线性规划与LINGO编程
Lingo与线性规划
Lingo 与线性规划线性规划的标准形式是Minz c 1 x 1 c n x na 11x1a 1n xnb 1 s..ta m1 x1a mnxn(1)b mx i 0, i 1,2,, n其中 z c 1 x 1 c n x n 称为目标函数， 自变量 x i 称为决策变量 ,不等式组 (1)称为约束条件 .满足不等式组 (1)的所有 ( x 1, , x n ) 的集合称为可行域，在可行域里面使得z取最小值的 ( x 1* , , x n * ) 称为最优解，最优解对应的函数值称为最优值。
求解优化模型的主要软件有 Lingo 、Matlab 、Excel 等。
其中 Lingo 是一款专业求解优化模型的软件， 有其他软件不可替代的方便功能。
本文将简要介绍其在线性规划领域的应用。
一、基本规定1、目标函数输入格式max=函数解析式； 或者 min=函数解析式；2、约束条件输入格式利用： >、<、>=、<=等符号。
但是 >与 >=没有区别。
Lingo 软件默认所以自变量都大于等于 0.3、运算 加 (+), 减(-), 乘(*), 除(/), 乘方 (x^a) ，要注意乘号 (*) 不能省略。
4、变量名不区分大小写字母，不超过 32 个字符，必须以字母开头。
5、标点符号每个语句以分号“；”结束，感叹号“！”开始的是说明语句（说明语句也需要以分号“ ; ”结束）。
但是，model ，sets ，data 以“：”结尾。
endsets ，enddata ， end 尾部不加任何符号。
6、命令不考虑先后次序7、MODEL 语句一般程序必须先输入 MODEL ：表示开始输入模型，以“ END ”结束。
对简单的模型，这两个语句也可以省略。
8、改变变量的取值范围 @bin(变量名 ) ；@bnd(a, 变量名 ,b ) ；@free( 变量名 ) ； @gin(变量名 ) ；例 1 求目标函数 z 2x 1限制该变量为 0 或 1.限制该变量介于 a,b 之间 .允许该变量为负数 .限制该变量为整数 .3x 2 的最小值，约束条件为s..t x1x2350x11002x12x2600x1 , x20输入 Lingo 程序：min = 2*x1 + 3*x2;x1 + x2 >= 350;x1 >= 100;2*x1 + x2 <= 600;有两种运行方式：1、点击工具条上的按钮即可。
应用lingo软件实现线性规划和整数规划
一、 实验目的应用lingo 软件实现线性规划和整数规划。
二、 实验内容：1．线性规划方法的lingo 软件实现。
2．整数规划方法的Lingo 软件实现三、 实验环境：1 硬件要求：计算机一台2 操作系统：WindowsXP3 软件要求：lingo10四、实验步骤及程序编写：1．线性规划模型。
某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。
已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。
为完成此项任务的汽油消耗量限制为48000升、重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。
飞机携带重型炸弹时每升汽油可飞行2千米，带轻型炸弹时每升汽油可飞行3千米。
又知每架飞机每次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽为了使摧毁敌方军事目标的可能性最大，应如何确定飞机轰炸的方案。
解：设用了x 枚重型炸弹，用了y 枚轻型炸弹，攻击的是第i 个部位，再设一标志变量f 定义如下： ⎩⎨⎧=个部位不攻击第个部位攻击第i i f i 01目标函数为： ()[]∑=⨯⨯+⨯=41max i i li ih f p y px()()480002004/3/2004/2/≤++⨯+++⨯i i i i d d y d d x48≤x ,32≤y141=∑=i if2、整数规划模型。
某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9t ，电力4kw ，使用劳动力3个，获利70元；生产乙种产品每件消耗煤4t ，电力5kw ，使用劳动力10个，获利120元。
有一个生产日，这个厂可动用的煤是360t ，电力是200kw ，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少？ 解：模型建立：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<+<++=取整x x x x x x x x x x t s f 2121212121,3001032005436049..12070max五、程序调试及实验总结1．线性规划模型。
