Black-Scholes公式的推导 - 鞅方法(风险中性定价方法)
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北京大学Black-Scholes-Merton模型
19
例13-7 公司发行100万股票，股价$40，公司考虑发行20万份 权证，5年后到期，敲定价格$60，费用？（假设利率 3%，波动率30%） 由BS公式，普通期权价格$7.04，故权证价格为$5.87
20
对数正态：
E(ST ) S0 eT var(ST ) S0 e
2 2 T
(e
2T
1)
5
期望收益率与收益率的期望
股票0到T的收益率（连续复利形式）： 收益率的分布： 收益率期望：
T E ( S ) S e 期望收益率 ： T 0
6
波动率
波动率：一年内收益率的标准差 度量股票收益的不确定性 考虑若 非常小，期间 的标准差约为
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隐含波动率
实际应用中，利用BS定价公式通常采用隐含波动率 隐含波动率指隐含在期权市场价格中的波动率，即 使得BS定价与市场价格相等的波动率 隐含波动率体现市场对股票波动率的看法 与根据历史数据估计波动率的差别： forward looking vs backward looking
14
Black-Scholes公式
欧式期权定价公式
c S 0 N (d1 ) K e rT N (d 2 ) p K e rT N (d 2 ) S 0 N (d1 ) 其中 d1 d2 ln(S 0 / K ) (r 2 / 2)T
T
ln(S 0 / K ) (r 2 / 2)T
Delta 对冲：∆ 只标的股票+期权空头 连续时间： 投资组合瞬时无风险组合，连续调整
无风险组合
10
Black-Scholes公式的推导 - 鞅方法(风险中性定价方法)
~ 故 Vt = E ( e − r (T −t ) ( ST − K ) + |Ft) ˆ (( S − K ) + |Ft)， = e − r ( T −t ) E T
= dSt µ St dt + σ St dWt ， 0 ≤ t ≤ T , 设在客观测度P下， St 的动态为：
ˆ 公式可得: d ( 由 Ito
⋅
1 − 2 z2 e dz 2π 1 dz ， 2π
1
1
= e − rT ∫ S 0 e
− d1
∞
1 rT − ( z −σ T ) 2 2
⋅
令 u = z − σ T , d 2 = d1 + σ T =
σ T
(ln
S0 1 + ( r + σ 2 )T ) ， K 2
J1 = e
− rT
∫
∞
−d 2
−∞
− K )+ ⋅
1 − 2 z2 e dz 2π 1 − 2 z2 − K)⋅ e dz 2π
11=e− T∫σ∞ 1π
(ln
1 K −( r − σ 2 )T ) 2 S0
( S0e
1 ( r − σ 2 ) T +σ T z 2
= J1 − J 2
令 d1 = −
1
σ T
∞
(ln
K S 1 1 1 − ( r − σ 2 )T ) = (ln 0 + ( r − σ 2 )T ) ， S0 K 2 2 σ T
故
∂g = −re − rt C (t , S ) + e − rt Ct (t , S ) ； ∂t ∂g = e − rt CS (t , S ) ； ∂S
期权定价公式的推导
实际利率i
—
实际贴现率
—
1-v
贴现因子v
1-d
—
利息力δ
ln(1+i)
-ln(1-d)
-lnv
—
19
欧式股票买入期权的定价公式
C(S,T ) SN (d1) XerT N (d2 )
其中T是到期时间，S是当前股价，C（S，T）欧式买入期 权的价格。
1 S 2
d1
16
利息力（force of interest）
利息力是在确切时点上的利息强度，可以用累 积函数的相对变化率定义如下：
式中 为在时点t的利息力。
17
在复利条件下的利息力
可见在复利条件下，利息力是常数，与时间t 无关。
将这个式子变形，可以得到复利的实际利率
18
实际利率i 实际贴现率d 贴现因子v 常数利息力δ
St 就是折现价格。
这说明 St 仍然遵循几何布朗运动，且只有当 r 0 时才是鞅。 μ——股票价格的平均（瞬时）收益率; r——无风险（瞬时）收益率。 根据资产定价基本原理，只要市场上没有套利机会，那么就一定存在一 种等价的概率测度，使得所有证券及其组合的折现价格都成为鞅。这时 所有证券价格的平均收益率都与无风险收益率一致。
