4.2.线性规划
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、工程学、管理学等。
本文将对线性规划的基本概念、模型构建、求解方法以及应用领域进行详细介绍。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，常用形式为a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b，其中ai为系数，b为常数。
3. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大值或者最小值的解称为最优解。
二、模型构建1. 决策变量：根据具体问题确定需要优化的变量，通常用xi表示。
2. 目标函数：根据问题要求确定目标函数的系数，进而确定是最大化还是最小化。
3. 约束条件：根据问题中给出的条件，建立约束条件方程。
4. 非负约束：决策变量通常需要满足非负约束条件，即xi ≥ 0。
三、求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先绘制约束条件的直线，然后确定可行域，最后在可行域内找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，常使用单纯形法进行求解。
单纯形法通过不断迭代，逐步接近最优解。
它基于线性规划的基本定理，即最优解一定在可行解的顶点上。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划问题通常更加复杂，求解时间较长。
四、应用领域1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，使得生产成本最小化或者利润最大化。
2. 运输问题：线性规划可以用于确定最佳的运输方案，使得运输成本最小化。
3. 资源分配：线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案，使得资源利用率最高。
4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它在经济、管理、工程等领域有着广泛的应用。
线性规划的基本思想是在一组线性约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量取值。
二、线性规划模型线性规划模型由三部分组成：决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要决策的量，通常用符号x表示。
决策变量的取值会影响目标函数的值。
2. 目标函数目标函数是需要优化的函数，通常用符号f(x)表示。
线性规划中的目标函数是线性的，可以是最大化或最小化。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，通常用不等式或等式表示。
线性规划中的约束条件也是线性的。
三、线性规划的解法线性规划可以使用不同的解法求解，常见的有图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解的图形位置。
2. 单纯形法单纯形法适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，从初始可行解出发，逐步靠近最优解。
3. 内点法内点法是一种近年来发展起来的线性规划求解方法，通过在可行域内不断搜索，逐步趋近最优解。
四、线性规划的应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划线性规划可以用于确定生产计划中各种资源的最优分配，以满足生产需求并最大化利润。
2. 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，确定各个供应点到需求点的最优运输方案，以最小化总运输成本。
3. 金融投资线性规划可以用于优化投资组合，确定不同资产的投资比例，以最大化投资收益或最小化风险。
4. 人力资源管理线性规划可以用于人力资源管理，确定员工的最优分配方案，以满足工作需求并最小化成本。
五、线性规划的局限性线性规划虽然在很多问题中有着广泛的应用，但也存在一些局限性：1. 线性假设线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，这在某些实际问题中可能不符合实际情况。
2. 单一最优解线性规划只能得到一个最优解，而在某些问题中可能存在多个最优解。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下最大化或最小化线性目标函数。
它在各个领域中都有广泛的应用，包括经济学、管理科学、工程等。
本文将对线性规划的基本概念、模型构建、解法以及应用进行详细总结。
二、基本概念1. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
2. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
3. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
4. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性等式或不等式，称为约束条件。
三、模型构建1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1, x2, ..., xn表示。
2. 目标函数：根据问题的要求，构建一个线性函数作为目标函数。
3. 约束条件：根据问题的限制条件，构建一系列线性等式或不等式作为约束条件。
四、解法1. 图形法：适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的图形，找出目标函数的最优解。
2. 单纯形法：适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，找出最优解。
3. 整数规划法：适用于决策变量需要为整数的线性规划问题，通过限制变量的取值范围，找出最优解。
