高中数学全一册课时跟踪训练(打包18套)北师大版选修2_2

课时跟踪训练(一) 归纳与类比1．由数列2,20,200,2 000，…，猜测该数列的第n项可能是( )A．2³10n B．2³10n－1C．2³10n＋1D．2³10n－212.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )11 11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5A．2 B．4C．6 D．83．(湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551134．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，你认为可推知正四面体的下列哪些性质________．(填写序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．6．四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上(如图)，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，……这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的座位对应的编号是________．7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？8．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．答案1．选B2．选C 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.3．选B 由题意知275L2h＝13πr2h⇒275L2＝13πr2，而L＝2πr，代入得π＝258.4．选A 每一行图中的黑点从右上角依次递减一个．5．解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．答案：①②③6．解析：第4次左右列动物互换座位后，鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上，即回到开始时的座位情况，于是可知这样交替进行下去，呈现出周期为4的周期现象，又2 014＝503³4＋2，故第2 014次互换座位后的座位情况就是第2次互换座位后的座位情况，所以小兔的座位对应的编号是2.答案：27．解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．解：在△DEF 中， 由正弦定理，得d sin D ＝e sin E ＝fsin F.于是，类比三角形中的正弦定理， 在四面体S －ABC 中，猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．课时跟踪训练(二) 综合法与分析法1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的说法有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤33．用分析法证明命题“已知a －b ＝1.求证：a 2－b 2＋2a －4b －3＝0.”最后要具备的等式为( )A ．a ＝bB ．a ＋b ＝1C ．a ＋b ＝－3D ．a －b ＝14．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A5．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．6．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，a ≥0，则P ，Q 的大小关系是________． 7．阅读下列材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，① sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，②由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，③ 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得sin A ＋sin B ＝2sinA ＋B2cosA －B2.类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明： cos A －cos B ＝－2sin A ＋B2sinA －B2.8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．答 案1．选C 由分析法、综合法的定义知①②③⑤正确. 2．选C ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2. 3．选D 要证a 2－b 2＋2a －4b －3＝0，即证a 2＋2a ＋1＝b 2＋4b ＋4，即(a ＋1)2＝(b ＋2)2， 即证|a ＋1|＝|b ＋2|，即证a ＋1＝b ＋2或a ＋1＝－b －2，故a －b ＝1或a ＋b ＝－3，而a －b ＝1为已知条件，也是使等式成立的充分条件．4．选A 因为函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数，所以要比较A ，B ，C 的大小，只需比较a ＋b 2，ab ，2ab a ＋b 的大小，因为a ＋b 2≥ab ，两边同乘ab 得：ab ²a ＋b 2≥ab ，即ab ≥2aba ＋b，故a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b，∴A ≤B ≤C . 5．解析：∵a ＋b ＋c ＝0，a²b ＝0， ∴c ＝－(a ＋b )． ∴|c |2＝(a ＋b )2＝1＋b 2. 由(a －b )²c ＝0，∴(a －b )²[－(a ＋b )]＝－|a |2＋|b |2＝0. ∴|a |2＝|b |2＝1. ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 答案：46．解析：∵P 2＝2a ＋7＋2a a ＋7 ，Q 2＝2a ＋7＋2 a ＋3 a ＋4 .又∵a (a ＋7)＝a 2＋7a <(a ＋3)(a ＋4)＝a 2＋7a ＋12. ∴P 2<Q 2，即P <Q . 答案：P <Q7．证明：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，② ①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③ 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得cos A －cos B ＝－2sinA ＋B2sinA －B2.8．证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .① 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π，②由①②得，B ＝π3，③由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .再由④得，a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c . 从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．课时跟踪训练(三) 反 证 法1．三人同行，一人道：“三人行，必有我师”，另一人想表示反对，他该怎么说？( ) A ．三人行，必无我师 B ．三人行，均为我师 C ．三人行，未尝有我师 D ．三人行，至多一人为我师2．(山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根3．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．34．