1987年IMO中国国家队选拔考试试题
历届IMO试题（1-44届）
历届IMO试题（1-44届）第1届IMO1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。
2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程acos2x+bcosx+c=0,试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。
当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。
4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.)求证AF、BC相交于N点；（b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S；(c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。
6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。
试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。
第2届IMO1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。
2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1-√(1+2x))2<2x+93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tanα=4nh/(an2-a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.正方体ABCDA''B''C''D''（上底面ABCD，下底面A''B''C''D''）。
IMO中国国家集训队选拔考试试题与解答(1995-2010)
© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
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C2x1 + C2x2 + …+ C2x16 ≤C211 = 55.
①
容易看出 , 当 x1 , x2 , …, x16尽量平均 (至多相差
1) 时 , 上式左端和数最小 , 从而 , x1 + x2 + …+ x16 最
大. 因此 , 当 x1 , x2 , …, x16 中有两个 4 和 14 个 3 时 ,
=
1.
②
比较 ①、②两式可得
AP AQ
=
PC QC
.
③
过 P 作 EF 的平行线分别交 OA 、OC 于 I 、J ,则有
PI QO
=
AP AQ
,
JP QO
=
PC QC
.
④
由 ③、④可得
PI QO
=
JP QO
]
PI = PJ .
又 OP ⊥IJ ,则 OP 平分 ∠IOJ ,
即 OP 平分 ∠AOC.
去掉前 2 行与前 10 列 , 至多去掉 22 + 16 = 38 个 红点 ,余下的 15 ×7 的方格表中至少还有 34 个红点 , 34 = 3 ×4 + 2 ×11. 这些红点至少构成
3 ×4 + 11 = 23 个不同的“红点对”, 23 > 21 = C27 , 必导致边平行于网 格线的红顶点矩形 ,矛盾.
2016年第57届imo中国国家队选拔考试试题(pdf版)
目录
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一 第一天 2016 年 3 月 15 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一 第二天 2016 年 3 月 16 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三 第一天 2016 年 3 月 25 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三 第二天 2016 年 3 月 26 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二 第一天 2016 年 3 月 20 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二 第二天 2016 年 3 月 21 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
������������(������������ + ������) ≡ ������������(������������ + ������′) + ������(mod������)
1988年IMO中国国家队选拔考试试题
1988Day 11Suppose real numbers A,B,C such that for all real numbers x,y,z the following inequality holds:A (x −y )(x −z )+B (y −z )(y −x )+C (z −x )(z −y )≥0.Find the necessary and sufficient condition A,B,C must satisfy (expressed by means of an equality or an inequality).2Find all functions f :Q →C satisfying(i)For any x 1,x 2,...,x 1988∈Q ,f (x 1+x 2+...+x 1988)=f (x 1)f (x 2)...f (x 1988).(ii)f (1988)f (x )=f (1988)f (x )for all x ∈Q .3In triangle ABC ,∠C =30◦,O and I are the circumcenter and incenter respectively,Points D ∈AC and E ∈BC ,such that AD =BE =AB .Prove that OI =DE and OI ⊥DE .4Let k ∈N ,S k ={(a,b )|a,b =1,2,...,k }.Any two elements (a,b ),(c,d )∈S k are called ”undistinguishing”in S k if a −c ≡0or ±1(mod k )and b −d ≡0or ±1(mod k );otherwise,we call them ”distinguishing”.For example,(1,1)and (2,5)are undistinguishing in S 5.Considering the subset A of S k such that the elements of A are pairwise distinguishing.Let r k be the maximum possible number of elements of A .