期权定价数值方法课件
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期权定价模型和数值方法专题培训课件
输出参数： CallDelta: 看涨期权的δ； PutDelta：看跌期权的δ。
• 例10.2 假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价格95元,现 价为100元,无股利支付,股价年化波动率为50%,无风险利率 为10%,计算期权δ。
• 代码如下: Price=60:1:100; %标底资产价格 Strike=95; %执行价格 Rate=0.1; %无风险收益率（年化） Time=(1:1:12)/12; %剩余时间 Volatility=0.5; %年化波动率 [CallDelta, PutDelta] = blsdelta(Price, Strike, Rate, Time,
Volatility)
• 若要分析期权δ与标的资产价格、剩余期限的关系，即不 同的Price与Time计算不同的δ三维关系，可以编写如下代 码：
Price=60:1:100; %标底资产价格 Strike=95; %执行价格 Rate=0.1; %无风险收益率（年化） Time=(1:1:12)/12; %剩余时间 Volatility=0.5; %年化波动率
10.1.1 期权及其有关概念
3． 期权的内在价值 买入期权在执行日的价值CT为 CT=max(ST －E,0)
式中:E表示行权价；ST表示标的资产的市场价。 卖出期权在执行日的价值PT为 PT=max(E－ ST,0) 根据期权的行权价与标的资产市场价之间的关系，期权可分为价内期权（in the
BlackScholes期权定价公式，欧式买权或卖权解的表达式为
式中：
10.2.4 Black-Scholes方程求解
MATLAB中计算期权价格的函数为blsprice函数，语法为 \[Call, Put\] = blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility, Yield) 输入参数： Price：标的资产市场价格； Strike：执行价格； Rate：无风险利率； Time：距离到期时间； Volatility：标的资产价格波动率； Yield：（可选）资产连续贴现利率，默认为0。 输出参数： Call: Call option价格； Put：Put option价格。
• 例10.2 假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价格95元,现 价为100元,无股利支付,股价年化波动率为50%,无风险利率 为10%,计算期权δ。
• 代码如下: Price=60:1:100; %标底资产价格 Strike=95; %执行价格 Rate=0.1; %无风险收益率（年化） Time=(1:1:12)/12; %剩余时间 Volatility=0.5; %年化波动率 [CallDelta, PutDelta] = blsdelta(Price, Strike, Rate, Time,
Volatility)
• 若要分析期权δ与标的资产价格、剩余期限的关系，即不 同的Price与Time计算不同的δ三维关系，可以编写如下代 码：
Price=60:1:100; %标底资产价格 Strike=95; %执行价格 Rate=0.1; %无风险收益率（年化） Time=(1:1:12)/12; %剩余时间 Volatility=0.5; %年化波动率
10.1.1 期权及其有关概念
3． 期权的内在价值 买入期权在执行日的价值CT为 CT=max(ST －E,0)
式中:E表示行权价；ST表示标的资产的市场价。 卖出期权在执行日的价值PT为 PT=max(E－ ST,0) 根据期权的行权价与标的资产市场价之间的关系，期权可分为价内期权（in the
BlackScholes期权定价公式，欧式买权或卖权解的表达式为
式中：
10.2.4 Black-Scholes方程求解
MATLAB中计算期权价格的函数为blsprice函数，语法为 \[Call, Put\] = blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility, Yield) 输入参数： Price：标的资产市场价格； Strike：执行价格； Rate：无风险利率； Time：距离到期时间； Volatility：标的资产价格波动率； Yield：（可选）资产连续贴现利率，默认为0。 输出参数： Call: Call option价格； Put：Put option价格。