Lingo求解简单规划模型代码
一、Lingo 能做什么——Lingo 的简单模型1、简单线性规划求解（目标函数）2134maxx x z += s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x（决策变量） x 1,x 2手工计算的方法注：Lingo 中“<”代表“<=”，“>”代表“>=”，Lingo 中默认的变量都是大于等于0的，不用显式给出。
求解结果：z=26，x1=2，x2=62、整数规划求解219040Max x x z += ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,702075679212121x x x x x xLingo 程序求解3、0-1规划求解Max 432215.18.04.0x x x x f +++=10106234321≤+++x x x x10,,,4321或=x x x x12344、非线性规划求解||4||3||2||min 4321x x x x z +−−=s.t. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=+−−=−+−=+−−2132130432143214321x x x x x x x x x x x x12345、背包问题一个旅行者的背包最多只能装 6kg 物品，现有4 件物品的重量和价值分别为 2 kg ，3 kg ，3 kg ，4 kg ；1 元，1.2元，0.9元，1.1元。
问应怎样携带那些物品使得携带物品的价值最大?建模：记j x 为旅行者携带第j 件物品的件数, 取值只能为 0 或 1。
求目标函数43211.19.02.1x x x x f +++=在约束条件643324321≤+++x x x x 下的最大值.用Lingo 软件求解0-1规划计算结果6、指派问题有四个工人，要指派他们分别完成4项工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表： 问指派哪个人去完成哪项工作，可使总的消耗时间为最小？ 设：第i 个工人做第j 项工作用时ij t ，标志变量ij f 定义如下：变量名 取值⎩⎨⎧=其他件工作个工人去做第指派第01j i f ijmin∑∑==×4141i j ij ijt fs.t. 141=∑=i ijf()4,3,2,1=j 每份工作都有一人做∑==411j ijf()4,3,2,1=i 每人都只做一项工作（1） 集合定义部分（从“SETS ：”到“ENDSET ”）：定义集合及其属性，语句“work/A,B,C,D/”其结果正是定义了4个集合元素，没有定义变量名。
lingo解决线性规划问题的程序
lingo解决线性规划问题的程序Lingo12软件培训教案Lingo 主要⽤于求解线性规划，整数规划，⾮线性规划，V10以上版本可编程。
例1 ⼀个简单的线性规划问题0 ,600 2100350 st.3 2max >=<=+=<<=++=y x y x x y x y x z! 源程序max = 2*x+3*y;[st_1] x+y<350;[st_2] x<100;2*x+y<600; !决策变量黙认为⾮负; <相当于<=; ⼤⼩写不区分当规划问题的规模很⼤时，需要定义数组(或称为矩阵)，以及下标集(set) 下⾯定义下标集和对应数组的三种⽅法，效果相同:：r1 = r2 = r3, a = b = c.sets :r1/1..3/:a;r2 : b;r3 : c;link2(r1,r2): x;link3(r1,r2,r3): y;endsetsdata :ALPHA = ;a=11 12 13 ;r2 = 1..3;b = 11 12 13;c = 11 12 13;enddata例2 运输问题解：设决策变量ij x = 第i 个发点到第j 个售点的运货量，i =1,2,…m; j =1,2,…n; 记为ij c =第i 个发点到第j 个售点的运输单价，i =1,2,…m;j =1,2,…n记i s =第i 个发点的产量， i =1,2,…m; 记j d =第j 个售点的需求量， j =1,2,…n. 其中，m = 6; n = 8.设⽬标函数为总成本，约束条件为（1）产量约束；（2）需求约束。