已知x >0，y >0，z >0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于25．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b 为实数)”，其反设为____________________．6．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为________．7．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c ， 证明：2b ＝1a ＋1c不成立．8．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．答 案1．选C “必有”意思为“一定有”，其否定应该是“不一定有”，故选C. 2．选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．3．选C 因为a ，b ，c 不全相等，所以①正确；②显然正确，③中的a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可以同时成立，所以③错，故选C.4．选C 假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6.而事实上a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，所以a ，b ，c 中至少有一个不小于2.5．解析：“a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”，即a ，b 不全为0.答案：a ，b 不全为06．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②. 答案：③①②7．证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2bac，故b 2＝ac ，又b ＝a ＋c2，所以⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即(a －c )2＝0，a ＝c .这与a ，b ，c 两两不相等矛盾． 因此2b ＝1a ＋1c不成立．8．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2， 由于a >1，故y ＝a x为增函数， ∴ax 1<ax 2，∴ax 2－ax 1>0. 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝ x 2－2 x 1＋1 － x 1－2 x 2＋1 x 1＋1 x 2＋1 ＝3 x 2－x 1x 1＋1 x 2＋1>0， 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 即f (x 2)>f (x 1)，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)法一：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， 即ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，当x 0<0时，0<ax 0<1. ∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2， 与假设x 0<0相矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根． 法二：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， ①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，而0<ax 0<1， ∴f (x 0)<－1，与f (x 0)＝0矛盾． ②若x 0<－1，则x 0－2x 0＋1>0,0<ax 0<1， ∴f (x 0)>0，与f (x 0)＝0矛盾， 故方程f (x )＝0没有负数根．课时跟踪训练(四) 数学归纳法1．在用数学归纳法证明“2n>n 2对从n 0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n 0＝( )A ．1B ．3C ．5D ．72．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确 B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确 C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假设n ≤k (k ≥1)，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)3．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －24．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加12 k ＋1B ．增加12k ＋1＋12 k ＋1C ．增加12k ＋1＋12 k ＋1 ，减少1k ＋1D ．增加12 k ＋1 ，减少1k ＋15．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1(n ∈N ＋)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时， 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以，当n ＝k ＋1时等式成立． 由此可知，对任何n ∈N ＋，等式都成立． 上述证明的错误是________．6．用数学归纳法证明121³3＋223³5＋…＋n 22n －1 2n ＋1 ＝n n ＋12 2n ＋1 ，推证当n＝k ＋1时等式也成立时，只需证明等式____________________________________成立即可．7．数列{a n }满足a n >0(n ∈N ＋)，S n 为数列{a n }的前n 项和，并且满足S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，求S 1，S 2，S 3的值，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明．8．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)．答 案1．选C n 的取值与2n ，n 2的取值如下表：由于2n2n>n 2. 2．选B 因为n 为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第(k ＋1)个正奇数即n ＝2k ＋1正确．3．选C 凸n 边形有f (n )条对角线，每增加1条边，增加的那个顶点对应n －2条对角线，它的相邻的两个顶点连成1条对角线，故凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)比f (n )多n －1条．4．选C 当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1 k ＋1 ＋ k ＋1 ，又1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋1 ＋ k ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＝12k ＋1＋12 k ＋1 －1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加12k ＋1＋12 k ＋1 ，减少1k ＋1.5．解析：当n ＝k ＋1时正确的解法是 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1，即一定用上第二步中的假设． 答案：没有用上归纳假设进行递推 6．