程序框图、线性规划
线性规划图解法
图解法 线性规划问题求解的 几种可能结果 由图解法得到的启示
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例1的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
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图解法
9— 8—
x1+ 2x2=8 4x1 =16
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
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图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 +2 x2 8 4 x1 16 4x2 12 -2x1 + x2 4 x 1、 x 2 0
可行域为空集
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图解法的几点结论:
（由图解法得到的启示）
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在
优的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。
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线性规划问题求解的 几种可能结果
(a) 唯一最优解
x2
6— 5— 4— 3— 2— 1— | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | x 9 1
线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
第四讲线性规划-图解法(liu)
三、二维线性规划的图解法
3、几个概念 （3）可行解
由约束条件和变量取值限制围成的公共 区域中的每一个点都称为线性规划问题的可 行解。
（4）可行域
所有可行解的集合，构成线性规划问题 的可行域。
22
三、二维线性规划的图解法
4、解的状态
（1）唯一解 （2）无穷多个最优解 (目标函数直线与可行域某直线重合)
二、线性规划模型及标准化
1、线性规划模型的一般形式
例二：配料问题 某工厂要用四种合金T1，T2，T3和T4为 原料，经熔炼成为一种新的不锈钢G。这四 种原料含元素铬（Cr），锰（Mn）和镍（Ni） 的含量（%），这四种原料的单价以及新的 不锈钢材料G所要求的Cr，Mn和Ni的最低含 量（%）如下表所示：
25
三、二维线性规划的图解法
线性规划的几何意义
（1）凸集
集合C∈En，从C中任取两点X、Y，当 0<λ<1时，仍有λX+（1-λ）Y∈C，则称C为 凸集。 凸集：
26
三、二维线性规划的图解法
线性规划的几何意义 （1）凸集 不是凸集：
27
ห้องสมุดไป่ตู้
2、线性规划模型的标准化方法： （1）把最小化目标函数转化为求最大化问 题。令 z' z （2）把约束方程中的不等式转化为等式。 具体做法是：对于小于等于情况，引进松弛变 量，对于大于等于情况，引进剩余变量。 x j x 'j x"j （3）变量取值可能无约束。令 x 'j x j （4）变量小于等于零，令 （5）右端项 b j 小于零，等式两端同乘-1
2
一、情况介绍
线性规划研究的问题可以归结为两大类 别： 1、在现有的资源条件下，如何充分利 用资源，使任务或目标完成得最好（求约束 极大化问题）。 2、在给定目标下，如何以最少的资源 消耗，实现这个目标（求约束极小化问题）。
线性规划问题的图解法
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
单纯形法的思路(sīlù)
找出一个(yī ɡè)初始可行解
4x1
16
可行(kěxíng)域
单纯形法的进一步讨论(tǎolùn)－人工变量法
第四十三页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
是否最优 故人(gùrén)为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
量作为换出变量。
L
min
bi a ik
a ik
0
第二十九页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
③ 用换入变量(biànliàng)xk替换基变量(biànliàng)中的换出变量 (biànliàng)，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可 行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。
： X (1) K和X (2) K
X X (1) (1 ) X (2) (0 1)
则X为顶点(dǐngdiǎn).