于是形成如下规划问题：nj m i x n j d xm i s x x c ij j n i ij i mj ij m i nj ij ij ,...,2,1,,...,2,1,0 ,...,2,1,,...,2,1, st.z min 1111==>=<==<==∑∑∑∑====把上述程序翻译成LINGO 语⾔，编制程序如下：! 源程序model: !6发点8收点运输问题;sets:rows/1..6/: s; !发点的产量限制;cols/1..8/: d; !售点的需求限制;links(rows,cols): c, x; !运输单价，决策运输量; endsets!-------------------------------------;data:s = 60,55,51,43,41,52;d = 35 37 22 32 41 32 43 38;c = 6 2 6 7 4 2 9 54 95 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3;enddata!------------------------------------;min = @sum(links: c*x); !⽬标函数=运输总成本;@for(rows(i):@sum(cols(j): x(i,j))<=s(i) ); ! 产量约束;@for(cols(j):@sum(rows(i): x(i,j))=d(j) ); !需求约束;end例3把上述程序进⾏改进，引进运⾏⼦模块和打印运算结果的语句：! 源程序model: !6发点8收点运输问题;sets:rows/1..6/: s; !发点的产量限制;cols/1..8/: d; !售点的需求限制;links(rows,cols): c, x; !运输单价，决策运输量; endsets!==================================;data:s = 60,55,51,43,41,52;d = 35 37 22 32 41 32 43 38;c = 6 2 6 7 4 2 9 54 95 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3;enddata!==================================;submodel transfer:min = cost; ! ⽬标函数极⼩化;cost = @sum(links: c*x); !⽬标函数：运输总成本;@for(rows(i):@sum(cols(j): x(i,j)) < s(i) ); ! 产量约束;@for(cols(j):@sum(rows(i): x(i,j)) > d(j) ); !需求约束; endsubmodel!==================================;calc:@solve(transfer); !运⾏⼦模块（解线性规划）;@divert('');!向.txt⽂件按⾃定格式输出数据;@write('最⼩运输成本=',cost,@newline(1),'最优运输⽅案x=');@for(rows(i):@write(@newline(1));@writefor(cols(j): ' ',@format(x(i,j),'') ) );@divert(); !关闭输出⽂件;打开⽂件，内容为：最⼩运输成本=664最优运输⽅案x=0 19 0 0 41 0 0 01 0 0 32 0 0 0 00 11 0 0 0 0 40 00 0 0 0 0 5 0 3834 7 0 0 0 0 0 00 0 22 0 0 27 3 0例4 data段的编写技巧（1）：从txt⽂件中读取原始数据 ! 源程序中的data也可以写为：data:s = @file('');d = @file('');c = @file('');enddata其中，的内容为：!程序的数据;!产量约束s= ;60,55,51,43,41,52 ~!需求约束d= ;35 37 22 32 41 32 43 38 ~!运输单价c= ;6 2 67 4 2 9 54 95 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3 ~!注：字符~是数据分割符,若⽆此符，视所有数据为⼀个数据块，只赋给⼀个变量;例5lingo程序的的3种输⼊和3种输出⽅法;rows/1..3/: ;cols/1..4/: ;link(rows,cols): a, b, mat1, mat2;endsetsdata:b = 1,2,3,45,6,7,89,10,11,12; !程序内输⼊;a = @file(''); !外部txt⽂件输⼊;mat1 = @ole('d:\lingo12\',mat1); !EXcel⽂件输⼊;enddatacalc:@text('') = a; !列向量形式输出数据;@for(link: mat2 = 2*mat1);@ole('d:\lingo12\') = mat2 ;!把mat2输出到xls⽂件中的同名数据块; !向.txt⽂件按⾃定格式输出数据(参照前例);Endcalc例6程序段中的循环和选择结构举例!