期权定价模型和数值方法1
期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要模型之一，它通过考虑期权的各项特性，将期权的价值与其相关的标的资产、行权价格、到期时间、波动率、无风险利率等一系列因素联系起来，从而确定期权的公平价格。
在期权定价模型中，常用的模型有布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）和它的改进模型，如布莱克-斯科尔斯-默顿模型（Black-Scholes-Merton Model）。
这些模型基于一些假设，包括市场无摩擦、无风险利率不变、标的资产价格服从几何布朗运动等。
布莱克-斯科尔斯模型是最早的期权定价模型之一，它将期权价格视为标的资产价格的函数，通过假设标的资产价格服从几何布朗运动，并应用风险中性估计，推导出了一个偏微分方程，即著名的布莱克-斯科尔斯方程。
利用该方程可以计算出欧式看涨/看跌期权的价格。
然而，布莱克-斯科尔斯模型在实际应用中存在一些限制，例如假设市场无摩擦和无风险利率不变的条件，并且假设标的资产价格服从几何布朗运动，这些假设在现实市场中并不总是成立。
因此，为了更准确地定价期权，学者们提出了一系列改进的模型。
其中，布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对布莱克-斯科尔斯模型的一个重要改进。
该模型引入了对标的资产价格波动率的估计，通过蒙特卡洛模拟或数值方法，可以计算出更加准确的欧式期权价格。
此外，还有许多其他的改进模型，如跳跃扩散模型、随机波动率模型等，针对不同的市场和期权特性提供了更加精确的定价方法。
总之，期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要工具，它通过考虑期权的各项特性和相关因素，计算出期权的公平价格。
布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型是常用的期权定价模型，但也存在一些假设和限制。
为了更精确地定价期权，学者们提出了一系列改进模型，以适应不同市场和期权特性的需求。
在期权定价领域，除了布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型外，还有许多其他的期权定价模型被广泛应用。
这些模型包括跳跃扩散模型、随机波动率模型、二叉树模型等等，它们分别在不同的金融市场和期权类型中发挥着重要的作用。
期权定价的基本原理及方法
一个简单套利的例子
• 对一个欧式买权，假设 c=3 S0 = 20 T=1 r = 10% K = 18 D=0 • 这个期权的定价是否存在套利机会呢?
为了说明这个问题，我们可以构造如下简单的组合： 卖出一份股票，然后买入一份买权，多余的资金买入相同期限的无风险债券。 该组合初始投入为零。
买权到期时组合的收益情况: 若,ST K 执行期权，获得一份股票，该组合的收益为 Pay off=(S0 c) * (1 r) K (20 3) * (1 0.1) 18 0.7 若，ST K 不执行期权，通过市场买入一份股票，该组合的收益为 Pay off=(S0 c) * (1 r) ST (20 3) * (1 0.1) 18 0.7 因此，无论股价朝哪个方向运行，我们的策略都可以获得大于0. 元的利润。 7 所以这个期权的定价明显偏低。
11 12 13
期权价格 期权价格
买权价格
0 5
10
5
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 19 18 17 16 15
期权内在价值 利率增加后的价格 红利率增加后的价格
14
利率对买权价值的影响
红利对买权价值的影响
2年期期权价格 期权内在价值 5年期期权价格
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
期权价格
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
期权内在价值 波动率增加后的价格
期限对买权价值的影响
波动率对卖权价值的影响
买权价格
10 15 20 25 10 15 20 25 0
金融学中的期权定价模型
金融学中的期权定价模型在金融学领域中，期权是一种金融工具，赋予持有人在未来某个特定时间以特定价格购买或出售标的资产的权利。
期权定价模型是为了确定期权合理价格的数学模型。
本文将介绍金融学中常用的期权定价模型，包括布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型。
布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）是最为著名和广泛使用的期权定价模型之一。
该模型于1973年由费舍尔·布莱克（Fisher Black）和米伦·斯科尔斯（Myron Scholes）共同提出，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
布莱克-斯科尔斯模型基于一系列假设，包括标的资产价格服从随机几何布朗运动、市场无摩擦、无交易成本等。