(wèntí)
的 几
第四页，共51页。
凸组合(zǔhé)：
意线 义性
规 划 问 题 的 几 何
设X（1) ,..., X (k)是n维向量空间中的k个点,
若存在1,..., k ,且0 i 1, i 1,2,..., k,
A
1 域2 3
D
| E|
45
4 x2 16 x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
第九页，共51页。
❖图解法
目标(mùbiāo)函数 Max Z = 2x1 + 3x2
x2 9—
8—
7—
6—
5—
4—
第2章 线性规划图解法
x2
6
4
可行域
6
0
x1
23
3. 画出目标函数的图形(通常可画出当目 标函数值为零时的(基准)目标函数图)，确 定目标函数平行移动的方向，并沿目标函 数直线的法向用小箭头标出。
例1. max Z = x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x ≥0, x ≥0 1 2
大轿车座椅的限制： 非负限制：
5 x1 2.5 x2 2500 x1 400 x1 0, x2 0
分析：问题是如何安排生产使得工厂获利最大？
项目 产品 生产能力 5 (小时 ⁄ 辆) 2.5 (小时 ⁄ 辆) 2500 (小时 ⁄ 年) 钢材 (吨 ) 装配座椅 (辆 ⁄ 年 ) 利润 (千元 ⁄ 辆)
4
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划研究的内容和问题
线性规划是研究在线性不等式或等式的限 制条件下，使得某一个线性目标函数取得最大 （或最小）的问题。常见的线性规划问题有： （一） 运输问题 （二） 生产的组织与计划问题 （三） 合理下料问题 （四） 配料问题 （五） 布局问题 （六） 分派问题
5
7
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题:工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获 利最多？
6
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划发展前景
另一方面，以线性规划为基础而发展起 来的多部门的线性规划 , 多时期的线性规划， 模糊线性规划，随机线性规划，以及整数规 划，非线性规划，目标规划等等，为现代管 理中各类实际问题的解决提供了科学的方法。 目前线性规划的理论研究仍十分活跃，其应 用前景也越来越广阔，它已成为国家重点推 广的现代管理方法之一。
第二章线性规划的图解法
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
五、线性规划问题解的情况
➢ 例1.5的最优解只有一个，这是线性规划问题 最一般的解的情况，但线性规划问题解的情 况还存在其它特殊的可能：无穷多最优解、 无界解或无可行解。
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
O
100 200 300
X1
3、无界解的情况
➢若将例1.5的线性规划模型中约束条件1、2的 不等式符号改变，则线性规划模型变为：
➢ 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2 ≥ 300 2x1+x2 ≥ 400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
第2章 线性规划的图解法
• Z=-50x1-100x2 （-， -）
• 求最大左下方移动，求最小右上方移动
• Z=-50x1+100x2 （-， +）
• 求最大左上方移动，求最小右下方移动
• Z=50x1-100x2 （+， -）
• 求最大右下方移动，求最小左上方移动
x2
1 2
x1
1Z 100
a21x1 +
a22x2
+… …
… …
+
a2nxn ≤ (或=,≥) b2
an1x1 + a2nx2 + … … + annxn ≤ (或=,≥) bm
x1，x2 ， … … ，xn ≥ 0
x 决策变量 j称为该问题的决策变量。
c 价值系数
在目标函数中xj的系数 j称为 该决策变量的价值系数。
技术系数 或工艺系
• 重要结论：
– 如果线性规划有最优解，则一定可以在可行域 的某个顶点上找到最优解；
– 无穷多个最优解，在边界上取得。若将例2-1中 的目标函数变为max z=50x1+50x2，则线段BC上 的所有点都代表了最优解；
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
解 ：设 产 品 A、B 的 产 量 分 别 为x,y 。则 ，数 学 模 型 为 ：
min Z 2 x 3 y
x 125
x y 350
2
x
y
600
x , y 0
§1 问题的提出
• 建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
第3章 线性规划.ppt
x2
400
300 A
250 B
x2 250
x1 x2 300
0
200
300
x1
2x1 x2 400 16
第3章 线性规划
3. 无最优解(目标函数值
x2
为无穷大或无穷小)。
若例3-4中式(b),(c)的约 250
成立,则称x为凸集D的极点。即在凸集上不能表 示成相异两点凸组合的点，称为极点；在线性 规划问题的凸集上称之为顶点。
20
第3章 线性规划
3. 基本解：对于有n个变量、m个约束方程的标 准线性规划问题，取其m个变量，若这些变量在 约束方程中的系数列向量线性无关，则它们组 成一组基本变量。确定了一组基本变量后，其 它n-m个变量称为非基本变量。
变量约束： xi 0, 1 i 4
6
第3章 线性规划
一、线性规划问题的标准形式（※）
1. 标准形式
目标函数： 约束条件：
n
max z cj xj j 1
n
aij xj b0i , i 1, 2,
j 1
, m, (b0i 0)
变量约束： xj 0, j 1, 2, , n
通常把上述三个式子描述的问题称为标准线