的源程序;sets:rows/1..5/:;cols/1..3/:;links(rows,cols):d;endsetsdata:d=0 2 34 3 21 3 24 7 22 1 6;enddatacalc:i=1;@while(i#le#5:a = d(i,1);b = d(i,2);c = d(i,3);@ifc(a#eq#0:@write('infeasible!',@newline(1));@elsedelta = b^2-4*a*c;sqrt = @sqrt(@if(delta#ge#0, delta,-delta));@ifc(delta#ge#0:@write('x1=',(-b+sqrt)/2/a,'x2=',(-b-sqrt)/2/a,@newline(1));@else@write('x1=',-b/2/a,'+',sqrt/2/a,'i', 'x2=',-b/2/a,'-',sqrt/2/a,'i',@newline(1));););i=i+1;);endcalc本程序中的循环结构也可以⽤@for(rows(i): 程序体);进⾏计算。
线性规划问题的Lingo求解
即求总成本的最小值。 约束条件1：如果每个月都有非负的存储量，显然满足要求，可用约束：
x d
i 1 i i 1
j
j
i
0
约束条件2：4个月的总产量等于总需求量即：
x d
i 1 i i 1
4
4
i
0
约束条件3：产量限制，0<=xi<=10000。 综上，建立如下数学模型：
j j min f c j x j xi d i e j 1 j 1 j 1 i 1 i 1 j j xi d i 0, j 1, 2, 3 i 1 i 1 4 4 s.t. xi d i 0 i 1 i 1 0 xi 10000, i 1, 2, 3, 4 4 3
说明1、 (1)红框内的部分是对目标函数进行的灵敏性分析，第一列是变量，第二列
是对应的系数，第三列是允许增加量，第四列是允许减少量，允许增加和允许减少 都是在当前系数基础上改变的。 在其他变量系数都不变的情况下有： 当x1在(2-0.5,2+∞)=(1.5, ∞)之间变化时,最优解不变； 当x2在(3-3,3+1)=(0,4)之间变化时，最优解不变。
4
j
第j月到j+1月的库存量(记作第j+1月的库存量)应该是1月到j月的总产量减去
1月到j月的总销售量，即：
x d
i 1 i i 1
j
j
i
j j 总的库存费用为： xi di e j 1 j 1 i 1 i 1 j 4 3 j c j x j xi di e j 1 总成本为： j 1 j 1 i 1 i 1 3
线性规划问题的Lingo求解
Lingo中参数设置与调整
01
参数设置
02
调整策略
Lingo允许用户设置求解器的参数， 如求解方法、迭代次数、收敛精度等 。这些参数可以通过`@option`进行 设置。
如果求解过程中遇到问题，如无解、 解不唯一等，可以通过调整参数或修 改模型来尝试解决。常见的调整策略 包括放松约束条件、改变目标函数权 重等。
02
比较不同方案
03
验证求解结果
如果存在多个可行解，需要对不 同方案进行比较，选择最优方案。
可以通过将求解结果代入原问题 进行验证，确保求解结果的正确 性和合理性。
感谢您的观看
THANKS
问题，后面跟随线性表达式。
02 03
约束条件表示
约束条件使用`subject to`或简写为`s.t.`来引入，后面列出所有约束条 件，每个约束条件以线性表达式和关系运算符（如`<=`, `>=`, `=`, `<`, `>`）表示。
非负约束
默认情况下，Lingo中的变量是非负的，如果变量可以为负，需要使用 `@free`进行声明。
问题的解通常出现在约束条件的边界上 。
变量通常是连续的。
特点 目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题应用场景
生产计划
确定各种产品的最优生产量， 以最大化利润或最小化成本。
资源分配
在有限资源下，如何最优地分 配给不同的项目或任务。
运输问题
如何最低成本地将物品从一个 地点运输到另一个地点。
金融投资
03
求解结果
通过Lingo求解，得到使得总加工时间最短的生产计划安 排。
运输问题优化案例
问题描述
某物流公司需要将一批货物从A地运往B地，可以选择不同的运输方式和路径，每种方式和路径的运输时间和成本不 同。公司需要在满足货物送达时间要求的前提下，选择最优的运输方式和路径，使得总成本最低。
运用Lingo进行线性规划求解(实例)
LinDo
输入模型 求解
点击求解按钮 结果
即可
♂返回
!注释内容，可用中文
输
!目标函数：最大-max,最小-min,大小写不分
max 3 x1+5 x2+4 x3
入
!约束，以subject to开始
模
subject to
型
2 x1+3 x2<=1500
2 x2+4 x3<=800