解析：当n ＝k ＋1时，121³3＋223³5＋…＋k 22k －1 2k ＋1 ＋ k ＋1 22k ＋1 2k ＋3 ＝k k ＋12 2k ＋1 ＋ k ＋1 22k ＋1 2k ＋3 ，故只需证明k k ＋1 2 2k ＋1 ＋ k ＋1 22k ＋1 2k ＋3 ＝ k ＋1 k ＋22 2k ＋3 即可．答案：k k ＋1 2 2k ＋1 ＋ k ＋1 22k ＋1 2k ＋3 ＝ k ＋1 k ＋22 2k ＋37．解：由a n >0，得S n >0，由a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，整理得a 21＝1，取正根得a 1＝1，所以S 1＝1.由S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1，得S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2－1＋1S 2－1，整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2. 同理可求得S 3＝ 3. 由此猜想S n ＝n . 用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即S k ＝k . 那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k . 整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N ＋，S n ＝n 都成立． 8．解：(1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，且32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (n ∈N ＋)时， 命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ²12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k<12＋k ＋2k²12k ＝12＋(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N ＋都成立．课时跟踪训练(五) 变化的快慢与变化率1．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A ．2.1 B ．1.1 C ．2D ．02．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，ΔsΔt为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度 B ．在t 时刻物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt 时物体的速度 D ．在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度3．一辆汽车在起步的前10秒内，按s ＝3t 2＋1做直线运动，则在2≤t ≤3这段时间内的平均速度是( )A ．4B ．13C ．15D ．284．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1 C.12D.145．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为________． 6．质点的运动方程是s (t )＝1t2，则质点在t ＝2时的速度为________．7．已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx .8．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， t ≥3，29＋3 t －3 2， 0≤t ＜3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．答 案1．选A Δy Δx ＝f 1.1 －f 1 1.1－1＝0.210.1＝2.1.2．选BΔsΔt中Δt 趋于0时得到的数值是物体在t 时刻的瞬时速度． 3．选C Δs ＝(3³32＋1)－(3³22＋1)＝15. ∴Δs Δt ＝153－2＝15. 4．选C 因为Δs ＝18(2＋Δt )2－18³22＝12Δt ＋18(Δt )2，所以Δs Δt ＝12＋18Δt ，当Δt无限趋近于0时，12＋18Δt 无限趋近于12，因此t ＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为12，故选C.5．解析：当自变量从－2变化到－2＋Δx 时，函数的平均变化率为ΔyΔx＝ －2＋Δx 2－2 －2＋Δx ＋1－ 4＋4＋1Δx＝Δx －6.答案：Δx －66．解析：因为Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2 Δt ＝1 2＋Δt 2－14Δt ＝－4＋Δt4 2＋Δt 2，当Δt →0时，Δs Δt →－14，所以质点在t ＝2时的速度为－14.答案：－147．解：f (x )＝2x 2＋3x －5， ∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2³x 21＋3³x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx . (1)当x 1＝4，Δx ＝1时，Δy ＝2＋(4³4＋3)³1＝21， ∴Δy Δx ＝211＝21. (2)当x 1＝4，Δx ＝0.1时，Δy ＝2³0.12＋(4³4＋3)³0.1＝0.02＋1.9＝1.92， ∴Δy Δx ＝1.920.1＝19.2. 8．解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3³52＋2－(3³32＋2)＝3³(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3³ 0＋Δt －3 2－29－3³ 0－3 2Δt ＝3Δt －18， 当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－18，∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率．∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3[ 1＋Δt －3]2－29－3³ 1－3 2Δt ＝3Δt －12， 当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12 m/s.课时跟踪训练(六) 导数的概念及其几何意义1．函数y ＝f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－5D ．－12．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝03．已知曲线C ：y ＝x 3的图像如图所示，则斜率等于3，且与曲线C 相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定4．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定5．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________．6.如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则lim Δx →0f 1＋Δx －f 1 Δx ＝________.7．已知点P (2，－1)在曲线f (x )＝1t －x上．求： (1)曲线在点P 处的切线的斜率； (2)曲线在点P 处的切线方程．8．求与曲线y ＝x 2相切，且与直线x ＋2y ＋1＝0垂直的直线方程？答 案1．选A Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于－3.2．