4. 网络流法：适用于网络优化问题，通过建立网络模型，找出最优解。
五、应用1. 生产计划：线性规划可以帮助企业制定最优的生产计划，以最小化成本或最大化利润。
2. 资源分配：线性规划可以帮助政府或组织合理分配资源，以满足各方面的需求。
3. 运输问题：线性规划可以帮助解决物流运输问题，以最小化运输成本。
4. 投资组合：线性规划可以帮助投资者选择最优的投资组合，以最大化收益或最小化风险。
六、案例分析以生产计划为例，假设某公司有两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为15元。
公司有两个工厂，分别生产产品A和产品B。
工厂1每天生产产品A需要耗费2小时，生产产品B需要耗费1小时；工厂2每天生产产品A需要耗费1小时，生产产品B需要耗费3小时。
高中数学 第3章 不等式 4.2 简单线性规划讲义教案 北师大版必修5
学习资料4．2 简单线性规划学习目标核心素养1．了解目标函数、约束条件、二元线性规划问题、可行解、可行域、最优解等基本概念．（重点）2．掌握二元线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点）1．通过学习与线性规划有关的概念，培养数学抽象素养．2．通过研究最优解的方法,提升数学运算能力．简单线性规划阅读教材P100～P101“例6”以上部分，完成下列问题（1)线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x,y的一次不等式（组）线性约束条件关于x，y的一次不等式（组）目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题①目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－错误!x＋错误!，在y轴上的截距是错误!，当z变化时,方程表示一组互相平行的直线．当b＞0，截距最大时，z取得最大值,截距最小时，z取得最小值;当b＜0，截距最大时,z取得最小值，截距最小时,z取得最大值．②解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答"四步,即（ⅰ)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．（ⅱ)移:运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界）便是最优解．(ⅲ)求:解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(ⅳ)答：写出答案．思考：(1)在线性约束条件下，最优解唯一吗？［提示］可能唯一，也可能不唯一．(2）若将目标函数z＝3x＋y看成直线方程时,z具有怎样的几何意义？［提示]由z＝3x＋y得y＝－3x＋z，z是直线在y轴上的截距．1．设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝3x－y的最大值为()A．－4 B．0C．错误!D．4D［作出可行域，如图所示．联立{x＋y－4＝0，，x－3y＋4＝0，解得错误!当目标函数z＝3x－y移到(2,2)时，z＝3x－y有最大值4．]2．若实数x，y满足错误!则s＝x＋y的最小值为．2[如图所示阴影部分为可行域，由s＝x＋y得y＝－x＋s，由图可知，当直线y＝－x＋s与直线x＋y－2＝0重合时,s最小，即x＝4，y＝－2时，s的最小值为4－2＝2．］3．如图，点(x，y）在四边形ABCD的内部和边界上运动，那么z＝2x－y的最小值为．1［法一：目标函数z＝2x－y可变形为y＝2x－z，所以当直线y＝2x－z在y轴上的截距最大时，z的值最小．移动直线2x－y＝0，当直线移动到经过点A时，直线在y轴上的截距最大,即z的值最小,为2×1－1＝1．法二：将点A，B，C,D的坐标分别代入目标函数，求出相应的z值，比较大小,得在A点处取得最小值为1．］4．已知点P（x，y）的坐标满足条件错误!点O为坐标原点，那么｜PO｜的最小值等于，最大值等于．2错误!［画出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示,因为｜PO|表示可行域上的点到原点的距离，从而使｜PO|取得最小值的最优解为点A(1,1）;使｜PO｜取得最大值的最优解为点B(1，3），所以|PO｜min＝2，|PO｜max＝错误!．］线性目标函数的最值问题【例1】的最大值为．错误!［由题意画出可行域(如图所示),其中A（－2，－1)，B错误!,C（0，1)，由z＝x＋y知y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过B错误!时，z取最大值错误!．]用图解法解决线性规划问题的关键和注意点，图解法是解决线性规划问题的有效方法.其关键在于平移目标函数对应的直线ax＋by＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解,再注意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最小值.错误!1．若x ,y 满足约束条件错误!则z ＝x －2y 的最小值为 ．－5 ［画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点（3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5．]线性规划问题中的参数问题【例2】 已知变量x ,y 满足的约束条件为错误!若目标函数z ＝ax ＋y （其中a ＞0)仅在点（3,0)处取得最大值,求a 的取值范围．［解］ 依据约束条件，画出可行域．∵直线x ＋2y －3＝0的斜率k 1＝－错误!， 目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0）对应直线的斜率k 2＝－a , 若符合题意，则需k 1＞k 2．即－12＞－a ，得a ＞错误!．含参数的线性目标函数问题的求解策略(1)约束条件中含有参数:此时可行域是可变的，应分情况作出可行域,结合条件求出不同情况下的参数值。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将对线性规划的相关知识点进行总结。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用Z表示。
