岩石力学-岩石弹性本构关系
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岩体本构关系与强度理论
岩体力学
Rockmass Mechanics
第七章 岩体本构关系与强度理论
概述 岩石的本构关系 岩石强度理论 岩体变形及本构关系 岩体破坏机制及破坏判据
概述
－－岩体的力学性质表现为弹性、塑性和粘性或三者之间的组合，如
粘弹性、弹粘性、弹塑性、弹塑粘性等。
如何求解岩体的基本力学问题呢？
3
(12c)1
1 3c
3(12)t
那么最大正应变强度判据可写成：
f C tg
1 1 3 c
当岩石应力条件满足以上判据时，岩石发生张破裂。取其中最小的
比较。 该强度理论适用于无围压和低围压及脆性岩石。
0
0
2. （二次）抛物线型 岩性较坚硬至较弱的岩石，
如泥灰岩、泥岩、砂岩、泥页 岩、页岩等岩石的强度包络线 近似于二次抛物线。
3．双曲线型 岩性坚硬、较坚硬的岩石，
如砂岩、灰岩、花岗岩等，其强 度包络线近似于双曲线。
二次抛物线型莫尔强度包络线 双曲线型莫尔强度包络线
0
说明：莫尔－库仑判据（强度理论）实质上是一种剪应力强度判据（理 论），既适用于塑性岩石，又适用于脆性岩石的剪切破坏，应用很广。
那么，岩石承受低于瞬时强度的荷载作用，是否会破坏？
只要收到长期荷载作用下，由于流变作用，岩石完全可能发生破坏。 而且岩石强度随外荷载作用时间的延长而降低，通常将时间t→∞的强度 （最低值）称为岩石的长期强度。
对大多数岩石，长期强度/瞬时强度（S∞/S0）一般为0.4～0.8，软的 和中等坚固岩石为0.4～0.6，坚固岩石为0.7～0.8。
2.莫尔－库仑强度理论
（Coulomb-Mohr Strength theory）
Rockmass Mechanics
第七章 岩体本构关系与强度理论
概述 岩石的本构关系 岩石强度理论 岩体变形及本构关系 岩体破坏机制及破坏判据
概述
－－岩体的力学性质表现为弹性、塑性和粘性或三者之间的组合，如
粘弹性、弹粘性、弹塑性、弹塑粘性等。
如何求解岩体的基本力学问题呢？
3
(12c)1
1 3c
3(12)t
那么最大正应变强度判据可写成：
f C tg
1 1 3 c
当岩石应力条件满足以上判据时，岩石发生张破裂。取其中最小的
比较。 该强度理论适用于无围压和低围压及脆性岩石。
0
0
2. （二次）抛物线型 岩性较坚硬至较弱的岩石，
如泥灰岩、泥岩、砂岩、泥页 岩、页岩等岩石的强度包络线 近似于二次抛物线。
3．双曲线型 岩性坚硬、较坚硬的岩石，
如砂岩、灰岩、花岗岩等，其强 度包络线近似于双曲线。
二次抛物线型莫尔强度包络线 双曲线型莫尔强度包络线
0
说明：莫尔－库仑判据（强度理论）实质上是一种剪应力强度判据（理 论），既适用于塑性岩石，又适用于脆性岩石的剪切破坏，应用很广。
那么，岩石承受低于瞬时强度的荷载作用，是否会破坏？
只要收到长期荷载作用下，由于流变作用，岩石完全可能发生破坏。 而且岩石强度随外荷载作用时间的延长而降低，通常将时间t→∞的强度 （最低值）称为岩石的长期强度。
对大多数岩石，长期强度/瞬时强度（S∞/S0）一般为0.4～0.8，软的 和中等坚固岩石为0.4～0.6，坚固岩石为0.7～0.8。
2.莫尔－库仑强度理论
（Coulomb-Mohr Strength theory）
04岩石的本构关系和强度准则1
微分单元体的变形
15
4.2 应变及应变状态分析
微分单元体的变形
16
4.2 应变及应变状态分析
微分单元体的变形
正应变与位移分量之间的关系
显然微分线段伸长，则正应变ε x,ε y,ε z 大于零；反之则小于零。
17
4.2 应变及应变状态分析
微分单元体的变形
剪应变与位移分量之间的关系
xy
19
4.3 岩石的应力应变关系
求解岩石力学问题是从岩石的单元微分体出发，研究微分 体的力的平衡关系(平衡方程)、位移与应变的关系(几何方程) 以及应力与应变的关系(物理方程或本构方程)，得到相应的基 本方程，然后结合岩石的边界条件，联立、积分求解这些方程， 从而求得整个岩石内部的应力场和位移场。 平衡方程和几何方程与岩石材料的性质无关，只有本构关 系反映岩石材料的性质。所谓岩石本构关系是指岩石的应力或 应力速率与其应变或应变速率的关系。在只考虑静力问题情况 下，本构关系就是指应力与应变，或者应力增量与应变增量之 间的关系。
