期权定价中的蒙特卡洛模拟方法(新)

,为独立同分布的随机变量序列，若2,则有pξ是由同一总体中得到的抽样，那么由,,n,为独立同分布的随机变量序列，若,[2,D μξ<∞则有k =∑1)exp(x=⎰η，并计算样本均值,,nKolmogorov,,)]S，T,,)T S 是关于标的资产价格路径的预期n t T <<=2,)n，1,2,n），则如果用日数据计算波动率，从表可看出，由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由Black-Scholes公式计算的理论值更接近实际值。

为了更直观的比较，由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下图。

其中SJ代表实际值，MC代表蒙特卡洛方法求得的模拟值，+，并令其解为2,) 2,,}k，跳跃尺度()2()(,)()!N t W S r N t λτλτσ-exp(λλμ=，()(exp()1)(N t r r λ=--+1σσστ=+◆无形资产——专利池的期权定价模问题专利池的市场价值V 依赖于企业使用专利池技术前后生产产品所获得的收益S 和成本C 及时间t ，这三个变量均可用跳扩散模型：()(1)dXdt dW Y dN Xμλνσ=-++-通过构造由V 和它所依赖的两个变量S 、C 组成的资产组合，利用带跳的伊藤引理获得V 与S 、C 所遵循的带跳的随机微分方程，并根据实际情况在一些假设条件下给出该方程的终边值条件，最终获得V 的求解公式。

构造无风险资产组合S S C V V S V C ∏=--一方面V∏的微分的期望为：()()V S C E d r V V S V C dt ∏=--另一方面，222211()()22((,,)(,,))S t S SS C CC S C SC S S S S S E d V S V C V SCV dtE V Y S C t V S C t dt v V Sdtσσσσλλ∂∏=++++-- 新产品发明专利池的市场价值V 所遵循的方程为年,根据市场需求,计划建成一条年生产100吨的生产线,其20年的成本,包括设备的直接制造成本和运营期间的管理费、工资等。

若在期初计划投资1000万,以后20年每年的生产量不变,生产成本按每年的通货胀率 10%递增。

假设在初期预计该项技术20年总收益为4000万,其收益率为25%,方差为20%。

1.3()0.02,25%,10%,0.6S S C S t t r Y λμμ=====(0)4000,(0)1000,4000,0.005S C n t ===∆=新产品发明专利池的市场价值 V=8050●在一次付清许可费用情况下的价格模型： 新产品发明专利池的价格P 所遵循的方程为：222211()22((,,)(,,))0t S S S C S SS C CC S C SC S S P r v P S rP C S P C P SCP E P Y S C t P S C t rP λσσσσλ+-+++++--= (,,)max((()()),0)(,,)0 as 0(,,)0 as C (,,) as P S C T S T C T P S C t S P S C t P S C t S S αα=-→→→→∞→→∞在一次付清许可费用情况下的新产品发明专利池的价格为：(,,)(,,)P S C t V S C t α=1.3()0.02,25%,10%,0.5,0.6(0)4000,(0)1000,4000,0.005S S C S t t r Y S C n t λμμα=========∆=在一次付清许可费用情况下新产品发明专利池的价格 P=5450。

●在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下的价格模型新产品发明专利池技术产生的收益S 遵循模型 ()(1)S S S S S S S dS q dt dW Y dN Sμλνσ=--++- 引进新产品发明专利池技术后的成本 C 遵循模型C C dC dt dW C μσ=+构造无风险资产组合P S C P P S P C ∏=-- 一方面P ∏的微分的期望为()()P S C E d r P P S P C dt ∏=--新产品发明专利池的价格 P 所遵循的方程为： 另一方面，P∏的微分及其期望为:222211()()22((,,)(,,))P t S S S SS C CC S C SC S S S S S E d P q P S S P C P SCP dt E P Y S C t P S C t dt v P Sdtσσσσλλ∏=-++++-- 新产品发明专利池的价格 P 所遵循的方程为：222211()22((,,)(,,))0t S S S S C S SS C CC S C SC S S P r q v P S rP C S P C P SCP E P Y S C t P S C t rP λσσσσλ+--+++++--= (,,)max((()()),0)(,,)0 as 0(,,)0 as C (,,) as P S C T S T C T P S C t S P S C t P S C t S S αα=-→→→→∞→→∞21()22ln (,), (1)1SY SY S SY SY S S Y N E Y e μσμσν+=-=-期权的价格公式：()2()0()(,,)(,,,,)()!S S S N t q BS N t S e P S C t V Se C r N t λττλτατσ---∞-==∑212(,,,,)()()()(),S S q q r BS V Se C r S t e d C t e d T t ττττστ---=Φ-Φ=-212SY SY S eμσλλ-+=22221()2S C S C SY S N t σσσσσσ-=+++ 2122()1(1)()2SY SY S S S SY SY N t r r q e μσλμστ-+=---++ 1.3()0.02,25%,10%,10%,0.6(0)4000,(0)10004000,0.005S S C S S t t r q Y S C n t λμμ=========∆=在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下新产品发明专利池的价格P=855。