Wn pn p0 1 2 n , n 0,1,2,
称为随机游走。这个名称最初是对ε 以相同概率取的 随机变量而言的。在这种情况下，这个随机序列可形 象地解释为一个醉汉在路上横行。在每一时刻，他既 可以往左走一步，也可能往右走一步。它也就是所谓 的“随机游走”。尽管醉汉总围绕原点徘徊，但时间 越长，他就可能离原点越远。
2
3
Black—Scholes微分方程
8
第四节
Black—Scholes 微分方程
ห้องสมุดไป่ตู้
2011-6-16
1
一、 Black—Scholes微分方程 微分方程
B-S微分方程所需的假设条件： 微分方程所需的假设条件
1、证券价格遵循几何布朗运动，且期望收益率μ和 、证券价格遵循几何布朗运动，且期望收益率μ 波动率σ为常数 波动率 为常数 2、允许卖空标的资产 、 3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 、没有交易费用和税收， 4、在衍生证券的有效期内没有红利支付 、 5、不存在无风险套利机会 、 6、证券交易是连续的，价格变动是连续的 、证券交易是连续的， 7、在衍生证券的有效期内，无风险利率 为常数。 为常数。 、在衍生证券的有效期内，无风险利率r为常数
f = max(S − X,0) 当t = T时
欧式看跌期权边界条件为
f = max(X − S,0) 当t = T时
2011-6-16
5
二、Black—Scholes定价公式 定价公式
在风险中性世界里， 在风险中性世界里，欧式看涨期权到期的期望价值为
ˆ E max(S T − X,0)
ˆ 表示风险中性世界中的期望值，根据风险中性估值原理， 其中 E 表示风险中性世界中的期望值，根据风险中性估值原理，
欧式看跌期权边界条件为对于欧式看涨期权边界条件为2013312在风险中性世界里欧式看涨期权到期的期望价值为欧式看涨期权价格c对10式进行计算即求积过程得可参看金融数学josephstampflip86在风险中性条件下可以用r其中表示风险中性世界中的期望值根据风险中性估值原理2013312利用平价公式可得无收益资产的欧式看跌期权的定价公式对于无收益的美式看涨期权有对于美式看跌期权还没有得到一个精确的解析式
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black—Scholes公式推导方法及其发展推广
Ｆ Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ和 Ｍ Ｓ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ 从 市场 有 效 的假定 出发 ， 假设 股 票 的价 格运 动 过程 服 从 马尔 科 夫链 ， 只 与现 在
的 价格 有关 ． 构造 一 个证 券 投 资组合 ， 使 得 在此 组 合 中能够 根 据标 的资 产价 格 的变 化 连续 调 整 标 的资 产 的
文献标 识码 ： Ａ
文章 编号 ： １ ０ ０ ７ — ５ ３ ４ ８ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ８ — ０ ０ ０ ８ — ０ ５
１ ９ ７ ３年 Ｆ Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ和 Ｍ Ｓ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ 从 欧式看 涨期 权人 手 ， 运用 均衡 资本 资产 定价 理论 ， 推 导 出至今 广 为 流
孙玉东等假定波动率是股票价格的阶可导函数期望收益率为股票价格的连续函数利用金融市场复制策略得到了一般的blackscholes偏微分方程进而导出了定价公式1fankun考虑了两因素作用下马尔可夫调制随机波动率模型一个是随机波动率因素服从均值回归的平方根过程另一个是随机波动率因素被连续时间有限状态马尔可夫链所调制在风险中性测度下通过逆傅里叶变换得到了欧式期权定价公式
（ １ ） 股票 价格 的变化 是连续 的 ， 并且 服从 一 种带 漂移 的几 何 Ｂ ｒ ｏ ｗ ｎ运动 ， 在 数学 上表 现为 Ｉ ｔ ｏ过 程 ；
（ ２ ） 市场 无 风险利 率 为 已知 常数 ． 不 随 时 间的变 化而 变化 ； （ ３ ） 股票 不 支付 红利 或者 其他 收益 ； （ ４ ） 期权 是 欧式期 权 ， 即只能 在合 约到期 日才能 执行 期权 ； （ ５ ） 不 产生 交易 费 用和税 金 ； （ ６ ） 标 的 物可无 限 细分 ， 也可 自由买卖 ；
