信号分析与处理技术习题册
信号分析与处理习题
2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。
试问输出信号y 1(t )，y 2(t )有无失真？为什么？ 分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。
解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ，所以y 1(t )无失真； 因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ，所以y 2(t )失真。
3.2 设x (n )的傅里叶变换为X (e j ω)，试利用X (e j ω)表示下列序列的傅里叶变换： （1） )1()1()(1n x n x n x --+-= （2） )]()([21)(2n x n x n x -+=* 分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解，即)()(ωj e X n x ⇔，)()(ωj e X n x -⇔-)()(ωωj mj e X e n m x --⇔-解：（1）由于)()]([ωj eX n x DTFT =，)()]([ωj e X n x DTFT -=-，则)()]1([ωωj j e X e n x DTFT --=- )()]1([ωωj j e X e n x DTFT -=--故ωωωωωcos )(2])[()]([1j j j j e X e e eX n x DTFT ---=+=（2）由于)()]([ωj e X n x DTFT **=-故)](Re[2)()()]([2ωωωj j j e X e X e X n x DTFT =+=*3.7 试求下列有限长序列的N 点离散傅里叶变换（闭合形式表达式）：（1） )()(n R a n x N n =（2） N n n n n x <<-=000)()(，δ （3） )()(n nR n x N = （4） )()(2n R n n x N =分析：利用有限长序列的DFT 的定义，即10)()(10-≤≤=∑-=N k W n x k X N n knN ，解：（1）因为)()(n R a n x N n =，所以k Nj N N n nk NjnN n knNnaea ea Wa k X ππ212111)(--=--=--===∑∑（2）因为N n n n n x <<-=000)()(，δ，所以k n Nj n n knNN n knNeW W n n k X 002100)()(πδ-=-===-=∑（3）由)()(n nR n x N =，得∑-==1)(N n knNnW k X 注意：为了便于求解，必须利用代数简化法消除掉上式中的变量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．n ．。
信号分析与处理习题
第五章 信号分析与处理习题5.1 从示波器光屏中测得正弦波图形的“起点”坐标为(0，-1)，振幅为2，周期为π4，求该正弦波的表达式。
5.2 某复合信号由频率分别为724Hz 、600Hz 、500Hz 、44Hz 的同相正弦波迭加而成，试求该复杂信号的周期。
若要对该复杂信号进行不失真采样，最小采样频率应为多少？5.3 求信号()()ααπ<<-=t e t x t 10cos 的周期，并绘出时域图形。
5.4 已知矩形单位脉冲信号()t x 0的频谱为()⎪⎭⎫ ⎝⎛=2sin 0ωττωc A X ，试求如题图5.1所示的脉冲信号的频谱。
2τ2τ-T题图5.1 题图5.25.5 求被截断的余弦函数(题图5.2)的傅里叶变换。
()⎩⎨⎧=0cos 0t tx ω 00t t t t >≤ 5.6 求如题图5.3所示三角脉冲的傅里叶变换。
5.7 余弦信号()t t x 0cos ω=被三角脉冲做幅度调制(题图5.4)，求调幅信号()t x A 的频谱。
题图5.3 题图5.45.8 试绘出题5.5中调制信号与调幅波的频谱。
5.9 已知一信号的自相关函数()()τττ250sin 264=x R ，求该信号的均方值x ψ及均方根值。
5.10 求余弦信号()t X t x ωcos =的均方根值。
5.11 用1/10倍频程带宽的功率谱密度分析仪，在中心频率50 Hz 、100Hz 、1000Hz 处进行功率谱密度测定，设平均时间为s 1，若带通滤波器为理想滤波器。
求功率谱密度测量的标准化误差G μσ/。
5.12 求正弦信号()t X t x ωsin =的均值、均方值。
5.13 离散傅里叶变换产生误差的原因有哪些?应如何设法减少这些误差?5.14 对3个正弦信号()t t x π2cos 1=，()t t x πcos 2=，()t t x π10cos 3=进行采样，已知采样频率Hz f s 4=，求3个采样输出序列并比较这3个结果。
信号分析与处理习题
一、选择题：1、下列哪个系统不属于因果系统（ ）。
A 、]1[][][+-=n x n x n yB 、12()(0)2(0)3()y t x x f t =+-C 、[][]nk y n x k =-∞=∑ D 、()()(1)y t cf t df t =+-2、设激励为f 1(t )、f 2(t )时系统产生的响应分别为y l (t )、y 2(t )，并设a 、b 为任意实常数，若系统具有如下性质：af 1(t )+bf 2(t )↔ay l (t )+by 2(t )，则系统为（ ）。