根据这些假设，该模型通过偏微分方程推导出了期权的定价公式。
该公式可以用来计算欧式期权的价格，在交易中发挥了重要的作用。
风险中性定价模型（Risk-Neutral Pricing Model）是另一种常用的期权定价模型。
该模型的基本原理是假设市场参与者对风险持中立态度，即市场对未来价格的期望值等于当前价格。
根据这个假设，风险中性定价模型通过建立与衍生品价格相关的风险中性测度，将期权的定价问题转化为风险中性测度下的期望值计算。
相对于布莱克-斯科尔斯模型，风险中性定价模型更加灵活，可以应用于更复杂的市场情况，并且可以解决了一些布莱克-斯科尔斯模型无法解决的问题。
除了布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型，金融学中还有其他的期权定价模型，如扩散模型、二叉树模型和蒙特卡洛模拟等。
这些模型都有各自的优势和适用范围，可以根据具体情况选择合适的模型进行期权定价。
需要注意的是，期权定价模型只是一种理论框架，模型的有效性和适用性需要在实践中进行验证。
实际应用中，投资者还需要考虑市场流动性、实际交易成本、波动率预测等因素，并结合自身的投资策略进行决策。
总结而言，金融学中的期权定价模型是为了计算期权的合理价格而设计的数学模型。
期权定价数值方法
期权定价数值方法期权定价是金融学和衍生品定价的重要研究领域之一。
相对于传统的基于解析公式的定价方法，数值方法在期权定价中发挥了重要作用。
本文将介绍几种常用的期权定价数值方法。
第一种方法是蒙特卡洛模拟法。
这种方法通过生成大量的随机路径，从而模拟出期权的未来价格演化情况。
蒙特卡洛模拟法能够处理各种复杂的衍生品，尤其适用于路径依赖型期权的定价。
其基本思想是通过随机游走模拟资产价格的变化，并在到期日计算期权的收益。
蒙特卡洛方法的优点在于简单易懂，适用于任意的收益结构和模型。
缺点是计算复杂度高，需要大量的模拟路径，同时计算结果存在一定的误差。
第二种方法是二叉树模型。
二叉树模型将时间离散化，并用二叉树结构模拟资产价格的变化。
每一步的价格变动通过建立期权价格的递归关系进行计算。
二叉树模型适用于欧式期权的定价，特别是在波动率较低或资产价格较高时效果更好。
二叉树模型的优点在于计算速度快，容易理解，可以灵活应用于各种不同类型的期权。
缺点是对期权到期日的分割存在一定的限制，复杂的期权结构可能需要更多的分割节点。
第三种方法是有限差分法。
有限差分法将连续时间和连续空间离散化，通过有限差分近似式来计算期权价格。
其基本思想是将空间上的导数转化为有限差分的形式，然后通过迭代的方法求解有限差分方程。
有限差分法适用于各种不同类型的期权定价，特别是美式期权。
它是一种通用的数值方法，可以处理多种金融模型。
缺点是计算复杂度高，特别是对于复杂的期权结构和高维度的模型，需要更多的计算资源。
综上所述，期权定价的数值方法包括蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法。
不同的方法适用于不同类型的期权和市场情况。
在实际应用中，可以根据具体的问题选择合适的数值方法进行期权定价。
期权定价是金融学中一个重要的研究领域，它的核心是确定期权合理的市场价值。
与传统的基于解析公式的定价方法相比，数值方法在期权定价中有着重要的应用。
本文将进一步介绍蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法，并探讨它们的优缺点及适用范围。
期权定价模型
二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。
因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。
第12章 期权定价的数值方法
S it S it De
r it
其中， D 表示红利。
26
因此，我们需要先构造不含红利的价格树图，之 后再加上未来红利的现值。在 it 时刻： ◦ 当 it 时，这个树上每个节点对应的证券价 格为： * j i j
S0 u d j 0,1......i
t pd 12 2 t pu 12 2
2 pm 3
32
基本原理：期权 A 和期权 B 的性质相似，我们 可以得到期权 B 的解析定价公式，而只能得到 期权 A 的数值方法解，这时就可以利用期权 B 解析法与数值法定价的误差来纠正期权 A 的数 值法的定价误差。 用 f B 代表期权 B 的真实价值（解析解），f A ˆ 和 ˆ 表 表示关于期权 A 的较优估计值， f fB A 示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同 样的有限差分过程得到的估计值。
e
r q t
pu 1 p d
e
r q t
相应有
p
d ud
式（ 12.5 ）和（ 12.6 ）仍然成立：
u e d e
t t
21
可通过调整在各个节点上的证券价格，算出期权 价格； 如果时刻 i∆t 在除权日之前，则节点处证券价 格仍为：
为了模拟路径
dS r q Sdt Sdz
我们把期权的有效期分为 N 个长度为 ∆t 的时 间段，则上式的近似方程为：