的 价格 有关 ． 构造 一 个证 券 投 资组合 ， 使 得 在此 组 合 中能够 根 据标 的资 产价 格 的变 化 连续 调 整 标 的资 产 的
文献标 识码 ： Ａ
文章 编号 ： １ ０ ０ ７ — ５ ３ ４ ８ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ８ — ０ ０ ０ ８ — ０ ５
１ ９ ７ ３年 Ｆ Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ和 Ｍ Ｓ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ 从 欧式看 涨期 权人 手 ， 运用 均衡 资本 资产 定价 理论 ， 推 导 出至今 广 为 流
孙玉东等假定波动率是股票价格的阶可导函数期望收益率为股票价格的连续函数利用金融市场复制策略得到了一般的blackscholes偏微分方程进而导出了定价公式1fankun考虑了两因素作用下马尔可夫调制随机波动率模型一个是随机波动率因素服从均值回归的平方根过程另一个是随机波动率因素被连续时间有限状态马尔可夫链所调制在风险中性测度下通过逆傅里叶变换得到了欧式期权定价公式
（ １ ） 股票 价格 的变化 是连续 的 ， 并且 服从 一 种带 漂移 的几 何 Ｂ ｒ ｏ ｗ ｎ运动 ， 在 数学 上表 现为 Ｉ ｔ ｏ过 程 ；
（ ２ ） 市场 无 风险利 率 为 已知 常数 ． 不 随 时 间的变 化而 变化 ； （ ３ ） 股票 不 支付 红利 或者 其他 收益 ； （ ４ ） 期权 是 欧式期 权 ， 即只能 在合 约到期 日才能 执行 期权 ； （ ５ ） 不 产生 交易 费 用和税 金 ； （ ６ ） 标 的 物可无 限 细分 ， 也可 自由买卖 ；
black schole 模型鞅方法
black schole 模型鞅方法Black-Scholes模型是金融领域中常用的一种衡量期权定价的数学模型，它基于一些假设，如市场完全有效、无风险利率不变、标的资产符合对数正态分布等。
鞅方法是Black-Scholes模型的一种求解过程，用于计算期权的理论价格。
在Black-Scholes模型中，期权的价格受到多个因素的影响，包括标的资产价格、行权价格、到期时间、无风险利率和波动率。
鞅方法的核心思想是通过构建一个鞅过程，将期权价格与标的资产价格联系起来，并利用鞅过程的性质来对期权进行定价。
具体而言，鞅方法通过构建一个投资组合，其中包括期权和标的资产的多个头寸，以达到对冲的目的。
通过对投资组合进行动态调整，使得投资组合的价值在任意时刻都保持不变，即为鞅过程。
根据鞅过程的性质，可以得出期权价格的偏微分方程，并通过求解该方程得到期权的理论价格。
鞅方法的求解过程中，需要对标的资产价格的变动进行建模。
Black-Scholes模型假设标的资产价格服从对数正态分布，这使得鞅方法可以得到解析解。
通过对标的资产价格的对数变换，可以将其转化为服从正态分布的随机变量，从而简化求解过程。
在鞅方法的求解过程中，需要计算期权的delta值，即期权价格对标的资产价格的变动的敏感度。
delta值可以用来衡量投资组合的对冲效果，通过调整投资组合中的期权和标的资产的头寸，可以使得投资组合的delta值为零，从而达到对冲的目的。
除了delta值，还需要计算期权的gamma值、vega值等，用于衡量期权价格对标的资产价格、波动率等因素的敏感度。
这些敏感度指标可以帮助投资者评估期权的风险和收益，并做出相应的投资决策。
鞅方法在Black-Scholes模型中的应用不仅限于期权定价，还可以用于其他金融衍生品的定价和风险管理。
通过建立适当的鞅过程，可以对金融衍生品的价格进行动态调整，实现对冲和风险管理的目标。
Black-Scholes模型鞅方法是一种重要的金融工具，用于期权定价和风险管理。
Black_Scholes期权定价公式的两种简化推导
中 国 水 运 （ 理 论 版 ） China Water Transport（Theory Edition）
Vol.4 May
No.5 2006
Black-Scholes 期权定价公式的两种简化推导
邓乐斌
摘 要：Black-Scholes 期权定价公式的推导过程是相当复杂的，需要用到随机过程、随机微分方程求解等较高深的
第5期
邓乐斌：Black-Scholes 期权定价公式的两种简化推导
σ2 ln E ( ST ) − ln X − (T − t ) µ − ln X 2 = XN ( ) = XN ( ) σ T −t σ T −t
