，4种不同欧式复合期权在t时刻的鞅定价为：CC*(t，S(t)，P(t，T))=S(t)exp(ρ2σX2Y2)M(a，b，ρ)-(11)CP*(t，S(t)，P(t，T))=S(t)exp(ρ2σX2Y2)M(a，-b，-ρ)-P(t，T2)KM(a'，-b'，-ρ)+(12)PC*(t，S(t)，P(t，T))=P(t，T2)KM(-a'，b'，-ρ)-S(t)exp(ρ2σX2Y2)M(-a，b，-ρ)+(13)PP*(t，S(t)，P(t，T))=P(t，T2)KM(-a'，-b'，ρ)-S(t)exp(ρ2σX2Y2)M(-a，-b，ρ)-(14)其中：证明任一在T时刻的支付为H(T)的资产在时刻t∈0，T的价格为(15)其中，EQ·|Ft指风险中性概率测度Q下的基于Ft的条件期望，为折现过程[10].Geman等提出一种计价单位转换的方法，即如果不支付股息的资产的价格X(t)是一个在任意时刻t∈0，T几乎必然为正的适应随机过程，则存在一个在(Ω，F)上的新的概率测度QX，且任何资产价格与X(t)的比值是一个QX-鞅，X(t)可以看作计价单位.QX满足其中，为概率测度QX对Q的Radon-Nikodym导数[11].以零息票债券的价格P(t，T)作为计价单位，可得到新的概率测度根据定义及(7)式和(9)式，其对Q的Radon-Nikodym导数满足exp-σ2(s)ζ(s，T)dW2(s)-exp-ρσ2(s)ζ(s，T)dW1(s)-(16)由Girsanov定理知且在下，1(t)=W1(t)+ρσ2(s)ζ(s，T)ds;为Brown运动，从而执行条件ST1>S*等价于：整理为：令则有则ST1>S*⟺X1+Y1>k1，其中，S*是方程的根.执行条件ST2>K等价于：整理为：令则有则ST2>K⟺X2+Y2>k2.由无套利定价的鞅方法可知，基于欧式看涨期权的复合期权价格为：CC*(t，S(t)，P(t，T))=由引理4分别计算S(t)exp(ρ2σX2Y2)M(a，b，ρ),类似于(11)式，可证式(12)，(13)，(14).3 结束语利率是决定所有衍生产品价格的一个重要因素，也是影响金融市场变化的最基本因子.因此本文考虑了利率的随机性对股票价格的影响，引入Hull-White利率和股票价格服从指数O-U过程的市场模型，利用鞅理论和Girsanov定理的相关理论，得到4种欧式复合期权的定价公式，进一步丰富和拓展了B-S期权定价模型.参考文献：【相关文献】[1] 李翠香. 基于随机利率下跳-扩散过程的复合期权的定价[J].黑龙江大学自然科学学报， 2012，29(4):431-436.LI C X. Pricing compound options under jump-diffusion processes with stochastic interest rates[J].Journal of Natural Science Of Heilongjiang University， 2012， 29(4):431-436．(Ch)．[2] 杨淑彩. 股票价格遵循Ornstein-Uhlenbeck过程的复合期权定价[J].西安工程大学学报， 2014，28(30): 376-380．YANG S C. Compound option pricing under Ornstein-Uhlenbeck process[J].Journal ofXi’an Polytechnic University， 2014， 28 (28): 376-380.(Ch)．[3] 徐聪聪. 股票价格服从指数O-U过程的复合期权定价方法探析[J].湖南师范大学自然科学学报，2015， 38(3):74-79．XU C C. Analysis on pricing methods of compound option when stock price obeys exponential O-U process[J].Journal of Natural Science of Hunan Normal University， 2015，38(30):74-79.(Ch)．[4] HULL J， WHITE A. Valuing derivative securities using the explicit finite difference method[J].Journal of Financial and Quantitative Analysis， 1990， 25(1):87-100．[5] 闫海峰，刘三阳. 