5. 基本可行解：如果基本解中的每一个变量都是非 负的，即满足变量约束 xj 0, (1 j n) 的基本解称 为基本可行解。如果在基本可行解中至少有一个基 本变量为零，则该解称为退化的基本可行解，反之， 称为非退化的基本可行解。
注：基本可行解既是基本解、又是可行解，它对应 于线性规划问题可行域的顶点。
9
第3章 线性规划
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查漏补缺(一)
程序框图
1.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
2.如图2,程序框图(算法流程图)的输出结果是（ ）A ．-3 B ．-2 C ．-5 D ．8
3.执行图3所示的程序框图，若输入x ＝4，则输出y 的值为( )
A ．12-
B ．12
C ．54-
D ．54
4.执行图4所示的程序框图,输入x ＝－2,h ＝0.5,那么输出的各个数的和等于（ ）
A.3
B.3.5
C.4
D.4.5
5.执行图5所示的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )
A ．120
B ． 720
C ． 1440
D ．
5040
图3 图4 图5 k=0,S=1
k
<3
开始
结束
是 否
k=k+1
输出S
S=S ×2k
图1
6.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入x 的值为25-时,输出x 的值为（ ）
A ．1-
B ．1
C ．3
D ．9
7.如果执行右边的程序框图,输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ,输出,A B ,则( )
A ．A
B +为12,,...,n a a a 的和 B ．2
A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数 C ．A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数
D ．A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数
8.下图是一个算法流程图,则输出的k 的值是____.
9.如果执行如图3所示的程序框图,输入1x =-,n =3,则输出的数S = __
开 始
输入x
|x|>1
1
||-=x x x = 2x+1
输出x
结 束 是
否 开始
输入x , n
S ＝6
i ≥0?
是
否 输出S
结束 i ＝n －1
i ＝i －1
S ＝S·x ＋i ＋1
10.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s =__________.
11.执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为______.
12.阅读右图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的s 值等于_____________________.
线性规划
经典例题：
已知x ，y 满足143034230x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩
（1） 求Z=x+y 的取值范围； （2）求Z=
y x 的取值范围； （3） 求Z=x 2+y 2的取值范围； （4）求 Z=｜x+y+1｜的取值范围；
（5） 若Z=mx+y （m.>0）取得最大值的最优解有无数个，求m 的值。
1.不等式组2240x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩
表示的平面区域的面积为（ ）
A 、32
B 、62
C 、6
D 、3
2.点P （x ，y ）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是（ ）
A. [0，5]
B. [0，10]
C. [5，10]
D. [5，15]
是
否 输入
2,1,1i k s ===
输出s 结束 开始
i n
<
n ()1s i k s ⨯=
2i i =+
1k k =+
3.已知不等式组0222x y x y
⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩所表示的区域为D,若M （x ，y ）为D 上的动点，
点A 的坐标为（2，1），则Z=OM.OA 的最大值为 。
4.若变量x ，y 满足约束条件32969
x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．
5.已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是
（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)
6.已知x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩
，若目标函数Z=ax+by （a>0,b>0）的最大值为8，
则29a b
+的最小值为 。
7.若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为
（ ）A ．
21 B ．1 C ．2
3 D ．2 8.已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是
9.设平面点集{}
221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B 所表示的平面图形的面积为
（A ）34π （B ）35π （C ）47
π （D ）2π 10.已知x ，y 满足不等式组2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩
则Z=y x 的最小值是 ，最大值是 。
11.设m>1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数Z=x+my 的最大值小于2，则m 的
取值范围为 。