第三讲金融工程定价方法
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金融工程课件-金融工程概述及四种定价方法
金融工程概述
金融工程是上世纪90年代初西方国家出现的一门新兴金融学科。它 运用工程技术的方法（数学建模、数值计算、网络图解、仿真模拟等）设计、 开发和实施新型金融产品，创造性地解决金融问题。金融工程学将工程思维 引入金融科学的研究，融现代金融学、信息技术与工程方法于一体，迅速发 展成为一门新兴的交叉性学科，在把金融科学的研究推进到一个新的发展阶 段的同时，对金融产业乃至整个经济领域产生了极其深远的影响。本章将从 金融工程产生和发展的背景入手，逐步介绍金融工程的概念、基本思想、基 本方法和基本工具，为深入学习掌握金融工程的核心知识打下良好基础。 金融工程利用工程技术来解决金融业的实际问题，这种工程技术包括 理论，工具和工艺方法。工艺方法是结合相关理论和工具来构造和实施一项 操作的过程中的布置和过程本身。支持金融工程的工艺方法有组合和成，新 创，剥离（本金和利息），分割（风险和收益）等，本章介绍了金融工程的 4种基本分析方法：无套利定价法，风险中性定价法，状态价格定价法和积 木分析法。
案例B 美国大通银行的指数存单II
1.1.3 信息技术进步的影响
信息技术的进步为金融工程的发展提供了技术上的支持、 物质条件、研究手段和新的发展空间。
首先，运用计算机软件开发出的各种计算和分析软件包， 为金融工程提供了开发和实施各种新型金融产品、解决财务金 融问题的有效手段。
其次，计算机和现代通讯技术的 应用，创造了全球性金融市场，促进 了各类金融机构开展金融工程活动。 第三，信息技术的发展还通过 影响其他环境因素或与其他因素共 同作用，对金融工程的发展产生了 深远的影响。
外汇期货：把外汇的交易用标准化的期货合约来表示。买卖双方在
规定的时期按照事先规定的汇率履行合约（或交割、或现金结算）。预 计将来收到外汇的出口商可以通过卖出外汇期货，弥补将来外汇汇率下 跌的损失；进口商则通过买进外汇期货，在一定程度上避免将来外汇汇 率上涨的风险。
金融工程是上世纪90年代初西方国家出现的一门新兴金融学科。它 运用工程技术的方法（数学建模、数值计算、网络图解、仿真模拟等）设计、 开发和实施新型金融产品，创造性地解决金融问题。金融工程学将工程思维 引入金融科学的研究，融现代金融学、信息技术与工程方法于一体，迅速发 展成为一门新兴的交叉性学科，在把金融科学的研究推进到一个新的发展阶 段的同时，对金融产业乃至整个经济领域产生了极其深远的影响。本章将从 金融工程产生和发展的背景入手，逐步介绍金融工程的概念、基本思想、基 本方法和基本工具，为深入学习掌握金融工程的核心知识打下良好基础。 金融工程利用工程技术来解决金融业的实际问题，这种工程技术包括 理论，工具和工艺方法。工艺方法是结合相关理论和工具来构造和实施一项 操作的过程中的布置和过程本身。支持金融工程的工艺方法有组合和成，新 创，剥离（本金和利息），分割（风险和收益）等，本章介绍了金融工程的 4种基本分析方法：无套利定价法，风险中性定价法，状态价格定价法和积 木分析法。
案例B 美国大通银行的指数存单II
1.1.3 信息技术进步的影响
信息技术的进步为金融工程的发展提供了技术上的支持、 物质条件、研究手段和新的发展空间。
首先，运用计算机软件开发出的各种计算和分析软件包， 为金融工程提供了开发和实施各种新型金融产品、解决财务金 融问题的有效手段。
其次，计算机和现代通讯技术的 应用，创造了全球性金融市场，促进 了各类金融机构开展金融工程活动。 第三，信息技术的发展还通过 影响其他环境因素或与其他因素共 同作用，对金融工程的发展产生了 深远的影响。
外汇期货：把外汇的交易用标准化的期货合约来表示。买卖双方在
规定的时期按照事先规定的汇率履行合约（或交割、或现金结算）。预 计将来收到外汇的出口商可以通过卖出外汇期货，弥补将来外汇汇率下 跌的损失；进口商则通过买进外汇期货，在一定程度上避免将来外汇汇 率上涨的风险。
金融工程课件-金融工程概述及四种定价方法共64页文档
。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
金融工程课件-金融工程概述及四种定 价方法
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
END
金融工程课件-金融工程概述及四种定 价方法
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
END
(金融工程)第三章远期与期货定价
8
当无风险利率恒定且所有到期日都相同时，交割日相同 的远期价格和期货价格应相等。