165
从而不支付红利股票的欧式看涨期权的价格
c=e
− r (T −t )
cT = SN ( d1 ) − Xe − r (T −t ) N ( d 2 )
cT = E (max( ST − X , 0))
∧
)(T − t ))) 2 2 ) 2σ (T − t )
σ2
所以有
c1 = ∫
+∞ ln X
e f ( y )dy = ∫
y
+∞
ln X
e ⋅
y
1 2πσ T − t
exp(−
( y − (ln S + (r −
2
)(T − t )))2 2 )dy 2σ (T − t )
µ+
σ2
∫
+∞
ln X
2πσ T − t
= E ( ST ) N (
ln E ( ST ) − ln X + (T − t ) µ + σ 2 (T − t ) − ln X 2 ) = E ( ST ) N ( ) σ T −t σ T −t
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−∞
− K )+ ⋅
1 − 2 z2 e dz 2π 1 − 2 z2 − K)⋅ e dz 2π
1
1
=e
− rT
∫σ
∞ 1
π
(ln
1 K −( r − σ 2 )T ) 2 S0
( S0e
1 ( r − σ 2 ) T +σ T z 2
= J1 − J 2
令 d1 = −
1
σ T
∞
(ln
K S 1 1 1 − ( r − σ 2 )T ) = (ln 0 + ( r − σ 2 )T ) ， S0 K 2 2 σ T
S0 e
1 − u2 2
1 rT − u 2 2
⋅
1 du ， 2π
= S0 ∫
d2
−∞
e
⋅
1 du = S 0 N ( d 2 ) ， 2π
所以， V0 = S 0 N ( d 2 ) - e − rT KN ( d 1 ) 。
ˆ 引理是随机分析中的链法则。 注 1： Ito ˆ 过程是有如下形式的过程： Ito
S0e
1 ( r − σ 2 ) T +σ T Z 2
1 K > K ⇒ ( r − σ 2 )T + σ T Z > ln 2 S0
⇒Z >
1
σ T
(ln
∞
K 1 − ( r − σ 2 )T ) ， S0 2
1 ( r − σ 2 ) T +σ T z 2
⇒ V0 = e − rT ∫ ( S 0 e
X (t= ) S (0 + ) ∫ ∆(u )dWu + ∫ Θ(u )du .
0 0
t
t
或者可以写成微分形式： dX (t ) = Θ(t )dt + ∆(t )dWt .
ˆ 过程， f (t , x) 为实值函数且偏导数 f t (t , x) ， f x (t , x) 及 f xx (t , x) 均 令 X t 为 Ito
~ 故 Vt = E ( e − r (T −t ) ( ST − K ) + |Ft) ˆ (( S − K ) + |Ft)， = e − r ( T −t ) E T
= dSt µ St dt + σ St dWt ， 0 ≤ t ≤ T , 设在客观测度P下， St 的动态为：
ˆ 公式可得: d ( 由 Ito
1 1
J 2 = e − rT ∫ K ⋅
− d1
d1 1 − 2 z2 1 − 2 z2 e dz = e − rT ∫ K ⋅ e dz = e − rT KN ( d 1 ) ， −∞ 2π 2π
J 1 = e − rT ∫ S 0 e
− d1
∞
1 ( r − σ 2 ) T +σ T z 2
故
∂g = −re − rt C (t , S ) + e − rt Ct (t , S ) ； ∂t ∂g = e − rt CS (t , S ) ； ∂S
∂2 g = e − rt CSS (t , S ) . ∂S 2
代入方程
∂g ∂g 1 2 2 ∂ 2 g 0 ，有 + rS + σ S = ∂t ∂S 2 ∂S 2
g (t , S ) = e − rt C (t , S ) = E Q (e − rT C (t , S ) Ft )
~
由 Feynman-Kac 定理知 g (t , S ) 满足：
∂g ∂g 1 2 2 ∂ 2 g + + σ S = rS 0 ,而 g (t , S ) = e − rt C (t , S ) ， ∂S 2 ∂S 2 ∂t g (T , ST ) = e − rT CT
1 2 2 0， Ct (t , S ) + rS C σ S CSS (t , S ) − rC (t , S ) = S (t , S ) + 2