A 、线性系统 B 、因果系统 C 、非线性系统D 、时不变系统3、右图所示f (t )的表达式为（C ）。
A 、[]()(1)(1)t t t t εεε--+- B 、[]()(1)t t t εε--- C 、[](1)()(1)t t t εε---- D 、[]()(2)t t t εε--4、结构组成和元件参数不随时间变化的系统称为（ ）系统。
A 、时变 B 、时不变 C 、线性 D 、非线性5、积分f (t )=13-⎰(2t 2+1)δ(t -2)dt 的结果为（ ）。
A 、1B 、3C 、0D 、9 6、积分55(4)()t t dt δ--⎰等于（ ）。
A 、-4B 、4C 、3D 、-37、已知信号()f t 的最高频率0f Hz ，则对信号(/2)f t 取样时，其频谱不混叠的最大取样间隔max T 等于（ ）。
A 、02f B 、 01f C 、012f D 、014f 8线性常系数微分方程()2()3()2()()y t y t y t x t x t ''''++=+表征的LTI 系统，其单位冲激响应h (t )中（ ）。
A 、包括()t δ项B 、不包括()t δ项C 、不能确认D 、包括()t δ'项 9、以下分别是4个信号的拉普拉斯变换，其中（C ）不存在傅里叶变换？A 、1sB 、1C 、12s -D 、12s +10、周期信号的频谱特点是（ ）。
信号分析与处理第2章习题答案[山东大学]
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2-1 画出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别（注意标上横坐标的值以及波形与横坐标的交点。
较简单，出错的不多）1）x 1(t) = sin Ω t ·u(t )2）x 2(t) = sin[ Ω ( t – t 0 ) ]·u(t )3）x 3(t) = sin Ω t ·u ( t – t 0 )-14）x2(t) = sin[ ( t – t0) ]·u( t – t0)2-2 已知波形图如图2-76所示，试画出经下列各种运算后的波形图（6.7.8较容易出错，其中8出错的最多，没有标明微分；其他题出错的很少）（1）x ( t-2 )（2）x ( t+2 )（3）x (2t)（4）x ( t/2 )（5）x (-t)（6）x (-t-2)（出错较多，对负号的处理不正确）（7）x ( -t/2-2 )（出错较多，对负号的处理不正确）（8）dx/dt（出错较多，主要是忘记-δ (t-2)部分）2-3 应用脉冲函数的抽样特性，求下列表达式的函数值（第（7）题注意化简，其他题目出错的很少）(1)⎰+∞∞--)(0t t x δ(t) dt = x(-t 0) (2)⎰+∞∞--)(0t t x δ(t) dt = x(t 0) (3)⎰+∞∞--)(0t t δ u(t -2t ) dt = u(2t )(4)⎰+∞∞--)(0t t δ u(t – 2t 0) dt = u(-t 0) (5)()⎰+∞∞--+t etδ(t+2) dt = e 2-2(6)()⎰+∞∞-+t t sin δ(t-6π) dt =6π+21(7) ()()[]⎰+∞∞-Ω---dt t t t e t j 0δδ=()⎰+∞∞-Ω-dt t etj δ–⎰+∞∞-Ω--dt t t e t j )(0δ= 1-0t j eΩ- = 1 – cos Ωt 0 + jsin Ωt 02-4 求下列各函数x 1(t)与x 2(t) 之卷积，x 1(t)* x 2(t) (1) x 1(t) = u(t), x 2(t) = e -at · u(t) ( a>0 ) x 1(t)* x 2(t) =⎰+∞∞---ττττd t u eu a )()( =⎰-ta d e 0ττ = )1(1ate a--x 1(t)* x 2(t) =ττδτδτπd t t u t )]1()1([)]()4[cos(---+-+Ω⎰+∞∞-= cos[Ω(t+1)+4π]u(t+1) – cos[Ω(t-1)+4π]u(t-1)(3) x 1(t) = u(t) – u(t-1) , x 2(t) = u(t) – u(t-2) （一部分同学没有根据t 的范围分情况讨论） x 1(t)* x 2(t) =⎰+∞∞-+-----τττττd t u t u u u )]1()()][2()([当 t <0时，x 1(t)* x 2(t) = 0 当 0<t <1时，x 1(t)* x 2(t) =0td τ⎰= t 当 1<t <2时，x 1(t)* x 2(t) =21d τ⎰= 1当 2<t<3时，x 1(t)* x 2(t) = 12t d τ-⎰=3-t当 3<t 时，x 1(t)* x 2(t) = 0(4) x 1(t) = u(t-1) , x 2(t) = sin t · u(t) x 1(t)* x 2(t) =⎰+∞∞---ττττd t u u )1( )( )sin(=⎰⎰∞==01-t 01-t 0| cos - d sin 1)d --u(t sin ττττττ= 1- cos(t-1)2-5 已知周期函数x(t)前1/4周期的波形如图2-77所示，根据下列各种情况的要求画出x(t)在一个周期( 0<t<T )的波形（（3）.