股票价格遵循指数O-U过程的最大值期权定价[J].工程数学学报，2004(3):397-402．YAN H F，LIU S Y. Pricing options on the Maximum of stocks driven by Ornsten-Uhlenback process[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics， 2004(3):397-402.(Ch)．[6] 魏广华，袁明霞. 随机利率下数字幂型期权的定价[J].西南师范大学学报， 2013， 38(12):55-60．WEI G H，YUAN M X. Pricing of digital Power-Option under stochastic interestrate[J].Journal of Southwest China Normal University， 2013， 38(12):55-60.(Ch)．[7] 刘敬伟. Vasicek随机利率模型下指数O-U过程的幂型期权鞅定价[J].数学的实践与认识，2009， 39(1):31-39．LIU J W. Pricing European Power-function option under exponential Ornstein-Uhlenbeck process and vasicek interest rate with martingale method[J].Mathematics in Practice and Theory， 2009， 39(1):31-39.(Ch)．[8] HARRISON J M， KREPS D M. Martingales and arbitrage in mulitiperiod securities market[J].Journal of Economic Theory， 1979， 20：381-408．[9] GERMAN H， KAROUI N E， ROCHET J C. Changes of numeaire， changes of probability measure and option pricing[J].Journal of Applied Probability， 1995， 32：443-458．[10] 周海林，吴鑫育. 随机利率条件下的欧式期权定价[J].系统工程理论与实践， 2011，31(4):729-734．ZHOU H L，WU X Y.Pricing European options under stochastic interest rate[J].Systems Engineering-Theory&Practice， 2011， 31 (4):729-734.(Ch)．[11] 邓国和. 随机波动率跳跃扩散模型下复合期权定价[J].数理统计与管理， 2015， 34(5):910-922．DENG G H .Pricing compound option in a stochastic volatility jump-diffusionmodel[J].Journal of Applied Statistics and Management， 2015， 34(5):910-922.(Ch)．。
衍生品定价的girsanov变换及鞅方法原理
衍生品定价的girsanov变换及鞅方法原理下面是从一个论坛上转帖的，希望能对正在学习风险中性变换中Girsanov变换的同学有些帮助~~（其实我自己都云里雾里的）你不要把girsanov变换看得那么神秘。
我估计不少人现在对这个变换也是仅得其形未得其实：让他们做题死套都能得高分，但没有几个明白其中原理。
所以我一再强调，即使对于数学，也要理解其物理含义。
没有弄明白物理含义的数学，就等价于没有学懂。
girsanov变换，本质上就是：前提：给定一个随机变量，其对应一个分布函数A。
变换：现在让此随机变量增加一个漂移（注意，增加漂移后的随机变量不再是原来那个随机变量，这应很好理解）。
计算：计算出新随机变量的分布函数B。
从分布函数A计算出分布函数B的过程，就是girsanov变换——因为girsanov 给出了以漂移量为参数，直接从分布函数A计算出分布函数B的通式。
就这么简单。
大家学过起码的概率论的同学，应该还记得怎么把任何一个正态分布转化为标准正态分布，然后查标准正态表，计算出原正态分布下的各种数值的做法吧？那就是girsanov变换，减掉一般正态分布的漂移量，使其期望值为零——呵呵弄个骇人的名字，就是鞅。