选A f ′(2)＝li m Δx →0 142＋Δx 2－14³4Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14Δx ＋1＝1，∴过点(2,1)的切线方程为y －1＝1²(x －2)， 即x －y －1＝0.故选A.3．选B 由y ＝x 3得Δy Δx ＝ x ＋Δx 3－x 3Δx ＝x 3＋3x 2²Δx ＋3x ² Δx 2＋ Δx 3－x 3Δx＝3x 2＋3x ²Δx ＋(Δx )2，则y ′＝li mΔx →0[3x 2＋3x ²Δx ＋(Δx )2]＝3x 2，由3x 2＝3，得x ＝±1，即存在2条斜率等于3且与曲线C 相切的直线，故选B.4．选B 由图像易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0.由导数的几何意义，得f ′(x A )<f ′(x B )．5．解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0 Δx＝li m Δx →02 Δx 2＋4x 0Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4， 又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3,30)． 答案：(3,30)6．解析：由导数的概念和几何意义知，li m Δx →0 f 1＋Δx －f 1 Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.答案：－27．解：(1)将P (2，－1)的坐标代入f (x )＝1t －x，得t ＝1， ∴f (x )＝11－x.∴f ′(2)＝li m Δx →0f 2＋Δx －f 2 Δx＝li m Δx →011－ 2＋Δx －11－2Δx ＝li m Δx →011＋Δx＝1， 曲线在点P 处的切线斜率为1. (2)由(1)知曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.8．解：设切点为P (x 0，y 0)，可得所求切线的斜率 k ＝li m Δx →0x 0＋Δx 2－x 2Δx2＝li m Δx →0 (2x 0＋Δx )＝2x 0， 又直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，由所求切线与该直线垂直得(2x 0)²⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1， 得x 0＝1，则y 0＝x 20＝1，所以所求切线的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.课时跟踪训练(七) 计算导数1．设函数f (x )＝cos x ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2′＝( ) A ．0 B ．1C ．－1D ．以上均不正确2．下列各式中正确的是( ) A ．(log a x )′＝1xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(3x)′＝3xD ．(3x )′＝3x²ln 33．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．±4D ．不确定4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－15．若f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________． 6．正弦曲线y ＝sin x (x ∈(0,2π))上切线斜率等于12的点为________________．7．求与曲线y ＝f (x )＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程．8．求下列函数的导数： (1)y ＝log 2x 2－log 2x ； (2)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4.答 案1．选A 注意此题中是先求函数值再求导，所以导数是0，故答案为A. 2．选D 由(log a x )′＝1x ln a，可知A ，B 均错；由(3x )′＝3xln 3可知D 正确． 3．选B f ′(x )＝αxα－1，f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，∴α＝4.4．选A 因为y ′＝2ax ， 所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a . 又由题设条件知切线的斜率为2， 即2a ＝2，即a ＝1，故选A.5．解析：由导数的公式知，f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 因为f ′(x )＋1＝g ′(x )，所以2x ＋1＝3x 2， 即3x 2－2x －1＝0，解得x ＝1或x ＝－13.答案：1或－136．解析：∵y ′＝(sin x )′＝cos x ＝12，∵x ∈(0,2π)， ∴x ＝π3或5π3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π3，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－327．解：∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝()′＝23∴f ′(8)＝23²813.即曲线在点P (8,4)处的切线的斜率为13.∴适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y －8＝－3(x －4)． 即3x ＋y －20＝0.8．解：(1)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ²ln 2.(2)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x4 ＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x4－1＝2sin x2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .课时跟踪训练(八) 导数的四则运算法则1．若f ′(x )＝f (x )，且f (x )≠0，则f (x )＝( ) A ．a xB ．log a xC ．e xD ．e －x2．甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s 1＝t 3－2t 2＋t 和s 2＝3t 2－t －1，则在t ＝2时两个物体的瞬时速度的关系是( )A ．甲大B ．乙大C ．相等D ．无法比较3．若过函数f (x )＝ln x ＋ax 上的点P 的切线与直线2x －y ＝0平行，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)4．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋32 B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋32 D.3x 2＋6x x ＋32 5．函数y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3的导数为________．6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝________.7．求下列函数的导数： (1)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1x －1；(2)y ＝x tan x ； (3)y ＝x －sin x2cos x2；(4)y ＝3ln x ＋a x(a >0，且a ≠1)．8．设f (x )＝a ²e x＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，求a ，b 的值．