2019届人教版九年级数学中考模拟试卷含答案

浙教版2018-2019学年度九年级中考数学模拟试卷含解析答案题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共12小题，12*3=36）1．的值是（）A．1B．﹣1C．3D．﹣32．已知x2﹣3x+1=0，则的值是（）A．B．2C．D．33．如图，在数轴上表示实数的可能是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N4．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，你认为派谁去参赛更合适（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数．从左面看到的这个几何体的形状图的是（）A．B．C．D．6．计算﹣•的结果是（）A．B．C．D．7．某种长途的收费方式如下：接通的第一分钟收费a元，之后的每分钟收费b元，如果某人打一次该长途被收费m元，则这次长途的时间是（）A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟8．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D．四边形ACDF不可能是正方形9．若不等式组的解集为x＞3，则a的取值是（）A．a≤6B．a≥6C．a＜6D．a≤010．如图，点A、B的坐标分别为（0，2）、（2，0），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1，若点D为⊙O上的一个动点，线段DB与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值为（）A．1B．2C．2﹣D．4﹣11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①抛物线的对称轴为x=﹣1；②abc=0；③方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根；④无论x取何值，ax2+bx≤a﹣b．其中，正确的个数为（）A．4B．3C．2D．112．如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF⊥AE交正方形的外角∠DCG的平分线于点F，设BE=x，△ECF的面积为y，下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共6小题，4*6=24）13．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）= ．14．如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD，若∠BCA=90°，AB=4，则CD的长为．15．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是．16．如图，△AOB，AB∥x轴，OB=2，点B在反比例函数y=上，将△AOB绕点B逆时针旋转，当点O的对应点O′落在x轴的正半轴上时，AB的对应边A′B恰好经过点O，则k的值为．17．如图，动点P从（0，2）出发，沿所示的方向在矩形网格中运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，若第一次碰到矩形的边时坐标为P1（2，0），则P2017的坐标为．18．如图，MN为⊙O的直径，四边形ABCD，CEFG均为正方形，若OM=2，则EF的长为．评卷人得分三．解答题（共7小题，60分）19．（6分）解方程组：．20．（8分）有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和数量如下表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．甲种糖果乙种糖果丙种糖果单价（元/千克）152025千克（千克）304030（1）该什锦糖的单价为元/千克．（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中再加入甲、乙两种糖果共100千克，则最少需要加入甲种糖果多少千克？21．（8分）某企业计划购买甲、乙两种学习用品800件，资助某贫困山区希望小学，已知每件甲种学习用品的价格比每件乙种学习用品的价格贵10元，用400元购买甲种学习用品的件数恰好与用320元购买乙种学习用品的件数相同．（1）求甲、乙两种学习用品的价格各是多少元？（2）若该希望小学需要乙种学习用品的数量是甲种学习用品数量的3倍，按照此比例购买这800件学习用品所需的资金为多少元？22．（8分）如图①，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，连结AC并延长AC至点D，使CD=CA，连结ED交⊙O于点B．（1）求证：点C是劣弧的中点；（2）如图②，连结EC，若AE=2AC=4，求阴影部分的面积．23．（10分）问题探究（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；问题解决（3）如图③，AC为边长为2的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．24．（10分）如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）25．（10分）已知，矩形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点B的坐标为（8，10），抛物线y=ax2+bx+c经过点O，点C，与AB交于点D，将矩形OABC沿CD折叠，点B的对应点E刚好落在OA上．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的表达式；（2）若点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，是否存在这样的点P、Q，使得以点P、Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．的值是（）A．1B．﹣1C．3D．﹣3【分析】直接利用立方根的定义化简得出答案．【解答】解：=﹣1．