当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期 价格。
－ 这是因为当标的资产价格上升时，期货价格通常也会随
之升高，期货合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于 平均利率的利率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下跌时， 期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损，但是可按低于平均利 率的利率从市场上融资以补充保证金。相比之下，远期合约的多头 将不会因利率的变动而受到上述影响。在此情况下，期货多头比远 期多头更具吸引力，期货价格自然就大于远期价格。
标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一
单位无收益资产远期合约多头等价于一单位标的资产多
头和Ke-r（T－t）单位无风险负债的资产组合。 17
由于远期价格就是使远期合约价值为零的交割价格K，
即当 f =0时，K = F。据此可令式（3.1）中的 f =0，则
F Ser(T t)
(3.2)
在这种情况下，套利者可以按无风险利率r 借入S现金，
期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出
一份该资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，该
套利者就可将一单位标的资产用于交割换来K现金，并
归还借款本息Se r（T－t），这就实现了
K－Ser
（T－t） 的无风险利润。
22
若K<Se r（T－t），即交割价格小于现货价格的终值。 套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收 入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该 标的资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，套利 者收到投资本息Ser（T－t），并以K现金购买一单位标的 资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser （T－t）-K的利润。
当无风险利率恒定且所有到期日都相同时，交割日相同 的远期价格和期货价格应相等。
当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期 价格。
－ 这是因为当标的资产价格上升时，期货价格通常也会随
之升高，期货合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于 平均利率的利率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下跌时， 期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损，但是可按低于平均利 率的利率从市场上融资以补充保证金。相比之下，远期合约的多头 将不会因利率的变动而受到上述影响。在此情况下，期货多头比远 期多头更具吸引力，期货价格自然就大于远期价格。
标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一
单位无收益资产远期合约多头等价于一单位标的资产多
头和Ke-r（T－t）单位无风险负债的资产组合。 17
由于远期价格就是使远期合约价值为零的交割价格K，
即当 f =0时，K = F。据此可令式（3.1）中的 f =0，则
F Ser(T t)
(3.2)
在这种情况下，套利者可以按无风险利率r 借入S现金，
期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出
一份该资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，该
套利者就可将一单位标的资产用于交割换来K现金，并
归还借款本息Se r（T－t），这就实现了
K－Ser
（T－t） 的无风险利润。
22
若K<Se r（T－t），即交割价格小于现货价格的终值。 套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收 入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该 标的资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，套利 者收到投资本息Ser（T－t），并以K现金购买一单位标的 资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser （T－t）-K的利润。