(6)出错较多）(1) x(t)是偶函数，只含有偶次谐波分量f(t) = f(-t), f(t) = f(t±T/2)(2) x(t)是偶函数，只含有奇次谐波分量f(t) = f(-t), f(t) = -f(t±T/2)(3) x(t)是偶函数，含有偶次和奇次谐波分量（出错较多）f(t) = f(-t)(4) x(t)是奇函数，只含有奇次谐波分量f(t) = -f(-t), f(t) = -f(t±T/2)(5) x(t)是奇函数，只含有偶次谐波分量f(t) = -f(-t), f(t) = f(t±T/2)(6) x(t)是奇函数，含有偶次和奇次谐波分量f(t) = -f(-t)2-6 利用信号x(t)的对称性，定性判断图2-78所示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量（该题全部做对的同学不是很多：有的同学会忽略直流分量）(a)这是一个非奇、非偶、非奇偶谐波函数，且正负半波不对称，所以含有直流、正弦等所有谐波分量，因为去除直流后为奇函数，所以不含余弦分量。
信号分析与处理(杨育霞许珉廖晓辉著)中国电力出版社习题2
⎡⎛ T ⎞⎤ 0 ⎞ ⎛ ⎢⎜ cos kω t ⎥ = A ⎡ 2 − 2 cos ⎛ kω1T ⎞ ⎤ ⎟ ⎜ ( 1 ) T ⎟ − ⎜ cos ( kω1t ) 2 ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎢⎜ ⎥ ⎟ − ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎜ ⎟ ⎥ 2 kπ ⎣ 0 ⎢ 2⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣⎝ A ⎡ A ⎡ k ⎛ kω T ⎞ ⎤ A = = 1 − cos ⎜ 1 ⎟ ⎥ = 1 − cos ( kπ ) ⎤ 1 − ( −1) ⎤ ⎡ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ kπ ⎣ kπ ⎝ 2 ⎠ ⎦ kπ
（c） x (t ) = ( t + 2 ) [ε (t + 2) − ε (t + 1)] + [ε (t + 1) − ε (t − 1)] + ( −t + 2 ) [ε (t − 1) − ε (t − 2)]
6
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x (t )
1 1 1 2 t -2 -1
（3）
X 1k X 2k
A1τ 1 kπτ 1 A1τ 1 kπ sinc( ) sinc( ) T T1 T 2 A 1 = 1 = 1 = 1 = A2τ 2 kπτ 2 A2τ 2 kπ sinc( ) sinc( ) A2 3 T2 T2 T2 2
5
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| X 11 | 1 = | X 21 | 3
A = kω1T
1
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x ( t ) = a0 + ∑ ( ak cos ( kω1t ) + bk sin ( kω1t ) )
k =1
∞
∞
= ∑ bk sin ( kω1t )
k =1
∞
A k =1 kπ ∞ A =∑ k =1 kπ
信号分析与处理答案第二版完整版
信号分析与处理答案第二版HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】第二章习题参考解答求下列系统的阶跃响应和冲激响应。
(1)解当激励为时，响应为，即：由于方程简单，可利用迭代法求解：，，…，由此可归纳出的表达式：利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应：(2)解 (a)求冲激响应，当时，。
特征方程，解得特征根为。
所以：…(2.1.2.1)通过原方程迭代知，，，代入式(2.1.2.1)中得：解得，代入式(2.1.2.1)：…(2.1.2.2)可验证满足式(2.1.2.2)，所以：(b)求阶跃响应通解为特解形式为，，代入原方程有，即完全解为通过原方程迭代之，，由此可得解得，。
所以阶跃响应为：(3)解(4)解当t>0时，原方程变为：。
…(2.1.3.1)…(2.1.3.2)将(2.1.3.1)、式代入原方程，比较两边的系数得：阶跃响应：求下列离散序列的卷积和。
(1)解用表格法求解(2)解用表格法求解(3)和如题图2.2.3所示解用表格法求解(4)解(5)解(6)解参见右图。
当时：当时：当时：当时：当时：(7) ，解参见右图：当时：当时：当时：当时：当时：(8) ，解参见右图当时：当时：当时：当时：(9) ，解(10)，解或写作：求下列连续信号的卷积。
(1) ，解参见右图：当时：当时：当时：当时：当时：当时：(2) 和如图2.3.2所示解当时：当时：当时：当时：当时：(3) ，解(4) ，解(5) ，解参见右图。
当时：当时：当时：当时：(6) ，解(7) ，解(8) ，解(9) ，解试求题图示系统的总冲激响应表达式。
解已知系统的微分方程及初始状态如下，试求系统的零输入响应。