故选：B．【点评】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．2．已知x2﹣3x+1=0，则的值是（）A．B．2C．D．3【分析】先根据x2﹣3x+1=0得出x2=3x﹣1，再代入分式进行计算即可．【解答】解：∵x2﹣3x+1=0，∴x2=3x﹣1，∴原式==．故选：A．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．3．如图，在数轴上表示实数的可能是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【分析】根据数的平方估出介于哪两个整数之间，从而找到其对应的点．【解答】解：∵＜＜，∴2＜＜3，点Q在这两个数之间，故选：B．【点评】此题考查了无理数的估算以及数轴上的点和数之间的对应关系，解题的关键是求出介于哪两个整数之间．4．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，你认为派谁去参赛更合适（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案．【解答】解：∵1.5＜2.6＜3.5＜3.68，∴甲的成绩最稳定，∴派甲去参赛更好，故选：A．【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大．5．一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数．从左面看到的这个几何体的形状图的是（）A．B．C．D．【分析】由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为4，3，2；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为1，4，3．据此可画出图形．【解答】解：由俯视图及其小正方体的分布情况知，该几何体的主视图为：该几何体的左视图为：故选：B．【点评】此题主要考查了几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．6．计算﹣•的结果是（）A．B．C．D．【分析】先进行二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：原式=3﹣=3﹣=．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．7．某种长途的收费方式如下：接通的第一分钟收费a元，之后的每分钟收费b元，如果某人打一次该长途被收费m元，则这次长途的时间是（）A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟【分析】打的时间=（m﹣超过a元的钱数+b）÷b，把相关数值代入即可．【解答】解：这次长途的时间是分钟，故选：C．【点评】考查列代数式；得到打所用两个时间段的和的关系式是解决本题的关键．8．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D．四边形ACDF不可能是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、正确．∵∠ACB=∠EFD=30°，∴AC∥DF，∵AC=DF，∴四边形AFDC是平行四边形．故正确．B、错误．当E是BC中点时，无法证明∠ACD=90°，故错误．C、正确．B、E重合时，易证FA=FD，∵四边形AFDC是平行四边形，∴四边形AFDC是菱形，D、正确．当四边相等时，∠AFD=60°，∠FAC=120°，∴四边形AFDC不可能是正方形．故选：B．【点评】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定．正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法，属于中考常考题型．9．若不等式组的解集为x＞3，则a的取值是（）A．a≤6B．a≥6C．a＜6D．a≤0【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集即可确定a的围．【解答】解：解不等式2x+a＜3（x+1）得：x＞a﹣3，解不等式＞，得：x＞3，∵不等式组的解集为x＞3，∴a﹣3≤3，解得：a≤6，故选：A．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键10．如图，点A、B的坐标分别为（0，2）、（2，0），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1，若点D为⊙O上的一个动点，线段DB与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值为（）A．1B．2C．2﹣D．4﹣【分析】由于OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙O相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，由△AEO∽△ACD，求出OE 的长即可解决问题；【解答】解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；由勾股定理，得：AD=2；∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC，∴△AOE∽△ADC，∴=，∴=，OE=，∴BE=2﹣，∴△ABE的面积的最小值=•BE•AO=2﹣，故选：C．【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键．11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①抛物线的对称轴为x=﹣1；②abc=0；③方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根；④无论x取何值，ax2+bx≤a﹣b．其中，正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（0，0），∴对称轴为x==﹣1，故①正确；∵抛物线开口向下，a＜0，抛物线与原点相交，c=0，∴abc=0，故②正确；∵c=0，∴b2﹣4a（c+1）=b2﹣4a＞0，故③正确；当x=﹣1时，抛物线有最大值，∴无论x取何值，ax2+bx+c≤a﹣b+c，即ax2+bx≤a﹣b，故④正确．