这正是 Black-Scholes 方程。
B-S 模型假设： 1、交易市场没有无风险套利机会，就是说无风险资产或资产组合必须有相 同的回报，均为无风险利率 r ； 2、市场上没有交易费用； 3、市场的交易可以连续进行； 4、市场允许卖空而且资产是无限可分的，就是说我们可以买卖任意数量的 证券，而且可以卖出我们并不持有的资产（当然以后要偿还）； 5、证券在期权存续期内无红利发放；
St 1 1 1 ) = St d ( ) + dSt + dSt ⋅ d ( ) , Bt Bt Bt Bt St S S ) = ( µ − r ) t dt + σ t dWt Bt Bt Bt
于是有 d (
即
d ( St B t ) µ − r µ−r ~ = θ , Wt = θt + Wt , ， = dt + dWt ，令 σ σ ⋅ St B t σ 从而 d (
g (t , x) = E t , x h( X T ) ，
1 则 g (t , x) 满足偏微分方程 gt (t , x) + α (t , x) g x (t , x) + β 2 (t , x) g xx (t , x) = 0 . 而终点条 2
件为 g (T , x) = h( x) 。 分析：由于 St 在风险中性测度 Q 下的动态为 dS t = rS t dt + S t σd W t ，令
( A) = Z dP ；则在新测度下 P 下， 并定义一个新的测度，对任意 A ∈ F ，定义 P ∫ T
A
过程 Wt (0 ≤ t ≤ T ) 仍是布朗运动。
~
注 3： Feynman-Kac 定理： 考虑随机微分方程 dX u = α (u , X u )du + β (u , X u )dWu . 设 h( y ) 是 Borel 可测函数。固定 T > 0 并给定 t ∈ [ 0, T ] 。定义函数
d(
~ ~ ~ S St S 1 rdt ) = t σd W t ⇒ dS t ⋅ − S t = t σd W t ⇒ dS t = rS t dt + S tσd W t ， Bt Bt Bt Bt Bt
其解为： S t = S 0 e 于是可以求出 V0 。
1 ~ ( r − σ 2 ) t +σWt 2
~ St S ) = t σd W t Bt Bt
由 Girsanon 定理，令 Q( A) = ∫ ZT d P ,其中 ZT = e
A
−
∫0
T
µ −r 1 dWt − σ 2
∫0 (
T
µ −r 2 ) dt σ
，在新测度
S ~ Q 下， Wt 是鞅， t 在新测度 Q 下也是鞅。 Bt
于是 St 在等价鞅测度 Q 下的动态为：
= dSt µ St dt + σ St dWt 6、资产价格服从几何布朗运动模型：
其中， W 是标准布朗运动， µ 是证券的期望增长率， σ 是证券的波动率。
风险中性定价方法： 风险中性定价原理表达了资本市场中的这样的一个结论： 即在市场不存在任何套利可能性的条件下，金融衍生证券的价格与投资者的风险
有定义且连续， 则 df (t , X t ) = ft (t , X t )dt + f x (t , X t )dX t +
1 f xx (t , X t )dX t dX t . 2
注 2：Girsanov 定理：令 Wt (0 ≤ t ≤ T ) 为概率空间 (Ω, F , P) 上的布朗运动。设
Ft (0 ≤ t ≤ T ) 为相应的域流， 并设 θ (t )(0 ≤ t ≤ T ) ， 是与此相适应的过程。 对0 ≤ t ≤T
~ t 1 t t ex p − ∫ θ (u )dWu − ∫ θ 2 (u )du ； 定义： Wt = ∫ θ (u )du + Wt , Z t = 0 0 0 2
态度无关的。
在理想的风险中性世界中，首先，投资者并不要求任何的风险补偿，所以基 础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率 r ；其次，正由于不存在 任何的风险补偿，市场的贴现率也恰好等于无风险利率 r ，所以基础证券或衍生 证券的经无风险利率的贴现就是它们的现值；最后，利用无风险利率贴现的风险 中性定价过程是鞅（Martingle） ，所以现值的风险中性定价方法又称为等价鞅方 。 法（Martingale Pricing Technique）
，故 ST = S 0 e
1 ~ ( r − σ 2 ) T +σWT 2
ˆ (( S 0 e ˆ (( S − K ) + ) = e − rT E V0 = e − rT E T