11 12 13 11 12 13 22 23 12 22 23 21 31 32 33 13 23 33
7
4.1 应力及应力状态分析
二、一点应力状态的张量表达
20
4.3 岩石的应力应变关系
岩石在弹性阶段的本构关系称为岩石弹性本构关系，岩 石在塑性阶段的本构关系称为岩石塑性本构关系。岩石弹性
本构关系和塑性本构关系通称为弹塑性本构关系。弹性本构 关系按是否为线性又分为线弹性本构关系与非线弹性本构关 系。弹塑性本构关系按物质是否为各向同性又分为各向同性 本构关系和非各向同性本构关系。 如果外界条件不变，岩石的应力或应变随时间而变化， 则称岩石具有流变性。岩石产生流变时的本构关系称为岩石 的流变本构关系。
15
4.2 应变及应变状态分析
微分单元体的变形
16
4.2 应变及应变状态分析
微分单元体的变形
正应变与位移分量之间的关系
显然微分线段伸长，则正应变ε x,ε y,ε z 大于零；反之则小于零。
17
4.2 应变及应变状态分析
微分单元体的变形
剪应变与位移分量之间的关系
xy
19
4.3 岩石的应力应变关系
求解岩石力学问题是从岩石的单元微分体出发，研究微分 体的力的平衡关系(平衡方程)、位移与应变的关系(几何方程) 以及应力与应变的关系(物理方程或本构方程)，得到相应的基 本方程，然后结合岩石的边界条件，联立、积分求解这些方程， 从而求得整个岩石内部的应力场和位移场。 平衡方程和几何方程与岩石材料的性质无关，只有本构关 系反映岩石材料的性质。所谓岩石本构关系是指岩石的应力或 应力速率与其应变或应变速率的关系。在只考虑静力问题情况 下，本构关系就是指应力与应变，或者应力增量与应变增量之 间的关系。
11 12 13 11 12 13 22 23 12 22 23 21 31 32 33 13 23 33
7
4.1 应力及应力状态分析
二、一点应力状态的张量表达
20
4.3 岩石的应力应变关系
岩石在弹性阶段的本构关系称为岩石弹性本构关系，岩 石在塑性阶段的本构关系称为岩石塑性本构关系。岩石弹性
本构关系和塑性本构关系通称为弹塑性本构关系。弹性本构 关系按是否为线性又分为线弹性本构关系与非线弹性本构关 系。弹塑性本构关系按物质是否为各向同性又分为各向同性 本构关系和非各向同性本构关系。 如果外界条件不变，岩石的应力或应变随时间而变化， 则称岩石具有流变性。岩石产生流变时的本构关系称为岩石 的流变本构关系。
5.1-3 岩石力学与工程 岩石本构关系与强度理论
（5-12）
4. 塑性体的性能 1）当物体所受的应力小于屈服极限时，模型表现为 刚形体； 2）当物体所受的应力大于或等于屈服极限时，模型 表现为理想塑性体，即具有塑性流动的特点。
2014-4-21
14
（3）粘性元件（牛顿体N） 1.定义 牛顿流体是一种理想粘性体，即应力与应变速率成 正比，用符号N表示 。 2.力学模型
2014-4-21
10
5.3.3 基本元件
（1）弹性元件（虎克体H） 1.定义 如果材料在载荷作用下，其变形性质完全符合虎克 定律，即是一种理想的弹性体，则称此种材料为虎 克体，用符号H代表。 2.力学模型
图5-2 虎克体力学模型及其动态
2014-4-21 11
3.本构方程
K
（5-11）
（2）流变现象
1.流变性质：是指材料的应力-应变关系与时间因素 有关的性质。 2.流变现象：材料变形过程中具有时间效应的现象。 3.岩石的流变包括蠕变、松弛和弹性后效。
2014-4-21 6
4.蠕变：是当应力不变时，变形随时间的增加而增长 的现象。 5.松弛：是当应变不变时，应力随时间增加而减小的 现象。 6.弹性后效：是加载或卸载时，弹性应变滞后于应力 的现象。 7.粘性流动：即蠕变一段时间后卸载，部分应变永久 不恢复的现象。
图5-4 牛顿流体力学模型及其动态
2014-4-21 15
3.本构方程
d 或 dt
1
（5-13）
将（5-13）式积分，得：
t C
（5-14）
式中：C——积分常数，当时，C=0，则：
4.牛顿体的性质 1）从（5-15）式可以看出，当t=0时，ε=0。当应力 为 0 时，完成其相应的应变需要时间 t1 ，说明应变 与时间有关，牛顿体无瞬时变形。
岩石的本构关系和强度(公式)
2
平面应力及应力状态分析
计算岩石的抗压强度
ctΒιβλιοθήκη 1 sin o 2C cos c 2C 2Ctg 45 1 sin 2 1 sin
抗拉强度
2C cos Rt 1 sin
内聚力
C
C
t c
2
2