金融工程3-远期与期货定价
风险管理的研究
随着市场的复杂性和风险的增加，风险管理成为研究的重点，如何有效地管理和控制风 险是当前研究的热点问题。
交易策略的研究
在交易过程中，如何制定有效的交易策略以提高投资回报是交易者关注的问题，学者们 正在研究更加科学和实用的交易策略。
感谢您的观看
THANKS
03
远期与期货的比较与联系
远期与期货的相似之处
基础资产
远期和期货合约都涉及某种基 础资产，如股票、外汇或商品
。
交割方式
两者通常都涉及在未来某一特 定日期交割基础资产。
价格变动
远期和期货价格都受到基础资 产价格变动的影响。
保证金制度
为了降低违约风险，两者都实 行保证金制度。
远期与期货的不同之处
标准化程度
期货合约的标的物可以是商品、金融 工具等，也可以是其他金融衍生品。
期货合约通常在交易所进行交易，具 有高流动性和低交易成本的特点。
期货合约的定价原理
无套利定价原则
期货合约的价格应与其标的物的价格变动趋势一 致，否则存在套利机会。
持有成本模型
期货合约的价格等于标的物的现货价格加上持有 成本（存储费用、资金成本等）。
动态调整
根据市场走势和投资目标，可以 灵活地买入或卖出远期或期货合 约，动态调整投资组合的风险和 收益。
远期与期货的实际交易案例
大豆远期合约交易
大豆种植者和加工商通过购买大豆远期合约，锁定未来大豆的采购和销售价格，规避价格 波动风险。
黄金期货交易
黄金期货合约在市场上交易活跃，投资者可以通过购买黄金期货合约，获得赚取收益的机 会，同时也可以对冲通货膨胀和货币贬值的风险。
远期合约的交易对手是确定的， 因为买卖双方在合约签订时已 经确定了对方的身份。
随着市场的复杂性和风险的增加，风险管理成为研究的重点，如何有效地管理和控制风 险是当前研究的热点问题。
交易策略的研究
在交易过程中，如何制定有效的交易策略以提高投资回报是交易者关注的问题，学者们 正在研究更加科学和实用的交易策略。
感谢您的观看
THANKS
03
远期与期货的比较与联系
远期与期货的相似之处
基础资产
远期和期货合约都涉及某种基 础资产，如股票、外汇或商品
。
交割方式
两者通常都涉及在未来某一特 定日期交割基础资产。
价格变动
远期和期货价格都受到基础资 产价格变动的影响。
保证金制度
为了降低违约风险，两者都实 行保证金制度。
远期与期货的不同之处
标准化程度
期货合约的标的物可以是商品、金融 工具等，也可以是其他金融衍生品。
期货合约通常在交易所进行交易，具 有高流动性和低交易成本的特点。
期货合约的定价原理
无套利定价原则
期货合约的价格应与其标的物的价格变动趋势一 致，否则存在套利机会。
持有成本模型
期货合约的价格等于标的物的现货价格加上持有 成本（存储费用、资金成本等）。
动态调整
根据市场走势和投资目标，可以 灵活地买入或卖出远期或期货合 约，动态调整投资组合的风险和 收益。
远期与期货的实际交易案例
大豆远期合约交易
大豆种植者和加工商通过购买大豆远期合约，锁定未来大豆的采购和销售价格，规避价格 波动风险。
黄金期货交易
黄金期货合约在市场上交易活跃，投资者可以通过购买黄金期货合约，获得赚取收益的机 会，同时也可以对冲通货膨胀和货币贬值的风险。
远期合约的交易对手是确定的， 因为买卖双方在合约签订时已 经确定了对方的身份。
第3章金融工程的基本分析方法(金融工程与风险管理-南
➢ 风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的 人为假定
➢ 联系：数学中的坐标变换、微观经济学中的 效用？
2021/8/5
▪ 应用案例2-2，在风险中性世界中，我们假定 该股票上升的概率为p，下跌的概率为1-p。 （虽然有实际的概率，但可以不管），如果风 险中性，则该股票无超额收益，这个风险中性 世界的概率是
2021/8/5
例子：状态价格法定价技术
▪ 假设有价证券的市场情况如下：PA＝100， r＝2％，u＝1.07，d＝0.98，T－t＝1， 若另外有一个证券B，其价格1年后可能 上升为103，也可能下降为98.5元，求证 券B的合理价格。
▪ 当股票价格上升到su时，我们假设期权 的收益为fu，如果股票的价格下降到sd时， 期权的收益为fd。
2021/8/5
无套利定价法的思路
▪ 首先，构造由m股股票多头和一个期权空 头组成的证券组合，并计算出该组合为 无风险时的m值。
令msu
fu
msd
f
，则
d
m fu fd (3.1) su sd
合成是建立在模仿的基础上
2021/8/5
案例2-3：模仿股票（the mimicking stock)
