2.1 导数概念_图文.ppt

高等数学(第二版)上册课件：导数概念

右极限都存在且相等，因此有：
定理2.2 函数 f (x) 在点 x0 处可导
左导数 f(x0 )和右
导数 f(x0 ) 都存在且相等 .
例 2.1.4 讨论函数 f (x) x 在 x 0 处的可导性 .
解
lim f (0 h) f (0) lim h 1
h0
h
h h0
lim f (0 h) f (0) lim h 1
y x3 的切线方程.
解
设切点为 x0 , y0 曲线 y x3 在点 x0 , y0
处的切线斜率为 k1, 直线的斜率为 k2 则：
| k1
y
x x0
3x02 ,
k2
1 27
而 k1. k2 1, 得 x0 3 则切点为 3, 27 或 3, 27
切线方程为
27x y 54 0 或 27x y 54 0
从高速到低速，最后速度减为0 . 这个过程每一时刻的汽车
的速度都不相同，如何求某时刻 t0汽车的瞬时速度呢？
设汽车所经过的路程s是时间t的函数：s s t ，
任取接近于 t0 的时刻 t0 t ，则汽车在这段
时间内所经过的路程为
s s(t0 t) s(t0 )
而汽车在这段时间内的平均速度为
当自变量 x 在 x 0 处取得增量 x （点 x0 x 仍在该
邻域内），相应地函数取得增量 y f ( x0 x) f ( x0 )
.
如果 y 与 x 之比当 x 0 时的极限存在，
则称函数 y f ( x) 在点 x 0 处可导，并称这个极限值
即
f
(x0 )
lim
x0
f
解当 x 由1变到 1 x 时，函数相应的增量为

2-1导数的概念95607-PPT课件

第二章导数与微分
derivative and differential
前言：一元函数微分学简介
一．导数——
Ⅰ．导数的概念与计算 Ⅱ．导数的应用
二．微分——
概念、计算与应用
§2-1 导数的概念 concept of derivative 一．导数的引入（两个实例）
1．变速直线运动的瞬时速率 2．细胞的增长率
结论则 f (x) 在 x0 点有导数（可导），即
f(x 0 ) li x m 0 x y li x m 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
3.导数的表示方法
（1）导数值～对于定点x0
f(x0)
y xx0
dy dxxx0
（2）导函数～对于定义域内任一点
MB
（2）平均速度
vsf(t0t)f(t0)
t
t
（3）瞬时速度
vlim slim f(t0 t)f(t0)
t t 0
t 0
t
例如：自由落体运动，已知 S 1 g t 2
2
2.细胞的增长率
N N 0 e kt r kN 0 e kt
二．导数的定义 definition of derivative
lim y 存在 x0 x 即 : 左极限右极限
只能 C或 0
结论
必然
可导
不一定
连续
例：函数在某一点连续则不一定在该点可导
已知：y x
y
证明 :已知函数即
x x0 y x x 0
可求得
o
x
x y x
x 0 lim y 不存在 x 0 x0 x
解：成立，作变换令-△x =h，可化为标准式。

【数学】第二章 2.1 导数的概念课件(北师大版选修2-2)

为 y f (x1) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )
x
x1 x0
x
当x1趋于x0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数 y=f(x)在x0点的导数.通常用符号 f / (x0) 表示记作
f
的温度单位 :0 C 为 f x
x2 7x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时,原油温度
的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f '2
和 f '6. 根据导数的定义, y f 2 x f 2
x
x
2 x2 72 x 15 22 7 2 15
f (2 x) f (2) 3(2 x) 3 2
x
x
3x 3 x
当x趋于2，即△x趋于0 s时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度.也就是如果水管中的水以 x=2 s时的瞬时速度流动的话，每经过1 s，水管中流过的水量为3 m3
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产
品 ,需要对原油进行冷却和加热.如果在 xh 时,原油
f '0.8 1.4.
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值, 验证一下, 这些值是否正确.
t
0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度的瞬时变化率f 't 0.4 0 0.7 1.4
小结：
由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
(2) 求平均变化率 y x
x
4x x2 7x x 3, x
所以, f '2 lim y lim x 3 3,

高教社2024高等数学第五版教学课件-2.1 导数的概念

第二章导数与微分
第一节导数的概念
一、变化率问题的两个实例
1．变速直线运动的瞬时速度问题
对于匀速直线运动，物体在任何时刻的速度都相同，且速度 =
路程

，即 = . 对于变速直

时间
线运动，物体在不同时刻的速度不全相同. 设物体从某一时刻开始到时刻，所走过的路程为，
则是的函数，即 = ().从时刻0 到时刻0 + ，物体运动的路程为 = (0 + ) − (0 )，
例1
解
用定义求函数 = 2 在 = 1, = 2处的导数.
当由1变化到1 + 时，函数相应的改变量
= (1 + )2 − 12 = 2 ⋅ + ()2 ，