3*x1+2*x2+5*x3<=2 000; end
注意与LinDo的区别
目标函数中加等号 变量与系数之间用“*” Model:-end可省略
♂返回
LinGo 模 式
Model: Sets: !定义集合
Endsets
Data:
！定义数据
Enddata 调用函数与计算
end
♂返回
model: ！开始
数
@sum(set(set_index_list)|condition:expressi
on)
@min(max)(set(set_index_list)|condition:ex pression)
♂返回
Global optimal solution found at
iteration:
3
结
Objective value: 2675.000
果
Variable Value
Reduced Cost
C( 1) 3.000000
0.000000
C( 2) 5.000000
0.000000
C( 3) 4.000000
0.000000
运用Lingo进行线性规划求解(实例)
LINGO
支持多种线性规划算法，包括单纯形法、网络算法等。
要点二
Gurobi
主要采用高级优化算法，如分支定界法、动态规划等。
LINGO与Gurobi的比较
LINGO
支持各种类型的约束条件，包括整数约束、非线性约束 等。
Gurobi
特别擅长处理大规模、非线性问题，但对线性问题的处 理能力稍弱。
LINGO
界面简洁，建模语言直观，易于学习和掌握。
Excel
需要结合多个函数和工具进行建模，对于复杂问题操作相对繁琐。
LINGO与Excel的比较
LINGO
针对优化问题进行了优化，求解速度 较快，精度较高。
Excel
求解速度较慢，对于大规模问题可能 无法得到满意的结果。
LINGO与Gurobi的比较
LINGO软件特点
高效求解
LINGO采用先进的求解算法，能够快速求解大规 模线性规划问题。
灵活建模
LINGO支持多种建模语言，用户可以根据需要选 择合适的语言进行建模。
图形界面
LINGO提供直观的图形界面，方便用户进行模型 设计和结果查看。
LINGO软件应用领域
生产计划
LINGO可用于制定生产计划，优化资源配置， 提高生产效率。
金融投资
LINGO可以用于金融投资组合优化，帮助投 资者实现风险和收益的平衡。
物流优化
LINGO可以帮助企业优化物流配送路线，降 低运输成本。
资源分配
LINGO可用于资源分配问题，如人员、设备、 资金的分配，以达到最优效果。
2023
PART 02
线性规划基本概念
REPORTING
线性规划定义
线性规划是数学优化技术的一种，它通过将问 题抽象为数学模型，利用数学方法来寻找最优 解。
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求解方法：单纯形算法simplex method。
2.2 连续性线性规划
连续线性规划问题的性质 1.比例性：每个决策变量对目标函数以及右端项 的贡献与该决策变量的取值成正比。 2.可加性：每个决策变量对目标函数以及右端项 的贡献与其他决策变量的取值无关。 3.连续性：每个决策变量的取值都是连续的。
2.1 什么是数学规划
（三）按目标的多少可分为： 1.单目标规划。 2.多目标规划。 （四）按模型中参数和变量是否具有不确定性可分为： 1.确定性规划。 2.不确定性规划。 （五）按问题求解的特性可分为： 1.目标规划。 2.动态规划。 3.多层规划。 4.网络优化。 5.„„等等。
2.1 什么是数学规划
2.2 连续性线性规划
线性规划的一般形式：
min z (或max z ) c j x j
j 1
n
s. t .
a
j1
n
ij
x j (或 或 )bi , i 1, , m x j 0, j 1, , n
2.2 连续性线性规划
一般线性规划问题都可以通过引入非负的松弛 变量slack variable与非负的剩余变量surplus variable的方法化为标准形式（约束全是等约束）。 线性规划问题的可行域feasible region是一个凸 集convex set（任意两点的连线上的点都在区域内部， 可以看作是没有凹坑的凸多面体），所以最优解 Optimal solution/point在凸多面体的某个顶点上达 到
要解决的问题的目标可以用数值指标反映
对于要实现的目标有多种方案可选择
有影响决策的若干约束条件
2.2 连续性线性规划
例1 运输问题
有两个粮库A1 , A2向三个粮站B1 , B2 , B3 调运大米, 两个粮库现存大米分别 为4吨,8吨, 三个粮站至少需要 大米分别为2,4,5吨, 两个粮库到三个粮站的 距离(单位 : 公里)如下, 问如何调运使运费最低 。
最优化问题的数学模型的一般形式为：
opt
z f x
（ 1）
s. t .