▪ 模仿股票：一个买权多头和一个卖权空头的组合。 ▪ 假设t时刻，股票买权和卖权的价格分别是ct和pt，
两个期权的执行价格都是X＝St（t时刻股票的价 格），到期日股票价格为ST。则到期日的收益为
2021/8/5
案例 2-5
▪ A其这是价就有格是风要市险么场证上的券升两，到种当状uP前态A，的：要价上么格升下P状A降，态到一（d年概PA后。 率是q）和下降状态（概率是1-q），由A 证券的价格变化可以构造两个基本证券。
➢ 联系：数学中的坐标变换、微观经济学中的 效用？
2021/8/5
▪ 应用案例2-2，在风险中性世界中，我们假定 该股票上升的概率为p，下跌的概率为1-p。 （虽然有实际的概率，但可以不管），如果风 险中性，则该股票无超额收益，这个风险中性 世界的概率是
2021/8/5
例子：状态价格法定价技术
▪ 假设有价证券的市场情况如下：PA＝100， r＝2％，u＝1.07，d＝0.98，T－t＝1， 若另外有一个证券B，其价格1年后可能 上升为103，也可能下降为98.5元，求证 券B的合理价格。
▪ 当股票价格上升到su时，我们假设期权 的收益为fu，如果股票的价格下降到sd时， 期权的收益为fd。
2021/8/5
无套利定价法的思路
▪ 首先，构造由m股股票多头和一个期权空 头组成的证券组合，并计算出该组合为 无风险时的m值。
令msu
fu
msd
f
，则
d
m fu fd (3.1) su sd
合成是建立在模仿的基础上
2021/8/5
案例2-3：模仿股票（the mimicking stock)
▪ 模仿股票：一个买权多头和一个卖权空头的组合。 ▪ 假设t时刻，股票买权和卖权的价格分别是ct和pt，
两个期权的执行价格都是X＝St（t时刻股票的价 格），到期日股票价格为ST。则到期日的收益为
2021/8/5
案例 2-5
▪ A其这是价就有格是风要市险么场证上的券升两，到种当状uP前态A，的：要价上么格升下P状A降，态到一（d年概PA后。 率是q）和下降状态（概率是1-q），由A 证券的价格变化可以构造两个基本证券。
3——第2章 金融工程的基本分析方法——状态价格定价法
▪ 启发：改变各个状态出现的概率，使风险资产的 回报率等于无风险收益率——超额收益率为0。
▪ 风险中性定价原理：在这个改变了概率的世界里， 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r，所 有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得 现值。
➢ 风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定
➢ 由于风险中性，人们只关心收益不考虑风险
金融工程的基本分析方法
2021/6/3
1
2.1 无套利定价法
▪ 定义2.1：套利是同时持有一种或者多种资 产的多头或者空头，从而存在不承担风险 的情况下锁定一个高于无风险利率的收益。
▪ 两种套利方法：
➢ 当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益 净现值为正）
➢ 当前时候一系列能带来正收益的投资，将来的 净支出为零（支出的净现值为0）。
注意：盈亏状况相似或者相同，但价值可能有所不 同。
▪ 金融工具的合成（compound）
➢ 即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的 金融工具具有相同价值。
合成是建立在模仿的基础上
案例2-3：模仿股票（the mimicking stock)
▪ 模仿股票：一个看涨期权多头和一个看跌期权的空头的 组合。
▪ 在远期市场上套利者在购买1.8马克同时按照目前 的远期汇率（1:1.8）卖出1.98马克，换回1.1美元。
▪ 在扣除掉为原先借入的1美元支付的本息1.06美元 之外，还有一个剩余0.04美元（1.1美元-1.06美 元）。如果不计费用，这个剩余就是套利者获取 的无风险利润。显然，1:1.8不是均衡的远期外汇 价格。
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易 者可以按11%的利率，在6个月后从市场借入资金 1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
▪ 风险中性定价原理：在这个改变了概率的世界里， 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r，所 有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得 现值。