→0
从而 ′ (1) =
= 2 +
= (2 + ) = 2
解
设函数() = ( > 0, ≠ 1)，求 ′ ().
① 计算函数的改变量
= ( + ) − () = ( + ) − =
y
② 计算比值

x
log

1+
1

= 1 +

y
1

1

1 +
→0

y f (x)
由第二个实例可知，函数 = () 在
= 0 处的导数就是它所表示的曲线在
y

点 (0 , 0 ) 处的切线的斜率，即
∆
(0 , 0 )

2-1导数概念78962-36页PPT资料

3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 可导必连续, 但连续不一定可导;
5. 已学求导公式 :
(C) 0 ;
(lnx) 1
(coxs)sinx;
x
不连续, 一定不可导. 6. 判断可导性直接用导数定义;
看左右导数是否存在且相等.
思考与练习
1. 函数在某点处的导数有什么区别与联系 ?
h 0
h
例7. 设
存在, 求极限 lim f(x0h)f(x0h).
h 0
2h
解:
原式 l im f ( x0 ) ff((xx00)hf)(x0f ( xh0))
h 0
2(2hh)

1 2
f
(x0 )

1 2
f
(x0 )f(x0)
三、导数的几何意义
存在, 则称此极限值为在
f(x0) (f(x0))
即 f (x0) 例如, f(x)x 在 x = 0 处有
x0
处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
ox
定理. 函数是
在点可导的充分必要条件且
简写为 f (x0)存在
f(x0 )
定理. 函数在点处右 (左) 导数存在
lim
h 0
h
lim h 0 h
lh i0h m 23
或
1x32
3
y x0 ,
即导数为无穷大（导数不存在）.
在图形中表现为曲线 x轴的切线 .
在原点O具有垂直于
五、单侧导数
定义2 . 设函数有定义, 若极限
在点的某个右 (左) 邻域内
(x0)
(x0)

高等数学2.1导数概念-PPT课件

所求量为函数增量与自变量增量之比的极限。
二、导数的定义
定义1 设函数y=f(x)在点x0及其左右近旁有定义。当自变量在
x0处有增量Δ x时，函数有相应的增量y=f (x0+x)- f(x0)。
y 如果当Δ x→0时，的极限存在，则称该极限值为y=f(x)在 x
点x0的导数，记为 y
x x0
, 即
y
xx0
f( x x )f( x ) y 0 0 lim l i m x 0 x 0 x x
也可记为 f (x ); 0
dy d ， f ( x) d x x x 0 dx x x0
使用导数来表示两个引例
(t0) (t0)s 瞬时速度 v
可导与连续的关系。
一、变化率问题举例
1. 变速直线运动的速度
设一物体做变速直线运动，运动规律
为s=s(t)，求物体在t0时刻的瞬时速度v(t0)？
自由落体运动
s 分析：匀速运动 v t
2 s1 g t 2
o
s (t 0 )
s(t0 t )
t0
t 0 Δt
t) s ( t 0 ) s s s(t0
f ( x ) 在点 (x0 , y0 ) 的切线斜率为 k ) 曲线 y f (x 0 切
切线方程法线方程
yy f ( x ) ( xx ) 0 0 0
1 yy (xx 0 0) f(x 0)
特别地
（ 1 ） f (x 0 时，切线 y y0 0)
(x ) 2x
2
y x 对一般幂函数
( 为常数)
(x ) x

例如， (
1

2-1导数的概念76609-PPT文档资料

如图, 求t0时刻的瞬时速, 度
取一邻t0的近时于t,刻运动时间 t,
平均速 v度 s t
s t
s0 t0
g 2 (t0 t).
当tt0时 , 取极限得
瞬
时v 速 lim g度 (0 tt) 2 t t0
gt0.
t0 t
t
2.切线问题割线的极限位置——切线位置
dy 或df(x)ห้องสมุดไป่ตู้
dxxx0
dx
, xx0
即 y x x 0 l x 0 i x y m l x 0 ifm (x 0 x x ) f(x 0 )
其它形式 f(x 0) lh i0m f(x 0 h h )f(x 0). f(x0)x l ix0 m f(xx ) x f0 (x0).
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
(
x )

1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 )
(1)x11

1 x2
.
例4 求函 f(x) 数 ax(a0 ,a1 )的.导数
解 (ax)lim axhax
第二章导数与微分
• 第一节导数概念 • 第二节函数的求导法则 • 第三节高阶导数 • 第四节隐函数及由参数方程所确
定的函数的导数相关变化率 • 第五节函数的微分
第一节导数概念
一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数可导性与连续性的关系
一、引例
1.自由落体运动的瞬时速度问题
2 即(sx ) i n co x . s