t k x 0, k 1, , n xD R
s
g j x 0, j 1, , m
（ 2）
hi x 0, i 1, , l
三个要素：决策变量decision bariable，目标函数 objective function，约束条件constraints。
2.1 什么是数学规划
优化模型的分类 （一）按有无约束条件（2）可分为： 1.无约束优化unconstrainned optimization。 大部分实际问题都是约束优化问题。
2.1 什么是数学规划
（二）按决策变量取值是否连续可分为： 1.数学规划或连续优化。 可继续划分为线性规划(LP)Linear programming 和非线性规划(NLP) Nonlinear programming。在 非线性规划中有一种规划叫做二次规划 (QP)Quadratic programming，目标为二次函数， 约束为线性函数。 2.离散优化或组合优化。 包含：整数规划(IP)Integer programming，整数 规划中又包含很重要的一类规划：0-1（整数）规 划Zero-one programming，这类规划问题的决策 变量只取0或者1。
求解优化问题常用的软件 LINGO软件和MATLAB软件。 对于LINGO软件，线性优化求解程序通常使用 单纯形法simplex method，单纯形法虽然在实际应用 中是最好最有效的方法，但对某些问题具有指数阶的 复杂性，为了能解大规模问题，也提供了内点算法 interior point method备选（LINGO中一般称为障碍 法，即barrier），非线性优化求解程序采用的是顺序 线性规划法，也可用顺序二次规划法，广义既约梯度 法，另外可以使用多初始点（LINGO中称multistart） 找多个局部最优解增加找全局最优解的可能，还具有 全局求解程序—分解原问题成一系列的凸规划。
小明同学，烧一壶水要8分钟，灌开水 要1分钟，取牛奶和报纸要5分钟，整理书包 要6分钟，为了尽快做完这些事，怎样安排 才能使时间最少？最少需要几分钟？
2.1 什么是数学规划
十个人各提一只水桶，同时到水龙头 前打水。设水龙头注满第一个人的桶需要1 分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，依此 类推，注满第几个人的桶就需要几分钟， 如果只有一只水龙头，适当安排这10个人 的顺序，就可以使每个人所费的时间总和 尽可能小，问这个总费时至少是几分钟？
2.1 什么是数学规划
约束条件（2）所确定的x的范围称为可行域 feasible region，满足（2）的解x称为可行解 feasible solution，同时满足（1）（2）的解x称为 最优解Optimal solution，整个可行域上的最优解 称为全局最优解global optimal solution，可行域中 某个领域上的最优解称为局部最优解local optimal solution。最优解所对应的目标函数值称为最优值 optimum。
2.1 什么是数学规划
数学规划(最优化)作为一门学科孕育于20世 纪的30年代,诞生于第二次世界大战弥漫的硝烟 中。 数学规划指在一系列客观或主观限制条件 下，寻求合理分配有限资源使所关注的某个或多 个指标达到最大（或最小）的数学理论和方法， 是运筹学里一个十分重要的分支。
2.1 什么是数学规划
内容说明
以下内容在《数学 建模与数学实验 （第二版） 》 （汪晓银 ，周保 平主编）第3章
内容说明
2.1 什么是数学规划 2.2 连续性线性规划 2.3 敏感性分析
2.4 整数线性规划
2.5 0-1规划
2.1 什么是数学规划
数学规划俗称最优化,首先是一种理 念,其次才是一种方法,它所追求的是一种 “至善”之道,一种追求卓越的精神.