期权定价数值方法
期权定义
期权是一种合约，赋予其持有人在一定时期内以指定价格买卖标的资产的权 利。
期权类型
按行权时间可分为欧式期权和美式期权，按交易场所可分为场内期权和场外 期权。
期权定价模型
Black-Scholes模型
基于无套利原则，通过随机过程和偏微分方程等方法，推导出标的资产价格和波 动率的关系。
二叉树模型
将连续的时间和空间离散化为有限个元素，通过建立线性方程组来求解期权价格。优点是 适用于处理不规则区域和复杂边界条件，精度较高。缺点是对于某些复杂期权或边界条件 ，需要使用高阶元素，计算量较大。
蒙特卡洛模拟法（Monte Carlo Si…
通过随机抽样来模拟期权价格的波动过程，并利用此模拟结果来估算期权价格。优点是适 用于各种类型的期权和边界条件，计算速度快。缺点是对于某些特殊期权或边界条件，需 要设计特定的抽样方法，精度相对较低。
风险中性概率
在蒙特卡洛模拟中，使用风险中性概率来计算标的资产价格在未 来的可能性，该概率将风险中性概率和实际概率联系起来。
估计期权收益
通过模拟标的资产价格路径，可以估计期权的收益，从而得到期 权的预期价格。
蒙特卡洛模拟法的实现步骤
定义参数
确定影响期权价格 的因素，如标的资 产价格、行权价、 剩余期限、波动率 和无风险利率等。
05
偏微分方程法在期权定价 中的应用
偏微分方程的推导
基于无套利原则
通过无套利原则，推导出偏微分方程，该方程描述了资产价格变 化的随机过程，以及投资者对风险和收益的权衡。
风险中性概率
在风险中性概率下，衍生品的价格可以表示为标的资产价格和相 应期限的贴现值之积。
标的资产价格动态
标的资产价格的变化受到多种因素的影响，如市场利率、波动率 、股息等。
期权是一种合约，赋予其持有人在一定时期内以指定价格买卖标的资产的权 利。
期权类型
按行权时间可分为欧式期权和美式期权，按交易场所可分为场内期权和场外 期权。
期权定价模型
Black-Scholes模型
基于无套利原则，通过随机过程和偏微分方程等方法，推导出标的资产价格和波 动率的关系。
二叉树模型
将连续的时间和空间离散化为有限个元素，通过建立线性方程组来求解期权价格。优点是 适用于处理不规则区域和复杂边界条件，精度较高。缺点是对于某些复杂期权或边界条件 ，需要使用高阶元素，计算量较大。
蒙特卡洛模拟法（Monte Carlo Si…
通过随机抽样来模拟期权价格的波动过程，并利用此模拟结果来估算期权价格。优点是适 用于各种类型的期权和边界条件，计算速度快。缺点是对于某些特殊期权或边界条件，需 要设计特定的抽样方法，精度相对较低。
风险中性概率
在蒙特卡洛模拟中，使用风险中性概率来计算标的资产价格在未 来的可能性，该概率将风险中性概率和实际概率联系起来。
估计期权收益
通过模拟标的资产价格路径，可以估计期权的收益，从而得到期 权的预期价格。
蒙特卡洛模拟法的实现步骤
定义参数
确定影响期权价格 的因素，如标的资 产价格、行权价、 剩余期限、波动率 和无风险利率等。
05
偏微分方程法在期权定价 中的应用
偏微分方程的推导
基于无套利原则
通过无套利原则，推导出偏微分方程，该方程描述了资产价格变 化的随机过程，以及投资者对风险和收益的权衡。
风险中性概率
在风险中性概率下，衍生品的价格可以表示为标的资产价格和相 应期限的贴现值之积。
标的资产价格动态
标的资产价格的变化受到多种因素的影响，如市场利率、波动率 、股息等。
金融工程学期权定价的数值方法课件
erf (T t) d p
ud
PPT学习交流12来自同样，在风险中性世界中，股票期权未来 价格的期望值按无风险利率贴现的现值必须等 于该期权当前的价格，即
fe rf(T t) p fu (1 p )fd
其中
erf (T t) d p
ud
PPT学习交流
13
例：
假设一种不支付红利股票目前的市价为10 元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11 元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于 10%，则一份3个月期以该股票为标的资产，且 执行价格为10.5元的欧式看涨期权的价值是多少？
ud
fd
E S T p S u 1 p S d S 0 e r fT t
f0p fu 1 pfde r fT t
PPT学习交流
11