(i)Find r 5.(ii)Find r 7.(iii)Find r k for k ∈N ./This file was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 1http://www.mathlinks.ro/1988Day 21Let f (x )=3x +2.Prove that there exists m ∈N such that f 100(m )is divisible by 1988.2Let ABCD be a trapezium AB//CD,M and N are fixed points on AB,P is a variable point on CD .E =DN ∩AP ,F =DN ∩MC ,G =MC ∩P B ,DP =λ·CD .Find the value of λfor which the area of quadrilateral P EF G is maximum.3A polygon is given in the OXY plane and its area exceeds n.Prove that there exist n +1points P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),...,P n +1(x n +1,y n +1)in such that ∀i,j ∈{1,2,...,n +1},x j −x i and y j −y i are all integers.4There is a broken computer such that only three primitive data c ,1and −1are reserved.Only allowed operation may take u and v and output u ·v +v.At the beginning,u,v ∈{c,1,−1}.After then,it can also take the value of the previous step (only one step back)besides {c,1,−1}.Prove that for any polynomial P n (x )=a 0·x n +a 1·x n −1+...+a n with integer coefficients,the value of P n (c )can be computed using this computer after only finite operation./This file was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 2http://www.mathlinks.ro/。
历届IMO数论问题详解
9n 1 ，矛
②当 n 2 时， p ( x) x 10 x 22 81 ，所以 ( x 5) 128 ，因此 x 17 。也就是说十
2 2
位数只能是 1 ，设 x 10 k , 0 k 7 ，则 p ( x) (10 k ) 10(10 k ) 22 k ，解得
求满足下列条件的最小自然数n十进制尾数为6并且把末尾的6是一个k位数去掉6以后得到的位数为a所以10可以被13整除因为我们要求最小的n当然首先要k最小可以验算当可以被13整除此时15384153846容易验证153846的确满足要求所以153846为所求
附录 1
历届 I题 1：求证对任意正整数 n ，分数 (21n 4) /(14n 3) 不可约。 证明：因为 3 (14n 3) 2 (21n 4) 1 。所以对于任意正整数 n ， 21n 4 与 14n 3 都 互质，所以分数 (21n 4) /(14n 3) 不可约。
k k 1
4) 13 ，所以
(10k 1 4) 可以被 13 整除，因为我们要求最小的 n ，当然首先要 k 最小，可以验算当 k 6
时， (10
k 1
4) 可以被 13 整除，此时 a 15384, n 153846 ，容易验证 153846 的确满足
要求，所以 n 153846 为所求。
c 3 不能构成一个三角形。
②如果 a b 2 ，代入得 bc 4(b 1) ，而 (b, b 1) 1 ，所以 b 4 ，只能有 b 2或4 。将
b 2 代入得 c 6 不符合要求；而 b 4 时，可得 c 5, a 6 ，正好满足要求。
1987年第二十八届IMO试题(不含答案)
3.设x1，x2，…，xn为满足 的实数。求证：对于所有的整数k≥2，都有不全为0的整数a1，a2，…，an，使得对于所有的i都有|ai|≤k-1且
。（联ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ德国）
4.求证：没有一个函数f，其定义域与值域都为非负整数集，且对于每个n都有f(f(n))=n+1987。（越南）
5.设n是一个大于或等于3的整数。求证：平面上存在n个点，它们任意两点间的距离是无理数，且任意三点能形成一个面积为有理数的非退化三角形。（民主德国）
第二十八届（1987年）
古巴哈瓦那（Havana，Cuba）
1.设pn(k)是集合{1,…，n}的具有k个不动点的排列的数目，n≥1。求证： 。（注意：集合S的排列f是S自己的一对一映射。S中的一个元素i若满足f(i)=i那么i就叫做排列f的不动点。）（联邦德国）
2.在锐角三角形ABC中，∠A的内角平分线交BC于L，并交三角形ABC的外接圆于N。过L点作AB和AC的垂线，垂足分别为K和M。求证：四边形AKNM和三角形ABC的面积相同。（苏联）
历届中国数学奥林匹克(全国中学生数学冬令营)试题解答
√1 42
.
则|zk| = x2k + yk2 |xk| + |yk|.
n
∴ |xk| + |yk| 1.
k=1
∴ | xk| + | xk| + | yk| + | yk| 1.
xk 0
xk <0
yk 0
yk <0
其中必有一项不小于
1 4
,不妨设为第一项,则
|
xk |
1 4
.
xk 0
∴|
zk| = |
1 4
.
√
2xk .
