期权定价的二项式方法

(a)股票价格树
(b)期权价值树
(c)无风险收益树
股票价格树: 给出股票在不同阶段不同状态确 定的价格. 期权价值树: 根据股票在不同阶段不同状态确 定的价格以及期权确定的执行价格,给出期 权在相应状态的价值,其在初始状态的价值 就是要确定的期权价格. 无风险收益树: 无风险资产在不同阶段不同状 态的价格,这是进行无套利定价的标准.
7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
0.33 qu max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
克服困难不确定性, 以便采用无套利原理对 期权进行定价: 二项式定价方法， 布莱克—舒尔斯定价方法, 蒙特卡罗模拟法。 二项式方法 (二叉树方法) 把整个持有期分成若干个时间区间, 并假定 在每个时间区间内股票的价格只有上升和 下降两种状态, 且价格上升和下降的百分比 也已知,这样可以得出股票在期权到期日有 限个确定的价格状态,从而克服了不确定性.
2
qu
C
Ru
1.22
0.61111
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权，设股票的现行价格为S 0 60 元， S X 65元 期权确定的执行价格为 。设把期权 的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股 票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.
n n i i n i i C qu q d max{ S 0 (1 u ) (1 d ) S X ,0} i i 0
2 2 3 S X ,0} 6qu q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} 4qu qd max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3
4 S X ,0} q d max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
• 期权的价格就可以利用无套利原理从这有 限个确定的股票价格(期权的收益)来进行估 计. • 表面看把股票价格的变动只有两种可能,现 实中,股票价格可是千变万化.不过我们可以 通过增加期数来扩大股票价格变动的范围. 时间区间分得越小, 在到期日确定的股票价 格状态越多, 计算越复杂,所得期权价格估计 越接近于真实的价格.
qu e rT (1 ) e 0.025 0.62658 0.611111
qd e
rT
e
0.025
0.37342 0.36420
Ru 2, Rd 0
C qu Ru qd Rd 0.611111 2 1.22.
在期权价值树上进行计算
• 无风险资产在每个阶段的收益率应该根据无 风险资产的年收益率及每个阶段的时间长度 来确定. 在本例中,每阶段无风险资产的收益 率为 10%/4=0.025 确定期权的价格 无套利定价: 考虑组合 买入A股该股票和卖出该股票的一份买入期 权组成。 要求组合在期权到期日的收益无论股票价格是 升还是降都应同无风险投资的收益相等。
4 4 i i qu q d max{ S 0 (1 u ) 4i (1 d ) i S X ,0} i 0 i
4
4 4! , i 0,1, 2,3, 4 i (4 i)!i !
0! 1
把持有期分成n个相同时段的情形 假定每阶段内股票价格上升或下降的因子 相同 ,无风险收益率相同.
计算相关数据

u (e rT 1) ud 0.1 (e 0.05 1) 0.1 0.05 0.324859
qu e rT (1 ) e 0.05 (1 0.324859) 0.642214
qd e
rT
0.309016
根据期权确定的执行价格以及股票在最后 阶段不同状态的价格，计算期权在最后阶 段各状态的价值 .
AS 0 (1 u ) Ru AS 0 (1 d ) Rd Ru Rd A S 0 (u d )
根据无套利原理,买入期权的价格C应满足方 程
S 0 A C [ AS 0 (1 u ) Ru ]e
将A代入得
rT
Ce
rT
[ Rd (1 ) Ru ]
Ru max{ 0 (1 u) S X ,0} S
期权在股票价格上升状态下的收益 Ru max{ S 0 (1 u) S X ,0}
期权在股票价格下降状态下的收益 Rd max{S0 (1 d ) S X ,0} 构建一个组合，买入A股股票，卖出一份买 入期权组成，要求在期权到期日无论何种 情况出现，组合的价值相同
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
对上述例子的应用
u (e rT 1) 0.1 (e 0.025 1) 0.37342 ud 0.2
2 2qu q d max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
2 4.69 qu 7.14 q d 0.33 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0}

e
rT
(1 u ) u (e 1) ud ud
rT
qu e rT (` ) 市场的上升状态价格因子 1
q d e rT
市场的下降状态价格因子
C qu Ru qd Rd
qu max{ S 0 (1 u) S X ,0} qd max{ S 0 (1 d ) S X ,0}
期权定价的二项式方法
1). 2). 3). 4). 5). 定价原理 二项式定价的基本过程 期权定价的二项式公式 二项式定价公式推导 美式期权的定价
1). 定价原理
无套利定价原理: 具有相同收益不同头寸的价格应该相同。 在到期日现金流完全相同的两个组合，它们 期初的现金流必定也完全相同 (债券期货为 例). 期权在到期日的执行与否是不确定的，这种 不确定性使得在到期日的收益变得不确定, 因而难于直接利用无套利原理对期权进行 定价。
2 2qu q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} qd max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
2 0.22 qu 0.33 q d 0 qu max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
• 买权未来价值是不确定的,有风险.买权和股票 组合可以消除这种风险.同时来考虑是否能从 中找到期权的价值. • 如果按比例持有股票和卖出相应的期权,股票 上涨的收益可能被期权的损失弥补
首先确定应买入的股票数A使得组合在期末的 收益在两种状态(价升或价降)下都相同。 如果股票价格上升至33元，组合在到期日 的价值为 33 A 2 ， 其中2是期权被执行后投资者的付出； 如果股票价格下降至27元，期权不被执行， 组合的价值为 27A 。 在到期日这两个值应相等，且应等于无风 解之得 A 1/ 3 ， 即该组合应由买入1/3股该股票和卖出一份 该股票的买入期权组成。无论股票的价格 是升还是降，组合在期末的价值 1 1 33 2 27 9 3 3
根据无套利原理，这就要求无风险投资在 期末的收益同为9元，因而期初用于无风险 投资的资金应为
计算期权在不同状 态的价值
13.79 10.3 7.57 4.69
22.846
18.03 10.867 7.14 0.5215
3.08
0.22
0.33
0 0.0
0
期权价格树
4). 二项式定价公式推导
对于第3阶段各状态的期权价值有
18.03 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0}
2 3 3qu qd max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} qd max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
3 2 3.08 qu 4.69 q d 0.22 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} 3qu q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d )
0 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} qd max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
对于第2阶段各状态期权价值有
2 13.7 qu 18.03 q d 7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0}
9 e
0.10.25
8.78
这也应该是期初用于投资组合的资金，由 此得
1 30 C 8.78, C 10 8.78 1.22 3
买入期权的价格应该定为1.22元
3). 期权定价的二项式公式
符号: S 0 股票在期初的价格, S X 期权确定的执行价格, u 股票价格在单个时间阶段内的上升因子 d 股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) Ru 期权在股票价格上升状态下的收益 Rd 期权在股票价格下降状态下的收益 r 年无风险收益率 T 期权的期限