2. 约束条件：线性规划必须满足一系列线性约束条件，如不等式约束和等式约束。
约束条件用来限制决策变量的取值范围。
3. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值会影响目标函数的值。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过转换为标准形式来求解。
标准形式的线性规划问题具有以下特点：1. 目标函数为最小化问题。
2. 所有约束条件均为等式约束。
3. 决策变量为非负数。
四、线性规划的解法线性规划有多种求解方法，下面介绍两种常用的方法：1. 图形法：当问题只有两个决策变量时，可以使用图形法求解。
首先绘制出目标函数和约束条件所构成的图形，然后通过图形的分析找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种迭代求解方法，适用于多个决策变量的线性规划问题。
它通过不断迭代改善目标函数的值，直到找到最优解为止。
五、常见应用线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 生产计划：线性规划可以用于确定生产计划中各种资源的最优分配，以达到最大化利润或最小化成本的目标。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决货物运输的最优路径和最优运输量的问题，以降低物流成本。
3. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最优分配，如人力资源、物资资源等，以提高资源利用效率。
4. 投资组合：线性规划可以用于确定投资组合中各项投资的最优权重，以最大化投资回报或最小化风险。
六、总结线性规划是一种常用的数学优化方法，通过最大化或最小化线性目标函数，在一系列线性约束条件下求解最优解。
《§4.2简单线性规划说课》 课件
Ax
0
Ax
0
C
B
，
y
Q(x0,y)
Ax
0
C
B
）
C
B
=MQ
∴点P0在直线L的上方
o
0
M
x
必要性：∵点P0(x0,y0)在L的上方
∴MP0＞MQ即y0＞－
Ax C
L
B
又B＞0 ∴Ax0+By0+C＞0
结论：
新课标北师大版课件系列
《高中数学》
必修5
y
o
x
教 材 分 析 学 情 分 析 教 法 分 析
过 程 分 析
教 材 分 析
1．地位、作用：承上启下，渗透化归和数形结 合的思想.它不仅有广泛的实际应用，还是对学 生进行计算、作图等基本训练的重要题材，更 是学生进一步学习高等数学的基础。 2．教学内容 （1）集合的观点和语言分析，描述二元一次方程 和二元一次不等式（组）所表示的平面区域。 （2）通过尝试指导,探索总结二元一次不等式（组） 表示平面区域的方法，即“直线定界、特殊点定域”。
学
情
分
析
1.有利积极因素:
本节内容只要学生对不等式(组)以及 直线方程有一定基础的话,学生都能够接 受这个知识点.
2.不利消极因素:
学生的数形结合的思想还不完善,学生 识图,画图能力还不怎么好.
教学方法和手段的选择
讨论与尝试指导法
为了突出重点，设计采取观察启发和讨论问题解 决的方式引出课题，使学生主动参与提出问题和探索 问题的过程，同时，遵循“先试后导，先练后讲”的 原则，让学生在寻求解决问题方法的尝试过程中获得 自信和体验成功，以激发学习兴趣。 为了突破难点，设计让学生讨论，通过观察分析→ 归纳猜想→推理论证→巩固反馈来理解平面区域确定方 法的研究 为帮助学生对二元一次不等式（组）表示平面区域画 法的认识和掌握，加强课堂练习的反馈。
§4 4.2 简单线性规划
的交点， 顶点 B 为直线 x + 2y = 4 与直线 x+ 2 = 0的交点， 解方程组
x + 2y = 4, x + 2 = 0. 求出顶点 代入目标函数， 可求出顶点 B 的坐标为 ( −2,3) ,代入目标函数，即可得最小值
zmin = 3×( −2) −3 =−9.
B
y
l0
A
x − y =1
o
B
a
a +b = 4 a +b = 2
由
由
, a −b =−1 3 5 得 D( , ) ; 2 2 a +b = 4,
计算这些顶点的目标函数值： 计算这些顶点的目标函数值：
4a −2b = 0 a −b =−1
b
1 3 zA = 4× −2× =−1 ; 2 2 zB = 4×2−2×0 = 8; zC = 4×3−2×1=10; 3 5 zD = 4× −2× =1. 2 2
o
C
x =−2
x
x + 2y = 4
的交点， 顶点 A 为直线 x + 2y = 4 与直线 x − y =1的交点， 解方程组
x + 2y = 4, x − y =1.
y
B
l0
A
x − y =1
o
C
x =−2
x
x + 2y = 4
得到顶点 代入目标函数，即可得最大 得到顶点 A 的坐标为 ( 2,1) ,代入目标函数，即可得最大值
x ≥−3, y ≥−4, −4x +3y ≤12, 4x +3y ≤ 36.
的最小值与最大值； （1） 求目标函数 z = 2x +3y 的最小值与最大值； ） 的最小值与最大值 最大值； （2） 求目标函数 z =−4x +3y − 24 的最小值与最大值； ）
2015届高考数学(文)二轮专题课件：4.2线性规划、基本不等式与不等式证明
栏 目 链 接
而 a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0，∴D 错．故选 C. 解法二(特殊值法) ∴取 a＝2，b＝－1. ∵a，b∈R 且 a－|b|＞0，
高考热 点突破
则 b－a＝－1－2＝－3＜0，∴A 错． a3＋b3＝8－1＝7＞0，∴B 错． a2－b2＝22－(－1)2＝3＞0，∴D 错．故选 C. (2)解法一 ∵a＞b＞0 且 ab＝1，
最大，此时z取最大值，即zmax＝2×4＋2＝10.