➢ 风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定
➢ 由于风险中性，人们只关心收益不考虑风险
金融工程的基本分析方法
2021/6/3
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2.1 无套利定价法
▪ 定义2.1：套利是同时持有一种或者多种资 产的多头或者空头，从而存在不承担风险 的情况下锁定一个高于无风险利率的收益。
▪ 两种套利方法：
➢ 当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益 净现值为正）
➢ 当前时候一系列能带来正收益的投资，将来的 净支出为零（支出的净现值为0）。
注意：盈亏状况相似或者相同，但价值可能有所不 同。
▪ 金融工具的合成（compound）
➢ 即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的 金融工具具有相同价值。
合成是建立在模仿的基础上
案例2-3：模仿股票（the mimicking stock)
▪ 模仿股票：一个看涨期权多头和一个看跌期权的空头的 组合。
▪ 在远期市场上套利者在购买1.8马克同时按照目前 的远期汇率（1:1.8）卖出1.98马克，换回1.1美元。
▪ 在扣除掉为原先借入的1美元支付的本息1.06美元 之外，还有一个剩余0.04美元（1.1美元-1.06美 元）。如果不计费用，这个剩余就是套利者获取 的无风险利润。显然，1:1.8不是均衡的远期外汇 价格。
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易 者可以按11%的利率，在6个月后从市场借入资金 1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
金融工程 3无套利定价
一支股票现在的价格是50元 预计 个月后涨到 一支股票现在的价格是 元，预计6个月后涨到 55元或是下降到 元。无风险利率为 ％，运用 元或是下降到45元 无风险利率为10％， ％，运用 元或是下降到 无套利定价原理，求执行价格为50元的欧式看跌 无套利定价原理，求执行价格为 元的欧式看跌 期权的价值。 期权的价值。
债券定价： 债券定价：绝对定价
现金流贴现法(Discounted Cash Flow Method, 现金流贴现法 简称DCF)，又称收入法或收入资本化法。 简称 ，又称收入法或收入资本化法。
Cn + F C1 C2 V0 = + +,..., + n (1 + i1 ) (1 + i1 )(1 + i2 ) ∏(1 + i j )
4、无套利的价格是什么？ 无套利的价格是什么？
无套利的价格必须使得套利者处于这样一种境地： 无套利的价格必须使得套利者处于这样一种境地： 通过套利形成的财富的现金价值， 通过套利形成的财富的现金价值，与没有进行套 利活动时形成的财富的现金价值完全相等。 利活动时形成的财富的现金价值完全相等。 特例： 特例： 无论是否套利， 无论是否套利，套利者的资产组合的现金流 状况都一样。 状况都一样。
三、无套利定价
1.
2.
产生： 世纪 年代后期的MM理论。他们在研究 世纪50年代后期的 理论。 产生：20世纪 年代后期的 理论 企业资本结构和价值关系时提出的“无套利（ 企业资本结构和价值关系时提出的“无套利（No Arbitrage）”分析方法。 ） 分析方法。 分析的基本方法： 分析的基本方法： 将金融资产的“头寸” 将金融资产的“头寸”与市场中其他金融资产的头 组合起来 构筑起一个组合头寸 起来， 起一个组合头寸， 寸组合起来，构筑起一个组合头寸，在市场均衡时 不会产生套利机会 套利机会,由此测算出该项头寸在市场均 不会产生套利机会 由此测算出该项头寸在市场均 衡时的价值即均衡价格。 衡时的价值即均衡价格。
债券定价： 债券定价：绝对定价
现金流贴现法(Discounted Cash Flow Method, 现金流贴现法 简称DCF)，又称收入法或收入资本化法。 简称 ，又称收入法或收入资本化法。
Cn + F C1 C2 V0 = + +,..., + n (1 + i1 ) (1 + i1 )(1 + i2 ) ∏(1 + i j )
4、无套利的价格是什么？ 无套利的价格是什么？
无套利的价格必须使得套利者处于这样一种境地： 无套利的价格必须使得套利者处于这样一种境地： 通过套利形成的财富的现金价值， 通过套利形成的财富的现金价值，与没有进行套 利活动时形成的财富的现金价值完全相等。 利活动时形成的财富的现金价值完全相等。 特例： 特例： 无论是否套利， 无论是否套利，套利者的资产组合的现金流 状况都一样。 状况都一样。
三、无套利定价
1.
2.