S t t S t (r q )S t t S t t (12.9)
(12.10)
或
或
2 ln S t t ln S t r q t t 2
期权定价的数值方法
随机抽样值
0.52 1.44 －0.86 1.46 －0.69 －0.74
该时间步长中的 股票价值变化 0.236
0.611 －0.329
0.628 －0.262 －0.280
19
（二）、单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟
▪ 蒙特卡罗模拟的优点之一在于无论回报结果依赖于标的变量S所遵循 的路径还是仅仅取决于S的最终价值，都可以使用这一方法。同时， 这个过程也可以扩展到那些回报取决于多个标的市场变量的情况。
期权定价的数值方法
1
二、基本二叉树方法的扩展
▪ 支付连续红利率资产的期权定价 ▪ 支付已知红利率资产的期权定价 ▪ 已知红利额 ▪ 利率是时间依赖的情形
2
连续红利率资产的期权定价
▪ 当标的资产支付连续收益率为q的红利时，在风 险中性条件下，证券价格的增长率应该为r-q， 因此：
e (rq)t pu (1 p)d
其中
p e(rq)t d ud
u, d表达式仍然适用
3
支付已知红利率资产的期权定价
▪ 若标的资产在未来某一确定时间将支付已知红利率（红 利与资产价格之比），只要调整在各个结点上的证券价 格，就可算出期权价格。调整方法如下：
▪ 如果it 时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍为： Su j d i j , j 0,1, , i
S t t S t r qS t t S t t
或
ln
ห้องสมุดไป่ตู้
S
t
t
ln
S
t
r
q
2
2
t
t
S
t
t
S
t exp
r
q
2
2
带交易费的多资产期权定价模型及数值解法
Ｍ ｕ ｔ ａ ｓ ｔｏ ｔｏ ｒｃｎ ｏ ｅ ｎ ｕ ｅ ｉａ ｔ ｏ ｔ ｒ ｎ ａ ｔ ｎ ｃ ｓｓ ｌｉ ｓ ｅ ｐ ｉｎ ｐ ｉｉ ｇ ｍ ｄ ｌａ ｄ ｎ ｍ ｒｃ ｌｍｅ ｈ － ｄ ｗｉｈ ｔａ ｓ ｃ ｉ ｏ ｔ ｏ
Ｌｉ ｅ，Ｚ ｏ ｈ ｎ ｗｕ ｉ ｈ ｕＳ ｅ ｇ Ｗ
Ｊ ｎ ，０ １ ｕ ． ２ １
带 交 易 费 的 多资产 期权 定 价模 型及 数 值 解 法
黎 伟 ， 周圣武
（ 国矿 业 大 学 理 学 院 ， 苏 徐 州 ２ １ １ ） 中 江 ２ １ ６
摘 要 ： 究 了 考虑 交 易 成 本 的 多 资产 期 权 定 价 问题 ． 先 运 用 证 券 组 合 技 术 和无 套 利 原 理 将 Ｈｏ ｇｒ－ ａｅ－ ｌ 研 首 ｇ ａｄＷｈｌ ｙＷｉ ｌ — ｍｏｔ 型 推 广 为 多资 产 的 情形 ； ｔ模 而后 以极 大 期权 为例 ， 用 变 量 替 换对 模 型 进 行 简 化 ， 建 出 该 模 型 的 一 种 显 式 差 分 运 构
第 ２ 卷第 ２ ９ 期
２１ ０ １年 ６月
徐州师范大学学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＸｕ ｈ ｕ Ｎｏｍａ ｉｅｓｔ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｚ ｏ ｒ ｌ ｏ Ｕｎｖ ｒ ｉ Ｎａｕ ａ ｃ Ｎｏ ２ ｌ２ ， ．
１７ ９ ３年 ， 国金 融学 家 Ｂａ ｋ和 Ｓ ｈ ｌ 在 有效 市场 和股 票价 格满 足几 何 布 朗运 动等 假设 条 件 下 ， 用 美 ｌｃ ｃ ｏｅ ｓ 运
连续 交易 保值 策 略推 出著名 的 Ｂａ ｋＳ ｈ ｌｓ ｌｃ — ｃ ｏｅ 股票 期权 定价 模 型［ ． １ 然而 ， ］ 在实 际金 融市 场 上 ， 股票 交 易需 要
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3．期权的内在价值
买入期权在执行日的价值 为
CT max(ST E, 0)
其中， E为执行价， 为标的资产的市场价。 卖出期权在执行日的价值为
PT max(E ST , )
（3）根据交易方法，可分为场内交易和场外交易。场内交易即 是通常所指的交易所交易，指所有的供求方集中在交易所进行竞 价交易的交易方式。场外交易即是柜台交易，指交易双方直接成 为交易对手的交易方式，其参与者仅限于信用度高的客户。
利用金融衍生物对原生资产进行风险管理的基 本策略是套期保值（或对冲hedging）,即交易者在 现货市场和期货（权）市场同时构作两个数量相 同、方向相反的头寸（positions）。
这就是买入期权和卖出期权平价。 同样施权价、同样到期日的买入期权和卖出期权的价格 必须符合上式，否则就会出现套利机会。
1.3 期权的应用
1．应用期权进行保值
保值是指投资者将自身不愿意承担的风险转让给愿意承 担这种风险的投资者的行为。期权工具可以用来防范不利 的价格波动产生的风险。
（1）持股购入看跌期权 例如：一个持有福特汽车公司股票的投资者可能担心股 票在未来几个月会下跌，于是就购买其“看跌期权”这样
导 论 风险管理与金融衍生品
1、风险和金融衍生品的概念