∴
xk
zk√∈A
而4 2 < 6,
√1 42
.∴
∴|
|
zk| =
zk ∈A
zk |
1 6
.
|
xk
zk ∈A
+
i
yk |
zk ∈A
zk ∈A
即A中复数之和的模不小于
1 6
.证毕.
另证:设zk = xk + yki(xk, yk ∈ R, k = 1, 2 . . . , n)
xk
zk ∈A
最后一步是由于x2, x3, . . . , xn > 0, (x2 + · · · + xn)2 = x22 + · · · + x2n +
xixj
2 i<j n
逆命题的证明:对于任意的1
i<j
n,令xi
=
xj
=
1 2
,其余xk均等于0.则
1 2
(ai
+
aj )
历届中国数学奥林匹克 全国中学生数学冬令营 试题解答
盾.所以不能按要求排成这样一行. √
6.用任意的方式,给平面上的每一点染上黑色或白色. 求证:一定存在一个边长为1或 3的正三角形,它的
三个顶点是同色的.
证明:(1)若平面上存在距离为2的两个点A, B异色,设O为它们的中点,不妨设A, O同色. 考虑以AO为一 √
边的正三角形AOC, AOD,若C, D中有一个与A, O同色,则该三角形满足题意. 否则BCD为边长 3的
∴
a1x1 + a2x2 + · · · + anxn − a1x21 − a2x22 − · · · − anx2n
= a1(x1 − x21) + a2(x2 − x22) + · · · + an(xn − x2n)
a1(x1 − x21) + (−a1)(x2 − x22) + · · · + (−a1)(xn − x2n)
+
1)ϕ
=
1.显然以−ϕ代ϕ即有(1).所以6|n
+
2.证毕.
2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分,过各分点平行于其它两边的直线, 将这三角形分成若干个
小三角形,这些小三角形的顶点都称为结点, 并且在每一结点上放置了一个实数.已知:
(1)A, B, C三点上放置的数分别为a, b, c.
(2)在每个由有公共边的两个最小三角形组成的菱形之中, 两组相对顶点上放置的数之和相等.
个1986之间夹着1986个数.请证明你的结论.
解:不能.假设可以做出这样的排列,将已排好的数按顺序编号为1,2,. . . ,3972.
当n为奇数时,两个n的编号奇偶性相同;当n为偶数时,两个n的编号奇偶性不同. 而1到1986之间有993个
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1987
Day 111a.)For all positive integer k find the smallest positive integer f (k )such that 5sets s 1,s 2,...,s 5exist satisfying:
I.each has k elements;II.s i and s i +1are disjoint for i =1,2,...,5(s 6=s 1)III.the union of the 5sets has exactly f (k )elements.
b.)Generalisation:Consider n ≥3sets instead of 5.
Corrected due to the courtesy of
[url=http://www.mathlinks.ro/Forum/profile.php?mode=viewprofileu=2616]zhaoli.[/url]2A closed recticular polygon with 100sides (may be concave)is given such that it’s vertices have integer coordinates,it’s sides are parallel to the axis and all it’s sides have odd length.Prove that it’s area is odd.
Corrected due to the courtesy of
[url=http://www.mathlinks.ro/Forum/profile.php?mode=viewprofileu=2616]zhaoli.[/url]3Let r 1=2and r n =
n −1 k =1r i +1,n ≥2.Prove that among all sets of positive integers such that n
k =11a i
<1,the partial sequences r 1,r 2,...,r n are the one that gets nearer to 1./This file was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 1http://www.mathlinks.ro/
1987
Day 21Given a convex figure in the Cartesian plane that is symmetric with respect of both axis,we construct a rectangle A inside it with maximum area (over all posible rectangles).Then we enlarge it with center in the center of the rectangle and ratio lamda such that is covers the convex figure.Find the smallest lamda such that it works for all convex figures.2Find all positive integer n such that the equation x 3+y 3+z 3=n ·x 2·y 2·z 2has positive integer solutions.3Let G be a simple graph with 2·n vertices and n 2+1edges,then there is a K 4-one edge,that is two triangles with a common edge./This file was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 2http://www.mathlinks.ro/。