产生： 世纪 年代后期的MM理论。他们在研究 世纪50年代后期的 理论。 产生：20世纪 年代后期的 理论 企业资本结构和价值关系时提出的“无套利（ 企业资本结构和价值关系时提出的“无套利（No Arbitrage）”分析方法。 ） 分析方法。 分析的基本方法： 分析的基本方法： 将金融资产的“头寸” 将金融资产的“头寸”与市场中其他金融资产的头 组合起来 构筑起一个组合头寸 起来， 起一个组合头寸， 寸组合起来，构筑起一个组合头寸，在市场均衡时 不会产生套利机会 套利机会,由此测算出该项头寸在市场均 不会产生套利机会 由此测算出该项头寸在市场均 衡时的价值即均衡价格。 衡时的价值即均衡价格。
金融工程的基本定价原理
现在可以用基本证券来复制出上述的有风险证券A。怎样 复制呢？购买uPA 份基本证券1和dPA份基本证券2，构成一 个证券组合，1年后，不管市场发生何种状态，该组合都 会产生和证券A相同的现金流，所以，该组合是证券A的 复制品。由无套利均衡分析可知，该组合与证券A现在的 价格应该相等，则有： PA=πuuPA+πd dPA 化简为：πuu+πd d=1 （1） 与此同时，通过购买1份基本证券1和1份基本证券2构成 的证券组合，1年后，无论市场出现何种状态，该证券组 合的价格都会是1元。而且，这是一项无风险的投资，由 无套利均衡分析可知，其收益率应该等于无风险收益率rf， 我们可以得到： （πu+πd ） =1 （2）
记无风险利率为rf，则总无风险收益率 =1+rf 现在来定义一类与状态相对应的假想证券，称为基本证 券。基本证券1在1年后，如果市场上升，其市场价值为1 元，如果市场下降，其价值为0。基本证券2则相反，1年 后，如果市场上升，其价值为0，如果市场下降，其价值 为1元。记基本证券1当前的价格为πμ，基本证券2当前的 价格为πd，则有：
2、不确定状态下的应用
【例2】假设有一个风险证券A，当前的市场价格是100元， 1年后市场有两种状态，在状态1时证券A的价格上升至 110元，在状态2时证券A的价格下跌至90元。同样，也有 一个证券B，它在1年后的损益为：在状态1时上升至118 元，在状态2时下降至105元。假设无风险年利率为2% （一年计一次、复利），并且不考虑交易成本。 试问： （1）证券B的合理价格为多少？ 解：（1）证券B未来的损益与证券A不同，两个证券的损 益状态如图所示：
【例3】假如证券A现在的市价为PA=100元，rf=2%，u=1.07， d=0.98，它在1年后的市场价格如图，另有一个证券B，它在 1年后的状态价格如图。请问证券B的价格应该是多少？
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远期汇率的确定过程
US$ DM
卖出即期美元(价1.8000)
② -1,800,000 [A/(1+iq)]/s =1,800,000/1.8=1,000,000
即期
-1,000,000 +1,000,000
+1,800,000
{[A/(1+iq)]/s}(1+ ib) =1,000,000(1+6%) =1,060,000
q PA uPA
1-q
dPA
状态价格定价技术(续)
定义两基本证券（假想证券）： – 基本证券1：在1年后如果市场出现上升状态，其市
场价值为1元，如处于下跌状态，则其价值为零，
其市场价格记为πu ； – 基本证券2：在1年后如果市场出现上升状态，其市 场价值为0元，如处于下跌状态，则其价值为1，其 市场价格记为πd 。
一客户要求某银行报出一年后交割的DM对US$的汇价。 有关数据如下： 交割数量(A)：1,980,000DM 即期汇率(S)： US$1=1.8000DM 即期利率：一年期的美元利率(ib )为6%，一年期的DM 利率为(iq )10%。 问：该银行如何确定一年期的DM/ US$的远期汇率(F) ？
– t时刻：组合价值为S(t) - Xe-rf (T-t) - I – T时刻：组合价值为S(T)-X
这一组合复制了支付已知现金红利资产远期合约的多头。
根据无套利原则，该远期合约在t时刻的价值一定等于该组合在t时刻的 价值。即
– ƒ(t)=S(t) - I - Xe-rf (T-t) t≤T
关于远期汇率的案例
以6%的 利率借 ③ US$ 1年