正确的为①②③④，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定是解题的关键．12．如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF⊥AE交正方形的外角∠DCG的平分线于点F，设BE=x，△ECF的面积为y，下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】过F作FG⊥BC于G，求出FG=CG，求出△BAE∽△GEF，得出=，求出FG=x，代入y=×CE×FG求出解析式，根据解析式确定图象即可．【解答】解：过F作FG⊥BC于G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCG=90°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCG=∠DCG=45°，∵∠G=90°，∴∠GCF=∠CFG=45°，∴FG=CG，∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠B=∠G=∠AEF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，∴∠BAE=∠FEG，∵∠B=∠G=90°，∴△BAE∽△GEF，∴=，∵BE=x，∴EG=BC﹣BE+CG=4﹣x+FG，∴=，解得：FG=x，∴y=×CE×FG=×（4﹣x）•x，即：y=2x﹣x2，故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象、正方形性质、角平分线定义、三角形面积的计算、相似三角形的性质和判定的应用等知识，能用x的代数式把CE和FG的值表示出来是解决问题的关键．二．填空题（共6小题）13．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）= （y﹣1）2（x﹣1）2．【分析】式中x+y；xy多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点，设x+y=a，xy=b，将a、b代入原式，进行因式分解，然后再将x+y、xy代入进行因式分解．【解答】解：令x+y=a，xy=b，则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1=（b﹣a+1）2；即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x ﹣1）2．故答案为：（y﹣1）2（x﹣1）2．【点评】本题考查了多项式的因式分解，因式分解要根据所给多项式的特点，选择适当的方法，对所给多项式进行变形，套用公式，最后看结果是否符合要求．14．如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD，若∠BCA=90°，AB=4，则CD的长为 2 ．【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，再证明DA=DC，从而得到CD=AB=2．【解答】解：由作法得MN垂直平分BC，∴DB=DC，∴∠B=∠BCD，∵∠B+∠A=90°，∠BCD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠A，∴DA=DC，∴CD=AB=×4=2．故答案为2．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．15．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是 4 ．【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=x1•x2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值围，从而可确定k的值．【解答】解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k，∵x12+x22=4，∴=4，（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，2k2+2k﹣4=0，k2+k﹣2=0，k=﹣2或1，∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，k≥0，∴k=1，∴x1•x2=k2﹣k=0，∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4．故答案为：4．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．16．如图，△AOB，AB∥x轴，OB=2，点B在反比例函数y=上，将△AOB绕点B逆时针旋转，当点O的对应点O′落在x轴的正半轴上时，AB的对应边A′B恰好经过点O，则k的值为．【分析】先求得△BOO′是等边三角形，即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线的解析式；【解答】解：（1）∵AB∥x轴，∴∠ABO=∠BOO′，∵∠ABO=∠A′BO′，∴∠BOO′=∠OBO′，∴OO′=O′B，∵OB=BO′，∴△BOO′是等边三角形，∴∠BOO′=60°，∵OB=2，∴B（1，）；∵双曲线y=经过点B，∴k=1×=，故答案为．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数的解析式等，求得△BOO′是等边三角形是解题的关键．17．如图，动点P从（0，2）出发，沿所示的方向在矩形网格中运动，每当碰到矩形的（2，0），边时反弹，反弹时反射角等于入射角，若第一次碰到矩形的边时坐标为P1的坐标为（2，0）．则P2017【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2017除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，2），∵2017÷6=336…1，∴当点P第2017次碰到矩形的边时为第336个循环组的第1次反弹，点P的坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．