然后对方差处理为1。
简单说，就是把复杂难以计算的分布，转化为标准分布，根据标准分布计算出的数据，返回去再计算原分布下的数据。
这么一个东西，显然是没有任何神奇在里面的。
准确地说，girsanov变换，应叫做：“随机运动平移的概率分布计算通式”。
呵呵这个名字一起，同学们的神秘感就会消失了吧？所以很多学问，与其说太深奥，不如说其名字起得太悬乎，大家花在名字理解上的时间，比去推导还要多。
那么，期权定价的girsanov变换，导致的风险中性概率又是如何来的呢？凭借我上面的解释，girsanov不能有那么神奇的力量，居然能脱离科学关系分析，纯粹通过数学变换，计算出科学关系来——这简直就是神。
其实，期权定价的此变换之前，首先就确定一个科学内容的前提：均衡价格下，任何资产任何时候，以无风险利率贴现到当前的值之期望值相等。
金融衍生品的定价与交易策略研究
金融衍生品的定价与交易策略研究近年来，金融衍生品作为一种风险管理工具广受关注。
衍生品的定价及交易策略对市场参与者来说至关重要。
在金融市场上，衍生品的定价和交易策略研究一直是热门话题。
因此本文将从何为金融衍生品定价，影响金融衍生品定价因素，及金融衍生品交易策略等方面进行较为全面的讨论。
一、何为金融衍生品定价金融衍生品定价是指根据资产价格的变动情况，利用各种利率、期权、指数、基础资产等信息来估计衍生品合约的公平价值。
相比于其他金融市场，衍生品市场的定价较为复杂。
衍生品交易中最常用的定价方法是模型法，其中最为常用的定价模型是Black-Scholes模型。
Black-Scholes模型除了可以用于期权定价，还可以用于股票指数期货和期权的定价及其他交易产品的定价。
Black-Scholes模型的核心是在为期权或期货找到一个对于该资产的合适的波动率(volatility)。
然后，利用当前股票价格、行权价、剩余期限、无风险利率以及波动率等参数，来计算出期权的公允价格。
Black-Scholes模型的存在，大大方便了人们对期权、期货等金融衍生品的交易与定价。
二、影响金融衍生品定价的因素影响金融衍生品定价的因素主要有以下几个方面：1、基础资产价格的波动率由于伪随机波动幅度的增大，资产波动率作为一个刻画资产价格波动情况的指标，会影响金融衍生品的定价。
在资产价格变动的过程中，若资产价格波动率增加，则该合同的公平价格也会随之增加。
反之，如果资产价格波动率减小，则该合同的公平价格也会随之减小。
因此，掌握基础资产价格的波动率，可以帮助交易者更准确地估计金融衍生品的公平价格。
2、利率的变化利率也是影响金融衍生品定价的重要因素。
在以利率为基础的金融衍生品合同中，如果利率上升，这意味着买方要承担更大的成本，也会导致该金融衍生品的价格下降。
反之，如果利率下降，则期权价格上升。
因此，利率的变化对于金融衍生品的合理定价有着重要影响。
衍生证券教程-理论和计算
前言本书出自作者在圣路易斯华盛顿大学和维也纳高等研究院给金融专业的硕士研究生和MBA研究生的授课笔记。
以前，期权和期货课程被认为是金融学的高级选修课，而现在几乎成为了所有金融专业的必修课，并且很多非金融专业的学生也来选修这些课程。
在投资学、国际金融、风险管理、投资银行、固定收益等课程中，也会遇到衍生证券的内容。
衍生证券在教学内容中的蔓延，反映出其在公司财务和投资管理中日益增加的重要性。
MBA 课程和本科课程的有关内容，大多将重点放在如何利用衍生证券进行对冲和投机上（这样做也是合适的），对许多学生来说这些内容已经足够，但对于衍生证券的销售者来说，除了解买方的需求之外，还面临定价和对冲的问题。
对衍生证券的购买者来说，掌握定价的有关知识能够在激烈竞争的证券销售市场上受益。
本书的重点是“定价和对冲”，通过学习定价和对冲的基本知识，学生对各种合约本身会有更深刻的理解。
当然，我也希望本书对实际工作者和金融工程专业的研究生具有使用价值，甚至对金融专业的博士生也有帮助。
本书关注的是无摩擦市场上衍生证券的定价和对冲，所谓“无摩擦”是指忽略交易成本（佣金、买卖价差以及交易对价格的影响）、保证金（担保）要求和任何形式的卖空限制。
无摩擦市场的定价和对冲理论来自Black、Scholes[6]和Merton[51]的工作。
这种理论以市场不存在套利机会为基础，已经发展得十分完善，成为有摩擦市场（即现实市场）上定价和对冲的基础。
不过，如果市场摩擦的影响十分显著，在很多重要的方面实际操作和理论会存在差别。
例如，如果交易者的交易对市场产生影响，或者交易者面临担保要求，无摩擦市场的套利机会就不再成为套利机会。