风险中性定价原理 假定股票的上升概率为p。在风险中性世界 中，股票未来价格的期望值按无风险利率贴现 的现值必须等于该股票目前的价格，因此有
S e r f( T t)u S p d S ( 1 p )
构造无风险组合：
S0 : c :1
因为无风险，则有
u S T c u d S T c d
2 2 1 1 8 0 0.25
S0
c0
uST cu
1rf Tt
c0 0.631068
S 0 c 0 d S T c de rfT t
c0 0.632995
PPT学习交流
2
例：S020;Xc 21;u110%;
7
⒋ 美式期权的两步二叉树定价法
定价的过程从二叉树的末端开始倒推到起 始点，在每个节点上必须检验期权是否会被提 前执行，如果会被提前执行，则以行权收益为 该节点的期权价格，否则按照标准公式计算期 权价格，末端节点的价格均按照欧式期权计算。
ud
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其中
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13
例：
假设一种不支付红利股票目前的市价为10 元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11 元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于 10%，则一份3个月期以该股票为标的资产，且 执行价格为10.5元的欧式看涨期权的价值是多少？
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PPT学习交流
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风险中性定价原理 假定股票的上升概率为p。在风险中性世界 中，股票未来价格的期望值按无风险利率贴现 的现值必须等于该股票目前的价格，因此有
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构造无风险组合：
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因为无风险，则有
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2
例：S020;Xc 21;u110%;
7
⒋ 美式期权的两步二叉树定价法
定价的过程从二叉树的末端开始倒推到起 始点，在每个节点上必须检验期权是否会被提 前执行，如果会被提前执行，则以行权收益为 该节点的期权价格，否则按照标准公式计算期 权价格，末端节点的价格均按照欧式期权计算。
《金融衍生品》课件_第11章_期权定价数值方法
续复利年利率为 10% ，该股票 5 个月期的
美式看跌期权协议价格为 50 元，求该期权
的价值。
20
美式看跌期权的二叉树定价 (cont.)
• 为了构造二叉树，我们把期权有效期分为
五段，每段一个月（等于 0.0833 年）。可
u e t 1.1224
以算出
d e
t
0.8909
4、资产价格随机路径模拟（风险中
性概率测度）
（1）常数波动率模型的离散化和模拟
• 在风险中性世界中，为了模拟路径
dS r q Sdt Sdz
（11.4）
我们把期权的有效期分为 N 个长度为 ∆t 的
时间段，则上式的离散的近似方程为：
（11.5）
6
（２）GARCH模型模拟
模型的离散化形式：
2、欧式期权蒙特卡罗模拟定价
假设标的资长价格服从波动率为常数的几
何布朗运动。对于欧式期权，只需要模拟出
标的资产到期的分布。如欧式看涨期权，第i
条路径下的支付：
()
为标准正态分布的一个随机抽样,
（11.3）=.源自3、蒙特卡罗模拟方法的适用性
• （1）普通的蒙特卡罗模拟方法不适用于美式
（10.23）
（10.24）
其中,
定义为：
（10.25）
３、Heston模型的离散化和模拟
模型的离散化和模拟
5、GARCH模型下的蒙特卡洛模拟定价
二、二叉树模型
1、二叉树模型原理
假设股票当前价格是S，下一期价格有两种可能 (= u)
和 =(Sd)，风险中性下上升概率是p，下跌概率是1-p。
e r q t d
p
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美式看跌期权协议价格为 50 元，求该期权
的价值。
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美式看跌期权的二叉树定价 (cont.)