1 sin 2 1 sin 2
1 tg 1 tg 2 2 1 3 1 tg 1 tg 2 2
2
0 0 1 3 tg 45 2C tg 45 2 2
1 3
2
1 3
2
sin
1 1 1 1 n 1 3 1 3 sin 1 3 1 3 cos 2 2 2 2 2 1 1 f 1 3 cos 1 3 sin 2 2 2
极值应力与主应力
237
平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
极值应力与主应力
237
平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
极值应力与主应力
237
平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
极值应力与主应力
237
平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
极值应力与主应力
237
平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
O1
1 3 / 2 sin 1 3 / 2 c ctg
平面应力及应力状态分析
莫尔-库伦破坏准则：
1
3 / 2 sin 3 / 2 c ctg
平面应力及应力状态分析
计算岩石的抗压强度
ctΒιβλιοθήκη 1 sin o 2C cos c 2C 2Ctg 45 1 sin 2 1 sin
抗拉强度
2C cos Rt 1 sin
内聚力
C
C
t c
2
2
1 sin 2 1 sin 2
1 tg 1 tg 2 2 1 3 1 tg 1 tg 2 2
2
0 0 1 3 tg 45 2C tg 45 2 2
1 3
2
1 3
2
sin
1 1 1 1 n 1 3 1 3 sin 1 3 1 3 cos 2 2 2 2 2 1 1 f 1 3 cos 1 3 sin 2 2 2
极值应力与主应力
237
平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
极值应力与主应力
237
平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
极值应力与主应力
237
平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
极值应力与主应力
237
平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
极值应力与主应力
237
平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
O1
1 3 / 2 sin 1 3 / 2 c ctg
平面应力及应力状态分析
莫尔-库伦破坏准则：
1
3 / 2 sin 3 / 2 c ctg
岩石力学第四章 岩石本构关系与强度理论
yx
14
下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单元体列平
衡方程：
Fx 0 :
(
x
x x
dx ) dy
1
x
dy
1
(
yx
yx y
dy )
dx
1
o
x
yx
y
P A xy X x B C y
D
x
x
x
dx
Y
xy
xy x
dx
y
yx y
y
yx y
dy
dy
yx dx 1 X dx dy 1 0
无外力作用。
y
x
注意：平面应力问题z =0，但 z 0 ，这与平面应变
问题相反。
11
2、平面应变问题 很长的柱体，在柱面上承受平行于柱面并且不沿长度变
化的面力，同时体力也平行于柱面并且不沿长度变化。
εz = 0 τzx = 0 τzy = 0
如：水坝、受内压的圆柱管道和长水平巷道等。
y
x
P
x
图 2－2
是坐标的已知函数。
23
2、应力边界条件
当物体的边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满 足与面力相平衡的力的平衡条件。
l(x)s m(yx)s X
m(y)s
l(xy)s
Y
其中 X 和 Y 为面力分量，( x )s、( y )s 、( xy ) s 、( yx )s 为边界上的应 力分量。
当边界面垂直于 x轴时，应力边界条件简化为：
变分量与应力分量之间的
关系如下：