【点评】此题考查了对点的坐标的规律变化的认识，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．18．如图，MN为⊙O的直径，四边形ABCD，CEFG均为正方形，若OM=2，则EF的长为2 ．【分析】连接OD、OF，作OH⊥AD于H，如图，利用垂径定理得到AH=DH，再证明OC=AD，设正方形ABCD的边长为x，利用勾股定理x2+x2=（2）2，解得x=4（x=﹣4舍去），然后设正方形CEFG的边长为a，在Rt△OFG中利用勾股定理得到a2+（2+a）2=（2）2，于是解关于a的方程即可．【解答】解：连接OD、OF，作OH⊥AD于H，如图，则AH=DH，∵四边形ABCD为正方形，∴四边形OCDH为矩形，∴OC=AD，设正方形ABCD的边长为x，在Rt△OCD中，∵OD=2，OC=x，CD=x，∴x2+x2=（2）2，解得x=4（x=﹣4舍去），设正方形CEFG的边长为a，则FG=a，OG=2+a，在Rt△OFG中，a2+（2+a）2=（2）2，解得a=2，即EF=2．故答案为2．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了正方形的性质和勾股定理．三．解答题（共7小题）19．解方程组：．【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：方程组整理得：，①+②得：8x=24，解得：x=3，把x=3代入②得：y=﹣5，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．20．有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和数量如下表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．甲种糖果乙种糖果丙种糖果单价（元/千克）152025千克（千克）304030（1）该什锦糖的单价为20 元/千克．（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中再加入甲、乙两种糖果共100千克，则最少需要加入甲种糖果多少千克？【分析】（1）根据单价=三种糖果的总价÷三种糖果的总质量，由此即可得出结论；（2）设需加入甲种糖果x千克，则加入乙种糖果（100﹣x）千克，根据单价=总价÷数量结合单价不超过18元/千克，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x 的取值围，取其的最小值即可．【解答】解：（1）（15×30+20×40+25×30）÷（30+40+30）=20（元/千克）．故答案为：20．（2）设需加入甲种糖果x千克，则加入乙种糖果（100﹣x）千克，根据题意得：≤20﹣2，解得：x≥80．答：最少需要加入甲种糖果80千克．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及加权平均数，解题的关键是：（1）根据单价=三种糖果的总价÷三种糖果的总质量列式计算；（2）根据单价=总价÷数量结合单价不超过18元/千克，列出关于x的一元一次不等式．21．某企业计划购买甲、乙两种学习用品800件，资助某贫困山区希望小学，已知每件甲种学习用品的价格比每件乙种学习用品的价格贵10元，用400元购买甲种学习用品的件数恰好与用320元购买乙种学习用品的件数相同．（1）求甲、乙两种学习用品的价格各是多少元？（2）若该希望小学需要乙种学习用品的数量是甲种学习用品数量的3倍，按照此比例购买这800件学习用品所需的资金为多少元？【分析】（1）设甲种学习用品的价格是x元，则乙种学习用品的价格是（x﹣10）元，根据数量=总价÷单价结合用400元购买甲种学习用品的件数恰好与用320元购买乙种学习用品的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据总价=单价×数量列式计算，即可得出结论．【解答】解：（1）设甲种学习用品的价格是x元，则乙种学习用品的价格是（x﹣10）元，根据题意得：=，解得：x=50，经检验，x=50是原分式方程的解，∴x﹣10=40．答：甲种学习用品的价格是50元，乙种学习用品的价格是40元．（2）50××800+40××800=34000（元）．答：按照此比例购买这800件学习用品所需的资金为34000元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价，列出关于x的分式方程；（2）根据总价=单价×数量列式计算．22．如图①，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，连结AC并延长AC至点D，使CD=CA，连结ED交⊙O于点B．（1）求证：点C是劣弧的中点；（2）如图②，连结EC，若AE=2AC=4，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接CE ，由AE 是⊙O 的直径，得到CE ⊥AD ，根据等腰三角形的性质得到∠AEC=∠DEC ，于是得到结论；（2）连接BC ，OB ，OC ，由已知条件得到△AED 是等边三角形，得到∠A=60°，推出AE∥BC ，∠BOC=60°，于是得到结论．【解答】解：（1）连接CE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴CE ⊥AD ，∵AC=CD ，∴AE=ED ，∴∠AEC=∠DEC ，∴；∴点C 是劣弧的中点；（2）连接BC ，OB ，OC ，∵AE=2AC=4，∴∠AEC=30°，AE=AD ，∴∠AED=60°，∴△AED 是等边三角形，∴∠A=60°，∵=，∴==，∴AE ∥BC ，∠BOC=60°，∴S △OBC =S △EBC ，∴S 阴影=S 扇形==π．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．23．问题探究（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；问题解决（3）如图③，AC为边长为2的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．