以10% 的利率 贷出 DM1年
① A/(1+iq) =1,980,000/(1+10%) =1,800,000
远期
(一年)
1年后组合C现金流为？
组合C是一个无风险组合，其收益率应为无风险收益率rf ，有 πu+πd=1/(1+ rf) （2）
将式（1）、（2）两个方程联立成方程组，可得：
πu= [(1+ rf) –d]/[(1+ rf) (u-d)] πd =[u-(1+ rf)]/[(1+ rf) (u-d)]
个证券？
用证券A复制证券B
组合D：△份证券A和现值为L的无风险证券。其现在 的价格为： – I=100△+L （3） 1年后，无论市场状况如何，组合D的市场价值都与 证券B一样。 如出现上升的状态，有 – Iu=△×107+L×1.02=103 如出现下降的状态，有 – Id=△×98+L×1.02=98.5 将以上两个方程联立成方程组，可解得 △=0.5,L=49.5/1.02 代入式（3）可得证券B现在的价值I=98.52941
– 即，X= S(t)erf (T-t)
故远期/期货价格为
– F(t,T)= S(t)erf (T-t)
支付已知现金红利资产远期合约定价
设I为现金红利在t时刻的现值。
组合
– 一项价值为S(t)的标的资产多头；
– 数量为Xe-rf (T-t) +I的现金空头(以无风险利率rf借入)
组合现金流分析
这一组合复制了远期合约的多头。 根据无套利原则，该远期合约在t时刻的价值一定等于该组合在t 时刻的价值。即
– ƒ(t)=S(t) - Xe-rf (T-t) t≤T
远期/期货价格
如果在t时刻订约，则远期价格等于T时刻的交割价格， 即F(t,T)=X，且合约的价值为零，则有
– S(t) - Xe-rf (T-t) =0
例1
假如证券A现在的市场价格为PA=100元，rf=2%， d=0.98,u=1.07，见图；证券B1年后的状态价格见图。
107 PA=100 98
103 PB 98.5
解
依题意有
– πu= [(1+ rf) –d]/[(1+ rf) (u-d)]=0.435730 – πd =[u-(1+ rf)]/[(1+ rf) (u-d)]=0.544662
用基本证券复制风险证券A
组合B：
– 购买uPA份基本证券1； – 购买dPB份基本证券2。
由无套利原理可知，复制与被复制证券市价的 现值相等： PA=πuuPA+πddPA 即：πuu+πdd=1 （1）
对风险证券A定价
组合C： – 购买一单位基本证券1； – 购买一单位基本证券2。
对A证券定价
– PA=πuuPA+πddPA=0.435730×107+0.544662×98=100
对证券B定价
– PB=πuuPB+πddPB=0.435730×103+0.544662×98.5=98.52941
问题
问题1：基本证券1的市场价格和基本证券2的市场价格是由证券A
的状态价格确定，为什么可以用来复合约在到期日T标的资产的交割价格。则对于一 项远期合约多头来说，其在T时刻的价值为S(T)-X。 组合：
– 一项价值为S(t)的标的资产多头；
– 数量为Xe-rf (T-t)的现金空头(以无风险利率rf借入)
组合现金流分析
– t时刻：组合价值为S(t) - Xe-rf (T-t) – T时刻：组合价值为S(T)-X
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第三讲 金融工程定价技术
本讲内容
– 1.状态定价技术
– 2.构建无风险组合定价技术
– 3.风险中性定价技术
– 4.鞅及鞅测度
金融工具定价的关键
（1）金融工具的现金流 （2）恰当的折现率
状态价格定价技术
假如一份风险证券A，现在的市场价格是PA ， 1年后市场价格会出现两种可能的情况：价格 上升到uPA ，其概率为q；或者下降到dPA ， 出现的概率为1-q。即1年后会出现两种不同的 价格状态。
状态价格的涵义： – 两个基本证券的参数[πu，πd]唯一地确定了某个市场，则刻画 在这个市场里的证券价格变化的参数u和d必须满足以下方程 组 – πuu+πdd=1 – πu+πd=1/(1+ rf)
两组不同的[πu，πd]刻画了两个不同的市场。
用证券B的状态价格来复制证券B？
问题2：基本证券都是假想证券，能不能用一个证券来复制另一