x
1 E
x
y
z
y
1 E
y
扩容岩石力学知识点总结
扩容岩石力学知识点总结一、岩石的力学性质1. 岩石的本构关系岩石的本构关系描述了岩石受力后的应力-应变关系，是岩石力学研究的核心内容之一。
根据岩石的本构关系，可以推导得到岩石的弹性模量、剪切模量等力学参数，这些参数对于岩石的工程应用至关重要。
2. 岩石的强度特性岩石的强度特性是指岩石在受到外力作用时的抗压、抗拉、抗剪等力学性能。
岩石的强度特性直接影响着岩石的工程应用能力，因此对于岩石的强度特性的研究至关重要。
3. 岩石的弹性模量岩石的弹性模量是描述岩石在受力作用下的弹性变形特性的重要参数，它是岩石的抗压、抗拉等性能的基础。
岩石的弹性模量是岩石力学研究的重要内容之一。
二、岩石的变形和破坏规律1. 岩石的变形规律岩石在受到外力作用时会发生变形，其变形规律主要表现为岩石的弹性变形和塑性变形。
岩石的变形规律是岩石力学研究的重要内容之一。
2. 岩石的破坏规律岩石在受到外力作用时会发生破坏，其破坏规律主要表现为岩石的压缩破坏、拉伸破坏、剪切破坏等。
岩石的破坏规律是岩石力学研究的重要内容之一。
三、岩石力学的实际应用1. 岩石工程设计岩石力学的研究成果可以应用于岩石工程设计中，包括隧道工程、坝基工程、矿山工程等。
岩石工程设计是岩石力学的重要应用领域之一。
2. 地质灾害防治岩石力学的研究成果可以应用于地质灾害防治工程中，包括滑坡治理、岩体稳定性评价等。
地质灾害防治是岩石力学的重要应用领域之一。
3. 岩石勘查岩石力学的研究成果可以应用于岩石勘查工作中，包括岩石性质测试、岩体稳定性评价等。
岩石勘查是岩石力学的重要应用领域之一。
总之，岩石力学是一门重要的土木工程岩土力学的分支学科，对于地下工程、矿山开采、地质灾害防治等方面具有重要的理论和实际意义。
希望本文的内容能够为岩石力学的学习和研究提供一定的参考和帮助。
第7章岩体本构关系与强度理论
σ σc
σ
利用图7-10中的关系，有：
σ3
1 2
(1 3)
1 2
(1
3)
ctg 2
sin 2
1.双向压7 缩应4力2圆，2.双向拉压应力圆，
3..双向拉伸应力圆 图7-10 二次抛物型强度包络线
其中：
n( t )
1 3 2
sin 2
(
1 3 )2 2
2
(
1
3
)
2
规定：
1、σ1为最大主应力 、σ2 为中间主应力、 σ3 为最小主应力 ；
2、压应力为正，拉应力为负，剪应力以逆时 针为正。位移与应变的规定也一样。
二、 岩石弹性本构关系 1．平面弹性本构关系
据广义虎克定理有：
成E/（1- μ 2） ，μ换成μ/（1- μ）。
2. 空间问题弹性本构方程
x
1 E
x
( y
z )
y
1 E
y
( z
x )
z
1 E
z
( x
y )
yz
2(1 E
) yz , zx
1
1 f f2
2
f
f
)
σ1
1 tan2 c
1 3tg 2 (45 / 2) 2ctg(45 / 2)
σc
arc( tan2 θ)
岩石本构关系
按应力求解时，变换基本方程和边界条件 为应力分量的函数，求出应力分量后，代 入弹性本构关系，求出应变分量，再代入 几何方程求出位移分量。
3.2.5 平面问题的求解
按位移求解时，变换基本方程和边界条件 为位移分量函数，求出位移分量后，代入 几何方程求出变形分量，再代入本构方程 求出应力分量。
v y
xy
v x
u y
2、空间问题的几何方程（柯西方程）
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
w x
u z
3.2.3 物理方程（弹性本构关系）
混合求解时，变换部分基本方程和边界条 件为只包含部分未知函数，先求出这部分 未知函数以后，再应用适当方程求出其他 的未知函数。
以上这些方法我们已在弹性力学中学习了 这里不再熬述。
3.3 岩石流变理论
岩石的变形不仅表现出弹性和塑性，而且也具有流 变性质，岩石的流变包括蠕变、松弛和弹性后效。
平衡微分方程
几何方程
物理方程或本构方程
结合边界条件
应力场解 位移场解
求解岩石力学问题的基本步骤图解
3.2.1 平衡微分方程 1、平面问题的平衡微分方程：
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
3.2.5 平面问题的求解
按位移求解时，变换基本方程和边界条件 为位移分量函数，求出位移分量后，代入 几何方程求出变形分量，再代入本构方程 求出应力分量。
