甘肃省天水市一中高三下学期第三次模拟考试——数学理(数学理)

甘肃省天水市一中
2019届高三下学期第三次模拟考试
数学理试题
（满分：150分时间：120分钟）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．若集合，集合，则等于（）
A．B．C．D．
2．为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m=( )
A．B．0 C．1 D．0或1
3．若满足约束条件
，则的最小值为( )
A．1 B．2 C．-2 D．-1
4．数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的分别为8、2，则输出的（）
A．2 B．3
C．5 D．4
5．“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≥2
6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则
A．B．C．D．
7．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）
A．30种B．50种C．60种D．90种
8．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则三棱锥的外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
9．外接圆的半径为，圆心为，且，
，则
A．B．C．D．
10．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，以为边作一个等边三角形，若点在抛物线的准线上，则（）
A．1 B．2 C．2 D．2
11.一个封闭的棱长为2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）
A．1 B．C．D．
12．定义在上的函数，满足，为的导函数，且，若，且，则有（）A．B．C．D．不确定
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于________.
14．已知曲线在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则
的值为________．
15．设＝，则二项式展开式中含项的系数是
16．在实数集中定义一种运算“”，具有性质：
（1）对任意，；（2）对任意，；
（3）对任意，。

则函数的最小值为_______.
三、解答题（每小题12分，共60分）
17．已知等比数列是递增数列，且，．
(1)求数列的通项公式
(2)若，求数列的前n项和．
∑==
6
196
i
i
y371
6
1
=
∑
=i
i
i
y
x
∑
∑
=
-
=
-
-
-
-
-
=
n
i
i
n
i
i
i
x
x
y
y
x
x
b
1
2
1
^
)
(
)
)(
(
90
=
∠ADE
1
=
=DE
AD
18．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有，两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对，两种型号的新型材料对应的产品各件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：
使用寿命
材料类型
个月个月个月个月总计
经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，A材料每包的成本为10万元，B材料每包的成本为12万元。

假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？
参考数据：
参考公式：回归直线方程为，其中
19．在五面体中，四边形是正方形，
120
=
∠
=
∠DCB
ADC,
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为，.过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3，直线与椭圆相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在直线：与椭圆相交于两点，使得？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由！
21．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明不等式.
四、选做题（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做第一题计分。

）
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参
数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求和的直角坐标方程；
（2）若与相交于两点，且，求．
23．设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围
参考答案
1．C 2．C 3．D 4．C 5．D 6．C 7．B 8．C 9．C .10．B 11．C 12．A 11．正方体的对角线长为，故当正方体旋转的新位置的最大高度为，
又水的体积是正方体体积的一半，
∴容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为，故选C．
12．函数满足，可得.
由，易知，当时，，单调递减.
由，则.当,则.
当,则,，，即.故选A.
13．-1 14．15．16．
16．因为在（3）中，对任意，
令，代入得
由（1）中可得
由（2）中，化简可得
所以因为由基本不等式可得
所以最小值为3
17（1）；（2）.
解：由是递增等比数列，，，；解得：，；数列的通项公式：；由，；
那么，
则，
将得：；
即：．
18．（1），预计甲公司2019年3月份的利润为百万元（2）见解析
解（1）由折线图可知统计数据共有组，
即，，，，，，
计算可得，，
所以，
，
所以月度利润与月份代码之间的线性回归方程为.
当时，.故预计甲公司2019年3月份的利润为百万元。

（2）由频率估计概率，每包型新材料可使用个月，个月，个月和个月的概率分别为.，，和，所以每包型新材料可产生的利润期望值
.
由频率估计概率，每包型新材料可使用个月，个月，个月和个月的概率分别为，，和，
所以每包型新材料可产生的利润期望值
. .所以应该采购型新材料。

19．（1）见解析；（2）
（1）证明：由已知，且平面，平面，
所以平面．又平面平面，
故．又，所以四边形为等腰梯形．
因为，所以，所以，所以．
因为，且，所以平面.所以．
又，∴平面，又平面，所以．
（2）如图，以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，
则
∴，
设平面的法向量为，
由，得，令，得．
设直线与平面所成的角为，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．（1）（2）见解析
（1）在中，令，得，解得.
由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆相交所得的弦长）为3，
得，所以.①
因为直线：与椭圆相切，则.②
将②代入①，得.故椭圆的标准方程为.
（2）设点，.由（1）知，则直线的方程为.
联立得，
则恒成立.
所以，，
.
因为，所以.即.
即，
得，得，
即，解得；∴直线存在，且的取值范围是.
21．（1）当时函数在上单调递减; 当时函数在上单调递减，在上单调递增;（2）;（3）详见解析（1）解．当时，，从而，
函数在上单调递减；
当时，若，则，从而，若，则，从而，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）解根据（1）函数的极值点是，若，则．
所以，即，由于，即．
令，则，
可知为函数在内唯一的极小值点，也是最小值点，故，所以的最小值是，故只要即可，
故的取值范围是．
（3）证明不等式．
构造函数，则，可知函数在上，
即函数在上单调递增，由于，
所以，所以，所以．
22．（1）见解析；（2）或
（1）当时，当时，．由得，因为，，所以的直角坐标方程．
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得：
，则，，
因为，
所以或，因为，所以，故或．
23．（1）；（2）
（1）时，可得，即，
化简得：，所以不等式的解集为.
（2）①当时，，由函数单调性可得
，解得；
②当时，，，所以符合题意；
③当时，，由函数单调性可得，，解得；综上，实数的取值范围为.。