(1) ；解，，(2) ；，解，，，，可定出(3) ；，解，，，可定出某一阶电路如题图所示，电路达到稳定状态后，开关S 于时闭合，试求输出响应。
解由于电容器二端的电压在ｔ＝０时不会发生突变，所以。
信号分析与处理技术习题册
第一章 时域离散信号与离散系统1－1 给定信号：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-+=其它,040,614,52)(n n n n x（1） 画出x(n)序列的波形，标上各序列值；（2） 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； （3） 令x 1(n)=2x(n-2),试画出x 1(n)波形； （4） 令x 2(n)=2x(n+2)，试画出x 2(n)波形； （5） 令x 3(n)=x(2-n)，试画出x 3(n)波形。
1－2 有序列如下图所示请计算x e (n)=[x(n)+x(-n)]/2，并画出波形。
1－3 试判断 （1）∑-∞==nm m x n y )()(（2）y(n)=[x(n)]2 （3）)792sin()()(ππ+=n n x n y是否线性系统，并判断（2）、（3）是否移不变系统。
1－4设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如图所示，要求画出y(n)的波形。
1－5 已知线性移不变系统的输入为x(n)=δ(n)-δ(n-2),系统的单位抽样响应为h(n)=0.5n R3(n)，试求系统的输出y(n)1－6 设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定：y(n)-0.5y(n-1)=x(n)+0.5x(n-1)设系统是因果性的。
（1）利用递推法求系统的单位抽样响应；（2）由（1）的结果，利用卷积和求输入x(n)=e jwn u(n)的响应。
第二章时域离散信号与系统的频域分析2－1 试求如下序列的傅立叶变换：（1）x1(n)=R5(n)（2）x2(n)=u(n+3)-u(n-4)2－2 设⎩⎨⎧==其它,01,0,1)(n n x ，将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列~)(n x ，画出x(n)和~)(n x 的波形，求出~)(n x 的离散傅立叶级数~)(k X 和傅立叶变换。
2－3 设如图所示的序列x(n)的FT 用X(e jw )表示，不直接求出X(e jw )，确定并画出傅立叶变换实部Re[X(e jw )]的时间序列x e (n)2－4 求序列-2-n u(-n-1)的Z 变换及收敛域：2－5 已知)(2||5.02523)(211n x z zzz z X 对应的原序列，求收敛<<+--=---2－6 分别用长除法、部分分式法求以下X(z)的反变换：21||,411311)(21>--=--z zz z X2－7 用Z 变换法解下列差分方程：y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n),y(-1)=1,y(n)=0,n<-12－8 研究一个输入为x(n)和输出为y(n)的时域线性离散移不变系统，已知它满足)()1()(310)1(n x n y n y n y =++--，并已知系统是稳定的，试求其单位抽样响应。
信号分析与处理课后习题答案
信号分析与处理课后习题答案第五章 快速傅里叶变换1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需要50us ，每次复加需要10us ，用来就散N=1024点的DFT ，问：（1）直接计算需要多少时间？用FFT 计算呢？（2）照这样计算，用FFT 计算快速卷积对信号进行处理是，估计可实现实时处理的信号最高频率？ 解：分析：直接利用DFT 计算：复乘次数为N 2，复加次数为N(N-1)；利用FFT 计算：复乘次数为20.5log N N ，复加次数为2log N N ；（1） 直接DFT 计算：复乘所需时间2215010245052.4288T N us us s =⨯=⨯=复加所需时间2(1)101024(10241)1010.47552T N N us us s =-⨯=-⨯= 所以总时间1262.90432DFT T T T s =+=FFT 计算：复乘所需时间3220.5log 500.51024log 1024500.256T N N us us s =⨯=⨯⨯⨯= 复加所需时间422log 101024log 1024100.1024T N N us us s =⨯=⨯⨯= 所以总时间为340.3584FFT T T T s =+= （2） 假设计算两个N 长序列1()x n 和2()x n 的卷积计算过程为如下：第一步：求1()X k ，2()X k ；所需时间为2FFT T ⨯第二步：计算12()()()X k X k X k =•，共需要N 次复乘运算所需时间为501024500.0512To N us us s =⨯=⨯=第三步：计算(())IFFT X k ，所需时间为FFT T所以总时间为230.35840.0512 1.1264FFT T T To s s s =⨯+=⨯+= 容许计算信号频率为N/T=911.3Hz2.设x(n)是长度为2N 的有限长实序列，()X k 为x(n)的2N 点得DFT 。