• 为了构造二叉树，我们把期权有效期分为
五段，每段一个月（等于 0.0833 年）。可
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以算出
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0.8909
4、资产价格随机路径模拟（风险中
性概率测度）
（1）常数波动率模型的离散化和模拟
• 在风险中性世界中，为了模拟路径
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（11.4）
我们把期权的有效期分为 N 个长度为 ∆t 的
时间段，则上式的离散的近似方程为：
（11.5）
6
（２）GARCH模型模拟
模型的离散化形式：
2、欧式期权蒙特卡罗模拟定价
假设标的资长价格服从波动率为常数的几
何布朗运动。对于欧式期权，只需要模拟出
标的资产到期的分布。如欧式看涨期权，第i
条路径下的支付：
()
为标准正态分布的一个随机抽样,
（11.3）=.源自3、蒙特卡罗模拟方法的适用性
• （1）普通的蒙特卡罗模拟方法不适用于美式
（10.23）
（10.24）
其中,
定义为：
（10.25）
３、Heston模型的离散化和模拟
模型的离散化和模拟
5、GARCH模型下的蒙特卡洛模拟定价
二、二叉树模型
1、二叉树模型原理
假设股票当前价格是S，下一期价格有两种可能 (= u)
和 =(Sd)，风险中性下上升概率是p，下跌概率是1-p。
e r q t d
p
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期权定价的数学基础PPT课件
80
15
60
50
股价
V0
0
看涨期权价格
图3-6 股价和看涨期权价格二叉树
2020/1/10
38
交易商提供一个执行价为65美元，一年后到期的看涨 期权，无风险利率为0.048，问期权的公平价格？
如果交易商的报价为6.35美元卖出看涨期权，6.00元 买入，两者之差称为交易商的差价。一客户以每股6.35美元 的价格购入100000股（1000手）看涨期权，交易商现在持 有一个风险很大的头寸，决定通过购买股票对冲风险，应该 买入多少股票，获利情况如何 ？
30 p 90 105 p 0.5
2020/1/10
Institute of Computer Software
Nanjing University
35
重要说明：所求出的p值并不一定和投资
者的观点以及股票市场涨跌的实际概率相对应， 它仅仅是一个产生与无风险回报相等的股票回报。
2020/1/10
31
若已知股价为100美元，将来上涨时价格为l 20 美元，下跌时价格为90美元。假设观察一年的市场行 为，股票上涨的概率的合理选择(见图3-5)，是使股票 的期望回报大致在15％左右，该回报比将100美元投
资于安全的银行账户要高得多。q( 90% )。
2020/1/10
32
p
120
100
1 p
2020/1/10
2
三种方法 博弈论方法 资产组合复制方法 概率方法或期望价值方法
2020/1/10
3
两个假定： 第一，到期日的价格只能是两种特定价格中的一种； 第二，第一个假设对三种方法都适用。
2020/1/10
金融MATLAB期权定价模型与数值方法课件
输入参数：
Price：标的资产市场价格
Strike：执行价格
Rate：无风险利率
Time：距离到期时间
Volatility：标的资产价格波动率
Yield：（可选）资产连续贴现利率，默认为0
输出参数：
Call: Call option价格
Put：Put option价格
期权定价模型与数值方法 2020/4/2
期权定价模型与数值方法 2020/4/2
12
2.3 影响期权价格的因素分析
以blsdelta为例，其他函数的语法与blsdelta基本相同
[CallDelta, PutDelta] = blsdelta(Price, Strike, Rate, Time, Volatility, Yield)
输入参数：
MATLAB
金融数量分析—基于MATLAB 编程
第10章 期权定价模型与数值方法
期权定价模型与数值方法 2020/4/2
1
第10章 期权定价模型与数值方 法
期权定价模型与数值方法 2020/4/2
2
1 期权基础概念
什么是期权？期权就是当什么时候或条件下，你有什么 权力。教课书上的期权似乎离我们比较遥远，或仅限于 金融市场。但如果仔细想想，车险或疾病保险似乎也是 一种期权，期权本质是一种选择权。例如，商业医疗保 险，客户每年缴纳一定的保费，获得在生病时获取一定 补偿的权利。公司期权，若工作业绩达到某个标准（付 出），得到公司多少多上的期权。就如面临选择，需要 权衡一样；各种期权也需要衡量（定价）。
期权定价模型与数值方法 2020/4/2
14
2.3 影响期权价格的因素分析
若要分析期权Detla与标的资产价格、剩余期限的关系， 即不同的Price与Time 计算不同的Detla三维关系，可以 编写delta_price_time.m 程序。
期权定价数值方法课件
1 p 。
相应地，期权价值也会有所不同，分别为 f u 和 f d 。
PPT学习交流
3
无套利定价法：
构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头 当 SuuSdfd。则组合为无风险组合
此时
fu fd Su Sd
因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得
S fS u fue r t
将
fu Su
如果时刻 it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S(1)ujdij
j0,1,LL,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 it 时刻结点的相应的证券价格
为：S(1i)ujdij
（ i 为0时刻到 it 时刻之间所有除权日的总红利支付率）
PPT学习交流
12
20.3.2 已知股息数量的情形
（
S
* 0
为零时刻的 S
*
值）
例20-5
PPT学习交流
14
20.3.3 控制变量技术
基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析 定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。
fˆ 假设： fB fˆB f A fˆA （ f B 代表期权B的真实价值， f A 表示关