~ 令 WT = T Z , Z ~ N (0,1)
1 ~ ( r − σ 2 ) T +σWT 2
− K )+ ) ，
⋅
1 − 2 z2 e dz 2π 1 dz ， 2π
1
1
= e − rT ∫ S 0 e
− d1
∞
1 rT − ( z −σ T ) 2 2
⋅
令 u = z − σ T , d 2 = d1 + σ T =
σ T
(ln
S0 1 + ( r + σ 2 )T ) ， K 2
J1 = e
− rT
∫
∞
−d 2
− K )+ ⋅
1 − 2 z2 e dz 2π 1 − 2 z2 − K)⋅ e dz 2π
1
1
=e
− rT
∫σ
∞ 1
π
(ln
1 K −( r − σ 2 )T ) 2 S0
( S0e
1 ( r − σ 2 ) T +σ T z 2
= J1 − J 2
令 d1 = −
1
σ T
∞
(ln
K S 1 1 1 − ( r − σ 2 )T ) = (ln 0 + ( r − σ 2 )T ) ， S0 K 2 2 σ T
S0 e
1 − u2 2
1 rT − u 2 2
⋅
1 du ， 2π
= S0 ∫
d2
−∞
e
⋅
1 du = S 0 N ( d 2 ) ， 2π
所以， V0 = S 0 N ( d 2 ) - e − rT KN ( d 1 ) 。
ˆ 引理是随机分析中的链法则。 注 1： Ito ˆ 过程是有如下形式的过程： Ito
S0e
1 ( r − σ 2 ) T +σ T Z 2
1 K > K ⇒ ( r − σ 2 )T + σ T Z > ln 2 S0
⇒Z >
1
σ T
(ln
∞
K 1 − ( r − σ 2 )T ) ， S0 2
1 ( r − σ 2 ) T +σ T z 2
⇒ V0 = e − rT ∫ ( S 0 e
X (t= ) S (0 + ) ∫ ∆(u )dWu + ∫ Θ(u )du .
0 0
t
t
或者可以写成微分形式： dX (t ) = Θ(t )dt + ∆(t )dWt .
ˆ 过程， f (t , x) 为实值函数且偏导数 f t (t , x) ， f x (t , x) 及 f xx (t , x) 均 令 X t 为 Ito
~ 故 Vt = E ( e − r (T −t ) ( ST − K ) + |Ft) ˆ (( S − K ) + |Ft)， = e − r ( T −t ) E T
= dSt µ St dt + σ St dWt ， 0 ≤ t ≤ T , 设在客观测度P下， St 的动态为：
ˆ 公式可得: d ( 由 Ito
1 1
J 2 = e − rT ∫ K ⋅
− d1
d1 1 − 2 z2 1 − 2 z2 e dz = e − rT ∫ K ⋅ e dz = e − rT KN ( d 1 ) ， −∞ 2π 2π
J 1 = e − rT ∫ S 0 e
− d1
∞
1 ( r − σ 2 ) T +σ T z 2
故
∂g = −re − rt C (t , S ) + e − rt Ct (t , S ) ； ∂t ∂g = e − rt CS (t , S ) ； ∂S
∂2 g = e − rt CSS (t , S ) . ∂S 2
代入方程
∂g ∂g 1 2 2 ∂ 2 g 0 ，有 + rS + σ S = ∂t ∂S 2 ∂S 2
g (t , S ) = e − rt C (t , S ) = E Q (e − rT C (t , S ) Ft )
~
由 Feynman-Kac 定理知 g (t , S ) 满足：
∂g ∂g 1 2 2 ∂ 2 g + + σ S = rS 0 ,而 g (t , S ) = e − rt C (t , S ) ， ∂S 2 ∂S 2 ∂t g (T , ST ) = e − rT CT
1 2 2 0， Ct (t , S ) + rS C σ S CSS (t , S ) − rC (t , S ) = S (t , S ) + 2
这正是 Black-Scholes 方程。
B-S 模型假设： 1、交易市场没有无风险套利机会，就是说无风险资产或资产组合必须有相 同的回报，均为无风险利率 r ； 2、市场上没有交易费用； 3、市场的交易可以连续进行； 4、市场允许卖空而且资产是无限可分的，就是说我们可以买卖任意数量的 证券，而且可以卖出我们并不持有的资产（当然以后要偿还）； 5、证券在期权存续期内无红利发放；