故选C.
栏 目 链 接
主干考 点梳理
4．(2014· 重庆卷)若 log4(3a＋4b)＝log2 ab，则 a ＋b 的最小值是( D ) A．6＋2 3 C．6＋4 3 B．7＋2 3 D．7＋4 3
栏 目 链 接
主干考 点梳理
解析：
0，b＞0.
a ，b＞0 ． (1)基本不等式成立的条件： ________ a＝b 时取等号． (2)等号成立的条件：当且仅当 ________
(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 ______．两个正
栏 目 链 接
最大值 ． 数的和为常数时，它们的积有________
2．几个重要的不等式．
2ab (1)a2＋b2≥________(a ，b∈R)．
随堂讲义· 第一部分
知识复习专题
专题四
第二讲
不
等
式
线性规划、基本不等式与不等式 的证明
预测2015年高考中一定有线性规划小题，利用不等式性
质与基本不等式的小题也一般情况都会考到，而基本不
等式也可能在大题中求最值问题中用到．但由于现有导 数方法研究函数最值问题，故直接利用基本不等式求最 值机会变小，但仍然有考到的可能，特别是在小题中可 能性很大．
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性模型的最优解。
它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
2. 决策变量：表示问题中需要决策的变量，通常用x1, x2, ..., xn表示。
3. 约束条件：线性规划问题必须满足一定的约束条件，这些约束条件可以是等式或不等式。
例如，Ax ≤ b 或 Ax = b。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
二、线性规划的解法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先绘制约束条件的图形，然后找到目标函数的等高线，最后确定最优解的位置。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断移动到更优的解来寻找最优解。
3. 整数规划：当问题的决策变量需要取整数值时，称为整数规划。
整数规划问题的求解相对更复杂，可以使用分支定界法等方法进行求解。
三、线性规划的应用1. 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，例如确定每个产品的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，例如确定货物从不同地点到达目的地的最佳路径和运输量。
3. 投资组合：线性规划可以用于优化投资组合，例如确定不同资产的投资比例，以最大化收益或最小化风险。
4. 供应链管理：线性规划可以用于优化供应链管理，例如确定不同供应商的采购量和价格，以最小化总成本。
5. 能源优化：线性规划可以用于能源优化，例如确定不同能源来源的使用量，以最大化能源效率。
四、线性规划的局限性1. 线性假设：线性规划基于线性假设，即目标函数和约束条件都是线性的。
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A1,A2每公斤的获利是 与相互产量无关的常数
每桶牛奶加工出A1,A2 的数量和时间是与相互 产量无关的常数
加工A1,A2的牛奶桶数 是实数
连 续 x 取值连续 i 性
模型求解
x2 A l1
图解法
约束条件
x1 x2 50 l1 : x1 x2 50
12 x1 8x2 480 l2 : 12 x1 8x2 480
模型求解
软件实现一MATLABFra bibliotek6.5运行结果 运行程序
c=-[72 64];
Optimization terminated successfully.
X=
20.0000 30.0000 FVAL = -3.3600e+003
a=[1 1;12 8;3 0];
b=[50;480;100]; lb=[0;0]; [X,FVAL]=linprog(c,a,b)
对计划有无影响？
决策变量
出售x1 千克 A1, x2 千克 A2，X3千克 B1, x4千克 B2
x5千克 A1加工B1， x6千克 A2加工B2
目标函数
利润
约束条件
Max z 24 x1 16 x2 44 x3 32 x4 3x5 3x6
原料 x1 x5 x2 x6 50 3 4 供应 劳动 4( x1 x5 ) 2( x2 x6 ) 时间 2 x5 2 x6 480
至多加工100公斤A1
制订生产计划，使每天获利最大
• 35元可买到1桶牛奶，买吗？
若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多
是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤， 应否改变生产计划？
每天
50桶牛奶 时间480小时
至多加工100公斤A1
x1桶牛奶生产A1
决策变量
x2桶牛奶生产A2
• 35元可买到1桶牛奶，要买吗？35 <48, 应该买！
• 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！
DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? Yes RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 2 3 72.000000 24.000000 8.000000
3) 4 x1 2 x2 6 x5 4 x6 480
DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2
一般的食谱问题
设有n种食物，每种食物含有m种营养成分，
用 aij 表示一个单位的第 j 种食物中含有 i 种营养的数量，用 养的最低需要量,
bi 表示每人每天对第 i 种营
c表示第 j 种食品的单价， x j 表 j
示所用的第 j 种食品的数量，问应如何搭配食物，
一方面满足种营养成分的需要同时使食物的总成本
4
100.000000
INFINITY
40.000000
结果解释
影子价格有意义时约束右端的允许变化范围
(目标函数不变) 原料最多增加10 时间最多增加53
• 35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？
最多买10桶!