v y
xy
v x
u y
2、空间问题的几何方程（柯西方程）
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
w x
u z
3.2.3 物理方程（弹性本构关系）
混合求解时，变换部分基本方程和边界条 件为只包含部分未知函数，先求出这部分 未知函数以后，再应用适当方程求出其他 的未知函数。
以上这些方法我们已在弹性力学中学习了 这里不再熬述。
3.3 岩石流变理论
岩石的变形不仅表现出弹性和塑性，而且也具有流 变性质，岩石的流变包括蠕变、松弛和弹性后效。
平衡微分方程
几何方程
物理方程或本构方程
结合边界条件
应力场解 位移场解
求解岩石力学问题的基本步骤图解
3.2.1 平衡微分方程 1、平面问题的平衡微分方程：
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
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同样可以由∑Fy=0得出另一个方程 则平面问题的应力边界条件为：
弹性力学平面问题的基本方程 平衡微分方程（4-2） 几何方程（4-3） 本构方程 （4-7）
4.2.4平面问题的求解
按应力求解、按位移求解和混合求解
按应力求解时，变换基本方程和边界条件为应力分量 的函数，求出应力分量后；代入平面问题的岩石弹性本构关 系；求出变形分量，再代入几何方程求出位移分量。
4.2 岩石弹性本构关系
4.2.1平面应力与平面应变问题
平面应力问题：外力沿Z方向无变化
σz=0，τzx=0, τzy=0 平面应变问题：任何一个横截面在Z方向都没有位移，也就是
w ＝0，所有变形都发生在于xy面平面内。
εz=0 τzx=0, τzy=0
4.2.2平面弹性本构关系
在完全弹性的各向同性体内，根据胡克定律可知
则第二式满足 ξ（X，y）也是任意函数
使方程组（4-18）的两式同时满足，
如果取
可以使（4-21）式满足， φ（x,y）也是任意函数 将（４—22）式代入（4－19）式和（4—20）式 可得通解
将通解（4—23）式与特解（4—17）式叠加，可得平衡微分方程的全解
函数φ（x，y）称为应力函数，或称艾瑞函数。
设物体的体积力为自重（X＝0；Y＝－ρg＝－P）,则平面问 题的解答归结为求下列三个微分方程的积分，并满足其边界 条件,
平衡微分方程：
相容方程：
方程（4．16）是一个非齐次微分方程； 其解是相应齐次方程的通解与非齐次方程组特解之和 特解可以取为
齐次方程组的通解
如取意 函数，再取
位移边界条件：设us，vs为物体的边界位移． u0 ,v0表示边界点在x，y轴方向的给定位移，则位移边
界条件为us= u0 vs = v0
应力边界条件
物体在边界上所受的面力是已知的在物体的边 界上取一斜面，N代表斜面AB的外法线的方 向， X Y表示边界上给定的面力在x，y轴方 向的分量。设AB的长度为ds；垂直于图平面 的尺寸为1，列出∑Fx=0 平衡方程：
按位移求解时，变换基本方程和边界条件为位移分量函 数，求出位移分量以后，代入几何方程求出变形分量，再代入 本构方程求出应力分量。
在混合求解时，变换部分基本方程和边界条件为只包含部 分未知函数，先求出这部分未知函数以后，再用适当方程求出 其他的未知函数。
按应力求解平面问题时所需要的微分方程 平面问题的几何方程
式中，E为物体的弹性模量；υ为泊松比；G为剪切弹性模量，而
在平面应变问题中，因τyz＝τzx＝0， 故γyz＝γzx＝0 。又因εz=0 可知σz = υ（σx+σy）
平面应变问题的本构方程:
在平面应力问题中，因为σz =τzx=τyz=0 ；
平面应力问题的本构方程:
4.2.3边界条件
位移边界条件、应力边界条件、应力位移混合 边界条件
将（4－24）式代入（4－15）式得
展开上式，得
这就是用应力函数中表示的相容方程，它是一个重调和方程。
4.2.5空间问题基本方程
空间问题的平衡微分方程：
空间问题的几何方程：
空间问题本构方程：
将εx, εy,分别对y和X求二阶导数，然后相加
变形协调方程或相容方程
将本构方程代入相容方程，消去相容方程中的变形分 量 。对于平面应力问题
由平衡微分方程得： 将以上二式分别对X及y求导，然后相加得
代入（4-12）简化以后得
对平面应变问题
当体力为常量时，两种平面问题的相容方程都可简化为 拉普拉斯算子