本书不讨论市场摩擦十分明显时如何用无摩擦市场的基础理论来指导实际操作。
本书省略掉的另一个内容是跳过程——本书只讨论二叉树模型和布朗运动模型。
本书主要用于衍生证券的高级课程，内容具有自足性，在第一章给出金融学的基本概念。
不过，本书不包括标准入门读物的内容（例如证券交易所的作用、盈亏图、套利策略等）。
数学与金融衍生品定价
数学与金融衍生品定价在金融市场中，衍生品定价是一项关键任务。
衍生品是一种金融工具，其价值来源于基础资产的变化。
了解和掌握数学定价模型对于正确评估和定价衍生品非常重要。
本文将介绍数学在金融衍生品定价中的应用和相关模型。
一、期权定价模型期权作为一种重要的衍生品，其价格是由多种因素决定的，包括标的资产价格、行权价格、到期时间、无风险利率、波动率等。
经典的期权定价模型有布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）模型和它的变体。
布莱克-斯科尔斯模型是一种基于假设的定价模型，假设标的资产价格服从几何布朗运动，并且市场不存在无风险套利机会。
通过偏微分方程的求解，可以得到期权的理论价格，从而进行定价和风险管理。
二、波动率模型波动率是期权定价中的一个重要参数，反映了市场对标的资产价格的未来波动性的预期。
准确估计波动率是衍生品定价的关键。
常用的波动率模型有历史波动率模型和隐含波动率模型。
历史波动率模型基于过去的价格数据计算波动率，满足市场历史数据的特点。
隐含波动率模型基于期权市场的定价数据计算波动率，反映了市场对未来波动率的预期。
三、衍生品的风险管理在金融市场中，衍生品的定价和风险管理是密切相关的。
通过正确的定价，可以对衍生品进行合理的风险管理。
通过动态对冲策略，投资者可以在期权合约到期之前对风险进行有效管理。
动态对冲策略基于布莱克-斯科尔斯模型，通过持有标的资产和衍生品的组合来实现对冲。
根据标的资产价格的变化，动态调整对冲组合的仓位，以达到降低风险的目的。
四、数学在其他金融衍生品中的应用除了期权之外，数学在其他金融衍生品的定价中也发挥着重要作用。
例如，期货合约是一种衍生品，其价格与标的资产的现货价格之间存在着一种合理的关系。
数学模型可以帮助我们理解期货合约的价格形成机制，并进行定价和风险管理。
另外，利率衍生品和信用衍生品也是金融市场中常见的衍生品。
通过数学定价模型，我们可以对这些衍生品的价格进行合理估计，并采取相应的风险管理措施。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
衍生品定价的girsanov变换及鞅方法原理
下面是从一个论坛上转帖的，希望能对正在学习风险中性变换中Girsanov变换的同学有些帮助~~（其实我自己都云里雾里的）
你不要把girsanov变换看得那么神秘。
我估计不少人现在对这个变换也是仅得其形未得其
实：让他们做题死套都能得高分，但没有几个明白其中原理。
所以我一再强调，即使对于
数学，也要理解其物理含义。
没有弄明白物理含义的数学，就等价于没有学懂。
girsanov变换，本质上就是：
前提：给定一个随机变量，其对应一个分布函数A。
变换：现在让此随机变量增加一个漂移（注意，增加漂移后的随机变量不再是原来那个随
机变量，这应很好理解）。
计算：计算出新随机变量的分布函数B。
从分布函数A计算出分布函数B的过程，就是girsanov变换——因为girsanov 给出了以漂移
量为参数，直接从分布函数A计算出分布函数B的通式。
就这么简单。
大家学过起码的概率论的同学，应该还记得怎么把任何一个正态分布转化为
标准正态分布，然后查标准正态表，计算出原正态分布下的各种数值的做法吧？那就是gi
rsanov变换，减掉一般正态分布的漂移量，使其期望值为零——呵呵弄个骇人的名字，就
是鞅。
然后对方差处理为1。
简单说，就是把复杂难以计算的分布，转化为标准分布，根据标准分布计算出的数据，返
回去再计算原分布下的数据。
这么一个东西，显然是没有任何神奇在里面的。
准确地说，girsanov变换，应叫做：“随机运动平移的概率分布计算通式”。
呵呵这个名
字一起，同学们的神秘感就会消失了吧？所以很多学问，与其说太深奥，不如说其名字起
得太悬乎，大家花在名字理解上的时间，比去推导还要多。
那么，期权定价的girsanov变换，导致的风险中性概率又是如何来的呢？凭借我上面的解
释，girsanov不能有那么神奇的力量，居然能脱离科学关系分析，纯粹通过数学变换，计
算出科学关系来——这简直就是神。