【分析】（1）结论：AM⊥BN．只要证明△ABM≌△BCN即可解决问题；（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．首先证明PA+PB=2EF，求出EF的最大值即可解决问题；（3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB．首先证明PA+PB=PK，求出PK的最大值即可解决问题；【解答】解：（1）结论：AM⊥BN．理由：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，∵BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∵∠CBN+∠ABN=90°，∴∠ABN+∠BAM=90°，∴∠APB=90°，∴AM⊥BN．（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，∴四边形EFPG是矩形，∴∠FEG=∠AEB=90°，∴∠AEF=∠BEG，∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，∴△AEF≌△BEG，∴EF=EG，AF=BG，∴四边形EFPG是正方形，∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，∵EF≤AE，∴EF的最大值=AE=2，∴△APB周长的最大值=4+4．（3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB．∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°，∴∠APB=120°，∵∠AKB=60°，∴∠AKB+∠APB=180°，∴A、K、B、P四点共圆，∴∠BPH=∠KAB=60°，∵PH=PB，∴△PBH是等边三角形，∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，∴△KBH≌△ABP，∴HK=AP，∴PA+PB=KH+PH=PK，∴PK的值最大时，△APB的周长最大，∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，∴△PAB的周长最大值=2+4．【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．24．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】（1）延长DC交AN于H．只要证明BC=CD即可；（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在 Rt△ADH中求出AH即可解决问题；【解答】解：（1）延长DC交AN于H．∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，∴∠BDH=30°，∵∠CBH=30°，∴∠CBD=∠BDC=30°，∴BC=CD=10（米）．（2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65，∴DH=15，在Rt△ADH中，AH===20，∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65≈11.4（米）．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．25．已知，矩形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点B的坐标为（8，10），抛物线y=ax2+bx+c经过点O，点C，与AB交于点D，将矩形OABC沿CD折叠，点B的对应点E刚好落在OA上．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的表达式；（2）若点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，是否存在这样的点P、Q，使得以点P、Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据翻折的性质，可得DE，CE的长，根据勾股定理，可得AD的长，根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行四边形的对角线互相平分，可得xQ =xP，根据自变量与函数式的对应关系，可得答案；②根据平行四边形对边的横坐标的距离相等可得|xQ ﹣xP|，根据自变量与函数式的对应关系，可得答案．【解答】解：（1）由矩形OCBA，B点坐标为（8，10），得C（8，0），AB=8，AC=BC=10．设AD的长为x，BD=8﹣x，由翻折的性质，得DE=DB=8﹣x，CE=BC=10，由勾股定理，得OE===6，AE=AO﹣OE=10﹣6=4，在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2+AE2=DE2，即42+x2=（8﹣x）2，解得x=3，即D（3，10），C（8，0），将D、C、O点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（2）C点坐标为（8，0），E（0，6）①当CE为平行四边形的对角线时，对角线的交点坐标为（4，3），∵Q在对称轴上，∴点P的横坐标等于Q的横坐标4，当x=4时，y=，点P为抛物线的顶点∴P（4，）；②当CE为平行四边形的边时，C、E两点之间的水平距离等于P、Q两点间的横坐标，对称轴是x=4，C、E两点之间的水平距离等于8，P在Q的左边时，4﹣8=﹣4，当x=﹣4时，y=﹣32，即P（﹣4，﹣32）；P在Q的右边时，4+8=12，当x=12时，y=﹣32，即P（12，﹣32）；综上所述：存在这样的点P、Q，使得以点P、Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标（4，），（﹣4，﹣32），（12，﹣32）．【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用翻折的性质得出DE，CE的长，又利用了勾股定理，待定系数法；解（2）的关键是利用平行四边形的性质xQ =xP，|xQ ﹣xP|；又利用了自变量与函数值的对应关系．。