St 1 1 1 ) = St d ( ) + dSt + dSt ⋅ d ( ) , Bt Bt Bt Bt St S S ) = ( µ − r ) t dt + σ t dWt Bt Bt Bt
于是有 d (
即
d ( St B t ) µ − r µ−r ~ = θ , Wt = θt + Wt , ， = dt + dWt ，令 σ σ ⋅ St B t σ 从而 d (
g (t , x) = E t , x h( X T ) ，
1 则 g (t , x) 满足偏微分方程 gt (t , x) + α (t , x) g x (t , x) + β 2 (t , x) g xx (t , x) = 0 . 而终点条 2
件为 g (T , x) = h( x) 。 分析：由于 St 在风险中性测度 Q 下的动态为 dS t = rS t dt + S t σd W t ，令
( A) = Z dP ；则在新测度下 P 下， 并定义一个新的测度，对任意 A ∈ F ，定义 P ∫ T
A
过程 Wt (0 ≤ t ≤ T ) 仍是布朗运动。
~
注 3： Feynman-Kac 定理： 考虑随机微分方程 dX u = α (u , X u )du + β (u , X u )dWu . 设 h( y ) 是 Borel 可测函数。固定 T > 0 并给定 t ∈ [ 0, T ] 。定义函数
d(
~ ~ ~ S St S 1 rdt ) = t σd W t ⇒ dS t ⋅ − S t = t σd W t ⇒ dS t = rS t dt + S tσd W t ， Bt Bt Bt Bt Bt
其解为： S t = S 0 e 于是可以求出 V0 。
1 ~ ( r − σ 2 ) t +σWt 2
~ St S ) = t σd W t Bt Bt
由 Girsanon 定理，令 Q( A) = ∫ ZT d P ,其中 ZT = e
A
−
∫0
T
µ −r 1 dWt − σ 2
∫0 (
T
µ −r 2 ) dt σ
，在新测度
S ~ Q 下， Wt 是鞅， t 在新测度 Q 下也是鞅。 Bt
于是 St 在等价鞅测度 Q 下的动态为：
= dSt µ St dt + σ St dWt 6、资产价格服从几何布朗运动模型：
其中， W 是标准布朗运动， µ 是证券的期望增长率， σ 是证券的波动率。
风险中性定价方法： 风险中性定价原理表达了资本市场中的这样的一个结论： 即在市场不存在任何套利可能性的条件下，金融衍生证券的价格与投资者的风险
有定义且连续， 则 df (t , X t ) = ft (t , X t )dt + f x (t , X t )dX t +
1 f xx (t , X t )dX t dX t . 2
注 2：Girsanov 定理：令 Wt (0 ≤ t ≤ T ) 为概率空间 (Ω, F , P) 上的布朗运动。设
Ft (0 ≤ t ≤ T ) 为相应的域流， 并设 θ (t )(0 ≤ t ≤ T ) ， 是与此相适应的过程。 对0 ≤ t ≤T
~ t 1 t t ex p − ∫ θ (u )dWu − ∫ θ 2 (u )du ； 定义： Wt = ∫ θ (u )du + Wt , Z t = 0 0 0 2
态度无关的。
在理想的风险中性世界中，首先，投资者并不要求任何的风险补偿，所以基 础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率 r ；其次，正由于不存在 任何的风险补偿，市场的贴现率也恰好等于无风险利率 r ，所以基础证券或衍生 证券的经无风险利率的贴现就是它们的现值；最后，利用无风险利率贴现的风险 中性定价过程是鞅（Martingle） ，所以现值的风险中性定价方法又称为等价鞅方 。 法（Martingale Pricing Technique）
，故 ST = S 0 e
1 ~ ( r − σ 2 ) T +σWT 2
ˆ (( S 0 e ˆ (( S − K ) + ) = e − rT E V0 = e − rT E T
~ 令 WT = T Z , Z ~ N (0,1)
1 ~ ( r − σ 2 ) T +σWT 2
− K )+ ) ，
⋅
1 − 2 z2 e dz 2π 1 dz ， 2π
1
1
= e − rT ∫ S 0 e
− d1
∞
1 rT − ( z −σ T ) 2 2
⋅
令 u = z − σ T , d 2 = d1 + σ T =
σ T
(ln
S0 1 + ( r + σ 2 )T ) ， K 2
J1 = e
− rT
∫
∞
−d 2