其实，期权定价的此变换之前，首先就确定一个科学内容的前提：均衡价格下，任何资产
任何时候，以无风险利率贴现到当前的值之期望值相等。
呵呵以学术性的术语说，就是：任何资产任何时候，以无风险利率贴现到当前的值是鞅。
只不过大家对前一种表述都能明白；后一种表述，就都不明白罢了。
按道理说，资产价格的实际漂移率显然不是无风险利率，而是此资产的风险收益率。
那么
通过girsanov变换，是可以消掉此资产的风险收益率漂移项，把资产价格的随机运动转化
为标准维纳运动，根据标准维纳运动计算出的数据，返回去计算平移前风险分布下的数据。
——这个办法理论上可以，但问题是算了半天，证券风险还是原来的风险，那对算期权半
点用处没有。
所以这个办法搞不定。
但诸位可以对girsanov变换的作用有进一步认识了。
所以，期权定价就要动用均衡价格下的风险－收益率等效用原理了。
即，均衡价格下，任
何资产任何时候，以无风险收益率贴现的现值之期望相等——当然，此时无风险收益率对
应的风险为何，期权定价理论是没有说的了。
但期权理论隐含承认：只要可以无风险收益率贴现，则风险—偏好因素再不需要考虑——
这个结论也是预先假定的科学结论，而不是通过什么测度变换来证明的。
事实上，我以为，这个科学关系的认定，是首先根据ＢＳ公式，发现有这么一个无风险利
率代换及概率模样东西，然后霸王硬上弓对照提出科学关系——即西方经济学常干的，先
稀里糊涂计算出结论，然后把结论认作前提，返过去计算出种种关系。
这样，第二步：将资产未来价格的无风险贴现，通过微分展开，获得一个含漂移的随机运
动。
（这个大家很好理解吧？明明资产的风险收益率高于无风险收益率，你却偏偏用无风
险收益率贴现，则随着时间变化，当前的贴现值当然要增长）。
第三步：可是科学关系要求：无风险折现的现值没有漂移。
好了，girsanov用上了。
即用
girsanov，把漂移值去掉（即为鞅），获得的新概率分布，不就可以保证科学关系成立了
么？
这个获得的新概率分布，就是所谓的风险中性概率。
特别地，大家看到，这里girsanov测度变换，不是对资产自身随机运动的变换。
考虑无风
险贴现之科学关系时，把无风险收益率和资产自身随机运动通过贴现组合在一起，形成的
新随机运动，新随机运动中，必定出现风险收益率与无风险利率之差距而导致的漂移。
gi
rsanov变换，则是消掉新随机运动中的漂移。
同样，这个概率模样的东西，也不是真正的概率。
它只是科学关系的均衡价格之效用等价
限制下，计算出来的概率模样的东西。
虽然它不是概率，但其数学形式与概率完全一样，
所以概率变换的内容仍然适用。
再次要说的是，它也根本不是资产价格随机运动的平移，即不是资产价格实际分布函数通
过girsanov变换来的。
以学术语言说：新概率，不是资产价格实际概率测度的girsanov变
换。
它是资产价格随机运动，减去同样贴现值的无风险资产价格运动之差（其差为带漂移的随
机运动），通过girsanov变换而得到。
这种变换，已经不再是通过变换后的函数，计算变换前的函数值，而是，直接把变换后的
函数，作为满足科学关系的函数。
其变换后的函数，能够不通过变换前函数，就用于计算的条件，就是科学前提之许可：它
可以这么做。
换言之，如果没有科学理论的支持，则，任何计算，其girsanov变换，只是使得计算更简
单，但必须最后要回到变换前的函数，根据变换前后的变量关系，计算出原函数的各种数
据。
因此，从期权定价的girsanov变换过程及其物理意义，我们可以看到，科学上的均衡价格
和均衡价格下收益－风险等效用原理，才是其前提。
它是在这个前提下进行变换，而不是
说通过纯粹数学的变换居然能证明出前提。
也可以看出，风险中性概率，就是一个确定比例，根本不是真正意义上不确定的概率。
最简单的例子，如果没有科学上要求贴现值期望不随时间变化（资产价格为非均衡时，此
条件是不能满足的，必定有漂移值），则后面一系列推导都无法进行。
必须去掉非均衡价
格中的套利部分，才能进行其后的计算。
你说“我不得不怀疑，你的对衍生产品定价理论的认识还停留在70年代。
”
对此我的回答是：我的书中，反复强调大家要弄明白最基础的理论。
不要因为一个理论的
古老，就不去理解它——最前沿的理论，都是建立在这些基础理论之上。
你没有理解基础
理论，就不可能真正明白前沿理论。
最后再送一句话：数学永远只是语言，是符号系统。
科学是现实物质关系。
数学只能描述
科学，但不能创造科学。
如果一个科学结论缺乏相应的科学前提，则无论多么高明的数学
变换，也不能使这个科学结论成立。
记住这个结论，能省你很多力气。