风险（risk）指结果的不确定性。 金融衍生产品（derivatives)是指其价值依赖于基础资产(或称标的资产） (underlyings assets)价值变动的合约（contracts），它是一种风险管理的工具。 金融衍生品共同特征是保证金交易，即只要支付一定比例的保证金就可进行 全额交易，不需实际上的本金转移，合约的了结一般也采用现金差价结算的 方式进行，只有在满期日以实物交割方式履约的合约才需要买方交足贷款。 因此，金融衍生产品交易具有杠杆效应。保证金越低，杠杆效应越大，风险 也就越大。
以上的权利义务在执行日全部结清，不考虑交易成本和税 收，投资者的现金和在施权日现金流量如下表：
不管在执行日价格如何变化，该组合的价值为0。由于 上述组合为无风险投资组合，期末价值为零。如果假设市 场无套利机会，它的期初价值也必然为零，即
C P S Eert 0
即
C P S Eert
2、金融衍生品的分类
（1）根据产品形态，可以分为远期、期货、期权、掉期四大类。
（2）根据原生资产分类，即股票、利率、汇率和商品。如果再 加以细分，股票类中又包括股票期货、股票期权合约和股票指数 期货和期权合约等；利率类中又可分为以短期存款利率为代表的 利率期货、利率远期、利率期权、利率掉期合约和以长期债券利 率为代表的债券期货、债券期权合约；货币类中包括各种不同币 种之间的比值；商品类中包括各类大宗实物商品。
第一章 期权定价基础
1.1 期权及其有关概念 1.2 买入期权与卖出期权的平价 1.3 期权的应用
期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一 种金融衍生工具。理论和实践均表明，只要投资 者合理的选择其手中证券和相应衍生物的比例， 就可以获得无风险收益。这种组合的确定有赖于 对衍生证券的定价。上个世纪七十年代初期， Black 和 Scholes 通过研究股票价格的变化规律， 运用套期保值的思想，成功的推出了在无分红情 况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程。从 而为期权的精确合理的定价提供了有利的保障。 这一杰出的成果极大的推进了金融衍生市场的稳 定、完善与繁荣。
设 S为股票市价， C为买入期权价格， P为卖出期权价
格， E为执行价，ST为执行日股Eert票价格， t 为距期权日时间，
r 为利率（常数）。 假设投资者现在以价格 C 出售一单位买入期权，以价
格 P 购入一单位卖出期权，以 S 价格购入一单位期权的标
的股票，以利率 r 借入一笔借期为 t 的现金，金额为 E，ert
1.1 期权及其有关概念
1．期权的定义
期权分为买入期权（Call Option）和卖出期权（Put Option）
买入期权:又称看涨期权（或敲入期权），它赋予期权 持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价 格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。
卖出期权:又称看跌期权（或敲出期权），它赋予期权 持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价 格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。
根据期权的施权价与标的资产市场价之间的关系，期权 可分为币内期权（in the money）（S > E） 、币上期权 （at the money） （S = E） 和币外期权（out of the money） （S < E)。
1.2 买入期权与卖出期权的平价
买入期权、卖出期权和标的资产三者之间存在一种价格 依赖关系，这种依赖关系就称为买入期权、卖出期权平价 （call and put parity）。以欧式股票期权为例，考察一下 这种平价关系。
针对有效期规定不同，期权又分为欧式期权 （European Option）与美式期权（American Option）
欧式期权只有在到期日当天或在到期日之前的某一规定 的时间可以行使的权利
美式期权在到期日之前的任意时刻都可以行使的权利。
2．期权的要素
期权的四个要素：执行价（exercise price或striking price）；执行日（maturing data）；标的资产 （underlying asset）；期权费（option premium）
《期权定价模型与数值方法》
经济数学学院 教师：向开理 2012年04月
期权定价模型和数值方法 导 论 风险管理与金融衍生品 第一章 期权定价基础 第二章 期权定价方法的理论基础__布朗运动、伊藤引 理和Black-Scholes微分方程 第三章 期权定价的树图法和有限差分法 第四章 蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）方法 第五章 参量变化对期权价格的影响
他将来就有权以事先协定的价格出售股票。如果这种股票 的价格真的下跌，那么投资者就可以事先协定的较高价位 售出该股票而获得利润。若股票价格上升 ,期权就变得分文 不值，但投资者只是损失了购买期权的少量期权费，却在 股票上获利。