于期权A的较优估计值， fˆ A 和 B 表示用同一个二叉树、相同的
PPT学习交流
8
20.1.5 代数表达式
假设把一期权有效期划分成N个长度为 t 的小区间，同时用 S0u dj ij
表示结点 (i, j) 处的证券价格可得（以看涨期权为例）：
fN ,jmS a 0ujx dN (jK ,0) 其中 j0,1,LL,N
假定期权不被提前执行，则：
fije r t[p fi 1 ,j 1 (1p )fi 1 ,j] (0iN ,0ji) （表示在时间 it 时第j个结点处的欧式看涨期权的价值）
相应地，期权价值也会有所不同，分别为 f u 和 f d 。
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3
无套利定价法：
构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头 当 SuuSdfd。则组合为无风险组合
此时
fu fd Su Sd
因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得
S fS u fue r t
将
fu Su
如果时刻 it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S(1)ujdij
j0,1,LL,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 it 时刻结点的相应的证券价格
为：S(1i)ujdij
（ i 为0时刻到 it 时刻之间所有除权日的总红利支付率）
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12
20.3.2 已知股息数量的情形
（
S
* 0
为零时刻的 S
*
值）
例20-5
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14
20.3.3 控制变量技术
基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析 定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。
fˆ 假设： fB fˆB f A fˆA （ f B 代表期权B的真实价值， f A 表示关
于期权A的较优估计值， fˆ A 和 B 表示用同一个二叉树、相同的
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8
20.1.5 代数表达式
假设把一期权有效期划分成N个长度为 t 的小区间，同时用 S0u dj ij
表示结点 (i, j) 处的证券价格可得（以看涨期权为例）：
fN ,jmS a 0ujx dN (jK ,0) 其中 j0,1,LL,N
假定期权不被提前执行，则：
fije r t[p fi 1 ,j 1 (1p )fi 1 ,j] (0iN ,0ji) （表示在时间 it 时第j个结点处的欧式看涨期权的价值）
第4章--期权定价的数值方法课件
2021/1/24
第4章--期权定价的数值方法
22
（五）、二叉树方法的一般定价过程
§ 以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权有效期
划分成N个长度为 t 的小区间，令 fij(0iN ,0ji)
表示在时间 it 时第j个结点处的美式看跌期权的价值，
同时用
Suj表di示j 结点
处(i, 的j) 证券价格，可得：
2021/1/24
第4章--期权定价的数值方法
27
§ 把证券价格分为两个部分：一部分是不确定的，其价值用
表示S *，而另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值，
假设在期权有效期内只有一次红利。
S*(it)S(it)
it
(8.9)
S * (i t) S (i t) D e r( i t) it
§ 为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简 单和直观的方法
§ 二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式 期权和奇异期权）定价模型的基本手段
§ 对于所有不能给出解析式的期权，都可以 通过二叉树模型给出。
2021/1/24
第4章--期权定价的数值方法
3
一、二叉树模型的基本方法
首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔△t，，并假 设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能：
14
§ 第二期本来有四种状态，但若规定u=1/d，则第 二、三两种状态为同一结果，可以将其合并，由 期权的定义式
cuu max(0,SuuX)max(0,u2S0X) cud cdumax(0,SudX)max(0,udS0X) cdd max(0,SddX)max(0,d2S0X)
2021/1/24
fer t pfu1pfd
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若有提前执行的可能性，则：
f i,j m S 0 u j a d N jx K ,e { r t[ p i ! ,j 1 f ( 1 p ) f i 1 ,j]}
PPT学习交流
9
20.1.6 估计Delta与其他希腊值
f1,1 f1,0 S0u S0d
[f( 2 ,2 f2 ,1 )/S (0 u 0 2 .5 S ( 0 S )0 u ] 2 [ fS ( 2 ,0 1 d 2 ) f2 ,0 )/S (0 S 0 d 2 )] f2,1 f0,0
第20章
基本数值方法
PPT学习交流
1
第20章 基本数值方法
20.1 二叉树 20.2 采用二叉树对股指、货币与期货期权定价 20.3 对于支付股息股票的二叉树模型 20.4 构造树形的其他方法 20.5 参数依赖于时间的情形 20.6 蒙特卡罗模拟法 20.7 方差缩减程序 20.8 有限差分法
PPT学习交流
2t
f* f
PPT学习交流
10
20.2 采用二叉树对股指、货币与期货期权进行定价
当对股指、货币和期货上的期权定价时，可以将这些标的资产看作是提供已 知收益率的资产。对于股指而言，收益率就是股指中股票组合的股息收益率；对 于货币而言，收益率等于外币无风险利率；对于期货合约而言，收益率等于无风 险利率。