答 案1．选C2．选B v 1＝s ′1＝3t 2－4t ＋1，v 2＝s ′2＝6t －1，所以在t ＝2时两个物体的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大．3．选B 设过点P (x 0，y 0)的切线与直线2x －y ＝0平行，因为f ′(x )＝1x＋a ，故f ′(x 0)＝1x 0＋a ＝2，得a ＝2－1x 0，由题意知x 0>0，所以a ＝2－1x 0<2.4．选A y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝ x 2 ′ x ＋3 －x 2² x ＋3 ′ x ＋3 2＝2x x ＋3 －x 2x ＋3 2＝x 2＋6xx ＋32.5．解析：y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，y ′＝3x 2－2x3.答案：3x 2－2x36．解析：由f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ⇒f ′(e)＝－1e .答案：－1e7．解：(1)∵y ＝x ²1x－x ＋1x－1＝－x ＋1x，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x ′＝－12x ＋－12xx＝－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x .(2)y ′＝(x tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin x ′c os x －x sin x cos x ′cos 2x＝ sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －sin x 2cos x 2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′ ＝1－12cos x .(4)y ′＝(3ln x ＋a x)′＝3x＋a x ln a .8．解：∵f (x )＝a ²e x＋b ln x ， ∴f ′(x )＝a ²e x＋b x，根据题意应有⎩⎪⎨⎪⎧f ′ 1 ＝a e ＋b ＝e ，f ′ －1 ＝a e －b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以a ，b 的值分别是1,0.课时跟踪训练(九) 简单复合函数的求导法则1．下列函数不是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)42．函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2－1x 2的导数为( )A ．2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1xB ．2⎝⎛⎭⎪⎫2－1x2C ．2⎝⎛⎭⎪⎫2－1x ²1x2D ．2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－2²1x23．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x4．某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可近似地表示为y ＝f (t )＝10t ，则在时刻t ＝40 min 的降雨强度为( )A ．20 mmB ．400 mm C.12mm/min D.14mm/min 5．若f (x )＝e x＋e－x2，则f ′(0)＝________.6．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．7．设f (x )＝a e x ＋b ln x 2，且f ′(1)＝e ＋1，f ′(－1)＝1e －1，求实数a ，b 的值．8．求下列函数的导数． (1)y ＝(2x 2－x ＋1)4； (2)y ＝11－2x2；(3)y ＝x ln(1－x )．答 案1．选A A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.2．选C y ′＝2⎝⎛⎭⎪⎫2－1x ⎝⎛⎭⎪⎫2－1x ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ²1x2.3．选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )²(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．选D f ′(t )＝1210t ²10＝510t ，∴f ′(40)＝5400＝14.5．解析：∵f ′(x )＝12(e x －e －x)，∴f ′(0)＝0.答案：06．解析：设切点为(x 0，y 0)， 则y 0＝x 0＋1，且y 0＝ln(x 0＋a )， 所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )． ① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a ，则1x 0＋a＝1， 即x 0＋a ＝1. ②②代入①可得x 0＝－1，所以a ＝2. 答案：27．解：f ′(x )＝a e x＋2b x，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋2b ＝e ＋1，a e－2b ＝1e －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝12.8．解：(1)y ′＝4(2x 2－x ＋1)3(2x 2－x ＋1)′ ＝4(2x 2－x ＋1)3²(4x －1)．(2)法一：设y ＝u ＝1－2x 2，则y ′x ＝y ′u ²u ′x －4x )＝－12(1－2x 2－4x )＝2x (1－2x 2＝2x1－2x 21－2x2.法二：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－2x 2′＝[(1－2x 2＝－12(1－2x 22x 2)′＝2x (1－2x 2＝2x1－2x 2 1－2x2. (3)y ′＝x ′ln(1－x )＋x [ln(1－x )]′＝ln(1－x )＋x ²－11－x＝ln(1－x )－x1－x.课时跟踪训练(十) 导数与函数的单调性1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0)D ．(0,2)2．当x >0时，f (x )＝x ＋2x的单调递减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)3．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2]4．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)5．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________． 6．函数f (x )＝ln x －x 的单调递增区间为________．7．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围．8．设函数f (x )＝ln(x ＋a )＋x 2，若f ′(－1)＝0，求a 的值，并讨论f (x )的单调性．答 案1．选D f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )<0，得0<x <2，所以f (x )的单调递减区间为(0,2)．2．选D f ′(x )＝1－2x 2＝x 2－2x 2＝ x －2 x ＋2x 2.由f ′(x )<0且x >0得0<x < 2.3．选A 根据条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋k x2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．