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第一章 时域离散信号与离散系统
1－1 给定信号：
⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤-≤≤-+=其它,040,61
4,52)(n n n n x
（1） 画出x(n)序列的波形，标上各序列值；
（2） 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；
（3） 令x 1(n)=2x(n-2),试画出x 1(n)波形；
（4） 令x 2(n)=2x(n+2)，试画出x 2(n)波形；
（5） 令x 3(n)=x(2-n)，试画出x 3(n)波形。
1－2 有序列如下图所示
请计算x e (n)=[x(n)+x(-n)]/2，并画出波形。
1－3 试判断
（1）∑-∞
==n
m m x n y )()(
（2）y(n)=[x(n)]2
（3）)
792sin()()(π
π
+=n n x n y
是否线性系统，并判断（2）、（3）是否移不变系统。
1－4设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如图所示，要求画出y(n)的波形。
1－5 已知线性移不变系统的输入为x(n)=δ(n)-δ(n-2),系统的单位抽样响应为 h(n)=0.5n R 3(n)，试求系统的输出y(n)
1－6 设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定：
y(n)-0.5y(n-1)=x(n)+0.5x(n-1)
设系统是因果性的。
利用递推法求系统的单位抽样响应；
（1） 由（1）的结果，利用卷积和求输入x(n)=e jwn u(n)的响应。
第二章 时域离散信号与系统的频域分析
2－1 试求如下序列的傅立叶变换：
（1）x 1(n)=R 5(n)
（2）x 2(n)=u(n+3)-u(n-4)
2－2 设⎩⎨⎧==其它
,01,0,1)(n n x ，将
x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列~)(n x ，画出x(n)和~)(n x 的波形，求出~)(n x 的离散傅立叶级数~)(k X 和傅立叶变换。
2－3 设如图所示的序列x(n)的FT 用X(e jw )表示，不直接求出X(e jw )，确定并画出傅立叶变换实部Re[X(e jw )]的时间序列x e
(n)
2－4 求序列-2-n u(-n-1)的Z 变换及收敛域：
2－5 已知)(2||5.02523)(211n x z z z z
z X 对应的原序列，求收敛<<+--=---
2－6 分别用长除法、部分分式法求以下X(z)的反变换：
21||,41
1311)(21>--
=
--z z z z X
2－7 用Z 变换法解下列差分方程：
y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n),y(-1)=1,y(n)=0,n<-1
2－8 研究一个输入为x(n)和输出为y(n)的时域线性离散移不变系统，已知它满足)()1()(310
)1(n x n y n y n y =++--，并已知系统是稳定的，试求其单位抽样响
应。
第三章 离散傅立叶变换（DFT ）
3－1 计算以下序列的N 点DFT ，在变换区间0≤n ≤N-1内，序列的定义为x(n)=sin(w 0n)·R N (n)
3－2 已知⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-===-k
m N k e N m k e N k X j j 其它,0,2
,2)(θθ，求x(n)=IDFT[X(k)]
3－3 长度为N ＝10的两个有限长序列
⎩⎨⎧≤≤≤≤=95,
040,1)(1n n n x ⎩⎨⎧≤≤-≤≤=9
5,140,1)(2n n n x 作图表示x 1(n)、x 2(n)和y(n)= x 1(n)③x 2(n)
3－4 在图中画了两个有限长序列，试画出它们的六点圆周卷积。
3－5 若X(k)=DFT[x(n)]，Y(k)=DFT[y(n)]，Y(k)=X((k+l))N ·R N (k)，证明y(n)=IDFT[Y(k)]=W N ln x(n)
3－6 已知有限长序列x(n)，0≤n ≤N-1，现重复序列x(n)产生一个rN 点的h(n)，求h(n)的DFT 值H(k)，解释其结果的意义。
第四章 快速傅立叶变换（FFT ）
4－1 如果一台通用计算机的速度为：平均每次复乘需100us ，每次复加需20us ，用来计算N=1024的DFT ，问直接运算需要多少时间？用FFT 运算需要多少时间？
4－2 作16点DIT-FFT 运算流图
第五章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法
5－1 设系统用下面差分方程描述：
)1(31
)()2(81
)1(43
)(-+=-+--n x n x n y n y n y 试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。
5－2 已知滤波器的单位脉冲响应为h(n)=0.9n R 5(n)，求出系统函数，并画出其直接型结构。