奶制品的生产销售计划 的进一步考虑
12小时 3千克A1
1千克
2小时,3元
获利24元/公斤
成正比 xi对约束条件的 “贡献”与xi取值 成正比
线性规划模型
A1,A2每公斤的获利是 与各自产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的 数量和时间是与各自产 量无关的常数
比 例 性
模型分析与假设
xi对目标函数的 “贡献”与xj取值
线性规划模型
可 无关 xi对约束条件的“贡 加 性 献”与xj取值无关
最低。
min z c j x j
j 1
n
s.t. aij x j bi , i 1,2,..., m
j 1
n
x j 0, j 1,2,..., n
模型二 奶制品的生产与销售
1桶 牛奶 或
12小时 8小时
3公斤A1
获利24元/公斤 获利16元/公斤
4公斤A2
每天： 50桶牛奶 时间480小时
B
l4 c
0
l2 C Z=360 l3 0 x1 D Z=240
0
l5 Z=0
3x1 100 l3 : 3x1 100 x1 , x2 0 l4 : x1 0, l5 : x2 0
目标函数
Max z 72 x1 64 x2
z=c (常数) ~等值线
在B(20,30)点得到最优解 目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。
加工能力 x1 x5 100
附加约束 x3 0.8x5
x4 0.75 x6
非负约束 x1 , x6 0
模型求解
软件实现
LINDO 6.1
x1 x5 x2 x6 2) 50 3 4
2) 4 x1 3x2 4 x5 3x6 600
3) 4( x1 x5 ) 2( x2 x6 ) 2 x5 2 x6 480
0.20 0.08
表4.2.2 每一千克饲料中所含的营养成分
确定变量
本题要求我们给出一个饲料配方，即确定在 混合饲料中每种饲料的重量，因此变量应该 是： 混合饲料中所含的第j种饲料的数量
目标函数
我们的目标是使得总成本最低,即
min 0.1(2 x1 7 x2 4 x3 3x4 5x5 )
每一千克饲料中所含的营养成分如表 4.2.2，我们希望确定既能满足动物需要， 又使成本最低的饲料配方。 饲料 蛋白质(g) 矿物质(g) 维生素(mg)
A1 A2 A3
A4 A5
0.30 2.00 1.00
0.60 1.80
0.10 0.05 0.02
0.20 0.05
0.05 0.10 0.02
x~决策变量
z~目标函数
s.t. Ax 0 x0
Ax0~约束条件
决策变量个数n和约束条件个数m较大 最优解在可行域的边界上取得 重点在模型的建立和结果的分析
模型一 食谱问题
一饲养场饲养供实验用的动物，已知动物生长 对饲料中的三种营养成分—蛋白质、矿物质和维 生素特别敏感。每个动物每天至少需要蛋白质70 克，矿物质3克，维生素10毫克，该场能搞到五种 饲料，每种饲料的成本如表4.2.1。 饲料 成本（元） A1 2 A2 7 A3 4 A4 3 A5 5
VARIABLE
X1 X2
VALUE
20.000000 30.000000
REDUCED COST
0.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 3) 0.000000 0.000000 48.000000 2.000000
4)
40.000000
64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 50.000000 480.000000 10.000000 53.333332 6.666667 80.000000
2
0.000000
NO. ITERATIONS=
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000
VARIABLE
X1 X2
VALUE
20.000000 30.000000
REDUCED COST
0.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
4.2 线性规划模型
线性规划是运筹学的一个重要分支，从解决 各种技术领域中的最优化问题，到工农业生
产、商业经济、交通运输、军事等的计划和
管理及决策分析。同时由于线性规划理论比
较成熟及计算机的广泛普及，因而在实际问
题中的应用更加广泛和深入。
y
线性规划模型 实际问题中的优化模型
Min (或Max ) z cT x, x ( x1 ,x n )T
模型求解
软件实现二
max 72x1+64x2
st 2）x1+x2<50
LINDO 6.1
3）12x1+8x2<480
DO RANGE (SENSITIVITY) No ANALYSIS? 4）3x1<100 end
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。