4．选A 因为在定义域(0，＋∞)上f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以有f (2)<f (e)<f (3)．5．解析：令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12.又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数在(0，π)上的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π3，π6．解析：令f ′(x )＝1x－1>0，解不等式得0<x <1.注意定义域为(0，＋∞)． 答案：(0,1)7．解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .函数有单调递增区间，即在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞内，导函数大于零有解，令29＋2a >0，得a >－19.所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间．8．解：f ′(x )＝1x ＋a＋2x ， 依题意，有f ′(－1)＝0，故a ＝32.从而f ′(x )＝2x 2＋3x ＋1x ＋32＝ 2x ＋1 x ＋1x ＋32.则f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞.当－32<x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <－12时，f ′(x )<0；当x >－12时，f ′(x )>0.从而f (x )分别在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上是增加的，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上是减少的．课时跟踪训练(十一) 函数的极值1．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( ) A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值 B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对2．函数y ＝ax ＋ln(1－x )在x ＝0时取极值，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．不存在3．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极值，则( ) A ．0<b <1 B ．b <0 C ．b >0D ．b <124．设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝xf ′(x )的图像的一部分如图所示，则正确的是( )A ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.6．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中正确的是________．①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时函数取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值． 7．求下列函数的极值． (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋4；(2)f (x )＝x 3e x.8．已知函数f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0，求f (x )的极值．答 案1．选C 因为y ＝2x 3－3x 2， 所以y ′＝6x 2－6x ＝6x (x －1)． 令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝1.令y ＝f (x )，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝1时，函数y ＝2x 3－3x 2取得极小值－1. 2．选B y ′＝a ＋－11－x ＝ax －a ＋1x －1(x <1)，由题意得x ＝0时y ′＝0，即a ＝1. 检验：当a ＝1时y ′＝xx －1，当x <0时y ′>0，当0<x <1时y ′<0，符合题意．3．选A f ′(x )＝3x 2－3b .因f (x )在(0,1)内有极值，所以f ′(x )＝0有解，∴x ＝±b ，∴0<b <1，∴0<b <1.4．选D 由题图可知，当x ∈(－∞，－3)时，xf ′(x )>0，即f ′(x )<0； 当x ∈(－3,0)时，xf ′(x )<0，即f ′(x )>0； 当x ∈(0,3)时，xf ′(x )>0，即f ′(x )>0； 当x ∈(3，＋∞)时，xf ′(x )<0，即f ′(x )<0.故函数f (x )在x ＝－3处取得极小值，在x ＝3处取得极大值．5．解析：f ′(x )＝2x x ＋1 － x 2＋a x ＋1 2＝x 2＋2x －a x ＋1 2，由题意得f ′(1)＝3－a4＝0，解得a ＝3.经检验，a ＝3符合题意．答案：36．解析：由图像可知，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．答案：②③④7．解：(1)∵f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化，如表所示：∴x ＝－1是f (x )的极大值点，x ＝3是f (x )的极小值点．∴f (x )极大值＝f (－1)＝173，f (x )极小值＝f (3)＝－5.(2)f ′(x )＝3x 2²e x ＋x 3²e x ＝e x ²x 2(x ＋3)， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－3.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化如表所示：由表可知x ＝－3是f (x )的极小值点．f (x )极小值＝f (－3)＝－27e －3，函数无极大值．8．解：∵f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0， ∴f ′(x )＝48x 2－40ax ＋8a 2＝8(6x 2－5ax ＋a 2) ＝8(2x －a )(3x －a )，令f ′(x )＝0，得x ＝a 2或x ＝a3.(1)当a >0时，a 3<a2，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝3时，函数取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＝27；当x ＝a2时，函数取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0. (2)当a <0时，a 2<a3，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝2时，函数取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝0；当x ＝a 3时，函数取得极小值f (a 3)＝a 327.综上所述，当a >0时，函数f (x )在x ＝a3处取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a327，在x ＝a 2处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0；当a <0时，函数f (x )在x ＝a2处取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0，在x ＝a 3处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a327.