§6. 最小二乘蒙特卡洛模拟与美式期权定价运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法为美式期权定价的基本原理与蒙特卡洛模拟方法基本相同，并且用最小二乘回归同时还可解决各样本时点上继续持有期权价值的确定和各样本路径的最优停时的确定。

其基本思路是：在期权的有效期内，将其标的资产价格过程离散化，随机模拟出标的资产价格的多条样本路径，从而得到每个时刻资产价格的截面数据。

选取以某时刻资产价格为变量的一组基函数作为解释变量，下一时刻期权价值的贴现值作为被解释变量，进行最小二乘法回归求得该时刻期权的持有价值，并与该时刻期权的内在价值作比较，若后者较大，则应该立即执行期权，否则，就应继续持有期权。

最小二乘蒙特卡洛模拟方法定价的基本实现步骤：首先，随机生成标的资产价格的多条样本路径；然后，从到期时刻逆向求解，比较期权的内在价值与持有价值，确定出各时刻期权价值和每条样本路径的最优停时；最后，将所有样本的的期权价值求取按无风险利率贴现的算数平均值便是模拟的期权价值。

下面，我们运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法对单个标的资产的美式看跌期权进行定价，其算法实现步骤如下：第一步：随机生成标的资产价格过程的多条样本路径*,,,,)]T t S S *,,,,T t S S 为标的资产价格的路径，*,,,,)T t S S 的期权价值。

上式定义的用最小二乘蒙特卡洛方法进行模拟的期权价值。

{0,1,,}N ，随机变量,,N S ，重复执行3,,0的期权持有价值。

对于每条样本路径{0,1,,}N 执行，或是永不执行。

具体设计程令初值t *=变；如果执行期权，则t N *=1,2,,}M也不同，所以应分别进行贴现求均值，最终得到初,,,)]j T t S S *=∑已知股票价格为50，美式看跌期权执行价为编制最小二乘蒙特卡洛模拟的MATLAB程序如下：function price=AmericanOptLSM(S0,K,r,T,sigma,N,M) dt=T/N;R=exp((r-sigma^2/2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(N,M)); S=cumprod([S0*ones(1,M);R]);ExTime=N*ones(M,1);CF=zeros(size(S));CF(end,:)=max(K-S(end,:),0);for ii=N:-1:2Idx=find(S(ii,:)<K);X=S(ii,Idx)';X1=X/S0;Y=CF(ii+1,Idx)'*exp(-r*dt);R=[ones(size(X1)) (1-X1) 1/2*(2-4*X1+X1.^2)];a=R\Y;C=R*a;Jdx=max(K-X,0)>C;nIdx=setdiff((1:M),Idx(Jdx));CF(ii,Idx(Jdx))=max(K-X(Jdx)',0);ExTime(Idx(Jdx))=ii;CF(ii,nIdx)=exp(-r*dt)*CF(ii+1,nIdx);endPrice=mean(CF(2,:))*exp(-r*dt)%%%%% 绘制标的股票价格模拟图%%%%%x1=[0:N];y1=S';y2=mean(S');subplot(2,1,1)plot(x1,y1)subplot(2,1,2)plot(x1,y2)xlabel('期权存续期间')ylabel('股价的模拟路径')%%%%% 绘制期权价值模拟图%%%%% figure;x2=[1:N];y3=CF(2:end,:)';for i=1:My4(i)=y3(i,ExTime(i));endplot(x2,y3,ExTime,y4,'*')xlabel('期权的最优停止时间')ylabel('期权价值的模拟路径')模拟的美式看跌期权的价格路径如下图所示：模拟的期权价值路径及其最优停时如下图：本例中的美式看跌期权价格为：price=AmericanOptLSM(50,50,0.1,5/12,0.4,50,100000) Price=4.2654§7. 改进蒙特卡洛方法计算效率的常用几种方差减少技术方差减少技术的共性是利用模型特点，调整或修正模拟的输出变量，从而降低估计值的方差。