在某些情形下，尤其是当期权的期限很短时，最符合现实的做法是假设已
知股息支付的数量而不是股息收益率。假设股票波动率 为常数，二叉树的
形状如下图所示。
Su S
Sd
Su2-D S-D
除权日
Sd2-D
PPT学习交流
13
将股票价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期 权有效期内所有未来股息的贴现值。假设在期权有效期内只有一个 除息日，则在时刻 it 不确定部分的价值为：
如果时刻 it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S(1)ujdij
j0,1,LL,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 it 时刻结点的相应的证券价格
为：S(1i)ujdij
（ i 为0时刻到 it 时刻之间所有除权日的总红利支付率）
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20.3.2 已知股息数量的情形
S*(it)S(it) 当 it 时 S * (i t) S (i t) D e r( i t) 当 it 时（D为股息）
fd Sd
代入上式就可得到：
fer t pfu1pfd
其中
ert d p
ud
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4
20.1.1 风险中性定价
在对衍生产品定价时，可以假定世界是风险中性的。 在风险中性世界里： （1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。
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5
20.1.2 确定p,u,d
在风险中性的条件下, 参数值满足条件：
Sret pSu (1p)Sd ert pu (1p)d
假设证券价格遵循几何布朗运动，则：
S 22 t p S 2 u 2 ( 1 p ) S 2 d 2 S 2 [ p u ( 1 p ) d ] 2 2 t p 2 ( 1 u p ) d 2 p ( 1 u p ) d 2
如果是欧式期权，可通过将 T 时刻的期权价值的预期值在 t时间长度
内以无风险利率 r贴现求出每一结点上的期权价值；
如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前 执行期权和继续再持有 时t 间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较 大者作为本结点的期权价值。
例20-1 DerivaGem示范
e(rq)t p u(1p)d p e(rq)t d
ud
u e t
d e t
Derivagem求解例20-3，20-4
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20.3 对于支付股息股票的二叉树模型
20.3.1 股息收益率是已知的情形
假设股息离散支付，股息收益率已知
可通过调整在各个结点上的股票价格，算出期权价格；
如果时刻 it 在除权日之前，则结点处股票价格仍为：Sju dij,j0,1,,i
再设定：u 1/ d（第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox、Ross和
Rubinstein所用的条件）
ert d
由以上三式可得，当 t 很小时：p u d
u e t
d e t
从而 fer t pfu1pfd
以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。
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20.1.3 资产价格的树形
2
20.1 二叉树
Su p
把期权的有效期分为很多很小的时间间
S 1-p Sd
隔 ，t 并假设在每一个时间间隔 t 内证
券价格只有两种运动的可能：
1、从开始的 S 上升到原先的 u 倍，即到达 S u ；
t 时间内资产价格的变动 2、下降到原先的 d 倍，即 S d 。
其中 u 1，d 1 .如图所示。价格上升的概率假设为 p ，下降的概率假设为
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20.1.5 代数表达式
假设把一期权有效期划分成N个长度为 t 的小区间，同时用 S0u dj ij
表示结点 (i, j) 处的证券价格可得（以看涨期权为例）：
fN ,jmS a 0ujx dN (jK ,0) 其中 j0,1,LL,N
假定期权不被提前执行，则：
fije r t[p fi 1 ,j 1 (1p )fi 1 ,j] (0iN ,0ji) （表示在时间 it 时第j个结点处的欧式看涨期权的价值）
Su4 Su3
Su2
Su2
Su
Su
S
S
SHale Waihona Puke SdSdSd2 Sd2
Sd3
Sd4
一般而言，在 it 时刻，证券价格有 i 1 种可能，它们可用符号表示为：
S0ujdij 其中 j0,1,LL,i
由于 u
1 d
，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。
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20.1.4 通过树形倒推计算
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法， 从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
1 p 。
相应地，期权价值也会有所不同，分别为 f u 和 f d 。
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无套利定价法：
构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头 当 SuuSdfd。则组合为无风险组合
此时
fu fd Su Sd
因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得
S fS u fue r t
将
fu Su