课时跟踪训练(十二) 实际问题中导数的意义1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s2．某旅游者爬山的高度h (单位：m)关于时间t (单位：h)的函数关系式是h ＝－100t 2＋800t ，则他在t ＝2 h 这一时刻的高度变化的速度是( )A ．500 m/hB ．1 000 m/hC ．400 m/hD ．1 200 m/h3．圆的面积S 关于半径r 的函数是S ＝πr 2，那么在r ＝3时面积的变化率是( ) A ．6 B ．9 C ．9πD ．6π4．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在 2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－13t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( )A ．汽车刹车后1 s 内的位移B ．汽车刹车后1 s 内的平均速度C ．汽车刹车后1 s 时的瞬时速度D ．汽车刹车后1 s 时的位移5．正方形的周长y 关于边长x 的函数是y ＝4x ，则y ′＝______，其实际意义是______________________．6．某汽车的路程函数是s ＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是________m/s 2.7．某厂生产某种产品x 件的总成本c (x )＝120＋x 10＋x 2100(元)．(1)当x 从200变到220时，总成本c 关于产量x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(2)求c ′(200)，并解释它代表什么实际意义．8．江轮逆水上行300 km ，水速为6 km/h ，船相对于水的速度为x km/h ，已知船航行时每小时的耗油量为0.01x 2L ，即与船相对于水的速度的平方成正比．(1)试写出江轮在此行程中耗油量y 关于船相对于水的速度x 的函数关系式：y ＝f (x )； (2)求f ′(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度＝船相对水的速度－水速)．答 案1．选C s ′(t )＝2t －1，∴s ′(3)＝2³3－1＝5. 2．选C ∵h ′＝－200t ＋800，∴当t ＝2 h 时，h ′(2)＝－200³2＋800＝400(m/h)． 3．选D ∵S ′＝2πr ，∴S ′(3)＝2π³3＝6π.4．选C 由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 5．4 边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度 6．解析：v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ， ∴a (2)＝12³2－10＝14(m/s 2)． 答案：147．解：(1)当x 从200变到220时，总成本c 从c (200)＝540元变到c (220)＝626元． 此时总成本c 关于产量x 的平均变化率为c 220 －c 200 220－200＝8620＝4.3(元/件)，它表示产量从x ＝200件变化到x ＝220件时，平均每件的成本为4.3元．(2)c ′(x )＝110＋x 50，于是c ′(200)＝110＋4＝4.1(元/件)．它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本． 8．解：(1)船的实际速度为(x －6)km/h ，故全程用时300x －6 h ，所以耗油量y 关于x 的函数关系式为y ＝f (x )＝300³0.01x 2x －6＝3x2x －6(x >6)．(2)f ′(x )＝3²2x x －6 －x 2x －6 2＝3x x －12x －62，f ′(36)＝3³36³ 36－12 36－6 2＝2.88⎝ ⎛⎭⎪⎫L km/h ，f ′(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h 时耗油量增加的速度为2.88Lkm/h，也就是说当船相对于水的速度为36 km/h 时，船的航行速度每增加1 km/h ，耗油量就要增加2.88 L.课时跟踪训练(十三) 最大值、最小值问题1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0D ．以上都有可能2．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．－2D ．－13．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )C ．[1， D.(1，4.如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为( )A.d3 B.d2 C.33d D.22d5．设x 0是函数f (x )＝12(e x ＋e －x)的最小值点，则曲线上点(x 0，f (x 0))处的切线方程是________．6．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.7．求函数f (x )＝e x(3－x 2)在区间[2,5]上的最值．8．(江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问：x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问：x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．答 案1．选A2．选B f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13(舍去)或x ＝1，又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2，则f (2)最大，即a ＋2＝3，所以a ＝1. 3．选A f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e xcos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．∴f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12e π2，f (x )的最小值为f (0)＝12.4．选C 设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，则f (x )＝k ²xh 2＝k ²x (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d .所以x ＝33d 时，f (x )有最大值，故选C. 5．解析：f ′(x )＝12(e x －e －x)，令f ′(x )＝0，∴x ＝0，可知x 0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f ′(0)＝0为切线斜率， ∴切线方程为y ＝1. 答案：y ＝16．解析：令f ′(x )＝3x 2－12＝0，解得x ＝±2.计算f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，故M －m ＝32. 答案：327．解：∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x(x ＋3)(x －1)，∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)<0，即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.8．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)． 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0.。